[优质版]高二数学上学期期末测试

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。

A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。

A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。

A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。

A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。

7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。

解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。

8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。

解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。

9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。

解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。

BAEDC高二第一学期期末考试数学试卷（文理科）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的准线方程为A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =-2．给出四个条件：①22ac bc >;②a b c c >;③22a b >;>其中能分别成为a b>的充分条件的个数为A ．0B ．1C ．2D ．330y +-截圆224x y +=所得的弦长为AB．C ．1D ．24．若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p 等于A ．1．5B ．2C ．4D ．85．直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，∈b a ,R 则||ab 的最 小值为A ．1B ．2C ．3D ．46．已知b a 、是不垂直的异面直线,α是一个平面,则b a 、在α内的射影有可能是 ① 两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。

在上面的结论中正确结论的编号是 A ．①②④B ．①②C ．②④D ．①②③7．已知直线l 的方向向量为(3,3)v =-，则此直线的倾斜角为A ．30︒B ．45︒C ．150︒D ．120︒8．如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC ．BC 边上的高分别为BD ．AE,则以A ．B 为焦点,且过D ．E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为AB ．1C．D．9．若不等式2222x x a y y ++≥--对一切实数x y ，恒成立,则实数a 的取值范围是 A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥2 D ．a ≤210．设12F F 、是双曲线22214x y b -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=, △12F PF 的面积为1,则正数b 的值为AB ．2C．2 D ．111．已知a ，b 都是负实数，则b a bb a a +++2的最小值是A ．65B ．2(2-1)C ．22-1D ．2(2+1)12．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥420x y s y x x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是 A ．[7，8]B ．[7,)+∞C ．[6，8]D ．[7，15]二．填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中的横线上． 13．不等式2212x x --<的解集是 ．14．设2z x y =+,式中,x y 满足约束条件220,1.x y x y +≥⎧⎨+≤⎩ 则z 的最小值是 ． 15．已知椭圆191622=+y x 的左．右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若P ．F 1．F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 ．16．方程11422=-+-t y t x 表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能是圆；②若曲线C 为椭圆，则41<<t ;MD ABCEF NA 1B 1C 1D 1③若曲线C 为双曲线，则1<t 或4>t ;④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则251<<t ;其中正确的命题是___________（将所有正确命题的序号都填上）．三．解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于 直线0=+y x 对称，求不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥+-01my kx y y kx 表示的平面区域的面积．18．(本小题满分12分) （本题满分12分）已知M ．N ．E ．F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱BB 1．B 1C 1．AB 和AD 的中点． （I ）求异面直线MN 和CD 1所成的角； （II ）证明：EF//平面B 1CD 1．19．(本小题满分12分)如图所示，圆心P 在直线y x =上，且与直线210x y +-=相切的圆，截y 轴的上半轴所得的弦AB 长为2，求此圆的方程．20．(本小题满分12分)已知函数a x x a x x f -+--=3)1()(2（a a x ，≠为非零的常数）（1）解不等式x x f <)(；（2）如果1=a ，且1>x ，求()f x 的取值范围．21．(本小题满分12分)设双曲线C ：2221(0)x y a a -=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点,A B ；(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(II)设直线l 与y 轴的交点为P,且512PA PB =,求a 的值．22．（本题满分12分）如图，已知圆A ．圆B 的方程分别是()(),412,42522222=+-=++y x y x 动圆P 与圆A ．圆B 均外切，直线l 的方程为：1()2x a a =≤． （I ）求圆心P 的轨迹方程，并证明：当21=a 时，点P 到点B 的距离与到定直线l 距离的比为定值；（II ） 延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求PQ的最小值；（III ）如果存在某一位置，使得PQ 的中点R 在l 上的射影C ，满足,QC PC ⊥求a 的取值范围．参考答案一．选择题 1-4 BCDC 5-8 BACA 9-12 CDBA 二．填空题13．{x |―1<x <3,且x ≠1}； 14．2-； 15．；94 16．③④三．解答题17．解:：因N M ,关于直线0=+y x 对称，∴直线1+=kx y 垂直于0=+y x ，∴k =1， ……3分 又∵圆心在0=+y x 上，∴m =-1， ……6分所以不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥+-0001y x y y x 表示的平面区域的面积为41……10分18．解：（I ）连结BC 1．AD 1．AC ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ．A 1B 1．C 1D 1所以四边形ABC 1D 1为平行四边形，从而AD 1//BC 1．又M ．N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，1//BC MN ∴，进而MN//AD 1． 从而∠AD 1C 为异面直线MN 与CD 1所成的角．………………4分 令正方体棱长为a ，则AD 1=D 1C=AC=a 2．即△AD 1C 为正三角形所以︒=∠601C AD ，即异面直线MN 和CD 1所成的角为60° ……6分 （II ）证明: ∵ BB 1 //DD 1 BB 1 =DD 1 ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形∴ BD // B 1D 1 ……8分 又E ．F 分别是棱．AB 和AD 的中点． ∴EF//BD ∴ EF // B 1D 1 ……10分 EF ⊄ 平面B 1CD 1 B 1D 1⊂平面B 1CD 1∴EF//平面B 1CD 1 ……12分 19．解：∵圆心P 在直线y = x 上，∴可设P 的坐标为（k ，k ），（k>0） 作PQ ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt △APQ 中，AQ=1，AP=r ，PQ=k∴r=2k 1+ ……３分又r=点P 到直线x + 2y-1= 0的距离∴1k 211k 2k 222+=+-+ ……６分整理，得02k 3k 22=-- 解得，k=2或21k -=（舍去） ……９分∵所求圆的半径为1k r 2+==5∴所求圆的方程为：5)2y ()2x (22=-+- ……１２分 20．解：（1）由x x f <)(，得xa x x a x <-+--3)1(2即03<-+a x x ，得0))(3(<-+a x x……3分（i ）当3-<a 时，原不等式的解集为（a ，－3） （ii ）当3-=a 时，原不等式的解集为φ；（iii ）当3->a 时，原不等式的解集为（－3，a ）……6分（2）如果1=a ，则13)(2-+=x x x f当1>x 时，214)1(14)1()(2+-+-=-+-=x x x x x f ……9分4100()261x f x x ->>∴≥=-，当且仅当141-=-x x 时，即3=x 时取等号故当1=a 且1>x 时，f(x)的取值范围是)6[∞+，……12分21．解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-= ①24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩解得01a a <<≠． ……3分双曲线的离心率e ==, 0a <<a ≠12e e ∴>≠即离心率e的取值范围是(2,)+∞． ……6分（II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P ,5,12PA PB =11225(,1)(,1).12x y x y ∴-=-由此得12512x x =． ……9分 由于12,x x 都是方程①的根,且210a -≠,∴212221222121a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩⇒222222217212152121a x a ax a ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩ ∴2221751212x x =, ∴20x =(舍）或2175x =,∴222289160a a-=- 由0a >,所以1713a =． ……１２分 22．解： （I ）设动圆P 的半径为r ，则｜PA ｜＝ｒ＋25，｜PB| = r + 21，∴ |PA| －｜PB| = 2． ……2分 ∴ 点P 的轨迹是以A ．B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为1322=-y x （x ≥1）．证明:若21=a , 则l 的方程21=x 为双曲线的右准线,B 点为双曲线的焦点,∴点P 到点B 的距离与到l 的距离之比为双曲线的离心率e = 2． ……4分 (II)若直线PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y = k ( x －2 )代入双曲线方程, 得()034432222=--+-k x k xk ,由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆0334034022212221k k x x k k x x ， 解得2k ＞3． ……6分 ∴ ｜PQ ｜＝632463)1(6||1222212>-+=-+=-+k k k x x k ．当直线的斜率存在时，221==x x ，得3,321-==y y ，｜PQ|＝6． ∴ ｜PQ|的最小值为6． ……8分 （III ）当PQ ⊥QC 时，P ．C ．Q 构成Rt △．∴ R 到直线l 的距离｜RC|＝ax PQ R -=2|| ①又 ∵ 点P ．Q 都在双曲线1322=-y x 上，∴ 221||21||=-=-Q P x QB x PB ．∴ 21||||=-++Q P x x QB PB ，即 24||-=R x PQ ． ∴42||+=PQ x R ② ……10分将②代入①得 a PQ PQ -+=42||2||，｜PQ ｜＝642≥-a ．故有1-≤a ……12分。

高二第一学期期末考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题甲:x ＞0；命题乙:0>x ，那么甲是乙的 （ ） A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件。

2、下列命题中正确的是 （ ） ①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题;②“若x=a, 则(x-a)(x-b)=0”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题;④“若a,b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题。

A.①②③④ B.②③④ C .①③④ D.①④ 3．已知集合2{|47},{|120}M x x N x x x =-≤≤=-->，则MN 为 （ ）A ．{|43x x -≤<-或47}x <≤B ．{|43x x -<≤-或47}x ≤<C ．{|3x x ≤-或4x >}D ．{|3x x <-或4}x ≥4．不等式022>++bx ax的解集是 {}11|23x x -<<，则b a +的值为( )A ．14B ．-14C ．10D ．-105. 如果 -1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么 （ ） A ．b=3,ac=9; B ．b= -3, ac=9; C ．b=3,ac= -9; D ．b= -3,ac= -96．在ABC △中，若2sinsin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7．在ABC ∆中，23,22,4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A ．221169y x +=B ．2211612y x +=C ．22143y x += D ．22134y x +=9.抛物线281x y -=的准线方程是 （ ） A ．321=x B ．2=y C ． 321=y D ．2-=y10．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是 （ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．xy 49±= 11．已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（ ） A ．－2B ．－4C ．2D ．412．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A ．27万元B ．25万元C ．20万元D ．12万元第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每步题4分，共16分，把答案填写在题中横线上. 13．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是______________________.14．不等式组2510000x y x y -+>⎧⎪<⎨⎪>⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .15. 已知F 1、F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB= _____________ 。

