高中数学《322节函数模型应用举例(二)》教案新人教A版必修

学习资料3.2。

2 函数模型的应用实例学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．（重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点）3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析的素养.1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k,b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a,b，c为常数，a≠0）(3)指数函数模型y＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0,a>0且a≠1）（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数,m≠0,a〉0且a≠1)(5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝错误!思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；（四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(）x 45678910y 15171921232527C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A。

］2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x(年）的关系为y＝a log2（x＋1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（）A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1）得，100＝a log2（1＋1），解得a＝100。

所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1）＝300.］3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0。

8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0。

3.2.2 函数模型的应用实例（2）从容说课本节课是在上一节课的基础上进一步研究函数模型的应用，让学生不仅能够应用已知的函数模型解决问题，并且还要能够在面临实际问题时，通过有关数据自己建立函数模型来解决实际问题，并加以检验.例1给出的数据具有很强的规律性，它体现的是在理想状态下的数据，通过这些数据所抽象出的函数模型是固定的，相对比较容易，教学时注重引导学生分析问题所提供的数据的特点，再抽象出函数模型；值得注意的是变量的变化范围要符合实际情况.例2中的数据是通过实际测量得到的，它的规律一般不是很明显，主要引导学生通过计算器，画出散点图，然后进行观察比较所作的散点图与哪类函数模型比较接近，从而选择这个函数模型，并注意对模型的修改.通过两节课的几个例子，引导学生回顾问题的特点，以及解决问题的过程与方法，加以总结：根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：三维目标一、知识与技能1.能根据理想状态下的数据特点，建立函数模型解决实际问题.2.能利用计算器，通过表格画出散点图，进行比较选择函数模型，并能加以修改.3.根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.二、过程与方法1.对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围.2.针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型.三、情感态度与价值观通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力.教学重点根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.教学难点对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：上一节课我们研究了一些简单函数模型的应用，但是我们不仅要能够应用已知的函数模型解决问题，而且还要能够在面临实际问题时，通过收集到数据自己建立函数模型来解决实际问题.本节课主要通过两个具体的实例去感受如何收集数据，建立适当的函数模型，解决实际问题，同时研究总结它的基本过程.二、例题剖析【例1】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）.解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）.（在实际问题中应注意变量的变化范围）由x＞0，且520－40x＞0 0＜x＜13.所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200 （0＜x＜1）.易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例1中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，而且列出的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决.（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.师：请同学们根据这些数据画出散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=a·b x的图象可能与散点图的吻合较好，而函数y=a·b x 中只有两个待定参数a、b，故只需选取两组数据就能求出a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？将学生分成8组，分别给予两组数据计算a 、b 的值，通过计算器看计算a 、b 的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选出最接近的函数模型.课堂上先选取（60，6.13）、（70，7.90）这两组数据，可以用计算器得出a =1.338，b =1.026从而函数的解析式为y =1.338×1.026x，同时画出这个函数图象与散点图，我们发现，函数y =1.338×1.026x 不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是（70，7.90），（160，47.25）两组数据，计算出a ≈2，b ≈1.02.从而得到函数模型y =2×1.02x，同时画出这个函数图象与散点图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y =2×1.02x 的图象，所以函数y =2×1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系.（2）将x =175代入y =2×1.02x ，得y =2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2. 所以这个男生偏胖.从例2我们可以看出从实际测量所得的数据抽象出函数模型的应用问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程. 三、课堂练习1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y 1、单位成本y 2、销售总收入y 3、总利润y 4与总产量x 的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.解：（1）y 1=150+0.25x ，y 2=xx25.0150+，y 3=0.35x ，y 4=0.1x －150. （2）当x ＜1500时，该公司亏本；当x =1500时，该公司不赔不赚； 当x ＞1500时，该公司赢利.2.不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1 s 下落约5 m ，第2 s 下落约15 m ，第 3 s 下落约25 m ，如果跳伞运动员从离地面1800 m 的高空跳伞，并准备在距地面200 m 时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞?（精确到0.1 s ）解：运动员在离开飞机x s 后下落的距离y 为y =5x 2. 由题意知y =1600，解得x ≈17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9 s 时打开降落伞.3.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y =ax 2+bx +c ，乙选择了模型y =pq x+r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a 、b 、c 、p 、q 、r 都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？解：由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3968246152⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=.41,12,1c b a所以甲函数模型为y =－x 2+12x +41.当x =4时，y =73；当x =5时，y =76；当x =6时，y =77与实际结果相差较大.由⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=+⋅=r q p r q p r q p 32686152⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.2185,14729,97r q p所以乙函数模型为y =－14729（97）x+r . 当x =4时，y ≈74；当x =5时，y ≈78，当x =6时，y ≈82.与实际结果非常接近.因此选择乙模型较好.三、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象抽象出函数模型，利用计数器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.四、布置作业课本P 126习题3.2A 组第8、9题；B 组第2、3题. 板书设计3.2.2 函数模型的应用实例（2）例1 例2三、课堂小结与作业布置。

