高考数学玩转压轴题专题2.13交点零点有没有极最符号异与否

专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.【典型例题】类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式例4.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系例5.【2016高考新课标1理】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 类型五 借助导函数零点，解答综合性问题例6.【2016高考新课标2文】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 例7.【2016高考新课标Ⅲ文】设函数()ln 1f x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->. 例8.【2018年理数天津】已知函数，，其中a >1.（I ）求函数的单调区间；（II ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III ）证明当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【规律与方法】1.研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．2. 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.3. 导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln 1xe x x x ≥+≤-等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.4. 对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要通过论坛和联系多加体会.5. 函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出()/f x ,然后令()/0f x =,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.【提升训练】1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )A ．B ．（）C ．D ．（）2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．13.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 4．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 5.【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I ）若 求曲线在点处的切线方程；（II ）若，求的极值；（III ）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d 的取值范围.6.【江西省南昌市2019届高三一模】已知函数（为自然对数的底数），，直线是曲线在处的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7.【2016年高考四川理数】设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).8.【2017年新课标1】已知函数2()e(2)e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.9．【2017江苏，20】 已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围. 10.【2016高考山东理】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 11.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．12.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】已知函数．（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．。

专题13交点零点有没有，极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤:①构造函数人(X)=f(x)-g(x);②求导川(劝;③研究函数万(X)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；④画出函数〃(X)的草图，观察与X轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探.讨函数y=/(X)的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1.已知函数/(x)=Hnx-J,α∈R.⑴若曲线y=∕(x)在点(1,/⑴)处的切线与直线/+2y=0垂直，求α的值；(ID当。

=1时，试问曲线y=f(x)与直线y=2x-3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有,请说明理由.例2.已知函数f(x)=1nx,h(x)=ax(a为实数)(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m,使得对任意的x∈-,÷∞都有函数y=∕(x)+'的图象在函数g(x)=J(2 )X X 图象的下方？若存在，.请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由(G与"99)例3.己,知二次函数小)的最小值为-4,且关于X的不等式小)≤0的解集为{X∣-1≤Λ≤3,X∈R}.(1)求函数段)的解析式；(2)求函数g(X)= -411U的零点个数.-X例4.己知函数/(x)=InX-Jjg(x)=InXT(X-1).(I)求证：当x>0时，/(x)<0;(II)若函数g(x)在(1,+8)上有唯一零点，求实数，的取值范围.【新题展示】1.12019黑龙江大庆二模】已知函数f(χ)=χ2-2a1nx(aER)∙(I)当a/时，点M在函数y=f(x)的图象上运动，直线y=x-2与函数y=f(x)的图象不相交，求点M到直线2 y=x-2距离的最小值；(II)讨论函数f(x)零点的个数，并说明理由.Inx2.12019北京房山区上学期期末】已知函数f(x)=―kx(k∈R).X(I)当k=0时,求曲线y=f(x底点(1,f⑴)处的切线方程；(II)若f(x)<O对x∈。