高二数学第一学期期末试卷满分100分，考试时间90分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） (1)如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 等于( ) 3.2A -2.3B.3C - .6D -(2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为0.8，乙能听懂的概率为0.5 ,则甲、乙二人恰有一人能听懂的概率为（ ）A. 0.4B. 0.9C. 0.5D.0.1(3)已知x 、y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 42+=的最小值为（ ）A. –6B. 5C.10D.–10 （4）()521x -的展开式中第四项的系数是（ ）A.10B. －80C. 80D.－8（5）抛物线22y px = (0p >)上横坐标为3的点到焦点的距离是4，则p 等于（ ） A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1（6）已知直线l 的斜率为23-，且过双曲线14922=-y x 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点个数为（ ）个A. 3B. 2C. 1D. 0（7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数是（ ） A ．12 B ．20 C ．36 D ．48（8）已知1F 、2F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈且在x 轴上方，则12F PF ∠的最大值是（ ）A ．15 B.30 C.45 D.60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分 ，共24分．答案填在题中横线上．）（9）在参加2006年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的32支球队中，有欧洲队14支，美洲队8支，亚洲队4支，大洋洲队1支，非洲队5支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的概率为 .（10）3个班分别从2个风景点中选择1处游览，有________ 种不同的选法 .（11）若点（－２，t ）在不等式2x －3y+6>0所表示的平面区域内，则t 的取值范围是_________ . （12） 圆cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩的（θ为参数）圆心坐标为 ；直线l 与此圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点坐标是)23,21(-，则直线l 的方程为 .（13）中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为35，并且虚轴长为8的双曲线标准方程为 __________；若P 为此双曲线上的一点，1F 、2F 分别是此双曲线的左、右焦点，且120PF PF =，则12PF F ∆的面积为 . （14）过椭圆22184x y +=的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A ，B 两点，则双曲线的离心率e 为.三、解答题：（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（本题满分12分）（15）已知点P （2，0），C ：044622=++-+y x y x .（Ⅰ）当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线与C 交于A 、B 两点，且AB CP ⊥，求以线段AB 为直径的圆的方程.（本题满分10分）（16）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列. （Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率;（Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率.（17）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5.各道题答对与否互不影响.（Ⅰ）求该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率；（Ⅱ）求该同学至少答对1道题的概率；（Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得80分的概率.(本题满分10分普通校学生做，重点校学生不做)（18）已知两点()()2,0,2,0M N - ，动点(),P x y 在y 轴上的射影为,H PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项.（I ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线1x y +=交以点M 、N 为焦点的双曲线C 的右支于点Q ，求实轴长最长的双曲线C 的方程.（本题满分10分重点校学生做，普通校学生不做）(18)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0.PT TF TF ⋅=≠（I ）设1x 为点P 的横坐标，求证：11||cF P a x a=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.草稿纸高二数学学科期末试卷答案9.1116 10 .8 11. 23t < 12. （0，1）； 20x y -+= 13.116922=-y x ；16 14.注12，13小题每空2分)三.解答题15. （Ⅰ）解：设直线l 的斜率为k （若k 存在），则方程为 )2(0-=-x k y …（2分）又C 的圆心为C(3,-2) ， r=3,由112232=++-k k k 43-=⇒k ， …… （4分）直线l 的方程为)2(43--=x y ，即0643=-+y x ………（5分） 当k 不存在时，l 的方程为x=2. ………… （7分） （Ⅱ）依题意AB ⊥CP ,得P 为线段AB 的中点，即为以AB 为直径的圆的圆心……（9分） 已知C(3,-2) ，P （2,0），由两点间距离公式得5=CP . …… （10分） 在直角三角形BCP 中，可求半径2BP =. …………（11分） 故以AB 为直径的圆的方程为4)2(22=+-y x . …………（12分） 16.解：七支彩笔可排列总数为77A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3分） （Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件A ，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有6622A A 种，则P （A ）=72776622=A A A . ……………… （7分） （Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为B ，则绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为215255775()21A A A PB A == . … （10分） （注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分）17. 解：（Ⅰ）该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率为12535.05.0)2.0()8.0(222113=⨯⋅=C C P . ……………… （4分） （Ⅱ）该同学至少答对1道题的概率为5004992151123=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛- . ……… （8分）（Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得80分为事件A ，他恰好答对2道选择题和2道填空题为事件B 1，他恰好答对3道选择题和1道填空题为事件B 2 则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.12()()()P A P B P B =+=2232223132324114144()55252125C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……（12分） 18. A （普通校）解：（Ⅰ）动点为(),P x y ，则()()()()0,,,0,2,,2,H y PH x PM x y PN x y =-=---=--…………………………… （2分）∴224PM PN x y ⋅=-+，且22PH x =. …………………………… （4分）由题意得22PH PM PN =⋅，即()22224x x y =-+，22184x y +=. …… （5分）PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项，点P 不能与点H 重合，0x ∴≠ .∴22184x y +=（0x ≠）为所求点P 的轨迹方程. ………………………… （6分） （Ⅱ）当直线1x y +=与双曲线C 右支交于点Q 时，而()2,0N 关于直线1x y +=的对称点为()1,1E -，则QE QN =∴双曲线C的实轴长2a QM QN QM QE ME =-=-≤（当且仅当 Q ，E ，M 共线时取“=”），此时，实轴长2a ；……………… （8分）所以，双曲线C 又∵122c MN ==，∴22232b c a =-= ∴双曲线C 的方程为2215322x y -=. …………………………… （10分）18.B （重点校）解：（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为11(,).x y 椭圆的左准线方程为c a x 2-=. 由椭圆第二定义得121||||F P c a a x c=+，即2111||||||.c a c F P x a x a c a =+=+ 由11,0c x a a x c a a ≥-+≥-+>知，所以11||.c F P a x a=+ …………… 3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ， 得2TF ⊥.又由椭圆定义得a PF PF 221=+，如图可得a PQ PF 21=+ 则||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ ………5分 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ …………………6分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+ ………………5分当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ ………………6分 （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c = 所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M. …………………8分 当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ……10分 解法二： 由上解法当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M. ………………………8分 当2b a c≥时， 100F M y k x c=+，200F M y k x c =-，由122F F a <，知1290F MF ︒∠<， 所以00200012222022022tan 21y y x c x c cy b F MF y b b x c--+∠====+-. ………10分③ ④。