3.2.2函数模型的应用举例材料一：一次函数、二次函数的应用举例 例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km ，火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程． 探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样； 2）所涉及的变量的关系如何？ 3）写出本例的解答过程． 例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法： 1） 买一只茶壶赠送一只茶杯； 2） 按总价的92%付款． 某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？ x y y x图形与网络等．例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：1） 本例涉及到哪些数量关系？2） 应用如何选取变量，其取值范围又如何？ 3） 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？4） “总收入最高”的数学含义如何理解？[略解：]设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，由>0，且300-10>0得：0<<30 设客房租金总收入元，则有：老派（0<<30）由二次函数性质可知当=10时，max =8000． 所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元． 师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型． 师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解． 师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．呈现教学材料师生互动设计x x x x x )10300)(220(x x y -+=8000)10(202+--=x x x y x尝试练习：1）某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？2）某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．呈现教学材料运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．。

[读教材·填要点]函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：[小问题·大思维]1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？提示：提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．已知函数模型的应用题[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图2可得，种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．——————————————————求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．——————————————————————————————————————1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为： 50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)； 低谷时间段100千瓦时的用电电费为： 50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．合计：148.4(元)．答案：148.4指数函数、对数函数及幂函数模型[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．——————————————————指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·1＋p x其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.——————————————————————————————————————2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解：(1)M ＝lg A －lg A 0＝lg AA 0＝lg 200.002＝4. 即这次地震的震级为4级．(2)⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 08＝lg A 8－lg A 0，lg A 8A 5＝3，A 8A 5＝1 000. 即所求是1 000倍．[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？[自主解答] (1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2.——————————————————对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是：1根据原始数据，绘出散点图.2通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. 3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. ——————————————————————————————————————3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．2010年，某汽车年销量8万辆； 2011年，某汽车年销量18万辆； 2012年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b >0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·(65)x－42，故g (4)＝1253×(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系.解题高手 妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧Cm D 是半圆，曲边形ABCD 的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3，设AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大．[巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S 表示成x 的函数，然后求函数的最值即可解决．[妙解] (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ，∴4＝2x ＋2y ＋πx ，∴y ＝4－2＋πx2.依题意知：0<x <y ，得0<x <44＋π，∴y ＝4－2＋πx 2(0<x <44＋π)．(2)依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有T ＝3S ＝3(2xy －πx22)＝3(2x ·4－2＋πx 2－πx 22)＝3[4x －(2＋3π2)x 2]＝－34＋3π2(x －44＋3π)2＋834＋3π.∵0<44＋3π<44＋π，∴当x ＝44＋3π时，凹槽的强度最大．1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝(0.957 6)x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－(0.042 4)x100解析：设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(95.76100)1100，∴y ＝(1－t )x＝(0.9576)x100.答案：A2．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.答案：C3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )解析：水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．答案：D4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．解析：设第n (n ∈N *)天收费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8n ， n ≤2且n ∈N *1.6＋0.5n －2，n ≥3且n ∈N*n ＝10时，y ＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)．答案：5.65.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t ≥3分钟，电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式是________．解析：t ＝2时，y ＝3.6，t ＝5时，y ＝6. 当t ≥3时，设y ＝kt ＋b .代入(3,3.6)，(5,6)得k ＝1.2，b ＝0， ∴y ＝1.2t (t ≥3)．答案：3.6,6，y ＝1.2t (t ≥3)6．在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．∴y＝(50＋5x)×(120－6x)．∴y＝－30(x－5)2＋6 750∴当x＝5时，y max＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75元．∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．一、选择题1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )解析：图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．答案：B2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：设原光线的强度为a ，重叠x 块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y ，则y ＝a (1－110)x (x ∈N *)， 令y <13a ，即a (1－110)x <13a ，∴(910)x <13，∴x >lg 13lg 910. ∵lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.477 12×0.477 1－1≈10.4.即x >10.4. 答案：B3．令有一组实验数据如下表所示：u1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.答案：C4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7秒内追上汽车B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7. 答案：D 二、填空题5.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l 1表示产品各年年产量的变化规律；l 2表示产品各年的销量情况，下列叙述：①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产； ②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．答案：②③6.如图，开始时桶1中有a 升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a ·e －nt(n 为常数，t 为注水时间)，那么桶2中的水就是y 2＝a －a ·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有a8.解析：由于t ＝5时两桶中的水相等， 所以a ·e－n ×5＝a －a ·e－n ×5，所以(e －n )5＝12，即e －n＝(12)15.由条件可得a ·e－nt＝a8，即(12)t 5＝(12)3，所以t ＝15. 答案：157．某地2002年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2013年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．解析：设平均每年新增住房面积为x 万平方米，则 500×6＋11x5001＋1%11≥7，解得x ≥82.27≈82.答案：828.2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110，116t －0.1， t >110，(2)由(116)t －0.1<0.25＝(116)12得t >0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ， 0≤t ≤110116t －0.1， t >110(2)0.6 三、解答题9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲、y 乙与购买台数x 之间的函数关系式； (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x 0≤x ≤10，4 200x ＋18 000 x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N )，(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ， 解得：x ＜20.故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10．2013年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？解：(1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5，或 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0； ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t ； (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)．则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第8个月公司所获利润为5.5万元．。

