暑期五年级奥数 竞赛班第5讲共角模型

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。

DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。

如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。

1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。

等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。

E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。

求阴影部分的面积。

2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。

杨秀情一一六年级秋季一一配套练习【练练1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【练练2】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是_______ ;【练练3】（2008年”希望杯”二试六年级）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O, S i、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积•试比较0 - S3与S2 - S4的大小.【练练4】如图，三角形ABC中，DC =2BD , CE =3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？【练练5】（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC =45，AC =21 , ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK = _________ .【练练6】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是__________________ 平方厘米.A IVWVI【练练7】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是_________ 平方厘米.【练练8】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是_________ •A BEC【练练9】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？【练练10】如图，正方形ABCD的边长为6, AE=1.5, CF =2.长方形EFGH的面积为______________F C【练练11】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【练练12】2008年春蕾杯五年级决赛如图，长方形ABCD的边上有两点E、F ,线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块,其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是 ____________ 平方米。

100－52=48（分）做错：48÷（5＋3）=6（道）做对：20－6=14（道）答：阿派做对了14道题。

练习4：（7分）一次数学竞赛共有20道题,做对一道得8分,做错一道倒扣4分,米德考了112分,他做对了几道题？分析：假设20道题都做对了,则可以得到20×8 =160分,比实际的112分多了48分,多的原因是我们把错的也当成了对的。

因为做对一题得8分,做错一题倒扣4分,所以做对一题比做错一题多得8＋4 =12分。

可以算出做错了48÷12=4道,做对了20－4=16道。

板书：20×8－112=48（分）48÷（8＋4）=4（道）20－4=16（道）答：他做对了16道题。

（三）例题5（选讲）：某场足球比赛售出30元,40元,50元的门票共200张,收入7800元,其中40元和50元的张数相等,每种票各售出多少张？师：读了题目之后,你知道了什么？生1：共卖出门票200张。

生2：共收入7800元。

生3：卖出3种票,其中40元和50元的数量相等。

师：如果我们假设卖出的这两百张票都是30元的,总共收入多少元？生：30乘以200等于6000元。

师：而实际上收入多少元？生：7800元。

师：假设的和实际的相比怎么样？生：少了1800元。

师：为什么会少？生：因为把40元的和50元的都当成了30元的。

师：因为40元的和50元的张数相等,我们可以将它们都看成45元的。

也就是说把45元当成了30元,每张少算了多少元？生：45减30等于15元。

师：每张少算了15元,总共少算了1800元,那么45元的有多少张呢？生：1800除以15等于120张。

师：45元的是120张,说明什么？生：40元的和50元的各有60张。

【温故】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【知新】共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图, :():()ABC ADES S AB AC AD AE=⨯⨯【例1】(★★)如图，△ABC中，AD：AB＝2：3，AE：AC＝4：5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【例2】(★★★)如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD∶AB＝2∶5，AE∶AC＝4∶7，S△ADE＝16平方厘米，求△ABC的面积。

共角模型【例3】(★★★)如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB∶AD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积【例4】(★★★★)如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

【例5】(★★★★)已知，AC∶AE＝5∶1，BC∶CD＝4∶1，BA∶BF＝6∶1 ，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【例6】(★★★★★) (走进美妙数学花园六年级初赛)如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB到F，使FB＝3BC。

如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是____。

一、本讲重点知识回顾共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图, :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯二、本讲经典例题例2，例3，例5，例6。

等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。

【温故】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【知新】共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图, :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯【例1】(★★)如图， △ABC 中，AD ：AB ＝2：3，AE ：AC ＝4：5，求： △AED 的面积是△ABC 面积的几分之几？【例2】(★★★)如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD ∶AB ＝2∶5，AE ∶AC ＝4∶7， S △ADE ＝16平方厘米，求△ABC 的面积。

共角模型【例3】(★★★)如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB∶AD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积【例4】(★★★★)如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

【例5】(★★★★)已知，AC∶AE＝5∶1，BC∶CD＝4∶1，BA∶BF＝6∶1 ，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【例6】(★★★★★) (走进美妙数学花园六年级初赛)如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB到F，使FB＝3BC。

如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是____。

一、本讲重点知识回顾共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图, :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯二、本讲经典例题例2，例3，例5，例6。

一、共边模型
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第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案第1题：
答案解析
第2题：正确答案:D 答案解析
第3题：正确答案:D 答案解析
第4题：正确答案:C 答案解析
正确答案:C
答案解析
第6题：
正确答案:D
答案解析
二、共角模型第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
正确答案:C 答案解析
第2题：
正确答案:C 答案解析
第3题：
正确答案:B 答案解析
第4题：
正确答案:D 答案解析
第5题：正确答案:D 答案解析
第6题：正确答案:C 答案解析。

