2015年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）已知i 为虚数单位，集合{}1,2,i A z =，{}1,3B =，{}1,2,3,4A B ⋃=，则复数z =（ ）A ． 4i -B ．4iC ．2i -D ．2i 答案：A考点：并集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：根据集合的基本运算，结合复数的基本运算进行求解即可． 解答：解： 集合{}1,2,i A z =，{}1,3B =，{}1,2,3,4A B ⋃=，i=4z ∴，即4i z =-， 故选：A ．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．下列命题中的假命题是（ ）A ．x ∀∈R ，e 0x >B ．x ∀∈R ，20x ≥C ． 0x ∃∈R ，0sin 2x =D ．0x ∃∈R ，0202x x >答案：C考点：特称命题． 专题：简易逻辑．分析：根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的命题进行分析判断即可．解答：解：对于A ，根据指数函数e x y =的图象与性质，得x ∀∈R ，e 0x >正确，A 是真命题；对于B ，根据二次函数2y x =的图象与性质，得x ∀∈R ，20x ≥正确，B 是真命题； 对于C ，根据正弦函数sin y x =的有界性，得sin 1x ≤，C 是假命题； 对于D ，根据指数函数2xy =与二次函数2y x =的图象与性质，知5x =时，5225>，D 是真命题． 故选：C ．点评：本题考查了特称命题与全称命题的真假性判断问题，解题时应用排除法等解法，是基础题目．3．已知(),2a x = ，()2,1b =- ，且a b ⊥ ，则a b -=（ ）A B ． D ．10答案：B考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直得到x 的值，然后求出两个向量差的坐标，再求值．解答：解：由已知，因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，所以220x -=，解得1x =，所以()1,3a b -=-， 所以a b -=故选B ．点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量垂直的性质，属于基础题．4．已知sin cos a a +=，ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．则tan a =（ ）A ．1-B ．C D ．1 答案：D考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值．分析：已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sin cos αα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sin cos 0αα-=，联立求出sin α与cos α的值，即可求出tan α的值．解答：解：把sin cos αα+①，两边平方得：()2sin cos 2αα+=，即12s i n c o s 2αα+=，2sin cos 1αα∴=，()2sin cos 12sin cos 0αααα∴-=-=，即sin cos 0αα-=②，①+②得：2sin α=，即sin cos αα==， 则tan 1α=， 故选：D ．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 5．执行如图所示的程序框图，若1112P =．则输出的n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S ，n 的值，当有11110.937524816S =+++=，5n =，不满足条件S p <，输出n 的值为5．解答：解：模拟执行程序框图，可得 110.91612P =≈．1n =，0S = 满足条件S p <，12S =，2n = 满足条件S p <，1124S =+，3n = 满足条件S p <，111248S =++，4n = 满足条件S p <，11110.937524816S =+++=，5n = 不满足条件S p <，退出循环，输出n 的值为5．故选：B ．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图和算法，属于基础题． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.143 B ．4 C ．103 D ．3 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：常规题型；立体几何．分析：利用三视图作出原几何图形，继而求得体积． 解答：由三视图可得该几何图形为如图所示： 其中，2AB =，1AD GF ==，2BC =AE FGBCDGAE FBH CD作DH AB ∥，连接GH ，DG ，AF ，则V ABEF ﹣CDG =V E ﹣AFGD +V C ﹣DGH +V DGH ﹣ABF，1111112222143322ABEF CDG V -=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故选：B ．点评：本题主要考查根据三视图作出原几何图形的能力．属基础题型，高考常考题型．7．已知ABC △中，3cos 5A =，4cos 5B =，4BC =，则ABC △的面积为（ ）A ．6B ．12C ．5D ．10 答案：A考点：正弦定理的应用． 专题：解三角形．分析：由已知可求A ，B 为锐角，sin A ，sin B 的值，从而可求()sin sin 1C A B =+=，角C 为直角，即可求得AC 的值，由三角形面积公式即可求解． 解答：解：34cos cos 55A B =<= ， A ∴，B为锐角，则4sin 5A ==，3sin 5B ==，()4433sin sin sin cos cos sin 15555C A B A B A B ∴=+=+=⨯+⨯=，角C 为直角，4BC = ，454sin 5BC AB A ∴===，3sin 535AC AB B ==⨯=， ABC ∴△的面积1134622AC BC =⨯⨯=⨯⨯=． 故选：A ．点评：本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式及三角形面积公式的应用，属于基础题．8．已知点(),0A a -，(),0B a ，若圆()()22341x y -+-=上存在点P ．使得90APB ∠=︒，则正数a 的取值范围为（ ） A ．[]4,6B ．[]5,6C ．[]4,5D ．[]3,6答案：A考点：圆与圆的位置关系及其判定． 专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，得出圆C 的圆心C 与半径r ，设(),P m n 在圆C 上，表示出(),AP a m n =+ ，(),BP m a n =-，利用90APB ∠=︒，求出2a ，根据OP 表示的几何意义，得出a 的取值范围．