二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.104106，找出疑惑之处）阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。

cm；体重：kg）性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg的在校男生的体重是否正常？小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.※动手试试请问(5)T是多少？求出()T h的解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升※学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；※知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：()(0);f x kx b k=+≠②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a=++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a=+≠④指数函数模型：()xl x ab c=+（0,a b≠＞0，1b≠）学习评价）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2. 某种生物增长的数量y 与时间t 的关系如下表： x 1 23 ．．． y 1 38 ．．．A ．21y x =-B ．21x y =-C ．21y x =-D ．21.5 2.52y x x =-+3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）.A. 97年B. 98年C. 99年D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.课后作业7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）。

函数模型及其应用【教学目标】函数模型及其进一步的应用【重点难点】恰当选择数学模型解决实际问题【教学过程】一、情景设置二、教学精讲例1．课本习题3．2A 组第4题例2．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0．5万元，但每生产一台，需要增加可变成本(即另增加投入)0．25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x -x 22(0≤x≤5)(单位：万元)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1) 把利润表示为年产量的函数；(2) 年产量是多少时，工厂所得利润最大？(3) 年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：(1)利润 y=R(x)-C(x)(固定成本+可变成本)=⎩⎪⎨⎪⎧-0.5+4.75x -x 22 0≤x≤512-0.25x x>5(2)若0≤x≤5，则y=-0.5+4.75x -x 22=-12(x -4.75)2+12⨯4.752-0.5， ∴当x=5时，y 有最大值10.75；若x>5，则y=12-0.25x 是减函数，∴当x=6时，y 有最大值10.50．综上可得，年产量为500台时，工厂所得利润最大．(4) 当0≤x≤5时，由y ≥0，即-0.5+4.75x -x 22≥0，解得0<x≤5，x ∈Z ； 当x>5时，y ≥0，即12-0.25x ≥0，解得5<x≤48．综上可得，当年产量x 满足1≤x≤48，x ∈Z 时，工厂不亏本．例3．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似值满足如图所示曲线．(1) 写出服药后y 与t 之间的函数关系；(2) 据测定，每毫升血液中的含药量不少于4微克时小时)治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为7:00，第二次应在什么时间服药效果最佳？解：由题意得，当0≤t<0.5时，y=6；当0.5≤t≤8时，函数图象是直线，则可设y=kx+b(k ≠0)．由图象得⎩⎨⎧6=0.5k+b 0=8k+b ，解得⎩⎨⎧k=-45b=325，即此时y=-45t+325． 综上所得，y 与t 之间的函数关系为y=⎩⎪⎨⎪⎧6 0≤t<0.5-45t+3250.5≤t≤8． (2)设在第一次服药t 1小时后第二次服药，则-45t 1+325=4，解得t 1=3，即第二次服药应在10:00． 三、探索研究四、课堂练习1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则 y 1=15%+10%(x+15%x)=0.265x ，y 2=0.3x -700．当x>20000时，y 2>y 1；当x=20000时，y 2y 1；当x<20000时，y 2<y 1．∴当投资小于20000时，月初出售；当投资等于20000时，月初、月末出售均可；当投资大于20000时，月末出售．2．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过 x 块玻璃后强度为y ．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2) 通过 多少块玻璃后，光线减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771) 解：(1)y=0.9xk(x ∈N*)(2)由题意：0.9x k<k 3，∴0.9x <13，两边取对数，xlg0.9 <lg 13．∵lg0.9 <0， ∴x>lg 13 lg0.9=lg31-2lg3≈10.4，∴x min =11．∴通过 11块玻璃后光线强度减弱到原来的13以下小结：建立数学模型的要领可概括为：(1)收集数据，画图提出假设；(2)依据图表，理顺数量关系；(3)抓住关键，建立函数模型；(4)精确计算，求解数学问题；回到实际，检验问题结果．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