2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ） A ．B ．C ．2D ．-141212【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案. 486210a a a +==65a =106410a a d =+=【详解】等差数列中，，则{}n a 486210a a a +==65a =，所以，则 1064546a a d d =+=+=41d =14d =故选：A2．已知函数可导，且，（ ）0()3f x '=000()()limx f x x f x x xΛ→+∆--∆=∆A ．-3 B ．0C ．3D ．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【详解】000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆000()()lim x f x f x x x ∆→--∆+∆.()026f x '==故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an }的通项公式为an ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是（ ） A ．第5项 B ．第6项C ．第4项或第5项D ．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：，2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，且， *21,564n N ∈<<5655,54a a ==所以数值最大的项为第5项． 故选：A ．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线()()32212f x x a x ax =+++()f x ()y f x =方程为（ ） A ． B ．C ．D ．2y x =-y x =-2y x =y x =【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求0f '（）出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即()()32212f x x a x ax =+++()()f x f x -=-，()()()()()3232212212x a x a x x a x ax ⎡⎤-++-+-=-+++⎣⎦故，即，10a +=1a =-所以，所以，，， ()322f x x x =-()262f x x ='-00f =（）02f '=-（）所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. ()y f x =2-2y x =-故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,0)-B ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,2)-C ．函数在区间上是减函数 ()f x (0,2)D ．函数在区间上是单调函数 ()f x (3,2)-【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即()y f x =()f x '()0f x '<可.【详解】由函数的导函数的图像知，()y f x =()f x 'A ：时，，函数单调递减，故A 正确； (30)x ∈-，()0f x '<()f x B ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，故B 错误；()f x C ：时，，函数单调递增，故C 错误； (02)x ∈，()0f x '>()f x D ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误. ()f x 故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（ ） n S {}n a n 891715a a =1517S S =A ．2 B ．C ．1D ．0.51-【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可 【详解】解：因为在等差数列中，， {}n a 891715a a =所以， 1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯故选：C7．下列结论正确的是（ ）A ．若为等比数列，是的前n 项和，则，，是等比数列 {}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -B ．若为等差数列，是的前n 项和，则，，是等差数列{}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -C ．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要{}n a m n p q ，，，m n p q +=+m n p q a a a a +=+条件D ．满足的数列为等比数列 1n n a qa +＝{}n a 【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和性质可以判定B 选项正确，利用特例判定其余选项错误. 【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n 项和，{}n a 0q q ≠，n S {}n a 设，当时，，，，则，，不是等比数()1na -＝2n =0S ＝0S S -=0S S -＝S S S -S S -列，所以A 选项错误；若为等差数列，是的前n 项和，设公差为， {}n a n S {}n a d 则，12n n S a a a +++ ＝，22212212n n n n n n n S S a a a a a a n d S n d ++-++++++++ ＝＝（）＝，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-+++++++-+ ＝＝（）＝（）所以，，是等差数列，所以B 选项正确；n S 2n n S S -32n n S S -为等差数列，考虑，，，所以C 选项错误；{}n a 1n a =1234a a a a +=+1234+≠+考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D 选项错误. {}n a 0n a =0q =1n n a qa +={}n a 故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->()20f -=的解集是（ ） ()0f x x>A ． B ． ()()2,00,2-⋃()(),22,-∞-+∞ C ． D ．()()2,02,-+∞ ()(),20,2-∞- 【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得()f x R ()f x x 0x >'2()()0xf x f x x ->为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集； ()f x x 0x <()f x x()()220f f -==【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->∴为增函数，为偶函数，为奇函数，()f x x ()f x ()f x x∴在上为增函数， ()f x x(),0∞-∵，()()220f f -==若，，所以； 0x >()202f =2x >若，，在上为增函数，可得， 0x <()202f -=-()f x x (),0∞-20x -<<综上得，不等式的解集是. ()0f x x>()()2,02,-+∞ 故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n 为（ ） {}n a 13a =()*111n n a n a +=-∈+N 3n a =A ．17 B ．16C ．8D ．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案. 【详解】由，， 13a =111n n a a +=-+得，，，214a =-343a =-43a =所以数列是周期为3的数列，{}n a 所以，．81714a a ==-7163a a ==故选：BD ．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是 n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈A ．B ．516a =-563S =-C ．数列是等比数列 D ．数列是等比数列{}n a {}1n S +【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等11a =-1(2)n n n a S S n -=-≥{}n a 比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈所以，因此，1121S a =+11a =-当时，，即，2n ≥1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C 正确；{}n a 1-2因此，故A 正确；451216a =-⨯=-又，所以，故B 错误；2121n n n S a =+=-+552131S =-+=-因为，所以数列不是等比数列，故D 错误. 110S +={}1n S +故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 11．已知函数，则（ ） ()31443f x x x =-+A ．在上单调递增 ()f x ()0,∞+B ．是的极大值点 2x =-()f x C ．有三个零点()f x D ．在上最大值是 ()f x []0,34【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项()f x ()0f x '=x ()f x 判断即可．【详解】解：因为 ()31443f x x x =-+所以， 2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-令，解得或，()0f x '=2x =-2x =与随的变化情况如下表： ()f x '()f x xx(,2)-∞- 2-(2,2)- 2(2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；()f x (,2)-∞-(2,)+∞(2,2)-A 是的极大值点，故正确；2x =-()f x B 因为，，，， (6)440f -=-<28(2)03f -=>()423f =-()652f =由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确； ()f x C 当的定义域为时，()f x []0,3在，上单调递减，在，上单调递增，()f x [02](23]又， ，(0)4f =()31f =故选：．BCD 12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（ ） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为 30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，{}n a 3n ≥326243241010n n n a --=⋅+⋅+=2n =，符合该式，当时，不符合上式，故，故A 错误；20.7a =1n =10.4a =20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩，故B 正确；“提丢斯数列”的前31项和为979932410a ⨯+=()3002923232121223051051010⨯++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令，即，得，又，故不超过20的有23242010n -⋅+≤219623n -≤2,3,4,5,6,7,8n =120a <8项，故D 错误. 故选：B C.三、填空题13．在等比数列中，，则_____. {}n a 7125a a =891011a a a a =【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论. 【详解】在等比数列中，， {}n a 7125a a =则， 891011811910712712()()()()25a a a a a a a a a a a a ===故答案为：25【详解】时到直线的距离最短， 22,1,(1,0)21y x P x ==∴='-所以点230x y -+=15．设Sn 是数列{an }的前n 项和，且a 1＝－1，an ＋1＝SnSn ＋1，则Sn ＝__________. 【答案】－. 1n【详解】试题分析：因为，所以，所以，11n n n a S S ++=111n n n n n a S S S S +++=-=111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所1111n n S S +-=-11a =-11111S a ==-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-以，所以． 11(1)(1)n n n S =----=-1n S n=-【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差1111n n S S +-=-111S =-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方1-法的积累与总结，属于中档试题． 16．设函数f (x )＝x 3－－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是22x ________.【答案】7(,2-∞【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果. []1,2-【详解】，令，得或，2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =∴在和上为增函数，在上为减函数， ()y f x =2()3-∞-，(1)+∞，2(1)3-，∴在处有极大值，在处有极小值，()f x 23x =-1x =极小值为17(1)12522f =--+=而，111(1)12522f -=--++= ∴在上的最小值为， ()f x [12]-，72对于任意都有成立，得的范围. 1[]2x ∈-，()f x a >a 72a <故答案为：.7(,)2-∞【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，. {}n a 12a =214a a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n 项和. {}n b {}n n a b +n S 【答案】(1)123n n a -⨯＝(2) 231n n +﹣【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求； q {}n a q {}n a （2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解. {}n b n S 【详解】（1）设为等比数列的公比， q {}n a 则由，得，解得q ＝3， 12a =214a a =+224q =+∴的通项为；{}n a 123n n a -⨯＝（2）由已知可得， ()12121n b n n =+=﹣﹣∴，12321n n n a b n +⨯+﹣＝（﹣）1122n n n S a b a b a b =+++ +++()()1212n n a a a b b b =+++ +++ 2(13)(121)132n n n-+-=+-.231n n =+﹣18．已知函数()2ln f x x x =+（1）求的极值；()()3h x f x x =-（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围. ()()g x f x ax =-a【答案】(1)见解析；（2）a ≤【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分()h x 段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利()()g x f x ax =-()()‘00g x x ≥>a 用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得()()233h x f x x lnx x x =-=+-，()()2‘2310x x h x x x-+=>令，可得或()2‘2310x x h x x-+==12x =1x =则当时，，当时， ()1012x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，，()‘0h x >112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()‘0h x <在，上为增函数，在上为减函数 ()h x ∴102⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1+∞，112⎛⎫⎪⎝⎭则 ()()12h x h ==-极小值,()15224h x h ln ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭极大值(2)()()2g x f x ax lnx x ax =-=+-， ()‘12g x x a x=+-由题意可知恒成立，()()‘00g x x ≥>即12min a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭时， 0x > 12x x +≥x =故12min x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则a ≤【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n 项的和，且. {}n a n S {}n a 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a(2)设，求数列的前n 项和. 12n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1)，21n a n =+*N n ∈(2)269n n + 【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解. ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，22n S n n =+∴当时，，1n =113a S ==当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+对时，等号也成立，1n =故，.21n a n =+*N n ∈（2）＝＝， 12n n n b a a +=2(21)(23)n n ++112123n n -++故前n 项和＝ 11111135572123n T n n =-+-++-++ 11232369n n n -=++20．已知函数. 22()ln 1x f x x x -=-+（1）判断函数的零点个数；()f x （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a 的取值范围. 4()()2()1a g x f x a x +=-+∈+R 1x 2x ()g x 【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.(),4-∞-【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；()10f =（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程1x 2x ()0g x '=(0,)+∞在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．()()2210h x x a x =+++=(0,)+∞【详解】（1）由题知函数的定义域为，()f x ()0,∞+对任意恒成立， ()22212(1)2(1)(1)0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++()0,x ∈+∞当且仅当时，，所以在上单调递增.1x =()0f x '=()f x ()0,∞+又，所以函数有且仅有1个零点. ()2121ln1011f ⨯-=-=+()f x（2）因为， ()()42ln 11a a g x f x x x x +=-+=-++所以. ()()2221(2)10(1)(1)a x a x g x x x x x x +++'=+=>++由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.1x 2x ()0g x '=(0,)+∞令，又，且函数图象的对称轴为， ()()221h x x a x =+++()010h =>()h x 22a x +=-所以只需 220,(2)40,a a -->⎧⎨∆=+->⎩解得，即实数的取值范围为.4a <-a (),4-∞-21．已知数列的前n 项和，，且满足.{}n a n S 11a =12n n S na +=(1)求；n a (2)若，求数列的前n 项和.(1)2n a n n b a =+⋅{}n b n T 【答案】(1)n a n =(2)12n n T n +⋅＝【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得； ()121n n S n a --＝11n n a n a n ++=n a n =（2）由，利用错位相减即可求和. 12n n b n =+⋅（）【详解】（1）由题意可得.....①，12n n S na +＝当时，......②，2n ≥()121n n S n a --＝①﹣②得，，可得， ()121n n n a na n a +--＝11n n a n a n ++=又，， 2122a S ==2121a a =综上，时，， 1n ≥11n n a n a n ++=当时，＝， 2n ≥3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅ 2341231n n ⋅⋅⋅⋅- ∴，∴， 1n a n a =n a n =又满足，11a =n a n =综上，.n a n =（2） )12(12n a n n n b n a =+⋅=+⋅（）数列的前n 项和，.......① {}n b 1231223242...212n n n T n n ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅﹣＝（），.........②23122232...212n n n T n n +⋅+⋅++⋅++⋅＝（）①﹣②可得 ()12112+222...2122n n n n T n n ++-++++-+⋅=-⋅＝，∴.12n n T n +⋅＝22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.22(0)y px p =>F 221243x y -=O （1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，:22l y x =-A B ①求；AB ②若，且在抛物线上，求实数的值.OA OB mOD += D m 【答案】（1）；（2）①5；②. 24y x =13【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. (1,0)12p =p （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设2310x x -+=AB ，根据向量的坐标运算即可求解.()00,D x y 【详解】（1）双曲线方程可化为， 221243x y -=2211344x y -=因此，所以双曲线的一个焦点是， 2131,144c c =+==(1,0)于是抛物线的焦点为，则， 22(0)y px p =>(1,0)F 12p =24p =故抛物线的方程为．24y x =（2）①依题意，由可得，设， 2224y x y x=-⎧⎨=⎩2310x x -+=()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理知，123x x +=1225AB FA FB x x ∴=+=++=②设，则由，得， ()00,D x y OA OB mOD += ()01213x x x m m=+=()01212y y y m m =+=由于D 在抛物线上，因此，可得． 2412m m=13m =【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦12AB x x p =++点，则必须用一般弦长公式．。