解答：解： 圆()()22:341C x y -+-=，∴圆心()3,4C ，半径1r =；设点(),P m n 在圆C 上，则(),AP a m n =+ ，(),BP m a n =-；90APB ∠=︒ ，AP BP ∴⊥，()()20m a m a n ∴+-+=；即222a m n =+；OP ∴，OP ∴的最大值是516OC r +=+=，最小值是514OC r -=-=；a ∴的取值范围是[]4,6．故选：A ．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目． 9．已知函数()f x 的导函数在(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在[],a b 上的图象可能是（）A ．B． C． D．答案：D考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：对于A 、B 、C ，由图象得出在a 处与b 处切线的斜率不等，即可排除答案；对于D ，由图象得出是中心对称图形，对称中心是直线2a bx +=与原函数的交点，由此判断命题成立．解答：解：函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称， ∴导函数的图象无增减性，或在直线2a bx +=的两侧单调性相反； 对于A ，由图知，在a 处切线斜率最小，在b 处切线斜率最大，∴导函数图象不关于直线2a bx +=对称，A 不成立； 对于B ，由图知，在a 处切线斜率最大，在b 处切线斜率最小，∴导函数图象不关于直线2a bx +=对称，B 不成立； 对于C ，由图知，在a 处切线的斜率最小，在b 处切线的斜率最大，其导函数图象不关于直线 2a bx +=对称，C 不成立； 对于D ，由图知，原函数是中心对称函数，对称中心在直线2a bx +=与原函数图象的交点处， ∴导函数图象关于直线2a bx +=对称，D 成立． 故选 D ． 点评：本题考查了利用函数的导数判断函数增减性的应用问题，也考查了函数导数的几何意义的应用问题，是基础题目．10．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A ．[)1,2B ．(1,C ．(]0,1D ．()0,2答案：C考点：直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= 求出a 的范围．解答：解：如图建立坐标系， 设()0AD a a =>，()02AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()1,,2D P a x ∴= ，(),2,0CP a x =-， 1D P PC ⊥ ，10D P CP ∴⋅=，即()220a x x +-=，a =当02x <<时，(]0,1a ∈． 故选：C ．点评：本题考查棱柱的结构特征，是基础题．11．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线的右支上，且()110F P OF OP ⋅+= （O 为坐标原点），若12F P P|，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用()110F P OF OP ⋅+= ，可得12PF PF ⊥ ，设2F P x =，则1F P =，利用勾股定理，求出x =2x a -=，代入即可得出结论．解答：解：()110F P OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），1OF OP ∴=，12PF PF ∴⊥ ，设2F P x =，则1F P ，22224x x c ∴+=，x ∴=，2x a -=，)12a = ，e ca ∴=． 故选：A ．点评：本题考查双曲线的定义与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 12．已知函数()f x 定义域为()0,+∞，且满足()()ln 'x f x xf x x +=，()1e ef =则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有极大值无极小值B ．()f x 有极小值无极大值C ．()f x 既有极大值又有极小值D ．()f x 没有极值答案：D考点：利用导数研究函数的极值． 专题：计算题；导数的综合应用． 分析：由题意可得()()21ln 2xf x x c =+；再由()1e e f =可得12c =，从而可得()()()211ln 12f x x x=⋅+；从而再求导判断即可．解答：解：()()ln 'x f x xf x x+=，()ln 'xxf x x ∴⎡⎤⎣⎦， ()()21ln 2xf x x c ∴=+； 又()1e ef = ，()211e lne e 2c ∴⋅=+；故12c =； 故()()()211ln 12f x x x=+； ()()()222ln 2ln 12'4x x x x f x x ⋅-+⋅= ()222l n 104x x--=≤； 故函数()f x 在()0,+∞上为减函数， 故()f x 没有极值；故选D ．点评：本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题． 二、填空题：13．在直角坐标平面内，由曲线1xy =，y x =，3x =所围成的封闭图形面积为 ． 答案：4ln 3-考点：定积分在求面积中的应用． 专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解答：解：由曲线1xy =，直线y x =，解得1x =±．由1xy =，3x =可得交点坐标为13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴由曲线1xy =，直线y x =，3x =所围成封闭的平面图形的面积是 323111191ln ln 34ln 3222S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故答案为： 4ln 3-．点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足条件04340x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则1x y z x ++=最小值为 ．答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质，结合直线斜率的公式，即可得到结论． 解答：111x y y z x x+++==+， 设1y k x+=， 则k 的几何意义是区域内的点到定点()0,1-的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知BD 的斜率最小， 由图象知()1,0B ，则BD 的斜率0111k +==， 则z 的最小值为112z =+=， 故答案为：2点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的求解，利用分式的性质，结合数形结合是解决本题的关键．