《函数模型的应用实例（二）》教学设计一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

第2课时 函数模型的应用举例导入新课思路1.(事例导入)一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 思路2.(直接导入)前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. 推进新课 新知探究 提出问题①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长.已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如下表所示：1°画出2000～2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之.2°2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？ ②什么是函数拟合？③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 设f(x)＝ax ＋b,代入（1，4）、（3，7）,得⎩⎨⎧=+=+7,b 3a 4,b a 解得a=23，b=25.∴f(x)=23x+25. 检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型f(x)=23x+25能基本反映产量变化. 2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，2006年年产量应约为9.1万件.②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程. ③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：应用示例思路1例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量桶480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)=520－40x(桶).由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,于是可得y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.易知,当x=6.5时,y有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：（1）设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384-4x件，机器台数为80+x，由题意有y=(80+x)(384-4x).（2）整理得y=-4x2+64x+30 720，由y=-4x2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件.点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系.可以考虑用y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x,得⎩⎨⎧1•=•=.0025.47,9.770b a b a用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·b x+c （其中a 、b 、c 为常数），且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？ 解：(1)若以f(x)=px 2+qx+r 作模拟函数，则依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6,r 3q 9p 3,r 2q 4p 1,r q p 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,0,21,21r q p 所以f(x)=21x 2+21x.(2)若以g(x)=a·b x+c 作模拟函数，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6,c ab 3,c ab 1,c ab 32解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===3,23,38c b a所以g(x)=38·(23)x-3. (3)利用f(x)、g(x)对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为： f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位， ∵|f(5)－16|<|g(5)－16|, 故选f(x)=21x 2+21x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近. 思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨,其中0≤t≤24. (1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题. 解：设供水t 小时，水池中存水y 吨，则 (1)y=400+60t-1206t =60(t 6-)2+40(1≤t≤24),当t=6时，y min =40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨. (2)依条件知60(t 6-)2+40<80,1≤t≤24,解得38<t<332,33238-=8. 故一天24小时内有8小时出现供水紧张.例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元个，出厂价为60元个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0<x<1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y. (1)写出y 与x 的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x 的取值范围. 解：(1)由题意得y=［60×(1+0.5x)-40×(1+x)］×1 000×(1+0.8x) =2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1). (2)要保证日利润有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)4060(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,0342x x x 解得0<x<43.所以为保证日利润有所增加，x 应满足0<x<43.点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体. 知能训练2007广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1， ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元）. ∴x 天饲料的保管与其他费用共有 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x 2-3x(元). 从而有y 1=x1(3x 2-3x +300)+200×1.8 =x300+3x+357, 可以证明y 1=x300+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+∞）上为增函数.∴当x=10时，y 1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则 y 2=x 1(3x 2-3x+300)+200×1.8×0.85=x300+3x+303(x≥25). ∵函数y 2在［25,+∞）上是增函数,∴当x=25时，y 2取得最小值为390.而390<417, ∴该厂应接受此优惠条件. 拓展提升如何用函数模型解决物理问题？例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1,a 2,…,a n 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从a 1,a 2,a 3,…,a n 推出的a=________.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题. 解：由题意可知，所求a 应使y=(a-a 1)2+…+(a -a n )2最小, 由于y=na 2-2(a 1+a 2+…+a n )2a+(a 12+a 22+…+a n 2).若把a 看作自变量，则y 是关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值. 因为n>0，二次函数f(a)图象开口方向向上,当a=n 1(a 1+a 2+…+a n )时，y 有最小值, 所以a=n1(a 1+a 2+…+a n )即为所求.点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a 1)2+(a-a 2)2+…+(a -a n )2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a 为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用. 课堂小结1.巩固函数模型的应用.2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题. 作业课本P 107习题3.2B 组1、2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习)1.y2.2.设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮,…,依次有a2台,a3台,…被感染,依题意有a5=10×204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.(课本第101页练习)三个函数图象如下:由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加.(课本第104页练习)1.(1)已知人口模型为y=y0e rt,其中y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e0.003t.当y=10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t-4.9t 2=100, 解得t=9.425.6075⨯±,即t 1≈1.480,t 2≈13.827.所以,子弹保持在100 m 以上的时间t=t 2-t 1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率 v 1=v 0-9.8t=75-9.8×1.480=60.498 ms.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v∈(0,60.498). (课本第106页练习)1.(1)由题意可得y 1=150+0.25x, y 2=x150+0.25, y 3=0.35x,y 4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y 4=0.1x-150的图象如下.由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损; 当x=1500件时,公司不赔不赚; 当x>1500件时,公司赢利. 2.(1)列表.(2)画散点图.3.确定函数模型.甲:y1=-x2+12x+41,乙:y2=-52.07×0.778x+92.5.(4)做出函数图象进行比较.计算x=6时,y1=77,y2=80.9.可见,乙选择的模型较好.(课本第107页习题3.2)A组1.(1)列表.(2)描点.(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b 作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有⎩⎨⎧=+=+57.5,b 4k 14.2,b k解得⎩⎨⎧≈≈-0.2.b 14.4,k 所以d=14.4f-0.2.将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.2.由31020=(60)2a,得a=35361⨯⨯.由31050=35361⨯⨯x 2,得x=3010.因为3010<100,所以这辆车没有超速.3.(1)x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤.5.65.3),5.3(50150,5.35.2,150,5.20,60t t t t t t (2)v=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤.5.65.3,50,5.35.2,0,5.20,60t t t图略.4.设水池总造价为y 元,水池长度为x m,则y=(12x+x 2400)95+61200×135, 画出函数y 1=(12x+x 2400)95+61200×135和函数y 2=7的图象.由图可知,若y 1≤7,则x 应介于［x 1,x 2］之间,x 1,x 2即为方程(12x+x2400)95+61200×135=70 000的两个根. 解得x 1≈6.4,x 2≈31.3.答:水池的长与宽应该控制在［6.4,31.3］之间. 5.将x=0,y=1.01×105和x=2400,y=0.90×105分别代入y=ce kx,得到⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯=,1090.0,1001.1240055kcec 解得c=⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-,10805.4,1001.155k c 所以y=1.01×105e 510805.4-⨯-x.当x=5596m 时,y=0.772×105(Pa)<0.775×105(Pa). 答:这位游客的决定是冒险的决定. 6.由500≤2500(108)t<1500,解得2.3<t≤7.2. 答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.B 组1.(1)利用计算器画出1990~2000年国内生产总值的图象如下.(2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b 刻画国民生产总值发展变化的趋势.⎩⎨⎧+=+=b,1998k 76967.1b,1994k 46670解得⎩⎨⎧==35.-15056434.b 7574.275,k 作出上述函数图象如下.根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.(3)以x=2 004代入以上模型可得y=122 412.75亿元,由此可预测2004年的国民生产总值约为122 412.75亿元.2.(1)点A,B 的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时,收支持平;射线AB 上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利.(2)图2的建议是:降低成本而保持票价不变;图3的建议是:提高票价而保持成本不变.。