高中数学压轴题系列——导数专题——零点与交点1.（2015?新课标Ⅰ）设函数f（x）=e2x﹣ alnx．（Ⅰ）谈论 f（ x）的导函数 f ′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞ 0 时， f（x）≥ 2a+aln ．解：（Ⅰ） f（x）=e2x﹣alnx 的定义域为（ 0，+∞），∴ f ′（ x） =2e2x﹣．当a≤0 时， f ′（x）＞ 0 恒成立，故 f ′（x）没有零点，当a＞0 时，∵ y=e2x为单调递加， y=﹣单调递加，∴ f ′（x）在（ 0，+∞）单调递加，又 f ′（a）＞ 0，假设存在 b 满足 0＜b＜ln时，且b＜，f′（b）＜0，故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数 f ′（ x）在（ 0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（ 0， x0）时， f ′（ x）＜ 0，当 x∈（ x0+∞）时， f ′（x）＞ 0，故 f（x）在（ 0， x0）单调递减，在（ x0+∞）单调递加，所欲当 x=x0时， f（x）获取最小值，最小值为 f（x0），由于﹣=0，因此 f（ x0） =+2ax0+aln≥2a+aln．故当a＞0时，f（x）≥ 2a+aln．（陕西）已知函数f （）x， x∈ R．2.2013?x=e（Ⅰ）若直线 y=kx+1 与 f（x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（Ⅱ）设 x＞ 0，谈论曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（ m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设 a＜b，比较与的大小，并说明原由．解：（ I）函数 f（ x）=e x的反函数为 g（x）=lnx，∴．设直线 y=kx+1 与 g（ x）的图象相切于点P（x0， y0），则，解得， k=e﹣2，∴ k=e﹣2．（II）当 x＞ 0， m＞0 时，令 f（x）=mx2，化为 m=，令h（x）=，则，则x∈（ 0， 2）时， h′（ x）＜ 0，h（x）单调递减；∴当 x=2 时， h（ x）获取极小值即最小值，x∈（ 2，+∞）时， h′（ x）＞ 0，h（x）单调递加．．∴当时，曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（ m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线 y=f （ x）与曲线 y=mx2（ m＞ 0）公共点的个数为 1；当时，曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（m＞0）公共点个数为 2．（Ⅲ）===，令 g（ x）=x+2+（ x﹣2）e x（x＞0），则 g′（ x） =1+（x﹣ 1） e x．′′xg （x）=xe ＞ 0，∴ g′（x）在（ 0，+∞）上单调递加，且g′（ 0） =0，∴g′（x）＞ 0，∴ g（x）在（ 0，+∞）上单调递加，而 g（ 0）=0，∴在（ 0，+∞）上，有 g（ x）＞ g（ 0） =0．∵当 x＞ 0 时， g（x）=x+2+（x﹣ 2） ?e x＞ 0，且 a＜b，∴，即当 a＜ b 时，．3.（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）谈论 f（ x）的单调性；（Ⅱ）若 f（ x）有两个零点，求 a 的取值范围．解：（Ⅰ）由 f（x）=（x﹣ 2）e x+a（ x﹣ 1）2，可得 f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ e x+2a），①当 a≥ 0 时，由 f ′（x）＞ 0，可得 x＞1；由 f ′（ x）＜ 0，可得 x＜1，即有 f（ x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递加（如右上图）；②当 a＜ 0 时，（如右以下图）若 a=﹣，则f′（x）≥ 0恒成立，即有f（x）在R上递加；若 a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有 f（ x）在（﹣∞， 1），（ln（﹣ 2a），+∞）递加；在（ 1，ln（﹣ 2a））递减；若﹣＜a＜0，由 f ′（ x）＞ 0，可得 x＜ ln（﹣ 2a）或 x＞ 1；由 f ′（x）＜ 0，可得 ln（﹣ 2a）＜ x＜ 1．即有 f（ x）在（﹣∞， ln（﹣ 2a）），（1，+∞）递加；在（ ln（﹣ 2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可适合a＞ 0 时， f（x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递加，且f（1）=﹣e＜0， x→+∞， f（ x）→+∞； x→﹣∞， f（ x）→+∞． f（ x）有两个零点；②当 a=0 时， f（ x）=（x﹣2） e x，因此 f（ x）只有一个零点 x=2；③当 a＜ 0 时，若 a＜﹣时， f（ x）在（ 1，ln（﹣ 2a））递减，在（﹣∞， 1），（ ln（﹣ 2a），+∞）递加，又当 x≤ 1 时， f（x）＜ 0，因此 f（x）不存在两个零点；当 a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有 f（ ln（﹣ 2a））等于 0 才有两个零点而 f（ x）小于零因此只有一个零点不符题意．综上可得， f（ x）有两个零点时， a 的取值范围为（ 0，+∞）．4.（2015?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当 a 为何值时， x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 min { m，n }表示 m，n 中的最小值，设函数 h（ x）=min { f（x），g（ x）}（x＞ 0），谈论 h（x）零点的个数．解：（ i） f ′（x） =3x2+a．设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0， 0），则 f（ x0） =0，f （′ x0） =0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（i i）当 x∈（ 1，+∞）时， g（ x） =﹣ lnx＜ 0，∴函数 h（x）=min { f（ x），g（x）}＜ 0，故 h（ x）在 x∈（ 1，+∞）时无零点．当 x=1时，若 a≥﹣，则 f（1）=a+≥ 0，∴h（x）=min { f（1）， g（1）} =g（ 1） =0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点；若a＜﹣，则 f（ 1） =a+＜0，∴ h（x）=min { f（1），g（1）} =f（1）＜ 0，故 x=1 不是函数 h（ x）的零点；当 x∈（ 0， 1）时， g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑 f（ x）在（ 0，1）内的零点个数即可．①当 a≤﹣ 3 或 a≥ 0 时， f ′（x）=3x2+a 在（ 0，1）内无零点，因此f（x）在区间（ 0，1）内单调，而 f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当 a≥0 时，函数 f（ x）在区间（ 0，1）内没有零点．②当﹣ 3＜a＜ 0 时，函数 f（x）在内单调递减，在内单调递加，故当x=时，f（ x）获取最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即 a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时， f（ x）在（ 0，1）内有两个零点．当﹣ 3＜ a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．当时， h（ x）有一个零点；当a=或时， h（ x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．5.（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（ a﹣ 2）e x﹣ x．（1）谈论 f（x）的单调性；（2）若 f（ x）有两个零点，求 a 的取值范围．解：（ 1）由 f（ x） =ae2x+（a﹣2） e x﹣ x，求导 f ′（ x）=2ae2x+（a﹣ 2） e x﹣ 1，当a=0 时， f ′（x）=﹣2e x﹣1＜ 0，∴当 x∈R，f（x）单调递减，当a＞0 时， f ′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1） =2a（e x+）（e x﹣），令 f ′（ x）=0，解得： x=ln ，当 f ′（x）＞ 0，解得： x＞ln ，当 f ′（ x）＜ 0，解得： x＜ ln ，∴x∈（﹣∞， ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递加；当 a＜0 时， f ′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当 a≤0 时， f（x）在 R 单调减函数，当 a＞0 时， f（ x）在（﹣∞， ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若 a≤0 时，由（ 1）可知： f（ x）最多有一个零点，当 a＞0 时， f（ x） =ae2x+（ a﹣ 2） e x﹣ x，当 x→﹣∞时， e2x→0， e x→0，∴当 x→﹣∞时， f（ x）→+∞，当 x→∞， e2x→ ∞，且远远大于x和 x，∴当 x→∞， f（x）→+∞，+e∴函数有两个零点， f（x）的最小值小于 0 即可，由 f（x）在（﹣∞， ln）是减函数，在（ ln， +∞）是增函数，∴f（x）min（）×（）（﹣）× ﹣ln ＜，∴ ﹣﹣ln＜，即ln +﹣＞，=f ln=a+ a 201 1 0设 t= ，则 g（ t） =lnt+t﹣1，（ t＞0），求导 g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞ 1，解得： 0＜a＜1，∴a 的取值范围（ 0， 1）．方法二：（1）由 f（x）=ae2x+（ a﹣ 2）e x﹣x，求导 f ′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣ 1，当a=0 时， f ′（x）=﹣2e x﹣1＜ 0，∴当 x∈R，f（x）单调递减，当a＞0 时， f ′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1） =2a（e x+）（e x﹣），令 f ′（ x）=0，解得： x=﹣ lna，当 f ′（x）＞ 0，解得： x＞﹣ lna，当 f ′（ x）＜ 0，解得： x＜﹣ lna，∴x∈（﹣∞，﹣ lna）时， f（x）单调递减， x∈（﹣ lna，+∞）单调递加；当 a＜0 时， f ′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当 a≤0 时， f（x）在 R 单调减函数，当a＞0 时， f（ x）在（﹣∞，﹣ lna）是减函数，在（﹣ lna，+∞）是增函数；（2）①若 a≤0 时，由（ 1）可知： f（ x）最多有一个零点，②当 a＞ 0 时，由（ 1）可知：当 x=﹣lna 时， f（ x）获取最小值， f（x）min=f（﹣ lna）=1﹣﹣ln ，当a=1，时， f（﹣ lna）=0，故 f（ x）只有一个零点，当a∈（ 1，+∞）时，由 1﹣﹣ ln ＞0，即 f（﹣ lna）＞ 0，故 f（x）没有零点，当a∈（ 0， 1）时， 1﹣﹣ ln ＜ 0，f（﹣ lna）＜ 0，由 f（﹣ 2）=ae﹣4+（ a﹣2）e﹣2+2＞﹣ 2e﹣2+2＞ 0，故 f（x）在（﹣∞，﹣ lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足 n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣ lna，因此在（﹣ lna，+∞）有一个零点．∴a 的取值范围（ 0， 1）．。

2024届高考数学二轮复习专题《运用数形结合思想探究函数零点问题》运用数形结合思想探究函数零点问题函数是数学中常见的一个概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。

在学习函数的过程中，我们经常会遇到求函数的零点的问题。

函数的零点是指函数在哪些自变量取值下，其对应的因变量为0。

求解函数的零点在数学中具有重要的意义，不仅可以帮助我们分析数学问题，还可以在实际应用中发挥作用。

为了更好地探究函数零点问题，我们可以借助数形结合思想。

数形结合思想是数学的一种思维方式，通过将问题抽象为几何图形的形式，结合几何图形的性质来解决问题。

以简单的一元一次函数为例，我们考虑函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数。

究竟什么样的条件下，函数f(x)的零点存在呢？我们可以通过数形结合思想进行探究。

首先，我们可以画出函数y=ax+b的图像。

这是一条直线，a决定了直线的斜率，b决定了直线在y轴上的截距。

我们可以从图像中直观地看出，当直线与x轴相交时，函数就有零点存在。

接下来，我们将函数的零点问题转化为几何问题。

我们可以将直线y=ax+b与x轴相交的点A与原点O连线，得到一条线段AO。

由于原点O的坐标为(0,0)，所以点O可以看作是函数的零点。

通过几何分析，我们可以得到结论：当直线y=ax+b与x轴相交时，线段AO的长度就是零点的解。

而线段AO的长度可以通过两点之间的距离来计算，即0点到直线y=ax+b所对应的点A的距离，通常记为d。

根据直线到原点的距离公式，我们可以得到d的计算方法：d=，b，/√(a²+1)。

这个公式告诉我们，0点到直线y=ax+b所对应的点A的距离取决于a和b的值。

当a=0时，直线平行于x轴，不存在与x轴的交点，也就是函数不存在零点。

当a≠0时，直线与x轴相交于一点，也就是函数存在唯一的零点。

通过数形结合思想的探究，我们从几何的角度解释了函数零点的问题，并得到了函数零点存在的条件和计算零点的方法。

这种思考方式不仅能够加深对函数的理解，还可以培养我们的几何思维能力。

函数压轴题中的零点问题函数压轴题中的零点问题【真题感悟】例1.（2015年江苏⾼考）已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c 是a 与⽆关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c 的值.例2. （2013年江苏⾼考）设函数()ln f x x ax =?，()x g x e ax =?，其中a 为实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最⼩值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.例3. （2012年江苏⾼考）若函数在处取得极⼤值或极⼩值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求和的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数．a ()g x (1,)?+∞()f x ab ，1?()32f x x ax bx =++a b ()()()h x ff x c =?[]22c ∈?，()y h x =【典题导引】命题规律：函数的零点问题是⾼考的重点和难点内容，题型以解答题为主，有时也在填空题中出现。