15．已知数列{}n a 满足11a =，()()1121n n n n a aa a n n n ++-=∈+N *，则n a = ．答案：32nn - 考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：把已知的数列递推式变形，得到即1111121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，然后利用累加法求得数列通项公式．解答：解：由()()1121n n n n a a a a n n n ++-=∈+N *，得 ()11211211n n n n a a a a n n n n ++-⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，即1111121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭， ()112211111111112n n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ≥ 1111112112112n n n n ⎛⎫=-+-+-+ ⎪---⎝⎭()1322112n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭≥．()232n n a n n ∴=-≥．当1n =时，上式成立．32n na n ∴=-． 故答案为：32n na n =-． 点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．16．已知01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用．分析：易知当0x =时，31012x ax -=<；当01x <≤时，321122x ax x x a -=-，从而化为2112x a x-≤；再以a 讨论从而确定函数的单调性及取值，从而解得． 解答：解：当0x =时，31012x ax -=<， 当01x <≤时，321122x ax x x a -=-， 故|3112x ax -≤可化为2112x a x-≤； ①当0a ≤时，2112x a x -≤可化为2112x a x-≤， 即2112a x x-≥， 易知2112y x x=-在(]0,1上是增函数，故只需使11122a -=-≥； ②当01a <≤时， 21112x a x -≤≤，故成立； ③当1a >时，2112x a x -≤可化为2112x a x -+≤，即2112a x x+≤， 22111'02x x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，故2112x x +在(]0,1上是减函数，故13122a +=≤；综上所述，1322a -≤≤； 故答案为： 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题． 三、解答题： 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =．数列{}n b 中 11b =，220b = （Ⅰ）若数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比0q >的等比数列，求 n a ，n b（Ⅱ）在（I ）的条件下，求数列 {}n b 的前n 项和n T ． 考点：数列的求和；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列．分析：（I ）通过等差数列的等差中项的性质可得23a =，结合11a =得21n a n =-，进而可得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比2q =，计算即可；（II ）结合（I ），利用错位相减法即得结论． 解答：解：（I ）由题意得3239S a ==，23a ∴=， 又11a = ，2d ∴=，21n a n ∴=-， 111b a ∴=，222045b a == ∴数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比2q =， 12n nnb a -∴=，()112212n n n n b a n --∴==-⋅； （II ）由（I ）得()1212n n b n -=-⋅，()0121123252212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ ，()1232123252212nn T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减，得()1211222222212n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ， ()()()14122121232312n nn n T n n -⨯-∴=-⨯--=-⨯+-.点评：本题考查等差、等比数列的性质，利用错位相减法求前n 项和是解决本题的关键，属于中档题．18．已知正三棱锥S ABC -的侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，D ，E ，F 分别是它们的中点，2SA SB SC ===，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定0X =）． （Ⅰ）求事件“0X =”的概率；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）求出从A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S 在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“0X =”的概率；（Ⅱ）由题意可得X 的所有可能取值为0，16,13,23,43．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）从A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任取三个点共有36C 20=种不同的取法，其中所选取的3个点与点S 在同一平面内的取法有1334C C 12=不同取法，∴所求事件“0X =”的概率()1230205P X ===； （Ⅱ）由题意可得X 的所有可能取值为0，16,13,23,43． 