3.2.2 函数模型的应用实例1.知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题;(2)通过给出数据进行分析,画出散点图,并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合;(3)增强读图、画图、识图的意识,全面提高阅读理解的能力.2.过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应的确定性函数的模型;(2)根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.3.情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德,使其树立远大的理想,并能利用所学知识为社会服务.重点:根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.重难点突破:结合学生的知识水平,在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法:(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;(2)列式比较法:若题中所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.全国大学生建模竞赛简介1.建模竞赛的起源与历史建模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动,目的是促进建模的教学,培养学生应用数学的能力.我国在1992年起开展这项竞赛,现已形成一项全国性的竞赛活动.2.建模竞赛题的类型及出题的指导思想大部分的建模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中,例如去年C题“资金的使用计划”,D题“公交车的调度”.关于“公交车的调度”这道题目,在这儿稍做详细一点的介绍,题目给出我国某座大城市的一条交通线路.它只有上、下行驶方向各14个站,从早上6时开始至晚上12时,每站每小时上的人数的统计资料已绘出;每站之间的距离,公交车行驶速度也绘出.汽车平均可载客100人,最大载承量为120人,要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟,客流低峰期候车时间不超过15分钟,客车空载率不低于50%.问:(1)此线路应当配备多少辆车?(2)如何设计发车时间表?这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识不一样,它要考查的内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成.对此而言,建模竞赛题是一个“课题”,它是一个综合性的问题,数据庞大,需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟,是实际问题的近似表达,它的完成是在某种合理的假设下,因此其只能是较优的,不唯一的)呈报的成果是一篇“论文”.由此可见“建模竞赛”偏重于应用,它是以数学知识为主导,计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.3.全国大学生建模竞赛是如何进行的呢?我国著名的大学每年通常参加二次建模竞赛.春节后有一次“全美建模竞赛”,其发起的单位是美国工业与应用数学学会,现在已经发展成一项国际性的竞赛活动,竞赛题在网上获得,论文的书写是全英文的,比赛评奖直接在美国本土进行,第二项比赛就是“全国大学生建模竞赛”了.4.参加建模竞赛通常需要哪些方面的知识呢?第一方面:数学知识的应用能力.按历年比赛的试题来看,虽然涉及的数学知识面十分地宽广,但归结起来大体上有以下几类:(1)概率与数理统计.(2)统筹与线性规划.(3)微分方程及与计算机知识相交叉的知识,计算机模拟.第二方面:计算机的运用能力.第三方面:论文的写作能力.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

