解三角形复习学案(优秀经典专题及答案详解) (2)

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

高三数学总复习专题6 解三角形方法点拨1．对于解三角形中的简单的求边长、求角的题型，要求对正余弦定理熟悉以及对边角的互换灵活使用．2．解三角形的大题不仅需要对边与角的互换可以灵活使用，还要求对三角函数的恒等变换公式熟悉，涉及求面积、周长等的范围或最值问题时，一般考虑余弦定理结合基本不等式或利用正弦定理转化成三角函数求值域的问题． 3．若涉及三角形的中线问题则考虑使用向量进行处理．4．对于涉及角平分线的解三角形题型，一般可以考虑角平分线定理或列两个小三角形的面积等于大三角形的面积的方程进行处理．经典题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =（ ）A ．2BC ．D ．2．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（ ）A B C D 3．（安徽省池州市2021届高三一模）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，∠ABC =120°，sin ∠BAC 且BD 为∠ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．84．（青海省海东市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3a =cos sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，ABC 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（ ）A ．若3A π=，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π二、填空题．7．（宁夏中卫市2021届高三一模）如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______．8．（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________．三、解答题．9．（四川省内江市高中2022届一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的面积为ABC 的周长．10．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且sin 3c B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）设5BC =，7AB =，若延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求CD 的长． 11．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点M 在边AC 上，3CM MA =，tan ABM ∠=tan BMC ∠= （1）求角A 的大小；（2）若BM =，求ABC 的面积．12．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，()sin sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =．（1）求角A 的大小； （2）求线段AD 的长．13．（福建省福州市2021届高三3月份一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-． （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC 的角平分线，求证：111CA CB CD+=． 14．（河南省鹤壁市2021届高三一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+．（1）求A ；（2）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．15．（贵州省盘州市2021届高三一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B A =．（1）求B ； （2）已知23ACB π∠=，2AB =，延长BC 至D ，使得2CD BC =，求AD ．16．（河南省郑州市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=．（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ∠=，求sin DAC ∠的值．17．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若40sin B c b -=．（1）求sin C 的值；（2）是否存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =若存在，求出A ，B 的值；若不存在，请说明理由．18．（广西柳州市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C --+=．（1）求角A 的大小；（2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是24+，求BDC ∠的大小．19．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-． （1）求B 的值；（2）在①4ABC S =△，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC 的周长．20．（湖南师范大学附属中学2021届高三一模）已知ABC 的内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，在以下三个条件中任选一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B Cb a B +=．并解答以下问题： （1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值．21．（沭阳如东中学2021届高三一模）已知ABC 中，D 是AC 边的中点，且①3BA =；②BC =BD =60A ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程．22．（江西省九江市2021届高三一模）ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知()cos 3sin cos b c A b A a C +=-． （1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．23．（福建省龙岩市2021届高三一模）在①sin 3cos c B b C =，②232cos sin 22cos 2C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，③sin ABC S CA CB C =⋅⋅△．三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，2c =． （1）求角C ；（2）求ABC 周长的取值范围．24．（贵州省贵阳市2021届高三一模）如图所示，在平面四边形ABCD （A ，C 在线段BD 异侧）中，6BAD π∠=，2BCD π∠=，3AB =4AD =．（1）求BD 的长；（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）①求四边形ABCD 的面积的取值范围； ②求四边形ABCD 的周长的取值范围；③求四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围．25．（江苏省南通市学科基地2021届高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案一、选择题． 1-5CCDBA 6．【答案】ABC【解析】对于A ，由余弦定理可得222122cos 24a b c bc A bc ==+-=-，得12bc =，故1sin 2S bc A ==，A 对；对于B ，由基本不等式可得22242b c bc =+≥，即12bc ≤，当且仅当b c ==由余弦定理可得22224126cos 22b c a A bc bc bc+--===，则11sin 22S bc A ====，B 对； 对于C ，AMB AMC π∠+∠=，则()cos cos cos AMB AMC AMC π∠=-∠=-∠，由余弦定理可得2224cos a AM c AMB AM a +-∠=⋅，2224cos a AM b AMC AM a+-∠=⋅， 所以，22222244a a AM c AM b AM a AM a+-+-=-⋅⋅，整理可得2222924b c a AM +=-=， 则3AM =，C 对；对于D ，由余弦定理可得2222212121cos 222b c a A bc bc b c +-==≥=+，当且仅当b c ==因为()0,A π∈且函数cos y x =在()0,π上单调递减，故03A π<≤，D 错，故选ABC ． 二、填空题． 7． 【解析】在ABC 内，由正弦定理可得2sin sin BC AC R A B ==，即20sin 60sin 45BC AC==︒︒，解得BC=AC=故sin sin()sin(6045)sin60cos45cos60sin45C A B=+=︒+︒=︒︒+︒︒=，所以11sin3)22ABCS AC BC C=⋅⋅⋅=⨯=，又210100Sππ=⋅=圆，故豆子落在三角形ABC内的概率为)253100ABCSSπ==圆，故答案为34π+．8．【答案】12【解析】()sin sin2cos cos tan tan2cos coscos cosB CB C B C B CB C⎛⎫+=+⎪⎝⎭()2sin cos2sin cos2sin2sinB C C B B C A=+=+=，cos tan cos tan sin sinB BC C B C+=+，所以sin sin2sinB C A+=，由正弦定理得2b c a+=，由余弦定理得()22222222313112cos2284442b cb c b cb c a bcAbc bc bc bc+⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭===-≥-=，当且仅当b c a==时取等号，此时3Aπ=，故答案为12．三、解答题．9．【答案】（1）3Aπ=；（2）10+【解析】（1）∵2cos cos cosa Ab Cc B=+，∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cosA ABC C B=+，∴2sin cos sinA A A=，∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π=．（2）由（1）知，3A π=，∵1sin 2ABCSbc A ==24bc =， ∵由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2228b c bc +-=， 故()2100b c +=，∴10b c +=，故10a b c ++=+ ∴ABC的周长为10+10．【答案】（1）60C =︒；（2）10CD =． 【解析】（1）由正弦定理及条件得，1sin (sin )2C B B A =，即1sin (sin ))cos sin 2C B B B C B C B C +=+=+，整理得tan C =又C 为三角形内角，所以60C =︒．（2）在ABC 中，由余弦定理得225549AC AC +-=，解得8AC =，cos 7ADC ∠=，则sin 7ADC ∠==， ACD △中，1sin sin()sin cos cos sin 72CAD C D C D C D ∠=+=+=+= 由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠147=， 所以10CD =． 11．【答案】（1）2π3A =；（2） 【解析】（1）∵tan BMC∠=，∴tan BMA∠=∵()() tan tanπtanA ABM BMA ABM BMA=-∠-∠=-∠+∠，∴tan tantan1tan tanABM BMAAABM BMA+∠+∠=-==-∠⋅∠∵0πA<<，∴2π3A=．（2）∵tan BMA∠=tan ABM∠=∴sin7BMA∠=，sin14ABM∠=．在ABM中，由正弦定理，得sin sinAB BMBMA A=∠，∴sinsinBM BMAABA⋅∠===∴ABM的面积11sin2214ABMS BM AB ABM=⋅⋅⋅∠==△．∵点M在边AC上，3CM MA=，∴ABC的面积4ABC ABMS S==△△12．【答案】（1）3Aπ=；（2）AD=．【解析】（1）在ABC中，()()sin sin sinC A B A Bπ=-+=+⎡⎤⎣⎦，因()sin sin sinA B C B-=-，则有sin cos cos sin sin cos cos sin sinA B A B A B A B B-=+-，即2cos sin sin 0A B B -=， 又sin 0B ≠，即有1cos 2A =， 而()0,A π∈，所以3A π=．（2）在ABC 中，由(1)知3A π=，因为AD 为角A 的角平分线，则有30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABCABD ACD SSS=+得：11135sin 605sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =所以线段AD 的长为8． 13．【答案】（1）23C π=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-，所以2sin cos sin 0B C B +=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 又(0,)C π∈，所以23C π=． （2）因为CD 是ABC 的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=． 在ABC 中，ABC ACD BCD S S S =+△△△， 则由面积公式得1211sinsin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅， 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅，得111CA CB CD+=．14．