由（Ⅰ）得：()305P X ==， 3336C 116C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，213136C C 133C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，123236C C 233C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3336C 413C 20P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴随机变量X 的分布列为：()31113234190562032032032040E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=︒，22AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）若BD 与平面PBC 的所成角为30︒，求二面角P BC D --的余弦值．BCDPA考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD PB ⊥．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角P BC D --的余弦值 解答：证明：（Ⅰ）因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得22222cos 3BD AB AD AB AD DAB AD =+-⋅∠=， 从而222BD AD AB +=，90ADB ∴∠=︒，故BD AD ⊥， 又PD ⊥底面ABCD ，可得PD AD ⊥， AD ∴⊥平面PBD ．故AD PB ⊥．（Ⅱ）PD ⊥ 底面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD BD ⊥，AD BD ∴⊥，∴以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设AD a =，DP b =， 则(),0,0A a，()0,,0B，(),,0C a -，()0,0,P b ．()0,,0DB ∴=，(),0,0BC a =-，()0,,PB b =- ，设()π,,x y z =是平面PBC 的一个法向量，则00m BD ax m PB bz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则0x =，a z b =，则π0,a b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， BD 与平面PBC 的所成角为30︒，π∴ 与DB 的夹角为60︒，1cos π,cos602m DB DB m DB⋅∴===︒=整理得b a =，π0,,1⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,n x y z =是平面PAB 的一个法向量，则00n AB ax n PB az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ ，令y =，则1x =，1z =，即1,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭cos π,m n n m n ⋅∴==即二面角P BC D --的余弦值是．点评：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20．已知动点A 在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，动点B 在直线2x =-上，且满足OA OB⊥ （O 为坐标原点），椭圆C上点,3M ⎫⎪⎪⎝⎭到两焦点距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 方程．（Ⅱ）判断直线AB 与圆223x y +=的位置关系，并证明你的结论． 考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，2229314a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，求出a ，b ，即可求椭圆C 方程． （Ⅱ）设出点A ，B 的坐标分别为()0,x y ，()2,t -，直线AB 的方程为()()()0000220y t x x y tx y --+++=，由OA OB ⊥得到02x t y =，然后由圆223x y +=的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆223x y +=相切．解答：解：（Ⅰ）由题意，2229314a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，a ∴=b =∴椭圆C 方程为221123y x +=．（Ⅱ）直线AB 与圆223x y +=相切，证明如下：设点A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()2,t -，直线AB 的方程为()()()0000220y t x x y tx y --+++=．OA OB ⊥ ，0OA OB ∴⋅= ，即0020x ty -+=，解得002xt y =．圆心O 到直线AB 的距离d ===∴直线AB 与圆223x y +=相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R 有两个不相等的零点1x ，()212x x x < （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：21xx 是a 的减函数；（Ⅲ）证明： 12x x ⋅是a 的减函数．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（1）利用导数研究函数的单调性、极值情况，利用数形结合可知，只需极大值为正即可；（2）将21xx 表示成关于a 的函数，然后利用导数研究其单调性即可；（3）将12x x ⋅表示成关于a 的函数，然后利用导数判断函数的单调性． 解答：解：（1）由题意得1x ，2x 是方程ln x ax =两个不相等正实数根．令()ln g x x =，()()0h x ax x =>，设()0y kx k =>是()ln g x x =的切线，切点为()00,x y ，则01k x =．所以00001ln y kx y x ==⎧⎨=⎩，所以0e x =，011e k x ==．所以10e a <<，综上可得a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）由（1）得max 1e a <，所以10ea <<． 不妨设1110e a a <<<，设1m ，()212m m m <是()1ln f x x a x =-的两个零点，则1m ，2m 是方程ln xa x=的两个不相等正实数根，由（1）知()10,e m ∈，()2e ,m ∈+∞． 同理设1n ，()212n n n <是()2ln f x x a x =-的两个零点， 则1n ，2n 是方程ln xa x=的两个不相等实数根，则()10,e n ∈，()2e ,n ∈+∞， 因为()g x 在()0,e 上单调递增，12a a <，所以110e m n <<<； 由()g x 在()e ,+∞单调递减，12a a <，所以22e n m <<． 