和函数、⽅程有着密切的联系，需要我们熟悉函数的图象与性质，需要我们理解函数与⽅程等思想。

其中函数的零点、⽅程的根、曲线的交点三个问题可以互相转化。

主要有以下命题⾓度：（1）判断函数零点个数或⽅程解的个数；（2）根据函数零点个数或⽅程解的个数求解参数；（3）已知函数零点范围或整数零点等求解参数。

⽅法总结：在使⽤函数零点存在性定理时要注意两点：⼀是当函数值在⼀个区间上不变号，⽆论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；⼆是此定理只能判断函数在⼀个区间上是否存在零点，⽽不能判断这个区间上零点的个数。

研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查⽅式：(1) 确定函数的零点、图象交点的个数；(2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．（1）当a =2时，求函数f(x)的零点；（2）当a >0时，求证：函数f(x)在内有且仅有⼀个零点；（3）若函数f(x)有四个不同的零点，求a 的取值范围。

第03讲 函数的零点难点1：零点的定义——求函数零点或方程根的个数考试时我们经常会遇到求函数的零点个数问题，这种题常作为选择的压轴题出现，因其具有很强的综合性，常常与函数奇偶性，单调性，周期性等性质结合起来，并与各种函数以及导数和在一起考查，学生往往很难搞明白零点的位置，造成丢分。

求函数零点或方程的根的个数问题的步骤：（1）将问题转化为求两个函数交点的问题；（2）分析两个函数的性质，并做出函数图象；（3）找到两个函数的交点，即为所求。

【例题】（宁夏吴忠市吴忠中学2024届高三上学期开学第一次月考数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)()f x f x +=-，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()91x f x =-，则()()2(1)h x x x f =--在区间[]20212023-，上所有零点个数为____________.【答案】4044【解析】由题意， 我们根据题目条件知道，函数是奇函数得出()()f x f x -=-，而且满足(1)()f x f x +=-，便可以得出函数的对称轴，我们用1x +替换原来的x ，与(1)()f x f x +=-与结合，即可得出(2)()f x f x +=，进而得到函数的周期。

∵()f x 是定义在R 上的奇函数,∴()()f x f x -=-,∵(1)()f x f x +=-,12x =是其中一条对称轴， ∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=,∴()f x 的周期是2 ,在()(1)()2h x x f x =--中，化简函数，将函数的零点问题转化成求函数()y f x =与函数21y x 的交点的问题，当()(1)()20h x x f x =--=时，()21f x x =-， ∴求函数零点, 即为求()y f x =与21y x 的交点的横坐标, 作出函数图象，根据图象得出，在一个周期上，两个函数有2个交点，进而可以求出在区间[]20212023-，上所有交点个数，即可知道在区间[]20212023-，上函数()()2(1)h x x x f =--所有零点个数.作出()y f x =与21yx 图象如图所示，由图知:∴交点关于(1,0)对称,每个周期有2个交点∴[2021,1)-有1011个周期, (1,2023]有1011个周期， ∴在区间[]20212023-，上所有零点个数为：1011224044⨯⨯=， 故答案为：4044.【变式训练】（2023 ·福建泉州·统考模拟预测）（多选）设函数2()ln ()f x x x a =--，则下列判断正确的是A. ()f x 存在两个极值点B. 当73a >时，()f x 存在两个零点 C. 当1a ≤时，()f x 存在一个零点D. 若()f x 有两个零点12,x x ，则122x x a +>难点2：零点存在性定理零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，则()f x 在开区间(,)a b 上存在零点。

高中数学函数零点，交点，数形结合的综合应用！
高考热点导航：函数零点，交点，以及含有参数的存在性或任意性问题，或是有关不等式问题，考察同学们对函数综合知识的掌握情况，涉及知识面广，高考题目中，常以压轴题的形式出现，下面介绍几种常见的题型和解题策略，只要掌握住了，辅以相应的练习，并非你想象中那么难 .
这一部分需要用到有关函数图像变换的知识点，现总结如下：
一﹑零点个数（数形结合）一个函数零点转化为两个函数的交点.
分析：本题是典型的复合函数零点问题，分清楚每个复合函数的内外层，从内层向外层扫根，具体如下：
三、分离参变量：含参类的综合题型
含参函数的零点问题：
求解含参函数的零点，分离参变量是最简便的一种方法，可以避免对参数的讨论，简化计算过程，分离参变量参变量应用
范围非常广，在个别压轴的填选题和大题中，均有涉及，要求掌握，下面以零点问题，对分离参变量做出解析.
就给大家分享到这里，分离参变量需要重点掌握，它可以应用到有关参数的各种题型中，但是不是所有的含参等式或不等式都可以分离，而且即使可以分离，那么分立后的函数也不一定好分析，但是如果能够使用，计算过程会简化很多，避免各种谈论.。