【答案】（1）3π；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=．（2）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-， 又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a = 15．【答案】（1）6π；（2）2．【解析】（1）由cos sin a B A =及正弦定理，得sin cos sin A B B A =， 由0A π<<，得sin 0A >，所以cos B B =，即tan B =， 由0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AB ACACB B=∠，则2sinsin 62sin sin 3AB B AC ACB ππ∠=== 又2366BAC ACB B πππππ∠=-∠-∠=--=，6B π∠=，所以ABC为等腰三角形，从而3BC AC ==，23CD BC ==． 在ACD △中，233ACD ACB ππ∠π∠π=-=-=，由余弦定理，得2AD ===． 16．【答案】（1）3BC =；（2）25． 【解析】在ABC中，因为b =c =45B ∠=︒， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯， 所以2230a a --=，解得3a =或1a =-（舍）， 所以3BC =．（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 45sin C =︒，所以sin 5C =， 在ADC 中，因为()5co 4c s os 180cos A D DB ADB A C -∠=-=∠=-∠， 所以ADC ∠为钝角．而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角，故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠===， ())sin sin 180sin(DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠34sin cos cos sin 55ADC C ADC C =∠∠+∠∠=-=17．【答案】（1）4；（2）存在，4A π=，3B π=． 【解析】（1）因为40sin B c b -=，由正弦定理，得40sin sin sin C B B -=， 又因为02B π<<，所以sin 0B ≠，故sin C =（2）假设存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =由sin C =02C π<<，可得tan 2C =， 因为A B C π+=-，所以()tan 2A B +=- 由()tan 2tan tan ta tan 1n A BB A BA ++==--tan ta 1n A B +=由tan tan tan tan 1A B A B ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩A B <，解得tan 1A =，tan B = 从而4A π=，3B π=，故存在4A π=，3B π=满足题意．18．【答案】（1）3A π=；（2）56π．【解析】（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，sin 0B ≠，∴1cos 2A =， 由()0,A π∈，则3A π=．（2）如图，在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D π=⨯⨯=△， 1=sin sin2BDCSBD DC D D ⨯⨯⨯=，∴2sin 2sin 3ABDC S D D D π⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭四边形， ∴sin()13D π-=， (0,)D π∈，即56D π=．19．【答案】（1）3π；（2）若选择①，ABC 的周长为9．若选择②，ABC 的周长为62+．若选择③，ABC 的周长为3．【解析】（1）因为)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-，利用正弦定理边化角可得)()n sin sin si sin 1cos cos B C A C C A C -=-， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，n sin si 1cos cos B C A A C -=-，即cos cos sin sin 1A C C A B -+=，所以cos()1A C B +=， 又A B C π++=，则A C B π+=-， 所以cos()cos()cos A C B B π+=-=-，cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，因为(0,)B π∈，则5(,)666B πππ-∈-，所以66B ππ-=或566B ππ-=（舍），解得3B π=． （2）若选择①，则1sin 2ABCSac B ==，所以9ac =， 又22222()21cos 222a c b a c ac b B ac ac +-+--===，且3b =，所以2()1891182a c +--=，解得6a c +=，所以ABC 的周长639=+=．若选择②：因为sin sin a b A B=，所以3sin sin b Aa B ===又22221cos 22a cb B ac +-===， 因为0c >，解得2c +=， 所以ABC的周长6322=+=． 若选择③：22222491cos 2222a cbc c B ac c c +-+-===⨯⨯， 因为0c >，解得c =2a c == 所以ABC的周长33=．20．【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈，max 4S =． 【解析】（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选②，由二倍角公式2cos12sin 24A A =-=，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选③，由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0180A ︒︒<<，sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，由180A B C ++=，可得sin cos 22B C A +=，故cos 2sin cos 222A A A=，因为0902A ︒<<︒，cos 02A ≠，故1sin ,22A =26A π=，因此60A =︒．（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，sin 3m π=0m >，故2m =或0m <≤({}2m ∴∈，①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以111222S ac ==⋅=；②当0m <≤3,3a A π==，由余弦定理可得2222cos 2a b c bc A bc bc bc =+-≥-=，3bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立，∴三角形面积为11sin 322S bc A =≤⨯=，即ABC 面积的最大值max S =，综上，ABC 面积的最大值max 4S =．21．【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5． 【解析】删①．（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得m =． 删②，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅， 即2796cos60AD AD =+-⋅︒，解得1AD =或2AD =， 则2AC =或4，有2解，不满足题意． 删③，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意． 删④．（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅，同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=，解得1x =，2AC ∴=． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得5m =． 22．【答案】（1）3π；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由正弦定理得(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=， 因为sin 0B >，所以cos 1A A +=， 所以1sin()62A π-=，因为(66A ππ-∈-，5)6π，所以66A ππ-=，所以3A π=． （2）1sin sin sin()122sin sin sin 2C Cb B A Cc C C C +====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<， 所以62C ππ<<，所以tan C >，所以112222tan C <+<，即b c 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 23．【答案】（1）条件性选择见解析，3C π=；（2）(4,6]．【解析】（1）选①，sin cos c B C =，由正弦定理得sin sin cos C B B C =，因为sin 0B >，所以sin C C =，即tan C = 由C 为三角形内角得，3C π=．选②，232cos sin(2)2cos 2C C C π--=， 22cos cos 22cos C C C +=，整理得1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=．选③，sin cos sin ABC S CA CB C ba C C =⋅⋅=△，由三角形面积公式得1cos sin sin 2ab C C ab C =，故1cos 2C =， 由C 为三角形内角得，3C π=．（2）因为2c =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，故24()3a b ab =+-， 所以22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⨯，当且仅当a b =时取等号，解得4a b +≤，因为2a b c +>=，故24a b <+≤， ABC 周长a b c ++的取值范围(4,6]．24．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】（1）在ABD 中，6BAD π∠=，AB =4AD =，2222cos 4BD AD AB AD AB BAD ∴=+-⋅⋅∠=，2BD ∴=．（2）由（1）知222AB BD AD +=，2ABD π∴∠=， 令CBD θ∠=，由2BCD π∠=，0,2πθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 则2cos BC θ=，2sin CD θ=．若选①：112sin 2cos 2sin 222ABCD ABD BCD S S S θθθ∆∆=+=⨯⋅+⨯=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴由0sin 21θ<≤，可知四边形ABCD 的面积的取值范围是(+． 若选②：2sin 2cos 444ABCD C AB BC CD DA πθθθ⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 124πθ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，64ABCD C ∴+<≤，∴四边形ABCD 的周长的取值范围是(64⎤⎦+． 若选③：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2124cos 22cos cos 2πθθθ⎛⎫=+-⨯⋅+ ⎪⎝⎭2cos 4cos 1222cos 214θθθθθ=⋅++=++2214θθ⎫=++⎪⎪⎭，令sinϕ=cos ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2214AC θϕ=++， 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ϕθϕπϕ∴<+<+，()sin 2113θϕ∴-<+≤，21214AC ∴<≤，1AC ∴<≤，∴四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围是(1⎤⎦． 25．【答案】条件选择见解析；（1）3C π=；（2）()2,4-．【解析】（1）选择条件①： 解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =． 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =．又()0,C π∈，所以3C π=．解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅， 即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===． 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件②： 因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件③： 因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()i 1sin s n s s 12i in 2n C A B C ab c a b c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．（2）因为2c =，所以2sin 3sin 3c C π==，从而2sin sin 33333a b A B A A π⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为203A π<<，所以662A πππ-<-<， 从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为()2,4-．。