高二年级数学上学期期末考试数 学 试 题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共120分，考试时间120分钟. 注意事项：1．各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效.2．答题前，考生务必将自己的“姓名”，“班级”和“学号”写在答题纸上.3．考试结束，只交答题纸.第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式13x <等价于（ ）A ．103x <<B ．103x x ><或C ．13x >D ．0x <2．如果直线 220ax y ++= 与直线320x y --=平行, 那么实数a 等于（ ）A ．6-B ． 3-C ．32-D ．233．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个空间四边形各边的中点，所组成的 四边形是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．平行四边形D ．梯形4．抛物线281x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(0,－4)B ．(0,－2)C ．)0,21(-D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3215．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的大小关系是 （ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定6．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是互不重合的两个平面，则下列命题中为真命题是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,//l m αα⊥且，则l m ⊥C ．若,l n m n ⊥⊥，则//l mD ．若,//l l αβ⊥，则//αβ 7．满足方程22(2)(1)1x y -+-=的yx的最大值是（ ）A ．33B ．43C ．3D ．348．已知点),(y x P 在直线12=+y x 上运动，则y x 42+的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．22D ．429．已知,a b 是一对异面直线，且,a b 成80︒角，则在过空间一定点P 的直线中与a ，b 所成角均为80︒的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ． 1条10．在△ABC 中，AB =AC =10cm,BC =12cm,PA ⊥平面ABC ，PA = 8cm, 则点P 到边BC 的 距离为（ ）A ．10 cmB ．13 cmC ．D ． cm11．关于函数)0(22>>-=b a x a aby 的叙述不．正确的是（ ） A ．图象关于y 轴对称B ．值域是[]b ，0C ．图象是椭圆的一部分D ．图象是双曲线的一部分12．直线23y x =+与曲线2||194y x x -=的交点个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．过抛物线28y x =的焦点，倾斜角为45︒的直线被抛物线截得的弦长为；14．已知双曲线的虚轴长是实轴长与焦距的等比中项，则此双曲线的离心率是；15．函数[]()(43)20,1()2f x a x b a x f x =-+-∈≤，，若恒成立， 则a b +的最大值为；16．下面有四个命题：①经过空间一点与两条异面直线都相交的直线有且只有一条； ②经过空间一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③经过空间一点与两条异面直线都平行的平面有且只有一个； ④经过空间一点与两条异面直线都垂直的平面有且只有一个． 其中真命题的序号是_______________（把符合要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分8分）已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积等于24，求直线l 的方程．18．（本小题满分8分）长方体1111A B C D ABCD -中，12,1,,AB BC AA E F ===分别是111A B BB 和的中点， 求：1EF AD 与所成角的余弦值．C 1BDD 1EB 1FCA 1A19．（本小题满分10分）点P 为双曲线221124x y -=的渐近线与右准线在第一象限内的交点，圆C 与双曲线的两条渐近线都相切，且P 为切点，求圆C 的标准方程.20．（本小题满分10分）如图，点P 是矩形ABCD 所在的平面外一点， E 、F 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若PA ⊥平面ABCD ，且PA=AD ，求证：EF ⊥平面PCD .A EBC P FD21．（本小题满分10分）已知动点),(y x M 与定点)0)(0,2(>p p F 和定直线2p x -=的距离相等． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设M 、N 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OM 和ON 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化，且 90=+βα时. 求证：直线MN 恒过一定点．22．（本小题满分10分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，其中一个焦点坐标为（2，0），离心率为36． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知向量(0,1)OB =-，是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，l 与曲线C 相交于M 、N 两点，使向量BM 与向量BN 的夹角为60，且BM BN =? 若存在，求出k 值，并写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．参考答案BAABD BDCAC DC13．16 14．12+ 15．41716．②17．解：∵直线3x +4y －7=0的斜率是43-，∴直线l 的斜率为43-，设直线l 的方程为b x y +-=43. 设x =0, 得y=b ; 设y =0, 得x =b 34，所以24|||34|21=⨯⨯b b， ∴6±=b . ∴直线l 的方程为.02443,643=±+±-=y x x y 即18．解:连结1111,,BA BC A C ，则EF ∥1,BA 1AD ∥1,BC11A BC ∴∠即为EF 与1AD 所成角或其补角，且1111115581cos .255BA BC AC A BC +-===∴∠==⨯ 19．解：右准线方程为：x=3， 一条渐进线方程为：,y x k α==o 即倾斜角=30 所以P(1) 当圆心C 在x 正半轴上时,222,4,(4)4OP PC OC x y ====∴-+=则(2) 当圆心C 在y 正半轴上时，111160,30,6o o OCC OC C OC r PC ∠=∠====则22(36x y ∴+-=圆的方程为：20．证明：(1)取PD 的中点G 联结AG ，GF ，∵G ，F 分别是PD ， PC 的中点∴GF//CD又∵AB//CD ∵AE//GF 且AE=GF ∴四边形AEFG 为平行四边形 ∴EF//AG ∵AG ⊂平面PAD ∴EF//平面PAD(2)∵PA=AD 且PG=GD ∴AG ⊥PD, 又∵CD ⊥AD, ∵PA ⊥平面ABCD, ∴CD ⊥PA ∵PA ∩AD=A, ∴CD ⊥平面PAD, ∵AG ⊂平面PAD ∴AG ⊥CD ∵AG//EF ∴EF ⊥CD,EF ⊥PD ∵PD ∩CD=D,∴EF ⊥平面PCD21．解：（1）由抛物线的定义可知：点M 的轨迹C 的方程为抛物线，所以M 的轨迹C 的方程为)0(22>=p px y 。

高二年级期末(q ī m ò)测试上学期数学试卷〔考试时间是是：120分钟 总分：160分〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分.请把答案填．．．．．写上在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．. 的准线方程是 .2.命题“〞的否认是 ．中，双曲线：〔〕的一条渐近线与直线：垂直，那么实数.4.在等差数列中，,那么 ．5.假设△的内角所对的边满足，且角C=60°，那么的值是 ．6.原命题：“设＞bc 〞那么它的逆命题的真假为 ．7．假设方程表示焦点在轴上的椭圆，那么的取值范围是 ．8.在数列}{n a 中，，，其中为常数，那么B A ,的积等于 ．中，为上底面的中心(zh ōngx īn)，且每两条的夹角都是60º，那么向量的长．10.，假设是真命题，那么实数a 的取值范围是___．11.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是 ．12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，那么这两个数的和为________．13.给出以下四个命题：①假设a ＞b ＞0，那么1a ＞1b；②假设a ＞b ＞0，那么a －1a ＞b －1b；③假设a ＞b ＞0，那么2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④假设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，那么2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (N *)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有一样的数. 那么n 的最大值是 ．二、解答题：〔本大题一一共6小题，计90分．请把答案填写上在答题纸相．．．．．．．．．．．．应位置上．．．．, ．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕15．(此题满分是14分〕公比(ɡōnɡ bǐ)为3的等比数列与数列满足，且，〔1〕判断{}n a是何种数列，并给出证明；〔2〕假设，求数列的前项和16．(此题满分是14分〕△ABC 中，在边上，且o ，o．〔1〕求的长；〔2〕求△ABC的面积．17．(此题满分是14分〕如图，正三棱锥ABC—A1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为a，M是A1B1的中点．〔I 〕求证：是平面ABB1A1的一个法向量；MA1 B1C1〔II〕求AC1与侧面ABB1A1所成的角．18．(此题满分(mǎn fēn)是16分〕椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点P(1，32)。

