线性代数--同济大学PPT课件

3 (1 )

1 r3 r2 0 ~ 0
1
1 3

0
3 （ 1 )( 3 )
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( 1 )当 0 且 3时 , R ( A ) R ( B ) 3 , 方程组有唯一解 ;
x 1 b 11 x r 1 b 1 , n r x n d 1 x b x b r ,n r x n d r r r1 r 1 x r 1 x r 1 xn xn
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
x1 x2 x 3 x4 2 c1 5 3 c2 , 4 3 c2 ,
无穷多个解
其中 c 1 , , c n r 为任意实数，故方程有
证毕
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把上式的含有 的通解．
n r 个参数的解，称为原线
性方程组
小结 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
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例２ 求解非齐次线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1, 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4

, m
2018/10/14
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已知 : ( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 2 , 5 ) , ( 2 , 4 , 7 ) 例2: 1 2 3
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2018/10/14
b1 b2 bm
a11 a 21 记 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
x1 x2 x x n
b1 b2 b b m
R( A) R( A, B )
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定理3: 向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A (1 , 2 , , m ), B ( 1 , 2 , , l )
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 ,
, an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2018/10/14
1
a1 a 2 (a1 , a2 an
2018/10/14
14
A : 1 , 2 ,
, m B : 1 , 2 ,
, l B 能由 A 线性表示
j k1 j1 k2 j2
kl jl j 1,2,
,l
( 1 , , l ) (k111 km1 m , , k1l1 kml m )

0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0


0
6 0


B4
2019/6/24
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4

3 3 0


B5
行最简形

x1 x2

x3 x3

4 3
3
2 5
3
2 3
4

0
6 3


B2
2019/6/24
11
1 1 2 1 4
r2 2

rr43 35rr22
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1

0 6 3


B
3
1 1 2 1 4 行阶梯形
r4 12r4
②③
③2①

④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3, ④
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(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②

x2 2x3 x2 x3
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2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11

x2 3x2

x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③

在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.

精品13例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 321 1
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的22
表达式 a11a22 称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
其中，aij (i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.

(2) 若是A的对应于的特征向量且x1 + x2 0, 则 x1 + x2也是A的对应于的特征 向量. 由于Ax1 = x1, Ax2 = x2, 于是
A( x1 x2 ) Ax1 Ax2 x1 x2 ( x1 x2 )


由(1)和(2)知，对于方阵A的对应于的 特征向量, 其非零的线性组合 k1 x1 k 2 x2 k m xm 也是A的对应于的特征向量. 令V = {x|Ax = x}, 可以验证V是一个向 量空间,称为A的对应于的特征子空间.



由于其广泛的应用背景，已研究出多种 方法计算方阵的特征值和特征向量，特 别是其经典数值计算方法和各种智能计 算方法. 本章内容涉及到线性方程组、矩阵和向 量方面的诸多知识，要求大家具有一定 的综合运用知识的能力. 本章在复数范围讨论.


4.1 特征值与特征向量的概念 与计算


4.1.1 特征值与特征向量的概念 对于给定的方阵A和非零向量x，可以考 虑通过线性变换得到的向量Ax. 给定方阵A，对于某些非零向量x，通过 线性变换得到的向量Ax与x是共线的， 即存在数满足Ax = x，这时就是A的 特征值，x就是A的对应于的特征向量.

例4.1 设
3 2 2 A 2 3 2 2 2 3

求A的特征值与特征向量. S|
2 2
3 2 (7 )(1 ) 2 3


|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = 1, = 7. 当 = 1时, (A - 1E)x = 0为


3 2 5 1 0 1 row 6 3 9 0 1 1 5 3 8 0 0 0 1 令x3 = 1, ξ 2 1. 1

推论
件是矩阵 A
( A , B ) (a1 , a 2 , , R ( A ) R ( A , B ).
向量组 A : a 1 , a 2 , a m 与向量组 B : b 1 , b 2 , b l R( A) R(B ) R( A, B ) .
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵
且 5 2 （ 5 ） 求 2 ,
R x ( x 1 , x 2 , , x n ) x 1 , x 2 , , x n R
n

T

叫做 n 维向量空间．
n 3
时 , n 维向量没有直观的几何形象．
T
x ( x 1 , x 2 , , x n ) a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
第四章 向量组的线性相关性
第一节
向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合 四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1
组称为 量，第 n 个有次序的数 n 维向量，这 i 个数 a i 称为第 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数 n 个数称为该向量的 i 个分量 . n 个分
a2 a 12
a 22 am2

aj a1 j
a2 j a mj

an a 1n a 2n a mn
A 的列向量组 .
向量组 a1, a 2 , , a n 称为矩阵
3 、类似地
, 矩阵 A
( a ij )

1 , 2 , m ,

求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
3
第一章 行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a42
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 1 ； 若理解成一阶行列式，则 1 1.
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
思考题
a14 0 0 0
0 0 0 a44
a11 D3 0 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a44

注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22

a 1n
a
2n

a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4

a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn

设 A 经初等列变换变为 B , 也有 R ( A ) R ( B ).
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设 A 经初等列变换变为
B,
则 A
T
经初等行变换变为
T T
B ,
T
R ( A ) R ( B ),
T T
且 R ( A ) R ( A ), R ( B ) R ( B ),

R ( A ) R ( B ).

R ( B ) 3,
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故 B 中必有
3 阶非零子式
. 且共有
4 个.
计算 B 的前三行构成的子式
3 2 3
2 0 2
5
3
2 0 0
5 5 11
5 2 6 6
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
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例4
1 2 设A 2 3
则 D r D r 0 , 也有 R ( B ) r .
若A经一次初等行变换变为 ，则 R( A ) R( B ). B
由于 B 也可经过一次初等行变 换变为 A ,
故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
对于 A ， 显有 R ( A ) R ( A ).
T T
对 A m n，有 0 R （ A ） min m , n
0，则 R （ A ） s ；