高三复习专题学案系列——解三角形考点：1．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

⑵余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等三个；注：bca cb A 2cos 222-+=等三个。

2。

几个公式: ⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆； ⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin CcB b A a == 3．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：真题再现：1.(广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==且75A ∠=o ，则b =( )A.2 B ．4＋ C ．4— D2.（全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =( )A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-A其中h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解； ②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

3.（湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA 的值等于 ，AC 的取值范围为 .4.（全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b5.（浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．6.（浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos2A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．7.（北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.8.(山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.求函数f(x)的最大值和最小正周期.9.(山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值. （1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.10.（全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.11.（安徽卷理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值；(II)设∆ABC 的面积.12.（安徽卷文）（本小题满分12分） 在ABC 中，C-A=， sinB=。

专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

解三角形复习学案解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：________________ (其中R是三角形外接圆的半径)2•变形:® a :b:c = sinA:sinB: siiiC②角化边« = 2/?sinA b = 2RsinB c = 2/?siiiC②a = bsin A或a >b时，有一个解；Q)bsinA<a<b时，有两个解。

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二•三角形面积=—absinC = —be sin A = — acsinB2 2 22. S MBC=^(a + b + c)r，n中厂是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数三•余弦定理1 余弦定理：/ =_________________ =(Z? + c)2 -2Z?c(l+ cosA)b2 = _______________ = (a + c)2 -2ao(l + cos3)c2 = ________________ = (a + b)2 -2oZ?(l + cosC)注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2•变形：cosA =cosB =cosC =③边化角sin A唱sin% sinC =——2R练习：AABC中，①acosA = bcosB r则Z\ABC是 ______________ 三角形。

Usin A时，无解；①若>c，时,角C是—角②若a~ +b2 =c2时，角C是—角③若/ +b2 < c1时，角C是—角练习:锐角三角形的三边为1,2，■求x的取值范围;钝角三角形的三边为12■求x的取值范围;5•应用用余弦定理求角时只有一个解四•应用题1 •步骤：①)由已知条件作出图形，(2】在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题；④作答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

［高频考点］考点一一利用正、余弦定理解三角形_______________(2014-高考安徽卷)设山眈的内角A, B, C所对边的长分别是a, b, C,且b=3, c=l, A = 2B. ⑴求a的值；(2)求sin(A+》)的值.考点二―和用正、余弦定理判定三角形的形也偃❷在'ABC中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2dsinA = (2b+c)sinB+(2e+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sin C=l,试判断△ ABC 的形状.考点三与三角形面积有关的问题.（2014-高考浙江卷）在△ABC 中，内角久B, C 所对的边分别为g 4 c •已知u 松c=G cos 2A-cos 2B=*sin Acos A —羽sin Bcos B ・(1) 求角C 的大小；4 (2) 若sinA=g,求"BC 的面积.基础达标1. （2014-高考江西卷）在厶4肚中，内角A, B, C 所对的边分别是“，4 c.若c 2 = （a~b ）2+6, C=£,贝^ABC 的 面积是（）A. 3B.字C.芈D. 3^32. （2015-安庆模拟）在厶 ABC 中，A ：B=1：2, sin C= 1,则 a ： h ： c 等于（） A. 1 ： 2 ： 3 B. 3 ： 2 ： 1 C. 1 ：羽：2 D. 2 ：羽：13 . （2015-石家庄质检）在"眈中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c, sin A 、sin B. sin C 成等比数列，且4 . （2013-咼考陕西卷）设"BC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,若bcos C+ccos B=asin A,则"BC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定5. （2015-福建厦门检测）已知AABC 中，设三个内角A, B, C 所对的边长分别为"，b, c,且a=l, b=£, A = 30°,则。

解三角形复习学案一、知识梳理1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\（＼frac{a}｛＼sin A}＝＼frac{b}｛＼sin B}＝＼frac{c}｛＼sin C}＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆半径）。

正弦定理的变形：＼（a ＝ 2R\sin A\），＼（b ＝ 2R\sin B\），＼（c ＝ 2R\sin C\）；＼（＼sin A ＝＼frac{a}｛2R}＼），＼（＼sin B ＝＼frac{b}｛2R}＼），＼（＼sin C ＝＼frac{c}｛2R}＼）；＼（a ： b ： c ＝＼sin A ：＼sin B ：＼sin C\）。

2、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）余弦定理的变形：＼（＼cos A ＝＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2bc}＼）＼（＼cos B ＝＼frac{a^2 ＋ c^2 b^2}｛2ac}＼）＼（＼cos C ＝＼frac{a^2 ＋ b^2 c^2}｛2ab}＼）3、三角形面积公式＼（S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B\）4、三角形中的常见结论（1）＼（A ＋ B ＋ C ＝＼pi\），＼（A ＋ B ＝＼pi C\）。

（2）大边对大角，大角对大边。

（3）在\（＼triangle ABC\）中，＼（＼sin(A ＋ B) ＝＼sin C\），＼（＼cos(A ＋ B) ＝＼cos C\），＼（＼tan(A ＋ B) ＝＼tan C\）。

二、题型归纳1、已知两角和一边，求其他边和角例：在\（＼triangle ABC\）中，已知\（A ＝ 30°＼），＼（B ＝ 45°＼），＼（c ＝＼sqrt{2}＼），求\（a\），＼（b\）和\（C\）。

解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是 ．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。

二轮复习专题：解三角形§2解三角形的综合应用【学习目标】1.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题2.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3.解三角形和向量等知识的综合4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：正弦定理和余弦定理的应用。

【高考方向】正弦定理、余弦定理在实际中的应用及与三角函数、向量等知识的结合。

【课前预习】：一、知识网络构建1.俯角、仰角的概念2.方向角和方位角的概念二、高考真题再现[2014·四川卷] 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C的俯角分别为67o ，30o，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈o ，cos670.39≈o ，sin 370.60≈o ，cos370.80≈o ，3 1.73≈）三、基本概念检测1. 若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762 海里/时 B ．34 6 海里/时 C.1722海里/时 D ．34 2 海里/时3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba4. 在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5. 如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【课中研讨】：例1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度．例2. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°，则tan θ的最大值 .例3．在锐角△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()2sin(A C),3m =+u r ，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且向量m n u r r P （1）求角B 的大小（2）如果b=1，求△ABC 的面积的最大值【课后巩固】1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km2．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sinα的值．3.已知向量()sin ,1a x =-r ，13,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+-r r r g （1）求函数()f x 的最小正周期T（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，其中A 为锐角，23a =，c=4，且()1f A =求△ABC 的面积。