高二数学上学期期末考试题第I 卷（试题） 一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x≥0, (D)(x-3)(2-x)>06、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π437、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）22911、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±51612、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .三、 解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n}中，已知a4=3，a12=19，则公差d为()A. 2B. 1C. −2D. −1【答案】A【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a4=3，a12=19，∴公差d=19−3 12−4=168=2．故选：A．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在△ABC中，AB=AC=2，且∠B=π6，则边BC=()A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】D【解析】解：∵AB=AC=2，且∠B=π6，∴∠C=∠B=π6，∠A=2π3，∴由正弦定理ACsin∠B =BCsin∠A，可得：2sinπ6=BCsin2π3，可得：BC=2×√3212=2√3．故选：D．由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3，由正弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在等比数列{a n}中，已知公比q=2，前n项和为S n，若S2=3，S3=7，则它的前5项之和S5为()A. 62B. 15C. 31D. 21【答案】C【解析】解：在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，S2=3，S3=7，∴{a1(1−22)1−2=3a1(1−23)1−2=7，解得a1=1，∴它的前5项之和S5=1×(1−25)1−2=31．故选：C．利用等比数列前n项和公式列方程组，求出a1=1，由此能求出它的前5项之和S5．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2√3,a=2，∠B=60∘，则∠A=()A. 120∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘【答案】D【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb=2×√32 2√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30∘．故选：D．由已知及正弦定理可求得sinA的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为()A. 20B. 10C. 16D. 8【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+ |BF2|=2a=10；△ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．故选：A．利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．6.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的个焦点为(√5,0)，则双曲线C的实轴长为()A. 1B. 2C. 4D. 2√5【答案】B【解析】解：双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点为(√5,0)，所以c=√5，ba =2，可得c2−a2a2=4，解得a=1，所以双曲线的实轴长为2．故选：B．一条渐近线方程是y=±2x，焦点为(√5,0)，转化求解双曲线的实轴长即可．本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.下列命题中正确的是()A. 若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B. 若x>0，则x+1x>2C.若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D. 若x∈R，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2【答案】D【解析】解：A选项必须保证a，b，同号．B选项应取到等号，若x>0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．由基本不等式成立的条件，正、定、等，可知答案选D．本题考查基本不等式的性质，属于简单题．8. 在等差数列{a n }中，已知a 2+a 5+a 12+a 15=36，则S 16=() A. 288B. 144C. 572D. 72 【答案】B【解析】解：a 2+a 5+a 12+a 15=2(a 2+a 15)=36，∴a 1+a 16=a 2+a 15=18，∴S 16=16(a 1+a 16)2=8×18=144，故选：B ．根据等差数列的性质和求和公式计算即可．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题9. 含2n +1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为() A.2n+1nB.n+1nC.n−1nD.n+12n【答案】B【解析】解：依题意，奇数项的和S 奇数=a 1+a 3+⋯+a 2n+1=(n+1)(a 1+a 2n+1)2=(n+1)×2a n+12=(n +1)a n+1，同理可得S 偶数=na n+1；∴S 奇数S偶数=n+1n．故选：B ．利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比．本题考查等差数列的性质，着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用，属于中档题．10. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，则点M 到直线y =x −3的最小距离为() A. 1B. 2C. √2D. 3 【答案】C【解析】解：设与直线y =x −3平行的直线方程为：y =x −m ，设切点坐标(s,t)，x 2=4y 可得：y ′=12x ，可得12s =1，可得s =2，则t =1，所以点M 到直线y =x −3的最小距离为：√2=√2．故选：C ．设出直线的平行线方程，利用函数的导数，求解切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11. 设a >1，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0的解集是()A. (−∞,a)∪(1a,+∞)B. (a,+∞)C. (a,1a )D. (−∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解：a >1时，1−a <0，且a >1a ，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0可化为(x −a)(x −1a )>0，解得x <1a 或x >a ，所以不等式的解集为(−∞,1a )∪(a,+∞)．故选：D ．根据题意，把不等式化为(x −a)(x −1a )>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12. 已知直线与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，点D 的坐标为(2,1)，则p 的值为() A. 52B. 23C. 54D. 32 【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，∴直线AB 斜率为−2，故直线AB 方程为2x +y −5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，则y 1y 2=−5p ，∵y 12=2px 1，y 22=2px 2，则(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2，故x 1x 2=254，∵OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0，∵p >0，∴p =54．故选：C ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，知直线AB 方程为2x +y −5=0，代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，从而得到y 1y 2=−5p ，再由OA ⊥OB ，能求出p ．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x 、y 满足约束条件{0≤x ≤10≤y ≤22y −x ≥1，且z =2y −2x +4，则z的最大值为______． 【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2y −2x +4得y =x +z 2−2，平移直线y =x +z2−2，由图象可知当直线y =x +z2−2经过点A(0,2)时，直线y =x +z2−2的截距最大，此时z 最大，z max =2×2+4=8．即z 的最大值是8，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，由z =2y −2x +4得y =x +z2−2，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 14. 命题：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题是______． 【答案】若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B【解析】解：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题： “若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ”故答案为：若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ．对所给命题的条件和结论分别否定，即：A ∪B ≠A 和A ∩B ≠B ，作为否命题的条件和结论．本题考查了否命题的定义，属于基础题．。

上学期期末测试高二数学一. 选择题：本大题共12小题 ：每小题4分 ：共48分．在每小题给出的四个选项中 ：只有一项是符合题目要求的．b a > ：则下列不等式一定成立的是( )A .b a 11< B . 1<abC . b a 22>D .()b a -lg >0 2.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 3.在直角坐标系中 ：直线013=++y x 的倾斜角为( )A .4πB . 32πC . 43πD .65π4.如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行 ：那么实数a ＝( ) A ．－6 B ．－3 C ．23- D ．325.椭圆62322=+y x 的焦点坐标为( )A . ()()0,1,0.1-B . ()()1,0,1,0-C .()()0,5,0,5- D .()()5,0,5,0-6.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5 ：则P 点的横坐标为( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 67.从点P ()1,2-发出的光线l ：经过直线x y =反射 ：若反射光线恰好经过点()3,0Q ：则光线l 所在的直线方程是( )A . 03=-+y xB . 03=+-y xC . 035=-+y xD .035=-+y x8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 ：P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点。

