第1章 数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数.ppt

任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
=
a
*
b
练习
0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为 N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆 孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位 相板，透过率怎样变化？
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:

g ( x) Cn 1
g ( x) df g ( x) exp( j 2p fx)dx exp( j 2p fx)

展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn
由于t ∞ 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和 积分
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 三角傅里叶级数:
a0 g ( x) (an cos 2pnf0 x bn sin 2pnf0 x), 2 n1
(n 0, 1, 2... ),
f0
1
t
展开系数
a0
t
2
t
0
g ( x)dx
an
rff(x，y) = rff(-x，-y)
1-14. 已知函数
f(x) = rect (x+2) + rect (x-2)
求函数f(x) 的自相关，并画出图形。
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
若右边园孔上加p 位相板, 则 t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2

*
[d (x+d/2 - d (x-d/2)]
利用卷积性质求卷积的例子
A
-a f ( x) 0 a x
练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)
k
h(x) 0 a x


若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x)
对于非零复函数f(x),
*
f(x) , 其自相关就是自卷积
rff (0)>0 为实值
|rff (x)| < rff (0)
证明: 利用施瓦兹不等式
（阅读：吕乃光《傅里叶光学》 P14-15）
作业
1-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即：
*
-a
=
？
若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质
练习 1-12
若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积 根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)

即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
写成两部分对称exp( j 2p fx)dx


g ( x) G( f ) exp( j 2p fx)df


这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换
(3)
x x x f h b g b b b
§1-4 相关 correlation
信息处理中的重要运算
一、互相关 cross correlation
考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ) g ( x )d (1)
展开系数Cn 频率为n/t的分量

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t t 2 n t
t
2
t
0
g ( x) cos( 2pnf 0 x)dx bn
t
2
t
0
g ( x) sin( 2pnf 0 x)dx
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开
三角傅里叶展开的例子
周期为t =1的方波函数
1.2
0 0 -1.2 1 2 3 4 5
1 2
f ( x)
2
一、互相关 cross correlation(续) 与卷积的关系
由(2)式易见：
rfg ( x) f * ( x) g ( )]d g ( x) f * ( x)


(3)
1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一 般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭. 由(3)式直接推论得:
rfg(x)= rgf*(-x)
(4)
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ) f * ( x)d


或:
rff ( x) f ( x)★f ( x) f ( ' x) f * ( ' )d '
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c

n
exp( j 2pnf0 x), (n 0,1,2... ),
f0
1
t
展开系数
cn
t
1
t
0
g ( x) exp( j 2pnf 0 x)dx
p
cos( 2p x )

2 cos( 6p x) 3p
前3项的和
1/2
an
2/p 频谱图
1 2 2 cos( 2px) cos( 6px) ...... 2 p 3p
…
fn
0
1
3
-2/3p
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
d
*
x
d
0
t ( x, y)
=
x2 y2 circ l/2

*
[d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1


为函数f(x)与g(x)的互相关函数. 作变量替换x+ = ’, 则
rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * ( ' x) g ( ' )d ' (2)


(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.
互相关是两个函数间存在相似性的量度.
§1-4 相关 correlation
n
C
t 2 2
n
exp( j 2p n x)
1
t
n级谐波频率:n/t
t t
g ( x) exp( j 2p n x)dx
1
相邻频率间隔: 1/t
t
1 1 1 t 2 g ( x) t g ( x) exp( j 2p n x)dx exp( j 2p n x) t t 2 n t


由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
复函数的自相关函数是厄米函数(实 部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数
§1-4 相关 correlation
二、自相关 auto-correlation 重要性质
由(3)式:
rff ( x) f ( ) f *[( x )]d f ( x) f * ( x)