“正弦定理、余弦定理”复习课教学设计1 学情分析系统学习了正余弦定理的相关知识，学生在高一通过必修5的学习，已了解正弦定理和余弦定理的内容，有一定的解三角形基础，但怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，以及计算能力，还需通过复习指导有待进一步提高，达到通过综合性复习让学生将知识点串联起来的目的.2 考点解读解三角形是数学高考中重点考察内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理. 高考对这一内容的考查既可能出现在选填题（全国II卷：2011年第15题，2013年第4、6题，2016年第9题），也可能出现在解答题（2012、2014、2015、2016年第17题）. 选填题通常以考查边角互化为主的小综合形式出现，比较基础；解答题主要考查恒等变换、正弦定理、余弦定理的应用，在教材中可以看到这些高考题的雏形，难度虽然不大，但要求学生具有一定的运算能力和灵活应用正弦定理和余弦定理解题的能力.3 教学目标（1）知识与技能：理解正弦定理和余弦定理内容及其证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；（2）过程与方法：让学生能根据条件灵活运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的有关问题，渗透数形结合思想，发展学生的推理能力.（3）情感态度与价值观：通过经历上述过程，让学生体会正弦定理和余弦定理在解决问题的作用，体验数形思想，体味定理之美，让学生在和谐的课堂氛围中感受数学的抽象性和简洁美.4 教学重难点教学重点：能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题.教学难点：合理选择正弦定理、余弦定理优化求解过程，解三角形中多解的取舍问题.5 教具学具教学以多媒体课件和投影仪为主，配备必要板书，学生以教材和练习本为主.6 教法学法教法：（1）引导串联法：与学生一起回顾已学知识，整理知识点.（2）题组教学法：采取例题变式进行对比巩固复习，加强理解.（3）例证教学法：举例不要拘泥于现有的，我们可以举一些生活中的问题来谈数学问题，把“数学来源于生活”贯穿到始终.学法：引导学生学会观察分析、联想转化、归纳整理，这样更利于学生掌握知识，灵活应用，在师生交流中学习.7 教学流程教师回顾总结分析辅导评价学生回顾讨论应用练习总结8 教学过程 8.1 温故知新 8.1.1 正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 内容 变形正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === (1)=a A R sin 2 ，=b B R sin 2 ，=c C R sin 2 ；(2)=A sin Ra 2，=B sin Rb 2，=C sin Rc 2. 余弦定理A bc c b a cos 2222-+=A ca a c b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=8.1.2 三角形的面积公式S △ABC ＝C ab B ca A bc sin 21sin 21sin 21==.8.2 问题导学用导学案辅助教学， 课前以填空题的形式引导学生自主完成正弦、 余弦定理的内容、 变形、 证明及其应用等知识的梳理， 并留有下列自测题：判断下列命题的对错： （1）三角形中边角判断①在△ABC 中，22s i n 53c o s ==B A ，，则4π=B 或43π.( )②在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则最大内角的余弦值为41-. ( )（2）三角形解的个数的判断①在△ABC 中，若3,1,30===b a A ，则B 等于 60. ( )②在△ABC 中，若4,32,60===c a A ，则此三角形有两解. ( )（3）三角形形状的判断①(教材第10页)在△ABC 中，B b A a cos cos =，则此三角形是等腰三角形. ( )②在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <，则此三角形是钝角三角形. ( )③在△ABC 中，若222a c b >+，则此三角形是锐角三角形. ( )小结：在△ABC 中，有B A b a B A >⇔>⇔>sin sin ，这是解三角形中多解取舍依据的一条规律. 在解的个数判断中，我们可以采取画图的方式，也可以直接利用正弦定理，结合边角关系来解决. 对于三角形形状的判断，要求我们会熟练地利用边角互化，三角恒等变换.8.3 典型例题讲解例1.（必修5教材第20页第14题改编）△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c A b B a =-)cos cos (3. 求证：（I ）222)(3c b a =-； （II ）B A tan 2tan =. 设计意图 例１的目的在于使学生洞悉正弦、 余弦定理除解三角形外， 在解决综合问题时， 还有两个基本的变形方式． 本例中，我们既可以利用正弦定理， 把等式化为角的关系， 也可以逆用余弦定理， 把等式化为边的关系， 而两个证明题支决定了变形方向． 此题起点虽低， 但能帮助学生巩固基本技能， 树立解题目标意识． 例2.（2014·陕西卷改编）已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若c b a ,,成等差数列，且A C sin 2sin =，求B cos 的值.变式：在△ABC 中，若c b a ,,成等比数列，且23cos )cos(=+-B C A ，求B.设计意图 例２及变式都涉及利用角的函数值求角的问题， 同时也都体现出方程组模型的运用． 利用正弦定理变换， 例２的两个题设条件可转化为由两个方程构成的关于c b a ,,的三元一次方程组， 总可实现其一表示其二的目的，利用余弦定理约分即可． 其变式依然可把题设转化为两个方程“B C A 2sin sin sin =，43sin sin =C A ” 联立的方程组， 整体换元后， 易得 Ｂ ＝ π３（ 据题设 ②角B 不是最大角）.值得注意的是，本例学生容易出现直接将43sin sin =C A 化为43=ac 的情况，因此在此要指出两边是齐次可以直接角化边 ．例3.（必修5教材第20页改编）在△ABC 中，6,5,4===BC AC AB ，D 是BC 上一点，且BD=2DC ，求AD.设计意图 根据全国卷的命题趋势，在解三角形部分涉及到了中线，角平分线等概念，为此例3将教材的中线公式公式进行了具体化改编，熟悉基本的正余弦定理的应用.方法一是先在△ABC 中求出B cos ，再在△ABD 中利用余弦定理求AD ；方法二是利用ADC ADB ∠-=∠cos cos 即可. 在熟悉了具体数据下的算法后，可以尝试推到教材中一般形式的中线公式，以及顶点与3等分点连线的长度.例4.已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若b C a C a =+s i n 33c o s . （I ）求A ； （II ）若,2=a △ABC 的面积为3，求c b ,. 变式：已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若c b C a C a +=+sin 3cos .（I ）求A ； （II ）若3,1=-=⋅a AB CA ，求c b +. 设计意图 例4的（1）题可利用正弦定理不难得3π=A ，（2）题把三角形面积公式与余弦定理联立， 并在解方程过程中用到整体消元（代换） ， 同样强化了方程思想的运用． 相应的变式把解方程组的技能提升到新的层次，需要利用正弦定理、两角和的正弦公式、辅 助 角 公 式，求得3π=A ．（2）题需要学生注意AB CA 和的夹角是A -π.8.4 课堂小结1.正余弦定理公式；2.面积公式 ；3.边角互化；4.边的取舍. 9 巩固练习1.（2015·重庆）在△ABC 中,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c= ．2.（2015·广东）在ABC ∆中，若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b = ．3.若sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 （钝角、直角、锐角）三角形.4.（四川卷）∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则cosA 的范围是 .5.在△ABC 中，c b a 2=+,则C cos 的最小值是 .6.（陕西卷）在△ABC 中，ab c =2,则C cos 的最小值是7.（天津卷）在ABC ∆中，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （Ｉ）求A cos 的值； （II ）求)62cos(π-A 的值.8.（2015·全国卷II ）△ABC 中，D 是BC 上的点, AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求s i n s i n BC∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.10 板书设计正弦定理和余弦定理复习1.正余弦公式：2.面积公式：例1.（先分析，后详解过程）例2.变式：例3.（学生动手，分析思路）例4.变式：常用结论：11 复习心得立足基础、回归教材是数学教学与复习的主旋律，教材中定理和例习题具有基础性、典型性、示范性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想，因此在高三复习中，教师要引导学生对教材中的典型例习题进行解读，分析教材与高考的连接点，充分利用教材相关资源，通过改编形成有梯度的例习题将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络，促进学生的思维层层递进；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法.。