高中数学压轴题系列——导数专题——零点与交点1.（2015?新课标Ⅰ）设函数f（x）=e2x﹣ alnx．（Ⅰ）讨论 f（ x）的导函数 f ′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞ 0 时， f（x）≥ 2a+aln ．解：（Ⅰ） f（x）=e2x﹣alnx 的定义域为（ 0，+∞），∴ f ′（ x） =2e2x﹣．当a≤0 时， f ′（x）＞ 0 恒成立，故 f ′（x）没有零点，当a＞0 时，∵ y=e2x为单调递增， y=﹣单调递增，∴ f ′（x）在（ 0，+∞）单调递增，又 f ′（a）＞ 0，假设存在 b 满足 0＜b＜ln时，且b＜，f′（b）＜0，故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数 f ′（ x）在（ 0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（ 0， x0）时， f ′（ x）＜ 0，当 x∈（ x0+∞）时， f ′（x）＞ 0，故 f（x）在（ 0， x0）单调递减，在（ x0+∞）单调递增，所欲当 x=x0时， f（x）取得最小值，最小值为 f（x0），由于﹣=0，所以 f（ x0） =+2ax0+aln≥2a+aln．故当a＞0时，f（x）≥ 2a+aln．（陕西）已知函数f （）x， x∈ R．2.2013?x=e（Ⅰ）若直线 y=kx+1 与 f（x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（Ⅱ）设 x＞ 0，讨论曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（ m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设 a＜b，比较与的大小，并说明理由．解：（ I）函数 f（ x）=e x的反函数为 g（x）=lnx，∴．设直线 y=kx+1 与 g（ x）的图象相切于点P（x0， y0），则，解得， k=e﹣2，∴ k=e﹣2．（II）当 x＞ 0， m＞0 时，令 f（x）=mx2，化为 m=，令h（x）=，则，则x∈（ 0， 2）时， h′（ x）＜ 0，h（x）单调递减；∴当 x=2 时， h（ x）取得极小值即最小值，x∈（ 2，+∞）时， h′（ x）＞ 0，h（x）单调递增．．∴当时，曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（ m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线 y=f （ x）与曲线 y=mx2（ m＞ 0）公共点的个数为 1；当时，曲线 y=f （x）与曲线 y=mx2（m＞0）公共点个数为 2．（Ⅲ）===，令 g（ x）=x+2+（ x﹣2）e x（x＞0），则 g′（ x） =1+（x﹣ 1） e x．′′xg （x）=xe ＞ 0，∴ g′（x）在（ 0，+∞）上单调递增，且g′（ 0） =0，∴g′（x）＞ 0，∴ g（x）在（ 0，+∞）上单调递增，而 g（ 0）=0，∴在（ 0，+∞）上，有 g（ x）＞ g（ 0） =0．∵当 x＞ 0 时， g（x）=x+2+（x﹣ 2） ?e x＞ 0，且 a＜b，∴，即当 a＜ b 时，．3.（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论 f（ x）的单调性；（Ⅱ）若 f（ x）有两个零点，求 a 的取值范围．解：（Ⅰ）由 f（x）=（x﹣ 2）e x+a（ x﹣ 1）2，可得 f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ e x+2a），①当 a≥ 0 时，由 f ′（x）＞ 0，可得 x＞1；由 f ′（ x）＜ 0，可得 x＜1，即有 f（ x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递增（如右上图）；②当 a＜ 0 时，（如右下图）若 a=﹣，则f′（x）≥ 0恒成立，即有f（x）在R上递增；若 a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有 f（ x）在（﹣∞， 1），（ln（﹣ 2a），+∞）递增；在（ 1，ln（﹣ 2a））递减；若﹣＜a＜0，由 f ′（ x）＞ 0，可得 x＜ ln（﹣ 2a）或 x＞ 1；由 f ′（x）＜ 0，可得 ln（﹣ 2a）＜ x＜ 1．即有 f（ x）在（﹣∞， ln（﹣ 2a）），（1，+∞）递增；在（ ln（﹣ 2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞ 0 时， f（x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0， x→+∞， f（ x）→+∞； x→﹣∞， f（ x）→+∞． f（ x）有两个零点；②当 a=0 时， f（ x）=（x﹣2） e x，所以 f（ x）只有一个零点 x=2；③当 a＜ 0 时，若 a＜﹣时， f（ x）在（ 1，ln（﹣ 2a））递减，在（﹣∞， 1），（ ln（﹣ 2a），+∞）递增，又当 x≤ 1 时， f（x）＜ 0，所以 f（x）不存在两个零点；当 a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有 f（ ln（﹣ 2a））等于 0 才有两个零点而 f（ x）小于零所以只有一个零点不符题意．综上可得， f（ x）有两个零点时， a 的取值范围为（ 0，+∞）．4.（2015?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当 a 为何值时， x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 min { m，n }表示 m，n 中的最小值，设函数 h（ x）=min { f（x），g（ x）}（x＞ 0），讨论 h（x）零点的个数．解：（ i） f ′（x） =3x2+a．设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0， 0），则 f（ x0） =0，f （′ x0） =0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（i i）当 x∈（ 1，+∞）时， g（ x） =﹣ lnx＜ 0，∴函数 h（x）=min { f（ x），g（x）}＜ 0，故 h（ x）在 x∈（ 1，+∞）时无零点．当 x=1时，若 a≥﹣，则 f（1）=a+≥ 0，∴h（x）=min { f（1）， g（1）} =g（ 1） =0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点；若a＜﹣，则 f（ 1） =a+＜0，∴ h（x）=min { f（1），g（1）} =f（1）＜ 0，故 x=1 不是函数 h（ x）的零点；当 x∈（ 0， 1）时， g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑 f（ x）在（ 0，1）内的零点个数即可．①当 a≤﹣ 3 或 a≥ 0 时， f ′（x）=3x2+a 在（ 0，1）内无零点，因此f（x）在区间（ 0，1）内单调，而 f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当 a≥0 时，函数 f（ x）在区间（ 0，1）内没有零点．②当﹣ 3＜a＜ 0 时，函数 f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（ x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即 a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时， f（ x）在（ 0，1）内有两个零点．当﹣ 3＜ a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．当时， h（ x）有一个零点；当a=或时， h（ x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．5.（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（ a﹣ 2）e x﹣ x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（ x）有两个零点，求 a 的取值范围．解：（ 1）由 f（ x） =ae2x+（a﹣2） e x﹣ x，求导 f ′（ x）=2ae2x+（a﹣ 2） e x﹣ 1，当a=0 时， f ′（x）=﹣2e x﹣1＜ 0，∴当 x∈R，f（x）单调递减，当a＞0 时， f ′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1） =2a（e x+）（e x﹣），令 f ′（ x）=0，解得： x=ln ，当 f ′（x）＞ 0，解得： x＞ln ，当 f ′（ x）＜ 0，解得： x＜ ln ，∴x∈（﹣∞， ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当 a＜0 时， f ′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当 a≤0 时， f（x）在 R 单调减函数，当 a＞0 时， f（ x）在（﹣∞， ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若 a≤0 时，由（ 1）可知： f（ x）最多有一个零点，当 a＞0 时， f（ x） =ae2x+（ a﹣ 2） e x﹣ x，当 x→﹣∞时， e2x→0， e x→0，∴当 x→﹣∞时， f（ x）→+∞，当 x→∞， e2x→ ∞，且远远大于x和 x，∴当 x→∞， f（x）→+∞，+e∴函数有两个零点， f（x）的最小值小于 0 即可，由 f（x）在（﹣∞， ln）是减函数，在（ ln， +∞）是增函数，∴f（x）min（）×（）（﹣）× ﹣ln ＜，∴ ﹣﹣ln＜，即ln +﹣＞，=f ln=a+ a 201 1 0设 t= ，则 g（ t） =lnt+t﹣1，（ t＞0），求导 g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞ 1，解得： 0＜a＜1，∴a 的取值范围（ 0， 1）．方法二：（1）由 f（x）=ae2x+（ a﹣ 2）e x﹣x，求导 f ′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣ 1，当a=0 时， f ′（x）=﹣2e x﹣1＜ 0，∴当 x∈R，f（x）单调递减，当a＞0 时， f ′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1） =2a（e x+）（e x﹣），令 f ′（ x）=0，解得： x=﹣ lna，当 f ′（x）＞ 0，解得： x＞﹣ lna，当 f ′（ x）＜ 0，解得： x＜﹣ lna，∴x∈（﹣∞，﹣ lna）时， f（x）单调递减， x∈（﹣ lna，+∞）单调递增；当 a＜0 时， f ′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当 a≤0 时， f（x）在 R 单调减函数，当a＞0 时， f（ x）在（﹣∞，﹣ lna）是减函数，在（﹣ lna，+∞）是增函数；（2）①若 a≤0 时，由（ 1）可知： f（ x）最多有一个零点，②当 a＞ 0 时，由（ 1）可知：当 x=﹣lna 时， f（ x）取得最小值， f（x）min=f（﹣ lna）=1﹣﹣ln ，当a=1，时， f（﹣ lna）=0，故 f（ x）只有一个零点，当a∈（ 1，+∞）时，由 1﹣﹣ ln ＞0，即 f（﹣ lna）＞ 0，故 f（x）没有零点，当a∈（ 0， 1）时， 1﹣﹣ ln ＜ 0，f（﹣ lna）＜ 0，由 f（﹣ 2）=ae﹣4+（ a﹣2）e﹣2+2＞﹣ 2e﹣2+2＞ 0，故 f（x）在（﹣∞，﹣ lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足 n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣ lna，因此在（﹣ lna，+∞）有一个零点．∴a 的取值范围（ 0， 1）．。

