- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
2
n
1 cos n
2
n
1 (1)n
0
,
当n 2 , 4 , 6 ,
f (x) 4 sin x 1sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
an n , bn n .
练习题
一、设周期为2 的周期函数f ( x) 在[ , ) 上的表达式
为
f
(
x
)
bx ax
, ,
0
x
x
0
(常数a b 0)试将
其展开成傅里叶级数 .
二、将下列函数 f ( x) 展开成傅里叶级数:
1、
f
(x)
e x ,
x
0；
1,0 x
2、 f ( x) sin(arcsin x).
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
y
3π 2π π π 2π 3π
O
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0
1 π
π π
f (x)d x
1 π
0
xdx
π
1 π
x2 2
0 π
π 2
an
1 π
π
π
f
( x) cos
nxdx
1 π
0
π
x
cos
nx
d
x
1 π
π
π cos k x cos nx dx
1 2
π
π
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 :
π
π
sin
k
x
sin
nx
d
x
0
(k n )
π
π
cos
k
x
sin
nx
dx
0
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
ππ11dx 2 π
π
π
cos
2
n
x
dx
π
π sin2
(1)n1 n
( n 1,
2, )
4π
2
2 32 π
1 cos 3x sin3x
3
1 sin 4x
4
2 52 π
cos
5x
1 5
sin 5x
( x , x (2k 1) π , k 0, 1, 2 , )
说明:
当
x
(2k
1) π
时,
级数收敛于
0 ( π 2
)
π 2
注意:对于非周期函数,如果函数 f ( x) 只在区间
an
1
( x)cos nxdx
1
( t ) cos( nt )d ( t )
1
(
x)cos
nxdx
1
(
x)cos
nxdx
n
(n 0,1,2,)
bn
1
( x)sin nxdx
1
(t)sin(nt)d(t)
1
( x)sin nxdx
1
(
x)sin
nxdx
n
(n 1,2,)
周期延拓
f (x) ,
x [ π , π )
F(x)
f (x 2k π ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例
3
将函数
f
(
x)
x,
x,
x 0 展开为傅里
0 x
叶级数.
解 所给函数满足Dirichlet充分条件.
拓广的周期函数的傅
y
氏级数展开式在 [ , ]
收敛于 f (x) .
2 0 2 x
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
傅里叶系数
a0
1
1 f (x)dx;
2
an
1
f (x) cos nxdx, (n 1, 2,
)
bn
1
f (x) sin nxdx, (n 1, 2,
)
n阶傅里叶多项式
Fn
(x)
1 2
a0
n k 1
(ak
(其中m,n 1,2,)
三、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
(1)
求a0
.
1 2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
①
f (x)dx
1 2
a0dx
[
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
பைடு நூலகம்
1 2
a0dx
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0
1 2
2
,
a0
1
f (x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[, ] 上有定义,并且满足Dirichlet充分
条件,也可展开成傅氏级数.
作法: 周期延拓 (T 2 ) F ( x)
F
(
x)
f f
( (
x) x
x ( , ) 2k ) 其它
拓广的周期函数在 [ , ]上的傅里叶级数展开式.
端点处收敛于 1[ f ( 0) f ( 0)]
2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
π
3
5
7
9
说明: 1) 根据收敛定理可知,
y
1
π Oπ
x
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
1
y x
O
小结：将f (x)展开成傅里叶级数的步骤： 1、先画出函数f(x)的图形，便于看出函数的奇偶性及 间断点 2、根据收敛定理讨论f (x)与其傅里叶级数相等的范围， 若f (x)有间断点，还需要指出傅里叶级数的和函数在间 断点的值. 3、观察f (x)是否为奇函数或者偶函数，利用对称性计 算傅里叶系数an ,bn. 4、写出f (x)的傅里叶级数及范围.
练习题答案
一、 f ( x) (a b)
4
n1
[1
(
1)n ]( n2
b
a
)
cos
nx
(
1)
n1 ( n
a
b)
s
in
nx
( x (2n 1), n 0,1,2,).
二、1、
f
(
x)
1
2
e
1
[
n1
1
(1)n e 1 n2
]cos
nx
1 n (1)n e 1 (1)n
3
5
7
F 4 sin t
F 4 (sin t 1 sin 3t)
3
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
第七节 傅里叶(Fourier) 级数
一、问题的提出
二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
四、小结
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加，就会得到矩形波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
x
sin n
nx
cos nx n2
0 π
1
cos n
n2 π
an
1
cos n n2 π
π
2 (2k 1)2 π
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1 π
π
π
f
( x) sin
nx d
x
1 0
π π
x sin
nxdx
π 2 cos x sin x 1 sin 2x
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在 上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
π x0 0 x π
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1
π Oπ
x
解 所给函数满足Dirichlet充分条件. 1
在点x k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 1 1 1 (1) 0,
2
2
当x k时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