解三角形专题练(2):求值问题（大题）一、强化训练1.(2021·新高考1)记ABC ∆是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.(1)证明：BD b =；(2)若2AD DC =，求cos ABC ∠.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .4．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .5．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．6．在△ABC 中，23BAC π∠=，D 是BC 上一点，AD ⊥AC 且AD=1． (1)若3AB =，求BC ； (2)求21AB AC+．7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，设向量⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,22b a m ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=234,3c S n ，且m n ⊥． (1)求角A ；(2)求sin()6a C b cπ++的值．8．如图，在平面四边形ABCD 中，45DCB ∠=︒，DB ⊥AD ，CD=2．(1)若25BD =，求△BDC 的面积； (2)若5cos 5ADC ∠=-，2159AD =，求角A 的大小．9．已知在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，BC AC 3=，32π=∠ABC . (1)求ACB ∠的值；(2)若3BC =，13AD =，求BD 的长.10．平面凸四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AD=3，AB=4．(1)若45ABC ∠=︒，求CD ； (2)若25BC =，求AC ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，AD=1，CD=2，7AC =．(1)求cos CAD ∠的值； (2)若7cos 14BAD ∠=-，21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．12．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，6BDC π∠=，AD=2，DC=4．(1)若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ； (2)若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠．13．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点P ，sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠(1)求证：sin sin ABD CBD ∠=∠；(2)若120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，BC=3CD=3，求AB ．14．在平面四边形ABCD 中，,2,23ABC DAC ACB ADC ππ∠=∠=∠∠=．(1)若,36ACB BC π∠==，求BD ；(2)若3DC AB =，求cos ACB ∠．15.(2021•福建宁德三模) 在△ABC 中，2=AB ，5=AC ， 45=B .(1)求△ABC 的面积；(2)在边BC 上取一点D ，使得54cos =∠ADB ，求DAC ∠tan .16．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足(2)cos cos a c B b C -=， (1)求角B 的大小； (2)若△ABC 的面积为334且3b =，求a+c 的值．17.(2021•安徽淮北二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ﹣c cos B ． (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)若32=+CA CB ,且AB ＝2，求△ABC 的面积．18. (2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜2π，AD ＝2，AB ＝3，△ABD 的面积为332，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝32π，求BC 的长．19.已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，3b sin C ＝c cos B ＋c.(1) 求角B 的大小；(2) 若b 2＝ac ，求1tan A ＋1tan C 的值．答案与解析：1.【解析】：(1)由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠， 所以acBD b=，又2b ac =，所以BD b =，得证. (2)由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， 所以22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， 因为ADB CDB π∠=-∠，所以2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=， 又2b ac =，所以42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=； 综上，7cos 12ABC ∠=. 2.[解]:(1)因为(sin B －sin C )2＝sin 2 A －sin B sin C ， 所以sin 2 B ＋sin 2 C －2sin B sin C ＝sin 2 A －sin B sin C ， 所以由正弦定理得：b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由2a ＋b ＝2c ，及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 3.[解]：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.[解]：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B . 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以∠B ＝30°.5.[解]：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝60sin 23212121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯＝2 3. 6.【解析】：(1)因AD ⊥AC 且AD=1，所以在△ACD 中，22221CD AD AC AC =+=+，① 因为23BAC π∠=，AD ⊥AC ，所以6BAD π∠=， 在△ABD 中，由余弦定理可得2232cos 31231162BD AB AD AB AD π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 在△ABC 中，由余弦定理可得22222cos 3BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅， 即2221(1)323332CD AC AC AC AC +=++⋅⋅=++，② 由①②可得3AC =，CD=2，所以BC=BD+CD=1+2=3，所以BC=3； (2)因为23BAC π∠=，所以3B C π=-， 在△ABC 中，由正弦定理可得sin sin sin()3AB AC ACC B C π==-，在Rt ADC ∆中，1cos tan tan sin AD CAC C C C ===，所以cos sin sin()sin()33AC C AB c C C ππ=⋅=--，所以2sin()21sin 3cos cos C C AB ACC C π-+=+==所以21AB AC+7.【解析】：(1)根据题意，向量⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1,22b a m，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4,3S n ， 若m n ⊥，则2222223()(43)3()40m n a b S c b c a S ⋅=----=+--=，222)2sin b c a bc A +-=sin A A =， 故tan A 3A π=；(2)根据题意，由(1)的结论，3A π=，则23BC π+=，则有23B C π=-， 则213sin sin sin()sin sin sin sin )3sin()3226B C CC C C C CC C C C ππ+=-+++++， 所以sin()sin sin())16626sin sin 2)6a C A C Cb cB CC ππππ+⋅++===+++，故sin()162a Cbc π+=+．8.【解析】：(1)因为BD =sin sin sin BD CD BCBCD CBDBDC==∠∠∠，45DCB ∠=︒，可得sin CBD∠=， 由余弦定理可得222cos 2BC CD BD DCB BC CD +-∠==⋅，可得BC = 所以11sin 24222BDC S BC CD BCD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯=．(2)因为DB ⊥AD ，所以90ADB ∠=︒，5cos cos()sin 25ADC BDC BDC π∠=+∠=-∠=-，即5sin 5BDC ∠=， 因为2sin 1BDC cos BDC ∠=-∠，且BDC ∠为锐角，所以25cos 5BDC ∠=， 故sin sin[()]sin()DBC BCD BDC BCD BDC π∠=-∠+∠=∠+∠sin cos cos sin BCD BDC BCD BDC =∠∠+∠∠ 可得310sin 10DBC ∠=， 在△BCD 中，由正弦定理sin sin CD BD DBC DCB =∠∠，可得23102102BD=，可得253BD =， 因为tan 3BDA AD==， 又A 为锐角，所以60A =︒．9.【解析】:(1)在△ABC 中，由正弦定理可得2sin sin3AC BCBAC π=∠，3AC BC =，可得1sin 2BAC∠=，因为BAC ∠为锐角，所以6BAC π∠=，因此6ACB ABC BAC ππ∠=-∠-∠=； (2)因为BC ⊥CD ，所以2BCD π∴∠=，3ACD π∴∠=. 设x CD =，在△ACD 中，由余弦定理得2222cos3ADAC CD AC CD π=+-⋅⋅，即()2221133232x x =+-⨯⨯⨯⇒2340x x --=，因为0>x ，解得4x =. 因此，()22223419BD BC CD =+=+=.10.【解析】：(1)连接BD ，Rt △BAD 中，AB=4，AD=3，90BAD ∠=︒，45ABC ∠=︒， 所以3sin 5ABD ∠=，4cos 5ABD ∠=， 所以2432sin sin(45)()25510DBC ABD ∠=︒-∠=⨯-=， Rt △BCD 中，225102CD =⨯=； (2)连接AC ，由（1）知，BD=5，3sin 5ABD ∠=，4cos 5ABD ∠=，Rt △BCD中，由BC =BD=5，得CD =，所以sin CBD ∠=，cos CBD ∠所以43cos cos()55ABC ABD CBD ∠=∠+∠==， △ABC中，由余弦定理得，2222cos 16202420AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯=，所以AC =11.【解析】：AD=1，CD=2，AC (1)在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222．所以cos CAD ∠=；(2)设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为772cos =∠CAD ,147cos -=∠BAD , 所以721sin =∠CAD ,14213sin =∠BAD ,所以23sin =α， 在△ABC 中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：BC=3． 即BC 的长为3．12.【解析】：(1)在Rt △ABD中，由于cos ABD ∠=，所以2sin 3ABD ∠==， 故3sin ADBD ABD==∠，在△BDC中，利用余弦定理：2222cos 25BC BD CD BD DC BDC =+-⋅⋅∠=-，故BC =(2)设CBD x ∠=，由于C ADC ∠=∠，由6BDC π∠=，所以56C x π∠=-，6ABD x π∠=-， 在Rt △ABD 中，由于AD=2，所以2sin sin()6AD BD ABD x π==∠-，在△BDC 中，由正弦定理：sin sin BD CDC CBD =∠∠⇒45sin sin()6BD x x π=-， 所以245sin sin()sin()66xx x ππ=--，所以24sin 2sin 10x x --=，由于sin 0x >，得：sin xsin CBD ∠．13.【解析】：(1)证明：在△PAB 中，由正弦定理得sin sin PA PBABD BAC=∠∠，即sin sin PA BAC PB ABD ⋅∠=⋅∠， 同理，△PBC 中有sin sin PC ACB PB CBD ⋅∠=⋅∠，又sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠，所以sin sin PB ABD PB CBD ⋅∠=⋅∠， 可得：sin sin ABD CBD ∠=∠，得证．(2)因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，BC=3CD=3，在△BCD中，由余弦定理得BD ===， 由正弦定理得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以1sin sin CD BCD CBD BD ⋅∠∠===，在△ABD中，由正弦定理得sin 1sin BD ABDAD BAD⋅∠===∠， 由余弦定理得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=⋅，即217122AB AB +-=-，解得AB=2．14.【解析】：(1)如右图，,2,23ABC DAC ACB ADC ππ∠=∠=∠∠=，,6ACB BC π∠==可得3DAC π∠=，在Rt △ABC 中，tan16AB BC π==，2cos6BC AC π==，可得△DAC 为边长为2的等边三角形，在△ABD 中，23DAB π∠=， 可得72121241cos 222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=DAB AD AB AD AB BD ；(2)如右图，设AB x =，则DC ，ACB α∠=，则2DAC α∠=， 在Rt △ABC 中，sin sin AB xAC αα==， 在△ACD 中，由正弦定理可得sin sin 2AC CDADC α=∠， 即ααααcos sin 232sin 323sin x x x ==⋅⇒3cos 4α=，即3cos 4ACB ∠=．15.【解析】：法一：(1)由余弦定理得B BC AB BC AB AC cos 2222⋅⋅-+=，由题设知，45cos 22252⋅⨯-+=BC BC ，所以0322=--BC BC ，又0>BC ，所以BC=3， 所以23223221sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆B BC AB ABC S (2)在△ABC 中，由正弦定理得BACC AB sin sin =，所以515222sin sin =⋅==AC B AB C ， 又AB<AC ，所以40π<<C ，所以21tan =C ， 在△ABD 中，54cos =∠ADB ，所以43tan =∠ADB ， 因为C ADB DAC ∠-∠=∠，所以()112214312143tan tan 1tan tan tan tan =⨯+-=∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠C ADB C ADB C ADB DAC 法二： (1)同解法一．(2)在△ABC 中，由正弦定理得BACBAC n BC sin si =∠，所以101035223sin sin =⨯=⋅=∠AC B BC BAC ， 因为AC AB <,4π=B ，所以40π<<C ，所以2π>∠BAC所以3tan -=∠BAC ， 在△ABD 中，因为54cos =∠ADB ，所以43tan =∠ADB 在△ABD 中，()ADB B BAD ∠+∠-=∠π，所以()74311431tan tan 1tan tan tan tan -=⨯-+-=∠⋅∠-∠+∠-=∠+∠-=∠ADB B ADB B ADB B BAD ， 因为BAD BAC DAC ∠-∠=∠， 所以()112tan tan 1tan tan tan tan =∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠BAD BAC BAD BAC BAD BAC DAC .16.【解析】：(1)由A B C π++=，即C B A π+=-，所以sin()sin()sin C B A A π∴+=-=， 将(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C C B A ∴=+=+=， 在△ABC 中，0A π<<，sin 0A >，所以1cos 2B ∴=，又0B π<<，则3B π=(2)所以△ABC，sin sin 3B π==，所以1sin 2S ac B ∴===，所以ac=3，又b =，1cos cos 32B π==， 所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2222()3()93a c ac a c ac a c +-=+-=+-=， 所以2()12a c ∴+=，则a c +=. 17.【解析】：(1)证明：由正弦定理知，CcB b A a sin sin sin ==， 因为a ＝b cosC ﹣c cos B ，所以sin A ＝sin B cos C ﹣sin C cos B ， 即sin B cos C +cos B sin C ＝sin B cos C ﹣sin C cos B ，所以cos B sin C ＝0， 因为B ，C ∈（0，π），所以cos B ＝0，即2π=B ，故△ABC 是直角三角形．(2)解：()BA CB BA CB CB CA CB +=++=+2，32=+1242=⋅+==+BA CB CB ， 因为2π=B ，AB ＝2，所以1222=+2=，所以△ABC 的面积2222121=⨯⨯=⋅=BC AB S ． 18.【解】：(1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin ∠DAB ＝332，所以sin ∠DAB ＝32.又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos ∠DAB ＝cos π3＝12. 由余弦定理得BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7， 由正弦定理得sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π2， sin ∠DBC ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛∠-ABD 2π＝cos ∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝277. 在△BCD 中，由正弦定理CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠DCB 可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB ＝433.由余弦定理DC 2＋BC 2－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2，可得3BC 2＋43BC －5＝0， 解得BC ＝33或BC ＝－533(舍去)． 故BC 的长为33.19.【解】：(1) 由正弦定理得3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C ， 在△ABC 中，因为sin C>0，所以3sin B －cos B ＝1，所以216sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πB . 因为0<B<π，所以－π6<B －π6<5π6，所以B －π6＝π6，B ＝π3.(2) 因为b 2＝ac ，所以由正弦定理可得sin 2B ＝sin A sin C ，1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin Bsin A sin C ， 所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233．。