第3讲解密函数零点相关问题一、方法综述新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．根据函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标⇔函数)(x f y =有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．二、解题策略类型一：函数零点的分布问题例1．【2020·河南高考模拟】已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，∴()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．【举一反三】函数f (x )＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是()A ．21,41(B ．13(,24C ．3(,1)4D ．(1，2)【答案】C【解析】函数f (x )＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且3()4f ＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f (1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f (x )的零点所在区间为3(,1)4．学科$网类型二函数零点的个数问题例2．【2020·陕西高考模拟】已知函数()()12,2311,2f x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由g （x ）＝xf （x ）﹣1＝0得xf （x ）＝1，当x ＝0时，方程xf （x ）＝1不成立，即x ≠0，则等价为f （x ）＝1x，当2＜x ≤4时，0＜x ﹣2≤2，此时f （x ）＝13f （x ﹣2）＝13（1﹣|x ﹣2﹣1|）＝13﹣13|x ﹣3|，当4＜x ≤6时，2＜x ﹣2≤4，此时f （x ）＝13f （x ﹣2）＝13[13﹣13|x ﹣2﹣3|]＝19﹣19|x ﹣5|，作出f （x ）的图象如图，则f （1）＝1，f （3）＝13f （1）＝13，f （5）＝13f （3）＝19，设h （x ）＝1x ，则h （1）＝1，h （3）＝13，h （5）＝15＞f （5），作出h （x ）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g （x ）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【举一反三】【2020·安徽高考模拟】已知函数e ,0()21,0x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-->⎪⎩若函数()()g x f x m =-有两个零点1x ，2x ，则12x x =+（）A ．2B ．2或12e+C ．2或3D ．2或3或12e+【答案】D【解析】当0x ≤时，()()'1xf x x e =+，当1x <-时，()'0f x <，故()f x 在(),1-∞-上为减函数，当10x -<<时，()'0f x >，故()f x 在()1,0-上为增函数，所以当0x ≤时，()f x 的最小值为()11f e-=-.又在R 上，()f x 的图像如图所示：因为()g x 有两个不同的零点，所以方程()f x m =有两个不同的解即直线y m =与()y f x =有两个不同交点且交点的横坐标分别为12,x x ，故12m <<或0m =或1m e=-，若12m <<，则122x x +=，故0m =，则123x x +=，若1m e =-，则1211132x x e e+=-++=+.综上，选D .类型三已知函数零点求参数例3．【2020·天津高考模拟】已知函数()ln f x x =，20,01,()42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是A ．[0,ln 2]B ．(2ln 2,0)--C ．(]2ln 2,0--D ．[)0,2ln 2+【答案】C【解析】关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，即方程()()m g x f x =-恰有三个不相等的实数解，即ym =与2224b k -=有三个不同的交点.令22ln ,01()()()2ln ,12ln 6,2x x h x g x f x x x x x x x <≤⎧⎪=-=--<<⎨⎪--≥⎩，当12x <<时，2121()20x h x x x x+'=--=-<，函数单调递减；当2x ≥时，2121()20x h x x x x-=-=>，函数单调递增；且当1x =时，22ln 1x x --=，当2x =时，22ln 2ln 2x x --=--，2ln 62ln 2x x --=--，当3x =时，2ln 63ln 31x x --=->，据此绘制函数()h x的图像如图所示，结合函数图像可知，满足题意时m 的取值范围是(]2ln 2,0--.本题选择C 选项.【举一反三】【2020·江苏高考模拟】已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为_______．【答案】116或1--【解析】函数()43f x a x a x =++-+=0，得|x +a |4x--a ＝3，设g （x ）＝|x +a |4x --a ，h （x ）＝3，则函数g （x ）424x a x a xx x ax ⎧---≤-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩，，＞，不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，当x ＞﹣a 时，由f （x ）＝0，得g （x ）＝3，即x 4x-=3，得x 2﹣3x ﹣4＝0，得（x +1）（x ﹣4）＝0，解得x ＝﹣1，或x ＝4；若①﹣a ≤﹣1，即a ≥1，此时x 2＝﹣1，x 3＝4，由等差数列的性质可得x 1＝﹣6，由f （﹣6）＝0，即g （﹣6）＝3得646+-2a ＝3，解得a 116=，满足f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有一解．若②﹣1＜﹣a ≤4，即﹣4≤a ＜1，则f （x ）＝0在（﹣∞，﹣a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3＝4，所以有x 1，x 2是﹣x 4x--2a ＝3的两个解，即x 1，x 2是x 2+（2a +3）x +4＝0的两个解．得到x 1+x 2＝﹣（2a +3），x 1x 2＝4，又由设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2＝x 1+4，解得：a ＝﹣1332+（舍去）或a ＝﹣1332-．③﹣a ＞4，即a ＜﹣4时，f （x ）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a 116=或﹣12-．三、强化训练1．已知函数2,0(),0x x e x f x e x -⎧-≥=⎨-<⎩，若函数()()1g x f x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,4【来源】四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高三上学期第二次调研考试数学（理）试题【答案】A【解析】令()()10g x f x ax =-+=，则()1f x ax =-，则函数()()1g x f x ax =-+有3个零点即直线1y ax =-与函数()y f x =有3个交点，将直线1y ax =-与函数()y f x =的图像分别沿y 轴的正方向上移1个单位，即直线y ax =与函数1,0()1,0x x e x h x e x -⎧-≥=⎨-+<⎩的图像有3个交点，因为1,0()1,0x x e x h x e x -⎧-≥=⎨-+<⎩，满足()()h x h x -=-，所以函数()y h x =是奇函数，因为直线y ax =过点()0,0，所以只需满足直线y ax =与()()10xh x e x =-≥刚好有除点()0,0外的另一个交点即可，()x h x e '=，0(0)10h e =-=，01(0)h e '==，故()()10xh x e x =-≥在点()0,0处的切线方程为y x =，如图，将直线y x =绕原点逆时针旋转，显然()1y ax a =>与()()10xh x e x =->只有一个交点，故实数a 的取值范围是()1,+∞，故选：A.2．已知函数()f x x a =--，若函数()f x 在R 上恒有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．0a ≤B ．0a <或14a =C ．0a ≤或14a =D ．104a <<【来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I 文科数学试题【答案】B【解析】作出y =和y x =，如图所示，要使函数()f x 在R 上恒有两个零点，即函数()g x =()h x x a =+的图象有两个交点，易知当0a <时，满足题意；当0a =时，有三个交点，不满足题意；当0a >时，考虑y x a =+与y =相切时，设切点坐标为()00,x x a +，所以01x a ⎧+=⎪=，解得01414x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当14a =时，有两个交点，满足题意；当104a <<时，有四个交点，不满足题意；当14a >时，无交点，不满足题意综上，实数a 的取值范围为0a <或14a =，故选B .3．已知函数()f x kx =，21x e e ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，()121x g x e +-=+，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，则实数k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学理科试题【答案】C【解析】设()00,x y 是函数()g x 的图象上的任意一点，其关于1y x =+对称的点的坐标为(),x y ，所以001,1x y y x =-=+，所以函数()g x 关于1y x =+对称的函数为()=2ln h x x -.由于()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，故函数()=2ln h x x -与函数()f x kx =图象在区间21,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦有交点，所以方程2ln kx x =-在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以42kx -≤≤，即42k x x -≤≤，所以22k e e-≤≤.故选：C.4．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数B ．