那么正方体的过P 、Q 、R的截面图形是( )A .三角形B .四边形C .五边形D .六边形9.已知点P (x ：y)在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动 ：则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2 ：－1]B ．[－2 ：1]C ．[－1 ：2]D ．[1 ：2] 10.若点(a ：b )是直线x ＋2y －1＝0上的一个动点 ：则ab 的最大值是( )A ．21B ．41C ．81 D ．16111.已知a 、b 、c 是直线 ：β是平面 ：给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥ ：②若c a c b b a ⊥⊥则,,// ： ③若b a b a //,,//则ββ⊂ ：④若a 与b 异面 ：且ββ与则b a ,//相交 ：⑤若a 与b 异面 ：则至多有一条直线与a ：b 都垂直. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．412. 对满足不等式aa a 512+<+的一切实数a ：不等式24)3(-<-a x a 都成立 ：则实数x 的取值范围是( )A ．32＜x ＜9B ．32≤x ≤9 C ．x ＜32或x ＞9 D ．x ≤32或x ≥9二. 填空题：本大题共4个小题 ：每小题4分 ：共16分. 将正确答案填在题中横线上．13. 若直线x ＋3y －7＝0与直线kx －y －2＝0的方向向量分别为→→j i 、 ：则当0=⋅→→j i 时 ：实数k 的值为 .14. 若|3||5|x x m -++>恒成立 ：则m 的取值范围是 . 15. 双曲线的渐近线为x y 2±= ：则双曲线的离心率为 .16. 抛物线x y 22=上任一点到直线01=+-y x 的距离的最小值是 .三. 解答题：本大题共5个小题 ：共36分. 解答要写出必要的解题步骤 ：证明过程 ：或文字说明.17.（本小题满分6分）求经过(2,1)A - ：和直线1x y +=相切 ：且圆心在直线2y x =-上的圆的方程。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！教学质量检测试卷高二数学一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则实数t =（ ）A.52B. 1C. 2-D. 85-【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则214250a b t ×=´+´+=r r，解得：2t =-，故选：C.2. 如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =uuuu r（ ）A. 111222OB OC OA +-uuur uuu r uuu r B. 111222OA OC OB --uuur uuu r uuu r C. 111222OB OC OA ++uuur uuu r uuu r D. 111222OA OC OB +-uuur uuu r uuu r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】Q 在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OAOA OB OC OA OB OC OA \=+=++=+-+-=++-=+-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 故选：A ．3. 以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）A. 28y x= B. 28y x =-C. 28y x =或28y x =- D. 28x y =或28x y=-【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由分焦点在x 轴的正半轴上和焦点在x 轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据28p =，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =；当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-，所以所求抛物线的方程为28y x =±.故选：C.4. 圆2241210x y x y ++-+=关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，则26a b+的最小值是（ ）A. B.203C.323D.163【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得33a b +=，然后由()2621333a b a b a b æö+=++ç÷èø，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆2241210++-+=x y x y 可得标准方程为()()222639x y ++-=，因为圆2241210++-+=x y x y 关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，\该直线经过圆心()2,6-，即2660a b --+=，33(0,0)a b a b \+=>>，()26213233232319103333a b a b a b a b b a ææöæö\+=++=+++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当33b a a b=，即34a b ==时取等号，故选：C.5. 某研究所计划建设n 个实验室，从第1实验室到第n 实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列通项公式，列出方程组72361561a a a a -=ìí+=î，求出1203a d ==，的值，进而求出令n S ，根据题意令438n S £，即可求解.【详解】设第n 实验室的建设费用为n a 万元，其中1,2,3,n =×××，则{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意可得723615152761a a d a a a d -==ìí+=+=î，解得1203a d =ìí=î，则()23133720222n n n S n n n -=+=+.令438n S £，即23378760n n +-£，解得73123n -££，又*N n Î，所以112n ££，*N n Î，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且56476a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LL （ ）A. 53 B. 5C. 3log 15D. 30【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】{}n a Q 是各项均为正数的等比数列，11029384756a a a a a a a a a a \====，56476a a a a +=Q ，56473a a a a \==，53132310312103log log log log ()log 35a a a a a a \+++===LL LL .故选：B7. 从直线34:15x l y +=上动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为C 、D ，则CPD Ð最大时，四边形OCPD （O 为坐标原点）面积是（ ）A.B.C. D. 2【7题答案】【答案】B 【解析】【分析】分析可知当OP l ^时，CPD Ð最大，计算出OP 、PC ，进而可计算得出四边形OCPD （O 为坐标原点）面积.【详解】圆221x y +=的圆心为坐标原点O ，连接OC 、OD 、OP ，则OPC OPD Ð=Ð，设OPC OPD q Ð=Ð=，则2CPD q Ð=，OC PC ^，则1sin OC OP OPq==，的当OP 取最小值时，OP l ^，此时3OP ==，=，OC OD =，OP OP =，故OPC OPD @△△，此时，21OPC OCPD S S OC PC ==×=´=△四边形故选：B.8. 已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=o ，则1ABF V 的周长为（ ）A.8 B. )41- C.8+ D. )22-【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】设2AF m =，2BF n =．根据双曲线的定义和等腰三角形可得4n =，再利用余弦定理可求得m ，从而可得1ABF V 的周长.【详解】由双曲线2221(0)4x y b b-=>可得2a =．设2AF m =，2BF n =．则1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，所以14AF m =+，14BF n =+．因为1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=°，所以1AF AB =，即4m m n +=+，所以4n =，所以18BF =，4AB m =+，在1ABF V 中，由余弦定理得2221112|cos BF AF AB AF AB A =+-´´´，即()()()22221844242m m m æö=+++-+´-ç÷èø，所以()23464m +=，解得4m =，1ABF \V 的周长44m m n n=+++++()828m n =++=．故选：A ．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.二､多选题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r成为空间的一个基底的是（ ）A. 111345OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r B. 2MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u rC. 23OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D. 32MA MB MC=-uuu r uuu r uuu u r【9题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，且1111345++¹，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++¹uuuu r uuu r uuu r uuu r，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-uuu r uuu r uuu u r，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.10. 圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则有（ ）A. 公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B. 线段AB 中垂线方程为10x y +-=C. 公共弦ABD. P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大1+【10题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1Q 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1Q 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1Q 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20+-=Q x y x 与圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-´-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆22=x ，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d1r ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P 到直线AB 距1+，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{a n }的n 项和为233n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 234n a n =-+ B. S 16为S n 的最小值C. 1216272a a a +++=LD. 使得0n S >成立的n 的最大值为33【11题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件求得n a ，结合等差数列前n 项和公式确定正确选项.【详解】233n S n n =-+，当1n =时，1132a S ==，当2n ³时，()()221331331234n n n a S S n n n n n -éù=-=-+---+-=-+ëû，132a =也符合上式，所以234n a n =-+，A 正确.由于233n S n n =-+开口向下，对称轴为3316.52n ==，所以16S 是n S 的最大值，B 错误.由2340n a n =-+³解得*117,N n n ££Î，所以21216121616163316272a a a a a a S +++=+++==-+´=L L ，C 正确.()*233330133,N n S n n n n n n =-+=-->Þ£<Î，所以使0n S >成立的n 的最大值为32，D 错误.故选：AC12. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为 1F ，2F 且122F F =，点 ()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A. 1QF QP +的最小值为 21a -B. 椭圆C 的短轴长可能为2C. 椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuu r uuur ，则椭圆 C +【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+³-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到22111a b +<，又221a b -=，解得a ，再由1e a =求解；D. 根据11PF FQ =uuu r uuur，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解.【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1F PF =，所以1222221QF QP a QF QP a PF a +=-+³-=-，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以22111a b+<，又221a b -=，所以221b a =-，所以221111a a +<-，即42310a a -+>，解得2a >=，所以a >，所以1e a =<，所以椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuur uuur ，则1F 为线段PQ中点，所以()3,1Q --，所以22911ab+=，又221a b -=，即421190a a -+=，解得2a ===，所以a =，所以椭圆C .故选：ACD【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三､填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知等比数列{}n a 满足1135121a a a a =++=，，则357a a a ++=_________．【13题答案】【答案】84的【分析】设公比为q ，求出2q ，再由通项公式代入可得结论．【详解】设公比为q ，则24135121a a a q q ++=++=，解得24q =所以()246224357184a a a q q q q q q++=++=++=．