第8章解三角形章末复习学案（含答案）章末复习课网络构建核心归纳1.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解.两解.无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.1利用正弦定理讨论若已知a.b.A，由正弦定理，得sinB.若sinB1，无解；若sinB1，一解；若sinB1，两解.2利用余弦定理讨论已知a.b.A.由余弦定理a2c2b22cbcosA，即c22bcosAcb2a20，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.2.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角如a2RsinA，a2b2c22abcosC等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如sinAsinBAB；sinAB0AB；sin2Asin2BAB或AB等；二是利用正弦定理.余弦定理化角为边，如sinAR为ABC外接圆半径，cosA等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断.3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是首先分析此题属于哪种类型的问题如测量距离.高度.角度等，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.要点一利用正弦.余弦定理解三角形解三角形的一般方法是1已知两角和一边，如已知A.B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角.3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.4已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.例1在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tanB的值.解由余弦定理cosA，0A180.因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件，应用正弦定理，从而tanB.跟踪演练1如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度.解在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cosC，sinC；在ADC中，由正弦定理得，，AD.要点二与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.例2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2abcosCccosB，ABC的面积S10，c7.1求角C；2求a，b的值.解12abcosCccosB，2sinAsinBcosCsinCcosB，2sinAcosCsinBcosCcosBsinC，即2sinAcosCsinBC，2sinAcosCsinA.A0，，sinA0，cosC，C.2由SabsinC10，C，得ab40.由余弦定理得c2a2b22abcosC，即c2ab22ab1cos，72ab2240.ab13.由得a8，b5或a5，b8.跟踪演练2在ABC中，a.b.c分别是三个内角A.B.C的对边，若a2，C，cos，求ABC的面积S.解因为cosB2cos21，所以sinB.所以sinAsinBCsinsincosBcossinB.由正弦定理，得c，所以SacsinB2.要点三正弦.余弦定理在实际中的应用应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步1分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词.术语，如坡度.仰角.俯角.视角.方位角等；2根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；3将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦.余弦定理等有关知识正确求解；4检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.例3如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.1设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；2求静止目标P到海防警戒线a的距离PD精确到0.01km.解1由题意PAPB1.5812km，PCPB1.52030km.PBx12km，PC18xkm.在PAB中，AB20km，cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC，，解得xkm.2在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71km.所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.跟踪演练3甲船在A处.乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲.乙两船相距最近解设甲.乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P.Q两处，因乙船到达A处需2小时.当0t2时，在APQ中，AP8t，AQxxt，所以PQ2.当t2时，PQ8216.当t2时，在APQ中，AP8t，AQ10t20，PQ2.综合知，PQ2t0.当且仅当t时，PQ最小.答甲.乙两船行驶小时后，相距最近.要点四函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程组，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦.余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例4在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a，c的长.解由正弦定理得，A2C，，a2ccosC.又ac8，cosC，由余弦定理及ac8，得cosC.由知，整理得5c236c640.c或c4舍去.a8c.故a，c.跟踪演练4已知函数fxsin2x，xR.1求函数fx的最小值和最小正周期；2设ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c，且c，fC0，若向量m1，sinA与向量n2，sinB共线，求a，b的值.解1fxsin2xsin1，函数fx的最小值是2，最小正周期是T.2由题意得fCsin2C10，sin2C1，0C，2C，2C，C，mn，，由正弦定理得，，由余弦定理得，c2a2b22abcos，即3a2b2ab，由解得a1，b2.课堂小结1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB等价于ab等价于sinAsinB.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边.角转换.3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.。

解三角形复习1.能够应用正、余弦定理解三角形；教学目标 2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．重点难点重点：利用正弦定理余弦定理解三角形难点：边角关系的转化，三角恒等变换的运用。