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，S A CDE 18 3 2 12，S A CDF故S A DEF S A CEF S A DEC S A DFC 4 12 6 10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF ABC面积为1，延长AB至D，使BD3AC，求三角形DEF的面积.AB ;延长BC至E，使CE 2BC ;延长的2倍，所以平行四边形的面积是三角形8 6 48(平方厘米).AFE面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为【例4】已知△DEF的面积为7平方厘米, BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ABC 的面积.【例6】【解析】由题意知AE ^AC、C F3BC，可得S A CEF : S A ABC (CF CE) :(CB AC)2CE - AC •根据”共角定理”可得，32 :(3 3) 2:9 ;而S A ABC 6 6 218 ；所以S A CEF 4 ;同理得,【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE、CD .S V ABC 1s 1■，F ABC 1，S VDBC 1 …S VDBC 1. 同理可得其它，最后三角形DEF的面积（法2）用共角定理■•在VABC和VCFE中,• S VABCS VFCE 又ABC 同理可得所以S/DEF18.ACB与FCE互补,AC BC 1 1 1FC CE 4 2 8 '1，所以S VFCE8 .S VADF 6，S VBDE 3•S VABC S VFCE S VADF S VBDE 1【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF2CB, GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD的【解析】【例9】面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.E连接AC、BD •根据共角定理E■•在△ABC 和△BFE中,ABC与FBE互补,S A ABC AB BCS A FBE BE BF又S A ABC同理可得1，所以S A FBES A GCF所以S EFGH所以^ABCDS EFGH8，S A DHG15，S A AEHS A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S A BCD15+3+2 36.36 18如图，四边形EFGH的面积是的面积.66平方米，EA AB, CB BF , DC CG, HD DA,求四边形ABCD【解析】连接BD .由共角定理得S A BCD : S A CGF (CD CB)：(CG:S A AHE 1:2，即S A AHE 2S A ABDCF) 1:2，即S A CGF2S A CDB【例10】【解析】【例11】【例12】同理S A ABD所以S A AHE连接AC ,S A CGF2(S A CBD S A ADB ) 2S四边形ABCD冋理可以得到S A DHG S A BEF 2S四边形ABCDS四边形EFGH所以S四边形ABCD 66S L\ AHECGF S A HDG5 13.2平方米ABCD的四条边四边形ABCD的面积为5，则四边形如图，将四边形连接AC、BD .由于BE 2 AB , BF 2BC，于是于是S BEF再由于AES HDG3AB,那么S AEHS EFGH如图,S CFGS BEFS A BEF S四边形ABCDAB、CB、CD、EFGH的面积是5S四边形ABCDAD分别延长两倍至点E、S BEF 4S ABC，冋理S HDG 4 S ADC -4S ABCD .AH 3AD，于是S AEH 9S ABD，同理S CFG 9S4S ABC 4S ADC9S ABD 9S CBD 9S ABCD .S HDG S AEH S CFG S ABCD 4S ABCD 9S ABCD S ABCD在△ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E ,中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?4【解析】FCE互补,AC BC 2 22 ABC S AFCE FC CE 1 112S ABCD使CE -260BC ,G、H，若F是AC的又Q ABC同理可得2，所以S/FCE0.5 .S A ADF 2，S A BDE所以S A DEF S A ABC S A CEF S A DEB S A ADF 2 0.5 3 2 3.55BD , AC 4EC , DG GS SE, AF FG.求S VFGS .如图, S A ABC 1，BC【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也 可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•因为S A BCF S A CDE- 82 16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 4比等于夹这个角的两边长度的乘积比” S V AEF 8 , S V EFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等 或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到S V BFC16 , S ABF E 32 ,S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1,三角形DEF 的面积为聖.6 6由于FA 4a , FB 3a ，所以AFB与三角形DEF 的面积之比为--12.7 7 49同理可知 BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 12 所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的1123翌,49 13所以ABC 的面积的面积为竺13134949649 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 _____________【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正最后求得S ^FGS 的面积为S A FGS4 3 2 1 1 15 4 3 2 2 10【例13】 如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？E 是AD 的中点,F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 7,那么它的面积为单位小正三角形面积的 AGF 与CEH 都是正三角形. 的边长都是4a ，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由DEF 的边长为6个单位小正三角【解E六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 38、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

五年下册奥数试题-图形-五大模型（一）姓名 得分【名师解析】一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。