()()220206f f -+=C ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则616ii x==∑【来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题【答案】C【解析】由题意，作出函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩的图象，如图所示，对于A 中，当0x ≥，若30x -<，即03x ≤<，可得()()()223333f x x x x x =----=-+，当0x ≥时，()f x 为周期为3的函数，作出()f x 在区间(,6]-∞的函数，可知()f x 在区间[]4,6上先增后减，所以A 错误；对于B 中，因为0x ≥时，函数()f x 为周期为3的函数，又由202067331=⨯+，所以()()()20201,2462f f f =-=-+=，()1132f =-+=，所以()()220204f f -+=，所以B 错误；对于C 中，直线1y kx =+恒过定点()0,1，函数()f x 的图象和函数1y kx =+的图象有三个交点，当0k >，设y 与()f x 相切于点()00,x y ，则020002313k x kx x x =-+⎧⎨+=-+⎩，解得011k x =⎧⎨=⎩，当0k <，根据对称性可知，当()f x 与y 相切时，1k =-，则1310k k >-⎧⎨+<⎩，即113k -<<-，综上可得，当函数()f x 的图象和函数1y kx =+的图象有三个交点时，{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以C 正确．对于D 中，又由函数()y f x b =-在(),6-∞上有个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上由6个交点，不妨设1,1,2,3,4,5i i x x i <+=，由图象可知12,x x 关于直线32x =对称，34,x x 关于直线32x =对称，56,x x 关于直线92x =对称，所以613392229222i i x ==⨯+⨯+⨯=∑，所以D 错误.故选：C.5．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数.()[]f x x x =-，若()f x 的图像上恰好存在一个点与()2(1)(20)g x a x x +--≤≤=的图像上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()10,11,4⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】设02x ≤≤，点()()()(),,,x f x x g x --关于y 轴对称，由题意可知2[](1)x x x a -=-+-在02x ≤≤有一个解，故[][]22(1)31x x x x a x x +-=-++-+=在02x ≤≤有一个解设()[]231h x x x x =-++，02x ≤≤写成分段函数形式即为()()()()22231013212332x x x h x x x x x x x ⎧-+≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+=⎩作出函数图象可知y a =与()[]231h x x x x =-++，02x ≤≤只有一个交点，由图象可知，a 的取值范围为114a -<<-或01a <<故答案为：()10,11,4⎛⎫--⎪⎝⎭6．已知()32f x x x =+，()2,01ln ,02x e x g x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()y f g x m =+(m 为实数)有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为___________.【答案】11ln 22+【解析】()32f x x x =+Q ，求导()2320f x x '=+>，()f x ∴在R 上单调递增.函数()()y f g x m =+有两个不同零点，等价于方程()()0f g x m +=有两个不等实根.设()g x t =，则()f t m =-，又()f x 在R 上单调递增，作出函数()g x的图像，则问题转化为()g x t =在(]0,1t ∈上有两个不同的实根1x ，2x ，12x x <则1221ln 2x ex t =+=，则11ln 2x t =，122t x e -=，12211ln 2t x x e t --=-.设121()ln 2t h t et -=-，(]0,1t ∈，则()1212t h t e t -'=-，()122102t h t e t -''=+>()h t '∴在(]0,1t ∈上单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，()0h t '=在(]0,1t ∈上有唯一零点，故()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 111ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.7．已知函数()4ln 2ln f x e x mx x e x=-+-存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________.【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()0f x =，可得4ln 4ln 12ln ln 1e x x e x m e x x e x x x x-=+=+--，令ln 1e xt x=-，()4ln 1144ln 1e x g t t e x x t x =+=++-，()21ln e x t x-'=，令0t '=，可得x e =，列表如下：x ()0,e e (),e +∞t '+0-t极大值所以，函数ln 1e x t x =-在x e =处取得最大值，即max ln 10e et e =-=.当1x >时，ln 11e xt x=->-.所以，函数()144g t t t =++的定义域为(),0-∞，()2221414t g t t t -'=-=，令()0g t '=，由于0t <，解得12t =-，列表如下：t1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭12-1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()g t '+0-()g t极大值所以，函数()g t 在12t =-处取得最大值，即()max 142402g t ⎛⎫=⨯--+= ⎪⎝⎭，若使得函数()4ln 2ln f x e x mx x e x=-+-存在4个零点，则直线2y m =-与函数()g t 的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为1t 、2t ，作出函数()ln 1e xt x e x=-≠的图如下图所示：由图象可知，12121010t t t t -<<⎧⎪-<<⎨⎪≠⎩.作出函数2y m =-与函数()g t 在(),0-∞上的图象如下图所示：由图象可知，当120m -<-<时，即当102m <<时，直线2y m =-与函数()g t 在()1,0t ∈-上的图象有两个交点，综上所述，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.8．已知函数222,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-≥=⎨--<⎩，给出下列四个结论：①存在实数a ，使函数()f x 为奇函数；②对任意实数a ，函数()f x 既无最大值也无最小值；③对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点；④对于任意给定的正实数m ，总存在实数a ，使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【来源】中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测数学试题【答案】①②③④【解析】如上图分别为0a =，0a >和0a <时函数()f x 的图象，对于①：当0a =时，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，()f x 图象如图1关于原点对称，所以存在0a =使得函数()f x 为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，所以函数()f x 既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图2和图3中存在实数k 使得函数()y f x =图象与yk =-没有交点，此时函数()y f x k=+没有零点，所以对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图2，对于任意给定的正实数m ，取1a m =+即可使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减，故④正确；故答案为：①②④9．已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-，当0x >时，211()12x f x x α-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0,Q αα>∈），当函数()()g x f x t =-有3个零点时，则实数t 的取值范围是__________.【答案】{}111,0,122⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】当(]0,1x ∈时，易知函数2112x y x α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，且0x →时，2y →，1x =时，12y =-，其大致图象如下，()21112x f x x α-⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在(]0,1的大致图象如下，又函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，故函数()f x 的图象如下，要使函数()()g x f x t =-有3个零点，只需函数()y f x =的图象与直线y t =有且仅有3个交点，由图象可知，{}111,0,122t ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．10．设函数lg ,010(){2lg ,10x x f x x x <<=-≥，若b ，c ，d 分别为函数()()g x f x a =-的三个不同零点，则abcd 的最大值是_______.【答案】100ln10e 【解析】()()g x f x a =-有三个不同的零点，即y a =与()y f x =有三个不同交点，如图可知，01,01,110,10100a b c d <<<<<<<<，2lg lg 2lg ,1,10ab c d a bc d --==-=∴==所以210(01)a abcd ad a a -==<<g设2222()10(01),'()1010ln1010(1ln10)x x x x h x x x h x x x ----=<<=-=-gg 令1'()0ln10h x x =⇒=当1(0,'()0,()ln10x h x h x ∈>单调递增；当1(1),'()0,()ln10x h x h x ∈<，单调递减；12ln10max1lg ln101111001100100()(10ln10ln10ln10ln1010ln1010e g x g e -∴=====g g g 故答案为：100ln10e。