函数模型的应用实例（一）,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数m 与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩程布置作业习题2—3B 第1、3题：教材第71页“思考与讨论”学生练习使学生巩固本节所学知识与方法备选例题例 1 某游艺场每天的盈利额元与售出的门票数张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额元与售出的门票数张之间的函数关系是：（1）当0≤≤400时，由=750，得=2021（2）当400≤≤600时，由 1000 = 750，得 = – 2021舍去 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为2021 答：当天售出的门票数为2021时盈利额为750元例2 某个经营者把开始六个月试销A 、B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 种商品金额万元123456获纯利润万元2投资B 种商品金额万元123456获纯利润万元13.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A 、B 两种商品各多少才最合算 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润结果保留两位有效数字【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系 = – a – 42 2 a ＞0 ① = b②把 = 1， = 代入①式，得 = – a 1 – 42 2， 解得a =故前六个月所获纯利润关于月投资A 商品的金额的函数关系式可近似地用 = – – 42 2表示，再把 = 4， = 1代入②式，得b = ，故前六个月所获利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用 = 表示设下月投资A 种商品万元，则投资B 种商品为12 – 万元，可获纯利润 = – – 42 2 12 – = – ， 当≈时，≈故下月分别投资A 、B 两种商品万元和万元，可获最大纯利润万元【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意 = 2变换到 = a – m 2 b 后发生的变化0.952(0.15)x -=⨯-2max4(0.15) 2.60.954(0.15)y ⨯-⨯-=⨯-。

80.80%57.70%32.70%Se ） 相关系数2残差平方和（MSe ）：只有指数函数进行拟合时的残差平方和约为，其他函数拟合的残差平方和均大于； 猜想：发现在1999—2021年间，随着美国通货膨胀率增长，联邦基准利率也随之提高这是一般的经济现象吗？印证：实际上这组数据经过了一定程度的美化国家宏观调控不可能只受单一因素的影响来看从1960年至今的情况其中，绿线可以代表美国通货膨胀率，粉线可以代表美国联邦基准利率解释：你能解释美国通货膨胀率增长，联邦基准利率也随之提高这一经济现象吗？ 通货膨胀率增加→流通环节的货币增加→提高基准利率→存贷款双向控制1+1.5%()21+1.5%()31+1.5% 1.045≈1+2.75%3=1.081⨯迁移：这种经济现象对我们国家和家庭的有什么借鉴意义？【设计意图】1、根据数据画出散点图进行观察分析，选择较为接近的函数模型，比较模型的优劣，应用所选择的模型解决实际问题2、感受数学模型可以对国家宏观经济调控的作用（三）预测手机销量若干年后, 我们从“小储蓄”发展成了“大投资”，我们拥有了自己的公司，你能用今天学到的方法解决你公司里的一个问题吗？例3：随着通讯技术的发展和社会交流的扩大，人们对手机的需求量也与日俱增．公司在第一年的手机销售量单位: 十万台如下，试预测公司在第二年5月份的手机销售量1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月尝试拟合：预设学生活动1：利用图形计算器画出散点图，使用正弦函数进行拟合；预设学生活动2：利用图形计算器画出散点图，使用对数函数进行拟合；预设学生活动3：利用图形计算器画出散点图，使用一次函数进行拟合；做出散点图，从图中可以看出散点图呈现一种规律，一方面直线上升一次递增函数，另一方面呈现波折形态正弦函数型，图形计算器现有的拟合函数都是基本初等函数，无法进行拟合。