【课前小测】1. 已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 120 ，则△ ABC 的面积为（）. A． 9 B． 18 C．9 D．18 32.在△ ABC 中，若 c2 a 2 b2 ab ，则∠ C=（） .A ． 60°B． 90° C． 150° D． 120°3. 在ABC A．0 个中， a 80 ， b 100 ，A=30°，则 B 的解的个数是（B． 1 个C．2 个D．不确定的） .4. 在△ ABC 中，a 3 2，b 2 3 1 △ ABC_______， cosC ，则 S35. 在ABC 中，a、 b、 c 分别为A、B、 C 的对边，若 a 2b2c22bc sin A ，则 A=___ ____.【当堂练习】1. 已知A、B、 C为ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、b、 c ，若cos B cos C sin B sin C 1 ．2 （1）求A；（2）若 a 2 3, b c 4 ，求 ABC 的面积．2. 在△ ABC 中，a, b, c分别为角 A、B、C 的对边， a2 c2 b 28bc，a =3 ，△ ABC 的面积为6，（1）求角 A 的正弦值；（ 2）求边 b、 c.5【课后作业】一、选择题：1、 ABC 中 ,a=1,b= 3 ,∠A=30°,则∠B等于（）A ．60°B． 60°或 120°C． 30°或 150°D． 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A ．a=1,b=2 ,c=3 B． a=1,b= 2 ,∠A=30°C． a=1,b=2,∠A=100 °C． b=c=1, ∠ B=45 °3、在锐角三角形 ABC 中，有（）A ．cosA>sinB 且 cosB>sinA B． cosA<sinB 且 cosB<sinAC． cosA>sinB 且 cosB<sinA D． cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若 (a+b+c)(b+c － a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是（）A ．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5、设 A 、 B、 C 为三角形的三内角 ,且方程 (sinB － sinA)x 2+(sinA － sinC)x +(sinC － sinB)=0 有等根，那么角 B（）A ．B>60 °B． B≥ 60°C． B<60°D．B ≤60°6、满足 A=45,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m的值为（）A ．4 B． 2 C． 1 D．不定7、如图： D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β ,α (α <β ),则AA点离地面的高度 AB 等于asin sin A ．B ． sin( )（ ）a sin sincos()asin cosa cos sin C ．)D ．)sin(cos(D C8、两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30° ,B 在 C 南偏东 60° ,则 A,B 之间相距（）A ．a (km)B ．3 a(km)C ．2 a(km)D ．2a (km)二、填空题：79、A 为ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=, 则 ABC 是 ______三角形 .1210、在ABC 中， A=60 ° , c:b=8:5, 内切圆的面积为 12π ,则外接圆的半径为 _____.11、在1 2 2 2ABC 中，若 S ABC =(a +b－c ),那么角∠ C=______.431 12、在ABC 中， a =5,b = 4,cos(A － B)=,则 cosC=_______.32三、解答题：13、在 ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状：① B=60 ° ,b 2=ac ； ② b 2tanA=a 2tanB ；③ sinC=sin A sin B④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2 +b 2)sin(A － B).cos A cos B解三角形 一、 BDBBDAAC二、（ 9）钝角（ 10）143 （ 11）4（ 12） 138三、（ 13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理cos60a 2c 2 b 2a 2 c 2b 21a 2c 2 acac(a c)20 ，2ac2ac 2a c . 由 a=c 及 B=60 °可知△ ABC 为等边三角形 . ②由b 2 tan Aa 2 tan Bb 2 sin Acos Aa 2 sin Bsin B cos A b 2 sin 2 B sin Acos Asin B cos B, sin 2 A sin 2B, ∴ A=B 或 A+B=90 °，cos Bsin Acos Ba2sin2A∴△ ABC 为等腰△或 Rt △ . ③ sin Csin Asin B，由正弦定理： c(cos Acos B) ab, 再由余弦定理：cos A cos Ba 2b2 c2ca 2 c2b2 abc2bc2aca 2b 2(a b)(c 2a 22) 0, c 2a 2b 2,ABC 为Rt . ④由条件变形为sin( AB)bsin( AB) a 2 b 2sin( A B) sin( A B) a 2 , sin A cosB sin 2 Asin 2A sin 2B,A B或AB90.sin( A B) sin( AB)b2cos A sin B sin 2B∴△ ABC 是等腰△或 Rt △ .点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.（ 14 ）分析：A C 2B, B60,AC120再 代 入 三角式解得A或C.解 ：A C 2B, 180B 2B, B 60 .AC 120 .∴由已知条件化为： 112 2. cos(120A) cos A 2 2cos Acos(120A)cos A cos(120A C,则 A 60, C 60.代入上式得： cos(60 )A), 设2cos(60 ) 2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得 4 2 cos 2 2cos 32 0(2 cos2)(2 2 cos3) 0, cos2,即 cosAC2 . 注：本题有多种解法. 即可以从上222式中消去 B 、 C 求出 cosA ，也可以象本例的解法 .还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.（15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞ 0 即可 .要证 α ，β 为正数，只要证明 αβ ＞ 0，α+β ＞ 0 即 可.解 ：① 在 钝角△ ABC中，b边最长.1 cos B 0且 b2 a 2 c 22ac cos B,( 2b) 2 4ac 2b 2 4ac2(a 2 c 2 2ac cosB ) 4ac 2(a c) 2 4ac cosB 0. （其中 2( a c )2 0且 4 ac cos B 0∴方程有两个不相等的实根. ②2b0,c0, ∴两实根α、β 都是正数.a a2b2b2③a=c 时， a , ( )2 a2 2 2 ( ) 2 4 4c a21a2(a 2 c2 2ac cos B) 4a 24 cos B, 1 cos B 0, 0 4 cos B 4,因此 0 | | 2 .a 2（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA tan 30 3(千米 )， OC 3 （千米）3则 BC OB 2 OC 2 2OB OC cos120 13 （千米）3船速 v 13 1039 （千米/小时）3260②由余弦定理得：cos OBC OB 2 BC 2 OC 2 5 13, sin EBO sin OBC2OB BC 261 (5 13)23 39,cos EBO 513, sin OEB sin[180 ( EBO 30 )]26 26 26sin( EBO 30 ) sin EBO cos30 cos EBO sin 30 13 .13再由正弦定理，得OE=1.5 （千米），BE 39(千米 ),BE5 （分钟）.6 v答：船的速度为 2 39 千米/小时；如果船的航速不变，它 5 分钟到达岛的正西方向，此时所在点 E 离岛 1.5 千米。

