线性代数课件(完整版)同济大学

再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ;
…… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1：
解：
求排列 32514 的逆序数.
t (32514) 0 1 0 3 1 5
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表 a
a11
21
a12 a22
a11 a12 记号 a a22 21
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
4
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组 由消元法，得
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3
是1、2、3的某个排列. 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
其中
p1 p2 p3

表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a21 D a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
p1 p2 pn

( 1)t ( p1 p2 pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ；
练习：
求排列 453162 的逆序数.
解：
t9
§3
n 阶行列式的定义
一、概念的引入
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
所以，三阶行列式可以写成
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32

p1 p2 p3

(1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
1 1 3 12 D2 3 24 21 2 1
D1 14 2, 所以 x1 D 7
D1
12 2
12 ( 2) 14
D2 21 x2 3 D 7
0 D2 0 0 a41
0 0 a32 0
0 a23 0 0
a14 0 0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
3 4 6. 其中 t (4321) 0 1 2 3 2
a11 0 D3 0 0
a12 a22 0 0
线性代数
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
§2
全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
显然
Pn n (n 1) (n 2)3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序.
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定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 in的逆序数通常记为 t (i1i2 in ) .
当 p1 p2 pn 是奇排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 1 ； 若理解成一阶行列式，则 1 1.
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
简记作 det(aij ) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 是1, 2, …, n 的某个排列. 4. 当 p1 p2 pn 是偶排列时，对应的项取正号；
其中 aij 为行列式D的(i,Байду номын сангаасj)元
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 anp（正负号除外），其中 p1 p2 pn n
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
表达式 a11a22 a12a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D a11a22 a12a21 a21 a22
aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素. 其中，
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
原则：横行竖列
a11 a21 D an1
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
引进记号 主对角线 副对角线
a11 a21 a31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a12 a22 a32
a13 a23 a33
原则：横行竖列
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23 a32
a13 a23 a33 0
a14 a24 a11a22a33a44 a34 a44
D4
a11 a21 a32 a41
0 a22 a32 a42
0 0 a33 a43
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
a14 0 0 0
0 0 0 a44