构造新函数：经过讨论，巧妙地用构造了一个递增的一次函数和一个正弦型曲线的叠加预设学生活动1：一次函数与正弦函数的叠加；预设学生活动2：对数函数与正弦函数的叠加设计方案：第一步：对数据进行一次函数拟合，得到拟合函数1()0.300069930.08787878f x x=+；第二步：做出原数据与一次函数的差，作为一组新的数据；月份台数（十万）一次函数值差值1 0 02 0 03 0 -045 1 06 1 07 2 -08 2 -09 2 010 011 3 -012 3 0第三步：对新的数据利用正弦函数拟合，得到拟合函数2()0.80169104sin(1.653562920.7917025)0.021933f x x=--；第四步：检验新函数12()()()f x f x f x =+与散点图的拟合情况预测：当17x =的函数值(17)f ，从而为公司的扩大生产提供依据可以利用这个模型和方法解决实际问题中的有关季节性的产品销售问题【设计意图】1、根据散点图呈现的特征构造新函数，设计方案进行函数拟合2、体会函数拟合对生产生活的预测作用（四）总结提升回顾这节课的研究方法？今天学习的的研究方法能解决哪些身边的实际问题？函数建模配对比较构造新函数函数拟合式形数函数表示。

3.2.2（2）函数模型的应用实例（教学设计）教学目标：知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．情感、态度、价值观：体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．教学重点难点：重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．一、新课引入：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目．67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件．这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真．结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要．分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测．二、师生互动，新课讲解：例1：（课本第104页例5）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：（课本P104）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．例2：（课本第105页例6）某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）身高60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.1515.0217.5身高120 130 140 150 160 170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？探索：1） 借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；2） 观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3） 你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？ 4） 确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价． 5） 怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？ 课堂练习（课本P106练习 NO ：1）例3：根据市场调查商品在最近40天内的价格P （万元）与时间t 的关系，用图(1)中的一条折线表示，销售量Q 与时间t 的关系用图(2)中的线段表示（t ∈N ＋）。

高中数学 3.2.4函数模型的应用实例（二）教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力.2．过程与方法经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.3．情感、态度与价值观了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.（二）教学重点与难点重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用难点：依据题设情境，建立函数模型.（三）教学方法师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能.（四）教学过程润.师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果应用举例4．指数型函数模型的应用例 1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份1950 1951 1952 1953 1954人数/万人55196 56300 57482 58796 60266年份1955 1956 1957 1958 1959人数/万人61456 62828 64563 65994 67207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60 70 80 90 100 110体重/kg6.137.90 9.90 12.15 15.02 17.50身高/cm120 130 140 150 160 170体重/kg20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？师：形如y=ba cx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例师生合作总结解答思路及题型特征师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.例2 解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：70160 7.947.25a ba b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.巩固练习练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界解答：（1）已知人口模型为y = y0e n，固化能力强化技巧10.48,0.522 1.2a b a b a b +=⎧=⎧⎪⎨⎨=+=⎪⎩⎩解得 所以0.480.52y x =+ （4）设y =ab x+c ，将A ，B ，C三点的坐标代入，得2310.81.2,0.51.41.3ab c a ab c b c ab c +=⎧=-⎧⎪⎪+==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩解得巩固练习练习2 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y =ax 2+bx +c ，乙选择了模型y =pq x+r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ,b ,c ,p ,q ,r 都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？学生口述解题思路 老师借助电脑解答问题 （1）列表（2）画散点图.（3）确定函数模型.甲：y 1= –x 2+12x +41，乙：y 2 = –52.07×0.778x+ 92.5（4）做出函数图象进行比较.计算x = 6时，y 1 = 77，y 2 = 80.9.固化解题技巧。