高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.12 交点零点有没有极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解.探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1，a R ∈． （I ）若曲线()y f x =在点（1，()1f ）处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（II ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线23y x =-是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由． 【思路引导】（1）根据导数的几何意义得到()'112f a =+=，即1a =；（2这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到()g x 在（0，1）⋃（1,+∞）恒负， ()10g =，故只有一个公共点．当1x >时，()'0g x <，()g x 在（1,+∞）单调递减； 当01x <<时，()'0g x >，()g x 在（0，1）单调递增． 又()10g =，所以()g x 在（0，1）⋃（1,+∞）恒负因此，曲线()y f x =与直线23y x =-仅有一个公共点，公共点为（1，-1）． 例2．已知函数f(x)=lnx ，h(x)=ax(a 为实数)（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，下方？若存在，请求出整数m 【思路引导】（Ⅰ）函数()f x 与()h x 无公共点转化为方程在()0,+∞无解，令，得出x e =是唯一的极大值点，进而得到max t ，即可求解实数a 取值范围；ln xm e x x <- 令()ln x r x e x x =-，则()'ln 1x r x e x =--，再令()ln 1x x e x ϕ=--，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.故实数a 的取值范围为，使得()0φ'x 0=，即，则00x lnx =-，………9分 ()φx 单调递减；当()0x x ,∞∈+时， ()φx 单调递增， 则()φx 取到最小值∴()r'x 0>，即()r x 在区间∴存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.例3．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}． (1)求函数f (x )的解析式； (2)【思路引导】（1）根据()f x 是二次函数，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|13,x x x R -≤≤∈，设出函数解析式，利用函数()f x 的最小值为4-，可求函数()f x 的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当03x <≤时， ()()140g x g ≤=-<，结合单调性由此可得结论．(2)∵()()22334ln 4ln 20x x g x x x x x x x--=-=--->， ，令()0g x '=，得11x =， 23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下：当03x <≤时， ()()140g x g ≤=-<，又因为()g x在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点，故()g x 在()3,+∞上仅有1个零点．点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数． 例4，()()ln 1g x x t x =--．（Ⅰ）求证：当0x >时，()0f x <；（Ⅱ）若函数()g x 在（1，+∞）上有唯一零点，求实数t 的取值范围． 【思路引导】（Ⅰ）求导，得4x =，分析单调性得当0x >时，（t 进行讨论①0t ≤，()g x 在[1，+∞)上是增函数，所以当1x >时， ()()10g xg >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，②若1t ≥， ()g x 在[1，+∞)上是减函数，所以当1x >时， ()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，③若0<t <1时分析单调性借助于第一问，找则当1x x >即，则当2x x >时，，即()0g x <，说明存在，使得()00g x <，即存在唯一零点．1所以当1x >时，()()10g x g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以0t ≤不满足条件． ②若1t ≥，则当1x >时，，所以()g x 在[1，+∞)上是减函数， 所以当1x >时，()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，所以1t ≥不满足条件．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0<t <1时，注意前后问间的联系，找到01x t>，使得()00g x <，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；【同步训练】1 （Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求证：0 1.x > 【思路引导】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用．（Ⅰ）根据函数在2x =处取极值可得7a =，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可． ()0x >，令()322g x x ax =--，可得()g x 在和函数值可得()g x 在()1,+∞上有唯一零点，设为1x ，证明10x x =即可得结论．()0x >，令()322g x x ax =--，则()26g x x a ='-由()0,0a g x '>=，可得()g x ∴在 又()020g =-<，故当 ()0g x <； 又()10g a =-<，故()g x 在()1,+∞上有唯一零点，设为1x ， 从而可知()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增， 因为()f x 有唯一零点0x ，故10x x =且01x >2．已知函数()ln bf x a x x =+ ()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意成立，求实数b 的取值范围． 【思路引导】（1）讨论0a >、0a <两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数()f x 恰有一个零点时实数a 的取值范围；（2）成立，等价于()()max min 2f x f x e ⎡⎤⎡⎤-≤-⎣⎦⎣⎦，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果．②当0a <时，令()0f x '=，解得2a x =-．()0f x '<，所以()f x 在时，()0f x '>，所以()f x 在要使函数()f x 有一个零点，则即2a e =-．综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或a 0>．（2所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以 从而()max f x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e bf b =-+．所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤， 设()=e e 1bb b ϕ--+ ()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时， ()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1． 3．已知函数()()0.xf x e ax a a R a =+-∈≠且(I)若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值； (Ⅱ)若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围； 【思路引导】（1）根据函数的极值的概念得到()000f e a '=+=， 1a ∴=-，根据函数的单调性得到函数的最值．（2）研究函数的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分0a >和0a <，两种情况进行讨论．（2）()xf x e a '=+，由于0xe >．①当0a >时，()()0,f x f x '>是增函数， 且当1x >时，()()10xf x e a x =+->．当0x <时，()()()1110xf x e a x a x =+-<+-<， ，所以函数()f x 存在零点． ②当0a <时， ()()0,ln xf x e a x a =+==-'．在()(),ln a -∞-上()()0,f x f x '<单调递减，在()()ln ,a -+∞上()()0,f x f x '>单调递增，所以()ln x a =-时()f x 取最小值．函数()f x 不存在零点，等价于()()()()()ln ln ln 2ln 0a f a e a a a a a a --=+--=-+->， 解得20e a -<<．综上所述：所求的实数a 的取值范围是20e a -<<．点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问题，常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根的问题．4．已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然数的底数， a R ∈．（Ⅰ）求实数()f x 的单调区间．（Ⅱ）当1a <时，试确定函数()()2g x f x a x =--的零点个数，并说明理由．【思路引导】（Ⅰ）()()2x f x e x a ='+， 令()0f x '>，解出2x a >-， ()'0f x <令，解出2x a <-， 即可得()f x 的单调区间（Ⅱ）()()2e e x a x ag x x x x x --=-=-，当0x =时， ()00g =，现考虑函数ex ay x -=-的零点，令x a t -=，则x a t =+，令()()e t h t t a =-+，考虑函数e t y =与y t a =+的交点，两者相切e 1t =，解得0t =，此时1a =，所以1a <，故函数e t y =与y t a =+无交点，即可得结果．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调区间，研究函数零点问题，第二问中对()()2e e x a x a g x x x x x --=-=-进行这样处理，很容易确定一个零点0，考虑函数e x a y x -=-的零点时使用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决．5 （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点． 【思路引导】可得()f x 在1x =处的切线方程（Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >，可得()f x 的单调区间．（Ⅲ）()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，且()h x 极大值，()h x 极小值可得()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，所以()h x 有且仅有一个零点．点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意()h x '处理时采用因式分解很容易得出()0h x '=的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题．6（Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； 存在唯一零点，求m 的取值范围． 