所以2211m n m n >，所以21x x 是a 的减函数． （3）证明：因为1x ，2x 是()f x 的两个不相等的零点，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，令()211x t t x =>，则1111ln ln ln x ax x t atx =⎧⎨+=⎩，所以1ln ln 1t x t =-，2ln ln 1t tx t =-． 所以()()12121ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-．设()()()1ln 11t th t t t +=>-，则()()212ln '1t t t h t t -+-=-．再设()()12ln 1k t t t t t=-+->，则()()221'0t k t t-=>．所以()k t 在()1,+∞上递增，所以()()10k t k >=．所以()'0h t >，所以()h t 在()1,+∞上是增函数，所以12x x ⋅是t 的增函数． 结合（2）可知，12x x ⋅是a 的减函数．点评：本题有一定难度，第二、三问的关键在于如何找到21x x ，12x x ⋅分别与a 的函数关系式，然后借助于函数的单调性解决问题． 四、选讲4-1：几何证明选讲22．如图，ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）求证：22DE AB AC DM +=．MOEA考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接BE 、OE ，由直径所对的圆周角为直角，得到BE EC ⊥，从而得出12DE BD BC ==，由此证出ODEQD ODB △△，得90OED OBD ∠=∠=︒，利用圆内接四边形形的判定定理得到O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）延长DO 交圆O 于点H ，由（1）的结论证出DE 为圆O 的切线，从而得出2DE DM DH =⋅，再将DH 分解为DO OH +，并利用12OH AB =和12DO AC =，化简即可得到等式22DE DM AC DM AB =⋅+⋅成立，即可证明结论． 解答：解：（1）连接BE 、OE ，则AB 为圆O 的直径，90AEB ∴∠=︒，得BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，ED ∴是Rt BEC △的中线，可得DE BD =．又OE OB = ，OD OD =，ODEQD ODB ∴△△． 可得90OED OBD ∠=∠=︒， 因此，O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）延长DO 交圆O 于点H ，DE OE ⊥，OE 是半径，DE ∴为圆O 的切线．可得()2DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅．12OH AB =，OD 为ABC △的中位线，得12DO AC =， 21122DE DM AC DM AB ∴=⋅+⋅，化简得22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，22DE AB AC DM∴+=．MODEAH点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．选讲4-4：坐标系与参数方程23．已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ．N （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若PM MN =，求实数a 的值．考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标的互化公式求解； （Ⅱ）结合直线的参数方程中参数的几何意义求解即可． 解答：解：（Ⅰ）1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩ （t 为参数），∴直线l 的普通方程：10x y --=，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，()22sin 2cos 0a a ρθρθ∴=>，∴曲线C 的普通方程：22y ax =；（Ⅱ）22y ax = ；0x ∴≥，设直线l 上点M 、N 对应的参数分别为1t ，2t ，()120,0t t >>， 则1PM t =，2PN t =，PM MN = ，12PM PN ∴=， 212t t ∴=，将1cos 452sin 45x t y t =-+︒⎧⎨=-+︒⎩，代人22y ax =得)()22420t a t a -+++=，)12+2t t a ∴=+， ()1242t t a =+，212t t = ，14a ∴=． 点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()()10f x x a x a a=+++> （I ）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（Ⅱ）证明：()14f m f m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥． 考点：带绝对值的函数．专题：选作题；不等式的解法及应用；不等式．分析：（I ）当2a =时，去掉绝对值，再求不等式()3f x >的解集； （Ⅱ）()1111111224ππππf m f m a m a m m a a m ⎛⎫⎛⎫+-=++++-++-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥，可得结论．解答：（I ）解：当2a =时，()122f x x x =+++， 不等式()3f x >等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧--⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩≤≤或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩， 114x ∴<-或14x >， ∴不等式()3f x >的解集为11144x x HUOx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）证明：()11111πππf m f m a m a a a ⎛⎫+-=++++-++-+ ⎪⎝⎭11224πm m m ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭≥≥，当且仅当m =±1，1a =时等号成立， ()14f m f m ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭≥．点评：本题考查带绝对值的函数，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