高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修13.2.2 函数模型的应用实例[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．[难点] 建立数学模型解答实际问题.知识点一解函数模型应用题的一般步骤[填一填]1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．[答一答]1．常见的函数模型有哪些？提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．知识点二函数拟合与预测的一般步骤[填一填](1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．[答一答]2．如何根据收集到的数据解决实际问题？提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示如下：3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．类型一建立函数模型的应用题[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．[解] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，z max ＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解：(1)设y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式，得20＝25a ＋17.5.解得a ＝110. 所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)． (2)设最大利润为Q (x )， 则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40 ＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)． 因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．类型二 已知函数模型的应用题[例2] 已知某产品市场价格与市场供应量P 的关系近似满足P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈[0，12)，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象求b ，k 的值；(2)记市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x 2，当P ＝Q 时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．[解] (1)由图象知：⎩⎪⎨⎪⎧2(1－k 8)(5－b )2＝1，2(1－k 8)(7－b )2＝2， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧(1－k 8)(5－b )2＝0，(1－k 8)(7－b )2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，k ＝6. (2)当P ＝Q 时，有2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2， 即(1－6t )(x －5)2＝11－x 2⇒2(1－6t )＝22－x (x －5)2＝17－(x －5)(x －5)2 ＝17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5，则2(1－6t )＝17m 2－m . ∵x ≥9，∴m ∈(0，14]． 当m ＝14时，2(1－6t )取最大值1316，故t ≥19192， 即税率的最小值为19192.(1)本题利用已知函数模型解决实际问题，首先利用给出的函数图象，通过待定系数法确定函数关系式，再利用函数关系式求最值，求最值时注意自变量的取值范围.(2)对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.[变式训练2] 灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t 分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt 求得，这里，k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)解：根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k ， 整理得e －60k ＝3940. 利用计算器，解得k ＝0.000 422 2.故θ＝20＋80e －0.000 422 2t .从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．当t ＝360时，θ＝20＋80e －0.000 422 2×360＝20＋80e －0.152，由计算器算得θ≈88℃>85℃，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．类型三 拟合函数模型的应用题[例3] 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A ，B 两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．[分析] 只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．[解] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A 种商品的所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2. B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.25＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0.25，b ＝0.所以y ＝0.25x .即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B .所以W ＝－0.15(x A －196)2＋0.15×(196)2＋2.6. 当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元，此时x B ≈8.8(万元)． 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.[变式训练3] 我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解：(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0.677 7，b ＝8.206 7.因此所求的函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( B )解析：由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )A ．y ＝t 3B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 2 解析：符合指数函数模型．3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0<x <10，且x ∈N *)．∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln(1＋M m )．当燃烧质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln(1＋M m )＝12 000，∴ln(1＋M m )＝6，∴M m ＝e 6－1.5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10，x ∈N )，60 000＋4 200(x －10)(x ≥11，x ∈N )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10，x ∈N )，4 200x ＋18 000(x ≥11，x ∈N )，y 乙＝5 100x (x ∈N )，(2)当x ≤10时，显然y 甲>y 乙；当x >10时，令y 甲>y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ，解得x <20.答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．——本课须掌握的三大问题1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．学习至此，请完成课时作业261。

课题：§321几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教学程序与环节设计: 实际问题引入，激发学生兴趣.选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异.总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告.师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤.强化基本方法，规范基本格式.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用.4）你能借助计算器或计算机作出函数图象, 并通过图象描述一下三种方案的特点吗？生：对三种方案的不同 变化趋势作出描述，并 为方案选择提供依据.师：引导学生分析影响 方案选择的因素，使学 生认识到要做出正确 选择除了考虑每天的 收益，还要考虑一段时 间内的总收益.例2•某公司为了实现 1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利 润达到10万元时，按销售利润进行奖励， 且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过 5万元，同时奖金不超过利 润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x y = log 7 x 1 y = 1.002x .问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究：师：引导学生分析问题 使学生得出：要对每一 个奖励模型的奖金总 额是否超出5万元，以 及奖励比例是否超过 25%进行分析，才能做 出正确选择.环节 呈现教学材料 师生互动设计师：引导学生利用函数 图象分析三种方案的 不同变化趋势.5）根据以上分析，你认为就作出如何选择?组织探究生：通过自主活动，分 析整理数据，并根据其 中的信息做出推理判 断，获得累计收益并给 出本全的完整解答，然 后全班进行交流.师：引导学生分析三种 函数的不同增长情况 对于奖励模型的影响， 使学生明确问题的实 质就是比较三个函数 的增长情况.生：进一步体会三种基 本函数模型在实际中 的广泛应用，体会它们 的增长差异.1）本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？。