第24章知识升华一、知识脉络：二、典例分析：例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值．【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．【解】 在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ＝22AC BC ＝10，∴sin ∠BCD =sinA =BC AB =45 ，cos ∠BCD =cosA =AC AB =35 ，tan ∠BCD =tanA =BC AC =43 ，cot ∠BCD =cotA =AC BC =34．【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换．例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．【解】过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°=CGAG，∴CG=6×33=2 3 ，∴CD=2 3 +1.5，在Rt△CED中，sin60°=CDEC，∴EC=CDsin60°=23+1.53=4+ 3 ．答：拉线CE的长为4+ 3 米．【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结．例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．【解】⑴∵i=tanB，即tanB=10.5=2，∴∠B=63.43°．⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴MEAE＝10.5，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4，∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝12(1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度水平距离 ＝坡角的正切值．例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A ，其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.5299，cos 32°≈0.8480，tan s 32°≈0.6249，cot 32°≈1.600）【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt △ADC 和Rt △BDC 即可． 【解】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．由题知：∠α=45°，∠β=32°．在Rt △BDC 中，sin 32°=BD BC ，∴BD ＝100sin 32°≈52.99．cos 32°=CDBC，∴CD =100 cos 32°≈84.80．在Rt △ADC 中，∵∠ACD =45°，∴AD =DC =84.80． ∴AB =AD +BD ≈138米．答：AB 间距离约为138米．【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．例5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2 1.41≈，3 1.73≈)．【分析】先要计算出OH 和PH 的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可．【解】⑴100； (6010)t +．⑵作OH ⊥PQ 于点H ，可算得1002141OH =（千米），设经过t 小时时，台风中心从P 移动到H ，则201002PH t ==，算得52t =（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5+⨯≈（千米）＜141（千米）．∴城市O 不会受到侵袭．【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形，利用三角函数知识来解决．第24章测试题设计一、选择题：1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B ．83米C ．833米 D ．433米 2、如图，ABC △中BC 边上的高为1h ，DEF △中DE 边上的高为2h ，下列结论正确的是（ ） A ．12h h >B ．12h h <C ．12h h =D ．无法确定3、已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是 A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << 4、如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 5、已知α为锐角，则m =sinα+cosα的值（ ） A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥16、如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tan A 的值为（ ）． A、34或13B 、24C 、13D 、13或247、已知α为锐角，且cos （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为( )．A 、32 B 、34 C 、12D 、139、在△ABC 中，AB =8，∠ABC =30°，AC =5，那么BC 的长等于（ ）A 、43B 、43+3C 、43－3D 、43+3或43－3 10、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（5332+）m B ．（3532+）m C ． 53m D ．4m二、填空题：11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)12、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．13、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ．14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_________.15、如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .16、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水坡AB 长13米，且12tan 5BAE ∠=，则河堤的高BE 为 米．17、如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）．18、水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ，其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为 .19、如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB = .20、若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）． 三、解答题：21、计算：（1）1sin 60cos302⋅-； （233602cos 458-+；22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A 、C 之间的距离）.若AB=40cm ，当ADC ∠从60︒变为120︒时，千斤顶升高了多少？2 1.414,3 1.732，结果保留整数）23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：3取1.73，2取1.41）24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ 延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少？（结果可保留根号）25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）26、路边的路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆BA 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路里面的中心线（D 在中心线上），已知C 点与D 点之间的距离为12米，求灯柱BC 的高（结果保留根号）27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A →B →C →D ．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈，≈，°≈．28、如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离.（结果保留根号，参考数据：(42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒）.参考答案：一、选择题： 1、C 2、C 3、A 4、C 5、A 6、D 7、B 8、A 9、D 10、A二、填空题：11、3.512、2(32)- 13、33 14、1:215、tan tan m n αα-⋅ 16、1217、325018、π21 19、1∶2 20、43或433 三、解答题：21、（1）14；（2）2.5 22、解: 连结AC ，与BD 相交于点O ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ，ADB =CDB ，AC =2AO ， 当ADC =60时，△ADC 是等边三角形，AC =AD =AB =40 . 当ADC =120时，ADO =60，AO =AD sinADO =40×32=203，AC =403 ，因此增加的高度为40340=400.73229（cm ）23、解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt △BCD 中，tan30°=BDx ，所以BD=3x. ∵AD ＋DB=AB=40，∴x ＋3x=40.解得 x ≈14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米.（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴AC=2CD ，方案I 用的时间t 1=v CD v CD AD v CD v AD 34333=+=+；方案II 用的时间t 2=v CD v AC 2=； 所以t 1－t 2=v CD v CD 342-=vCD 3)423(-.因为32－4>0，所以t 1－t 2>0.所以方案I 用的时间少，方案I 比较合理.24、解：(1) 在Rt△BPQ 中，PQ =10米，∠B =30°，则BQ =cot30°×PQ ＝103，又在Rt△APQ 中，∠PAB =45°，则AQ =cot45°×PQ =10， 即：AB =(103+10)(米)；(2) 过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt△ABE 中，∠B =30°，AB =103+10，∴ AE =sin30°×AB =12（103+10）=53+5，∵∠CAD =75°，∠B =30°，∴ ∠C =45°，在Rt△CAE 中，sin45°＝AE AC，∴AC =2（53+5）=(56+52)(米)25、解：连接AC ，BD ， ∵OA=OB=OC=OB ，∴四边形ACBD 为矩形∵∠DOB=100º， ∴∠ABC=50º，由已知得AC=32，在Rt △ABC 中，sin∠ABC=AB AC，∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8（cm ），tan∠ABC=BC AC ，∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9（cm ），∴AD=BC =26.9 （cm ）答：椅腿AB 的长为41.8cm ，篷布面的宽AD 为26.9cm .26、解：设灯柱BC 的长为h 米，过点A 作AD ⊥CD 于点H ，过B 作BE ⊥AH 于点E ，∴四边形BCHE 为矩形，∵∠ABC ＝120°，∴∠ABE ＝30°，又∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＝60°，在Rt △AEB 中，∴AE ＝AB sin30°＝1，BE ＝AB cos303∴CH 3，又CD ＝12，∴DH ＝123，在Rt △AHD 中，tan ∠ADH ＝AH HD 3123=-h ＝3－4（米），∴灯柱BC 的高为（34）米．27、解：在Rt ABF △中， 37200333sin 37AB AFB AB AF ∠===°，，≈，°267tan 37AB BF =≈°， BC EF BF CE ∴∥，∥，四边形BCEF 为平行四边形．267CE BF ∴==，100BC EF ==．在Rt CDE △中，53DCE ∠=°，CD DE ⊥，37CED ∴∠=°，cos37214DE CE =≈·°，sin37160CD CE =︒≈·，∴ 增加的路程∴ =()()AF EF DE AB BC DC ++-++(333100214)++≈-(200100160)187++=（米）．28、解：由题意可知，AD ＝(40＋10)×30＝1500（米）过点D 作DH ⊥BA ，交BA 延长线于点H. 在Rt △DAH 中，DH ＝AD ·sin60°＝1500×23＝7503（米）.AH ＝AD ·cos60°＝1500×21＝750（米）.在Rt △DBH 中， BH ＝DH ·cos15°＝7503×(2＋3)＝（15003＋2250）（米），∴BA ＝BH －AH ＝15003＋2250－750＝1500（3＋1）（米）.答：热气球升空点A 与着火点B 的距离为1500（3＋1）（米）。

1.1正弦定理（第1课时）【教学目标】1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；2．让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作．【重点难点】1．重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．2．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．【教学过程】一、情景设置：如图，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B在B A, b a,∠∠∆分别为中，已知ABC 所对的边，则B A B A b a sin ____sin ___⇔⇔>．二、探索研究：探索1在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有A ca sin =，sinb Bc =，又sin 1c C c ==,则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，有sin sin sin a b c A B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？若成立，你会证明吗？结论：正弦定理：三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．即：sin sin sin a b c A B C==R 2=（其中R 为三角形ABC 外接圆的半径） 三、教学精讲：题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角．例1．已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆．练习：在ABC ∆中，已知0030,120,12,A B b ===求,a c题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．例2．在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆．例3．C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆．题型2告诉我们：已知两边和其中一边的对角，解斜三角形，有两解或一解的情况。

《解三角形》复习课学案一一．复习要点解斜三角形时可用的定理和公式适用类型备注余弦定理⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=Cba a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222①已知三边； ②已知两边及其夹角； 类型①②有解时只有一个 正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===③已知两角和一边；④已知两边及其中一边的对角；类型③有解时只有一个，类型④可有解、一解或无解三角形面积公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21⑤已知两边及其夹角2．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.3．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sinco s,co ssin2222A B C A B C ++==.二、题型1：正、余弦定理例1、（1）在ABC ∆中，45B = ，60C =，1c =，求最短边的边长 。

（2）求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。

变式、（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长（湖南文7）（2）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=( )A ．23-B ．32-C ．32 D ．23题型2：三角形面积例2、在∆A B C中，s i n c o s A A +=22，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C的面积。

变式、在ABC ∆中，8b =，83c =，163ABC S = ，求A ∠。

题型3：正、余弦定理判断三角形形状例3、在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形变式、（1）在ABC ∆中，若C B A 222sin sinsin +=，判断ABC ∆的形状变式、（2）在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+判断△ABC 的形状题型4：正、余弦定理实际应用例4、如图一个三角形的绿地A B C ，A B 边长7米，由C 点看A B 的张角为45 ，在A C 边上一点D 处看A B 得张角为60 ，且2A D D C =，试求这块绿地得面积。