故答案为：84．14. 已知圆22:1214600M x y x y +--+=，圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，则圆N 的标准方程为________．【14题答案】【答案】22(6)(1)1x y -+-=【解析】【分析】根据题干求得圆M 的圆心及半径，再利用圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上确定圆N 的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为22(6)(7)25x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5．由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y ．因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =．因此，圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．故答案为：22(6)(1)1x y -+-=【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.15. 已知(3,2,3)a =--r ，(1,1,1)b x =--r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则x 的取值范围是___.【15题答案】【答案】523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，【解析】【分析】根据题意得出0a b ×<r r 且a r 与b r不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x 的取【详解】∵a r 与b r 的夹角为钝角，0a b \×<r r 且a r 与b r 不共线，即()32130a b x ×=----<r r ，且1132x --¹-，解得2x >-，且53x ¹，∴x 的取值范围是523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，.故答案为：523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø.16. 如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【16题答案】【答案】①. ②. 1-【解析】【分析】根据直角三角形的性质求得12PF F Ð，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ^.在12Rt PF F V 中，212PF OF OF c ===，所以21212PF F F =，所以126PF F p Ð=，所以直线l 的斜率6tan πk ==.1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F Fc cea a PF PF======-+.1-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.四､解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 直线l经过两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点．（1）若直线l与直线310x y+-=平行，求直线l的方程；（2）若点(3,1)A到直线l的距离为5，求直线l的方程．【17~18题答案】【答案】（1）340x y++=（2）2x=-或125340x y-+=【解析】【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．（2）分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的方程．【小问1详解】解：由3420220x yx y+-=ìí++=î，解得22xy=-ìí=î，所以两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点为(2,2)-．当直线l与直线310x y+-=平行，设l的方程为30x y m++=，把点(2,2)-代入求得4m=，可得l 的方程为340x y ++=．【小问2详解】解：斜率不存在时，直线l 方程为2x =-，满足点(3,1)A 到直线l 的距离为5．当l 的斜率存在时，设直限l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++=，则点A 到直线l5=，求得125k =，故l 的方程为122205x y k -++=，即125340x y -+=．综上，直线l 的方程为2x =-或125340x y -+=．18. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和nT 【18题答案】【答案】（1）22n n +；（2）23122n n n -++【解析】【分析】(1)先根据已知求出13,2a d ==，再求n a 及n S .(2)先根据已知得到13n n n b a -=+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以11521026a d a d +=ìí+=î， 解得13,2a d ==， 所以32(1)=2n+1n a n =+-；n S =n(n-1)3n+22´=2n +2n . （2）由已知得13n n n b a --=，由（1）知2n+1n a =，所以 13n n n b a -=+，n T =()123113322n n n S n n --+++×××+=++.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考的查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ^====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ AQ 的长．【19题答案】【答案】（1）23，（2）1=AQ 【解析】【分析】（1）推导出11,,AB AA AD AA AB AD ^^^，以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角111C B C D --的余弦值；（2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，求出平面1B PQ 的法向量，利用空间向量求出AQ 的长【详解】解（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1AA ^平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以11,,AB AA AD AA ^^因为AB AD ^，所以以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为122AB AD AA BC ====，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),A B C D 1111(0,0,2),(2,0,2),(2,1,2),(0,2,2)A B C D ,所以111(2,2,0),(0,1,2)B D B C =-=-uuuur uuur ，设平面11B CD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则11122020n B D x y n B C y z ì×=-+=ïí×=-=ïîr uuuur r uuur ，令2x =，则(2,2,1)n =r ，因为AB ^平面11B C C ，所以平面11B C C 的一个法向量为(2,0,0)AB =u u u r ，设二面角111C B C D --的平面角为a ，由图可知a 为锐角，所以二面角111C B C D --的余弦值为42cos 323n AB n AB a ×===´r uuu r r uuu r （2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，因为点P 为AD 的中点，所以(0,1,0)P ，则1(,1,0),(2,0,2)PQ B Q l l =-=--uuu r uuur ，设平面1B PQ 一个法向量为111(,,)z m x y =u r ，则111110(2)20m PQ x y m B Q x z l l ì×=-=ïí×=--=ïîu r uuu r u r uuur ，令12x =，则(2,2,2)m l l =-u r ，设直线1B C 与平面1B PQ 所成角的大小为b ，因为直线1B C 与平面1B PQ，所以sin b =，解得1l =或15l =-（舍去）所以1=AQ 的【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>过点，且离心率e =（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1112AF BF ×=uuur uuu r ，求1ABF V 的面积．【20题答案】【答案】（Ⅰ）2212x y +=；【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及222c a b =-列方程组，解方程组可得,a b 的值即可求解；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程消去x ，可得12y y +，12y y ，利用向量数量积的坐标表示列方程可得m 的值，计算12y y -，利用面积公式计算1121212ABF S F F y y =-V 即可求解.【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=①因为离心率c e a ===222a b =，②由①②解得21b =，22a =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）由题意可得()11,0F -，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+．将直线l 的方程代入2212x y +=中，得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+．所以()1111,AF x y =---uuur ，()1221,BF x y =---uuu r ，所以()()111212121212111AF BF x x y y x x x x y y ×=+×++=++++uuur uuu r ()()()1212122111m y y my my y y =+++++++222222222142222m m m m m m m =----++++2272m m -=+，由227122m m -=+，解得24m =，所以1223y y +=±，1216y y =-，因此1121211222ABF S F F y y =-=´=V 21. 已知数列{}n a 满足12a =，()*112N n na n a +=-Î．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n Î都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【21题答案】【答案】（1）1+=n n a n ；（2）存在，3．【解析】【分析】(1)结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；(2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+æö=-ç÷+èø求和有111213212n T n n æö=+--<ç÷++èø，再结合条件可得()134m m +³ ，即求．【详解】（1）证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-=-=-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．（2）解：∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +æö==-ç÷++èø，所以11111111212133242212n T n n n n æöæö=-+-++-=+--<ç÷ç÷+++èøèøL ， 依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +³，解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22. 如图，方程为22x py =的抛物线C ，其上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，直线AB 与C 交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧，点B 在y 轴右侧），与y 轴交于D 点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若4OA OB ×=-uuu r uuu r ，求证直线AB 过定点，并求出定点坐标；（3）若()0,5D ，OA BF ^，求直线OA 的斜率t 的值.【22题答案】【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()0,2；（3）【解析】【分析】（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为2p y =-，然后根据抛物线定义得出232p +=，解得p 的值，即可得出结果；（2）本题首先可设直线AB 的方程为y kx b =+，然后联立直线方程与抛物线方程，得出124x x k +=、124x x b =-，从而得出212y y b =，最后根据4OA OB ×=-uuu r uuu r 即可求出b 的值以及直线经过的定点坐标；（3）本题首先可以设直线OA 的方程为y tx =，与抛物线方程联立得出()24,4A t t ，然后得出直线AB 方程，与抛物线方程联立得出2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，最后根据OA BF ^即可求出斜率t 的值.【详解】（1）因为抛物线C 的方程为22x py =，所以抛物线C 的准线方程为2p y =-，因为抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，所以结合抛物线定义易知，232p +=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F .（2）由题意易知直线AB 的斜率定存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+ìí=î，整理得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，故()22222212121244y y k x x kb x x b bk kb b b =+++=-++=，因4OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以12124x x y y +=-，即2440b b -+=，解得2b =，故直线AB 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.（3）设直线OA 的方程为y tx =，联立24y tx x y =ìí=î，整理得240x tx -=，解得0x =或4t ，()24,4A t t ，则2454AD t K t -=，直线AB 方程为24554t y x t-=+，联立2245544t y x t x y ì-=+ïíï=î，整理得2245200t x x t ---=，解得4x t =或5t -，2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，则()24,4OA t t =uuu r ，2525,14BF t t æöç÷=-ç÷èøuuu r ，因为OA BF ^，所以2204250OA BF t ×=+-=uuu r uuu r，解得t =±，结合图像易知，t =-OA 的斜率t的值为.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.为。