则有：ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ⨯=⨯=⨯△△三、蝴蝶定理模型（风筝模型）（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型（沙漏模型）五、燕尾定理模型【例题精讲】例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。

三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？EAD C B练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。

FE DCB A例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ，，如果29ADE S cm ，求ABC S ？E D C BA练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．DEAB C例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3131==，．三角形DEF 的面积为多少平方厘米？BD练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGFE D CB A例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个长方形的面积是多少亩？练习、下图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影都分）长方形的面积。

模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC ACA B B C A C ==''''''． 证明：因为AB A B ''∥，故AB OB OAA B OB OA ==''''． 同理可证BC OB B C OB ='''，AC OAA C OA ='''． 故AB BC ACA B B C A C ==''''''． 特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．二、线段等式：111x y z+=． 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z+=. 证明：由题意可得z CEx CA=，z AE y AC =， 则1z zx y +=， 即111x y z+=．三、线段等式：111EF AB CD λλλ=+++. 第５讲北京市初二数学竞赛专项训练FE DCBA在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AFEC FDλ==,则有如下等式成立111EF AB CD λλλ=+++． 证明：由面积关系有：ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+得到11111sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅(θ为底边和腰BC 的夹角)所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-可化简为CF BF EF AB CD BC BC =+，即111EF AB CD λλλ=+++． 这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．【例 1】 如图所示，已知D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，BD 、CE 交于O ，AO 的延长线交BC 于M .若DE BC ∥，求证AM 是ABC ∆的中线．ON EDM CB A【例 2】 如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.板块一：线束定理Q NMP D CBA【例 3】如图所示，在ABC∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB∆和CDA∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD=.PQONMFEDCBA【例 4】如图所示，H是ABC∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH∠=∠．FEHD CBA【例 5】如图所示，AD是ABC∆的外接圆O⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON=.NMPCBDOA【例 6】 如图所示，在等腰Rt ABC ∆中，AD 是直角边BC 的中线，BE AD ⊥，且交AC 于E ，EF BC ⊥.若AB BC a ==，则EF 等于( ).(A ) 13a (B ) 12a (C ) 23a (D ) 25aFD EBCA【例 7】 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求证abcAL ab bc ca=++．lLNF DE GBA C【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有BK DMKA MC=.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 板块二：线段等式相关MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.QPK M DC BA【变式】 如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等于四边形EFHG 的面积的三倍．H DEG FCBA【例 9】 （2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：23S m =．A 1AF 1FE 1E D 1DC 1C B 1B习题 1. 如图所示，以线段AB 为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD ，使2AB AD =，P 为半圆上的任意一点，PC 、PD 分别交AB 于F 、E 两点，求证222AF BE AB +=.FE PD CBA习题 2. (苏州市数学竞赛试题) 如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 、AB 上的点，AD 、CE 交于F ，BF 、DE 交于G .过G 作BC 的平行线分别交AB 、CE 、AC 于M 、H 、N ，求证GH NH =.NMHGF E D CB A习题 3. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .BA CD ENM习题 4. (全国初中数学联合竞赛试题) 如图所示，AB EF ∥，EF CD ∥，已知20AB =，80CD =，100BC =，那么EF 的值为( ).(A ) 10 (B ) 2 (C ) 16 (D ) 18FEBA C D两个简单的“悖论”你知道11111111-+-+-+-+等于多少？解：设23111x x x x=-+-++，则当1x =时，有111112=-+-+即1111111112-+-+-+-+=， 另解1：11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+=-+-+-+=++++=，即111111110-+-+-+-+= 另解2：1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++=+++=即111111111-+-+-+-+=大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。

1等积变形中的共边
本讲主线
1.等积变形中的共边。

2.一半模型中的共边。

1.等底等高的两个三角形面积相等
夹在行线间的2.夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图，△E P
D
C
3. 三角形等分面积：等分底边，即可等分面积.
【例3】(★★★)(2008年”希望杯”二试六年级)(2008年希望杯二试六年级)如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形中点S 1、S 2、S 及S 4分别表示四个小四边形的中点，面积. 试比较S 1＋与S 2＋S 4的大小。

板块二:一半模型
4. 一半模型
长方形中，
平行四边形中，
【例5】(★★)
如下图长方形
如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长
方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，
则它内部阴影部分的面积是
则它内部阴影部分的面积是______。

知识大总结
1三角形面积底×高÷2A
1.三角形面积＝底×高÷2
平行线性质：夹在平行线间的一
组同底三角形面积相等
组同底三角形面积相等.
面积等分三角形：
C
4．一半模型：
例1，例4，超常大挑战
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