【思路引导】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简()g x ，再利一零点时m 的取值范围 试题解析：（1）由题设，当m e =时，，由()0f x '=，得x e =． ∴当()0,x e ∈，()0f x '<，()f x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上单调递增，又()00ϕ=，结合()y x ϕ=的图象（如图），可知时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 或0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．7 （1）若a e =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【思路引导】（1）函数求导得()()()()()'111xxf x x e e x x e e =+-+=+-，讨论导数的单调性即可得极值；（2）函数求导得()()()()()'111xxf x x e a x x e a =+-+=+-，讨论0a =， 0a <，时函数的单调性及最值即可下结论．（2）()()()()()'111xxf x x e a x x e a =+-+=+-，当0a =时，易知函数()f x 只有一个零点，不符合题意； 当0a <时，在(),1-∞-上， ()'0f x <， ()f x 单调递减； 在()1,-+∞上， ()'0f x >， ()f x 单调递增；，且()120f e a =->， x →-∞， ()f x →+∞，所以函数()f x 有两个零点．在(),ln a -∞和()1,-+∞上， ()'0f x >， ()f x 单调递增；在()ln ,1a -上()'0f x <， ()f x 单调递减；，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．()f x 单调递增；在()1,ln a -上()'0f x <， ()f x 单调递减；，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意．综上：实数a 的取值范围是0a <．点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．8 a R ∈． （1）求函数()f x 的增区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由； （3）设正实数1λ，2λ满足当0a >时，求证：对任意的两个正实数1x ，2x 总有()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+．(参考求导公式： ()()'[]f ax b af ax b +=+')【思路引导】 (1)，对a 进行分类讨论，可得函数()f x 的增区间； （2）由（1）知：若0,a ≤函数在()0,+∞的上为增函数，函数()f x 有至多有一个零点，不合题意． 要使得函数()f x 有两个零点，则函数()f x 有两个零点即可（3）证明：不妨设()120,x x ≤∈+∞，以1x 为变量，令()()()()122122F x f x x f x f x λλλλ=+--，则可以证明()0F x '≥ ，所以()F x 在(]20,x 单调递增；因为(]120,x x ∈所以()()120F x F x ≤=，这样就证明了()()()11221122fx x f x f x λλλλ+≤+,1a e >∴1令()12ln h a ea aa e =--> 所以()h x 在(),e +∞上递增， 所以的()h a > ()230h e e =->所以()f x 在综上： a e >函数()f x 有两个零点,a e a >∴综上： a e >，函数()f x 有两个零点．（3）证明：不妨设()120,x x ≤∈+∞，以1x 为变量 令()()()()122122F x fx x f x f x λλλλ=+--，则()()()()()112211122F x f x x f x f x x f x λλλλλλλ⎡⎤=+-=+-''''⎣'⎦因为0a >，所以()0g x '≥；即()f x '在定义域内递增．又因为()1221222221x x x x x x x λλλλλλ+-=-+=-+且2x x ≤所以1220x x x λλ+-≥即122x x x λλ+≥，所以()()1220f x x f x λλ''+-≥；又因为10λ>，所以()0F x '≥所以()F x 在(]20,x 单调递增；因为(]120,x x ∈所以()()120F x F x ≤= 即()()()11221122fx x f x f x λλλλ+≤+【点睛】本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等． 9，1a <． （1）当0a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；（3）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明【思路引导】（1）求出()f x 的解析式，求出切点坐标，再求出()'f x ，由出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式求出切线方程即可；（2）求导数，分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，分别结合函数单调性判断出函数()g x 的零点的个数；（3）()()12120f x f x x x ++=，化为()()212121212ln x x x x x x x x +-+=- ，设12x x t = ，构造函数()ln t t t ϕ=- ，然后结合函数单调性得到()()212121x x x x +-+≥，解不等式可得结论．（3）证明：当所以即为：所以令所以所以所以因为【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-． 10（a R ∈）． （1）判断函数()f x 在区间)2,e -⎡+∞⎣上零点的个数；（2）当1a =-时，若在[]1,e （ 2.71828e =⋯）上存在一点0x ，使得成立，求实数m 的取值范围． 【思路引导】()1令 )2,x e -⎡∈+∞⎣，得a xlnx -=，记()H x xlnx =， )2,x e -⎡∈+∞⎣，求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数()f x 在)2,e -⎡+∞⎣上的零点个数；()2本题不宜分离，，所以讨论1m +与1e ，的大小，分三种情况，当1m e +≥，()h x 的最小值为()h e ，11m +≤，()h x 的最小值为()1h ，当11m e <+<， ()h x 的最小值为()1h m +，解对应不等式即可．②当11m +≤，即0m ≤时， ()h x 在区间[]1,e 上单调递增，所以()h x 的最小值为()1h ， 由()1110h m =++<，可得2m <-．③当11m e <+<，即01m e <<-时，可得()h x 的最小值为()1h m +，∵()0ln 11m <+<，∴()0ln 1m m m <+<， ()()12ln 12h m m m m +=+-+>， 此时()10h m +<不成立．综上所述，实数m 的取值范围是 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．11 （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）试判断()f x 在区间()1,e 上有没有零点？若有则判断零点的个数． 【思路引导】（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数． 试题解析：12．已知函数()ln ,x af x x ea R +=-∈，其中 2.718,e e =为自然对数的底数．（1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（2）当2a ≥-时，讨论函数()f x 的定义域内的零点个数． 【思路引导】（1）求出()'f x ， ()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数())0f x <恒成立，即证明()f x 在定义域内无零点． 试题解析：，则()f x 单调增， ，则()f x 单调减， 所以1x =是()f x 的极大值点，极大值是()11f =-．（2）由已知()0,x ∈+∞，当2a ≥-时， 2x ax ee +-≥，所以()2ln ln x a xf x x e x e +-=-≤-，【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题．求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值． 13．已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【思路引导】利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围． 试题解析：【点睛】求函数的单调区间，先求出函数的定义域，在对函数求导，在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围．14 （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数． 【思路引导】（1，又1a >，所以，由此可得函数()f x 的单调性，进而可求得极值；（2）由01a <<，得理判断函数零点的个数． 试题解析： （1因为1a >，所以 当x 变化时， ()(),f x f x '的变化情况如下表：()f x 有极大值，且极大值为 当1x =时， ()f x 有极小值，且极小值为1点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．15 （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()21f x x m x =-+的解的个数，并说明理由．【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，从而写出函数的极值；（2）令，0x >，问题等价于求()F x 函数的零点个数，通过讨论m 的范围，判断即可．1点个数．当1m =时， ()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，因为 ()4ln40F =-<，所以()F x 有全品高考网31。

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。

而在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。

下面，我们来详细探讨一下这个问题。

函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。

在实际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。

那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。

首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。

函数的零点为函数与$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。

通过观察函数图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。

对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件进行绘图。

其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。

通过将方程变形化简，最终得到$x$的解析表达式。

这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。

最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。

对于一些无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。

数值计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。

这些方法通过迭代计算，逐渐接近函数的零点。

在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。

综上所述，函数的零点问题在数学中具有重要的意义，我们可以通过图像、解析式和数值计算方法等多种途径来求解函数的零点。

在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个关键的内容，掌握这个问题对于学生的数学能力提高和应试能力提升都具有重要作用。

因此，我们应该重视并加以学习和实践。