高二数学第一学期期末试卷满分100分，考试时间90分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） (1)如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 等于( ) 3.2A -2.3B.3C - .6D -(2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为0.8，乙能听懂的概率为0.5 ,则甲、乙二人恰有一人能听懂的概率为（ ）A. 0.4B. 0.9C. 0.5D.0.1(3)已知x 、y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 42+=的最小值为（ ）A. –6B. 5C.10D.–10 （4）()521x -的展开式中第四项的系数是（ ）A.10B. －80C. 80D.－8（5）抛物线22y px = (0p >)上横坐标为3的点到焦点的距离是4，则p 等于（ ） A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1（6）已知直线l 的斜率为23-，且过双曲线14922=-y x 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点个数为（ ）个A. 3B. 2C. 1D. 0（7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数是（ ） A ．12 B ．20 C ．36 D ．48（8）已知1F 、2F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈且在x 轴上方，则12F PF ∠的最大值是（ ）A ．15 B.30 C.45 D.60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分 ，共24分．答案填在题中横线上．）（9）在参加2006年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的32支球队中，有欧洲队14支，美洲队8支，亚洲队4支，大洋洲队1支，非洲队5支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的概率为 .（10）3个班分别从2个风景点中选择1处游览，有________ 种不同的选法 .（11）若点（－２，t ）在不等式2x －3y+6>0所表示的平面区域内，则t 的取值范围是_________ . （12） 圆cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩的（θ为参数）圆心坐标为 ；直线l 与此圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点坐标是)23,21(-，则直线l 的方程为 .（13）中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为35，并且虚轴长为8的双曲线标准方程为 __________；若P 为此双曲线上的一点，1F 、2F 分别是此双曲线的左、右焦点，且120PF PF =，则12PF F ∆的面积为 . （14）过椭圆22184x y +=的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A ，B 两点，则双曲线的离心率e 为.三、解答题：（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（本题满分12分）（15）已知点P （2，0），C ：044622=++-+y x y x .（Ⅰ）当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设过点P 的直线与C 交于A 、B 两点，且AB CP ⊥，求以线段AB 为直径的圆的方程.（本题满分10分）（16）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列. （Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率;（Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率.（17）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5.各道题答对与否互不影响.（Ⅰ）求该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率；（Ⅱ）求该同学至少答对1道题的概率；（Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得80分的概率.(本题满分10分普通校学生做，重点校学生不做)（18）已知两点()()2,0,2,0M N - ，动点(),P x y 在y 轴上的射影为,H PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项.（I ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线1x y +=交以点M 、N 为焦点的双曲线C 的右支于点Q ，求实轴长最长的双曲线C 的方程.（本题满分10分重点校学生做，普通校学生不做）(18)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0.PT TF TF ⋅=≠（I ）设1x 为点P 的横坐标，求证：11||cF P a x a=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.得分 评卷人草稿纸高二数学学科期末试卷答案9.1116 10 .8 11. 23t < 12. （0，1）； 20x y -+= 13.116922=-y x ；16 14.注12，13小题每空2分)三.解答题15. （Ⅰ）解：设直线l 的斜率为k （若k 存在），则方程为 )2(0-=-x k y …（2分）又C 的圆心为C(3,-2) ， r=3,由112232=++-k k k 43-=⇒k ， …… （4分）直线l 的方程为)2(43--=x y ，即0643=-+y x ………（5分） 当k 不存在时，l 的方程为x=2. ………… （7分） （Ⅱ）依题意AB ⊥CP ,得P 为线段AB 的中点，即为以AB 为直径的圆的圆心……（9分） 已知C(3,-2) ，P （2,0），由两点间距离公式得5=CP . …… （10分） 在直角三角形BCP 中，可求半径2BP =. …………（11分） 故以AB 为直径的圆的方程为4)2(22=+-y x . …………（12分） 16.解：七支彩笔可排列总数为77A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3分） （Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件A ，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有6622A A 种，则P （A ）=72776622=A A A . ……………… （7分） （Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为B ，则绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为215255775()21A A A PB A == . … （10分） （注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分）17. 解：（Ⅰ）该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率为12535.05.0)2.0()8.0(222113=⨯⋅=C C P . ……………… （4分） （Ⅱ）该同学至少答对1道题的概率为5004992151123=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛- . ……… （8分）（Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得80分为事件A ，他恰好答对2道选择题和2道填空题为事件B 1，他恰好答对3道选择题和1道填空题为事件B 2 则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.12()()()P A P B P B =+=2232223132324114144()55252125C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……（12分） 18. A （普通校）解：（Ⅰ）动点为(),P x y ，则()()()()0,,,0,2,,2,H y PH x PM x y PN x y =-=---=--…………………………… （2分）∴224PM PN x y ⋅=-+，且22PH x =. …………………………… （4分）由题意得22PH PM PN =⋅，即()22224x x y =-+，22184x y +=. …… （5分）PH 是2和PM PN ⋅ 的等比中项，点P 不能与点H 重合，0x ∴≠ .∴22184x y +=（0x ≠）为所求点P 的轨迹方程. ………………………… （6分） （Ⅱ）当直线1x y +=与双曲线C 右支交于点Q 时，而()2,0N 关于直线1x y +=的对称点为()1,1E -，则QE QN =∴双曲线C的实轴长2a QM QN QM QE ME =-=-≤（当且仅当 Q ，E ，M 共线时取“=”），此时，实轴长2a ；……………… （8分）所以，双曲线C 又∵122c MN ==，∴22232b c a =-= ∴双曲线C 的方程为2215322x y -=. …………………………… （10分）18.B （重点校）解：（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为11(,).x y 椭圆的左准线方程为c a x 2-=. 由椭圆第二定义得121||||F P c a a x c=+，即2111||||||.c a c F P x a x a c a =+=+ 由11,0c x a a x c a a ≥-+≥-+>知，所以11||.c F P a x a=+ …………… 3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ， 得2TF ⊥.又由椭圆定义得a PF PF 221=+，如图可得a PQ PF 21=+ 则||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ ………5分 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ …………………6分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+ ………………5分当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ ………………6分 （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c = 所以，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M. …………………8分 当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ……10分 解法二： 由上解法当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M. ………………………8分 当2b a c≥时， 100F M y k x c=+，200F M y k x c =-，由122F F a <，知1290F MF ︒∠<， 所以00200012222022022tan 21y y x c x c cy b F MF y b b x c--+∠====+-. ………10分③ ④。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A. (￢p)∨(￢q)B. p∨(￢q)C. (￢p)∧(￢q)D. p∨q【答案】A【解析】解：由题意值￢p是“甲测试成绩不优秀”，￢q是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用(￢p)∨(￢q)表示，故选：A．求出￢p，￢q，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2.抛物线y=−3x2的焦点坐标是()A. (34,0)B. (−34,0)C. (0,−112)D. (0,112)【答案】C【解析】解：∵在抛物线y=--3x2，即x2=−13y，∴p=16，p2=112，∴焦点坐标是(0,−112)，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线y=−3x2的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3.2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是()A. −12<x<3B. −12<x<0C. −3<x<12D. −1<x<6【答案】D 【解析】解：2x2−5x−3<0的充要条件为−12<x<3对于A是2x2−5x−3< 0的充要条件对于B，是2x2−5x−3<0的充分不必要条件对于C，2x2−5x−3<0的不充分不必要条件对于D，是2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出2x2−5x−3<0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，则C的渐近线方程为()A. y=±14x B. y=±13x C. y=±12x D. y=±2x【答案】D【解析】解：由题意可得e=ca=√52，即为c2=54a2，由c2=a2+b2，可得b2=14a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±abx，即为y=±2x．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得c2=54a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5.四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，P 是MN 的三等分点(靠近N)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A. 13a ⃗ +16b ⃗ +16c ⃗ B. 16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ C. 12a ⃗ +16b ⃗ +13c ⃗ D. 16a ⃗ +12b ⃗ +13c ⃗ 【答案】B【解析】解：根据题意得，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗=16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B ．运用平面向量基本定理可解决此问题． 本题考查平面向量基本定理的简单应用．6.点P(2,3)到直线ax +y −2a =0的距离为d ，则d 的最大值为() A. 3B. 4C. 5D. 7 【答案】A【解析】解：直线ax +y −2a =0即a(x −2)+y =0，令{y =0x−2=0，解得x =2，y =0．可得直线经过定点Q(2,0)．则当PQ ⊥l 时，d 取得最大值|PQ|．|PQ|=√(2−2)2+32=3． 故选：A ．直线ax +y −2a =0即a(x −2)+y =0，令{y =0x−2=0，解得直线经过定点Q.则当PQ ⊥l 时，d 取得最大值|PQ|．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.如图：在直棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC ，AB ⊥AC ，P ，Q ，M 分别是A 1B 1，BC ，CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是()A. π6B. π4C. π3D. π2 【答案】D【解析】解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AA 1=AB =AC =2，则A(0,0，0)，M(0,2，1)，P(1,0，2)，Q(1,1，0)．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)．∴cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√5=0．∴直线PQ 与AM 所成的角是π2．故选：D ．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AA 1=AB =AC =2，分别求出PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用空间向量求解． 本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题． 8.《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，AB=BC=4，AA1=5，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为()A. 40B. 25+15√2+3√29C. 50D. 30+20√2+3√29【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，AB=BC=4，AA1=5，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取A1B1的中点N，连结MN，BN，∵A1M=12AC=12√16+16=2√2，BN=√22+52=√29，∴三棱台A1MN−ABC的表面积为：S=S△A1MN+S△ABC+S梯形A1MCA +S梯形MNBC+S梯形A1NBA=12×2×2+12×4×4+12(2√2+4√2)×5+12(2+4)×√29+12(2+4)×5=25+15√2+3√29．故选：B．取A1B1的中点N，连结MN，BN，则三棱台A1MN−ABC的表面积为S=S△A1MN+S△ABC+S梯形A1MCA +S梯形MNBC+S梯形A1NBA．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()A. ±√33B. ±√22C. ±1D. ±√3【答案】B 【解析】解：由x22+y2=1，得a2=2，b2=1，∴c2=a2−b2=2−1=1．则c=1，则左焦点F(−1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k．设l与椭圆相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)，联立{x22+y2=1y=kx+k，得：(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0．则PQ的中点M的横坐标为x1+x22=−2k21+2k2．∵△FMO是以OF为底边的等腰三角形，∴−2k22k2+1=−12，解得：k=±√22．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由−2k22k2+1=−12，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则|BF|=()A. P3B. P2C. 2P3D. P【答案】C【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线为l：x=−p2，当直线m的斜率不存在时，|AA′|=p，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k(x−p2)，与抛物线联立，得{y=k(x−p2)y2=2px，消去y整理得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，∴x1x2=p24，又|AA′|=2p，∴x A=32p，∴x B=p24×23p=p6，∴|BF|=x B−(−p2)=p6+p2=2p3．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m 的方程为y=k(x−p2)，与抛物线联立消去y得x1x2的值；利用|AA′|求出x A的值，再求x B的值，从而求得|BF|的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11.已知椭圆C的两个焦点分别是F1(−1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为A1，A2，若△F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且TA2斜率的取值范围是[18,14]，那么TA1斜率的取值范围是()A. [1,2]B. [−12,−14]C. [−4,−2]D. [−2,−1]【答案】C【解析】解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．由△F1MN为等腰直角三角形，且F1(−1,0)，得{a2−b2=1b=1，解得a=√2，b=1．则椭圆C的方程为x22+y2=1．则A1(−√2,0)，A2(√2,0)．设T(x0,y0)(x0≠±√2)，则x022+y02=1，得y02x02−2=−12，∵k TA2=0x−√2，k TA1=0x+√2，∴k TA2⋅k TA1=y02x02−2=−12，又18≤k TA2≤14，∴18≤−12k TA1≤14，解得：−4≤k TA1≤−2．∴TA1斜率的取值范围是[−4,−2]．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出A1，A2的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12.如图：已知双曲线x2a2−y2b2(a>0,b>0)中，A1，A2为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点P i(i=1,2)，使得△P i A1A2(i=1,2)构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是()A. (√2,1+√52)B. (1,√2)C. (√2,+∞)D. (1+√52,+∞)【答案】A【解析】解：由题意，F(c,0)，B(0,b)，则直线BF的方程为bx+cy−bc=0，∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点P i(i=1,2)，使得△P i A1A2(i=1,2)构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴√b2+c2<a，∴e4−3e2+1<0，∵e>1，∴e<1+√52∵在线段BF上(不含端点)有且仅有两个不同的点P i(i=1,2)，使得∠A1P i A2=π2，可得a<b，∴a2<c2−a2，∴e>√2，∴√2<e<1+√52．故选：A．求出直线BF的方程为bx+cy−bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a<b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“∃x0∈R,x02+2x o+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：命题“∃x 0∈R,x 02+2x o +m ≤0”是假命题， 则命题的否定是：∀x 0∈R ，x 02+2x 0+m >0”是真命题， 则△=22−4m <0，解得：m >1故答案为：(1,∞)．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m 的范围即可． 本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14.已知a ⃗ =(2,−1,3),b ⃗ =(−1,4,2),c ⃗ =(−3,5,λ)，若a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 三向量共面，则实数λ=______． 【答案】−1【解析】解：∵a ⃗ =(2,−1,3),b ⃗ =(−1,4,2),c ⃗ =(−3,5,λ)，∴a ⃗ ,b ⃗ 不平行，∵a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 三向量共面，∴存在实数x ，y ，使c ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，∴{2x −y =−3−x +4y =53x +2y =λ，解得x =−1，y =1，∴λ=−3+2=−1． 故答案为：−1．推导出a ⃗ ,b ⃗ 不平行，由a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 三向量共面，得存在实数x ，y ，使c ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，列方程组能求出λ．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.如图，60∘的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB =4，AC =6，BD =8，则CD 的长为______． 【答案】2√17【解析】解：由条件，知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =62+42+82+2×6×8cos120∘=68 所以CD =2√17． 故答案为：2√17．由已知可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16.椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C ，其长轴的长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为______． 【答案】23或45或27【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：4a =5c ，则e =45；图2中：2(a −c)=5c ，则e =27；图3中，2(a +c)=5c ，则e =23．∴椭圆C 的离心率为23或45或27， 故答案为：23或45或27．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知命题p ：方程x 24−k+y 2k−1=1表示双曲线；命题q ：(x −k)(x −k +1)<0，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．【答案】解：p真：(4−k)(k−1)<0得k>4或k<1，q真：k−1<x<k，∵￢p是￢q的充分不必要条件，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件∴q⇒p，p≠>q，则有k−1≥4或k≤1，∴k≥5或k≤1，即实数k的取值范围是k≥5或k≤1．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18.在直角坐标系xOy中，直线C1：x=−2，圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【答案】解：(Ⅰ)由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=−2的极坐标方程为ρcosθ=−2，故C 2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：(ρcosθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，化简可得ρ2−(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0．(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，可得ρ2−(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0，求得ρ1=2√2，ρ2=√2，∴|MN|=|ρ1−ρ2|=√2，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为12⋅C2M⋅C2N=12⋅1⋅1=12．【解析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2−3√2ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积12⋅C2M⋅C2N的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19.如图：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M，N分别是△ABD，△A1B1D的重心，(1)求证：MN⊥BC；(2)若点C在△ABD上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：(1)有题意知，CC1，C1A1，C1B1两两互相垂直，以C1为原点建立空间直角坐系如图所示，则A1(2,0，0)，B1(0,2，0)，A(2,0，4)，B(0,2，4)设D(0,0，a)(0<a<4)C(0，0，4)∵M，N分别为△ABD和△A1B1D的重心∴M(23,23,8+a3),N(23,23,a3)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−83)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC⊥MN．解：(2)∵C在△ABD上的射影为M，∴CM⊥面ABD，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,a−43)，又AB⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2,2,0),DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,4−a)，{CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得43−(a−4)23=0，解得得a=2，或a=6(舍)∴a=2，∴D(0,0,2),N(23,23,23)，DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,−43)，设面ABD的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+2y=0m⃗⃗⃗ ⋅DA⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+2z=0，取x=1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，。

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。