高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n nn a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

卜人入州八九几市潮王学校〔全国卷Ⅰ〕2021年高考数学压轴卷理〔含解析〕一、选择题〔此题一共12道小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，那么A∩B=(). A.(2,3)B.[2,3)C.[－4,2]D.(－4,3)2.(1i)(2i)z =+-，那么2||z =〔〕 A.2i +B.3i +C.5D.103.假设向量a＝1,2⎛ ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，那么向量a 与b 的夹角为() A.6πB.4π C.3π D.2π 4.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为 A.8B.12C.16D.245.某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．〕A.6%B.19%C.28%D.34%6.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如下列图的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，那么①②③处可分别填入的是() A.17?,,+1is s i i i≤=-=B.1128?,,2is s i i i≤=-=C 17?,,+12is s i i i ≤=-= D.1128?,,22i s s i i i≤=-=7.变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么2z x y =+的最大值为〔〕 A.1 B.2 C.3 D.48.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之〔其意为：使容量均匀递减〕，上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？〔〕 A.二升B.三升C.四升D.五升9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，3,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么b=() A.110..假设直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，那么41a b +的最小值是〔〕A.9B.4C.12D.1411.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2px =交于E ，G 两点，假设1sin 3MFG ∠=，那么抛物线C 的方程是〔〕A.2y x = B.22y x =C.24y x = D.28y x =12.函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，假设方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，那么m 的取值范围是〔〕A.(1,)+∞B.(0,1)(1,)⋃+∞C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13.()0,θπ∈，且sin()4πθ-=，那么tan2θ=________．14.设m 为正整数，()2mx y +展开式的二项式系数的最大值为()21m a x y ++，展开式的二项式系数的最大值为b ，假设158ab =，那么m=______．15.函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，那么实数a 的取值范围是__________．16.如图，六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出以下结论： ①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD 与BC 所成角为45°；⑤直线PD 与平面PAB 其中正确的有_______〔把所有正确的序号都填上〕三．解答题〔本大题一一共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题12分〕△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，24sin 4sin sin 22A BA B -+=〔1〕求角C 的大小； 〔2〕4b=，△ABC 的面积为6，求边长c 的值.18.〔本小题12分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，122BC CD AB ===，∠ABC=∠BCD=90°，E 为PB 的中点。

2019 浙江省高考压轴卷 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U A C B ⋂= A. ∅ B. {}5 C. {}3 D. {}3,52. 已知双曲线222211x y a a-=-（0a >，则a 的值为（ ） A.12C. 133.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为4A +． 2B ．4C +．D ． 4. 若复数z 满足： ()1120z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 12-B. 12C. 12i -D. 12i 5. 函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A BC D6.已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -68. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是25P ＝.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望()E X 和方差()D X 分别是（ ）.A.25，1825B. 65，1825C. 65，1625D. 65，12259.已知A ，B ，C 是球O的球面上三点，且3AB AC BC D ＝＝，＝为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为（ ）．A.2B.4 D. 27410. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若755,55a S ==-，则n nS 的最小值为（ ） A ．-343B ．-324C ．-320D ．-243非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12. 已知,x y 满足条件0,40, 10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是_____，原点到点(),P x y 的距离的最小值是_____．13．在ABC ∆中，若2,120b A ==，三角形的面积S =c =________；三角形外接圆的半径为________.14.已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.15.已知实数()(),0lg ,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．16. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种17. 已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且O A O B ⊥（O为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知等差数列n 的前项和为n，若*12401)4(2m m m S S S m m N ≥∈－＋＝－，＝，＝，且．(1)求m 的值； (2)若数列{}n b 满足*22()nn a log b n N ∈＝，求数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和．20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，，, ABCD平面ABCD ， ,M N 分别是,BC PC 的中点. （1）证明： AM PAD ⊥平面；（2）若H 为上的动点，与平面PAD 所成最大角的正切值为2，求二面角M AN C --的余弦值.21.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为5.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 22.已知函数()()2ln R f x x ax x a =-+-∈.（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.KS5U2019 浙江省高考压轴卷 数学（Word 版含KS5U 解析）1．【KS5U 答案】D【KS5U 解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =， {}1,2B =， ∴{}3,4,5,6U B =ð，∴(){}{}{}1,3,53,4,5,63,5U A B ⋂=⋂=ð.选D. 2. 【KS5U 答案】B【KS5U 解析】因为222112c a a a =+-==，所以2212e a==，解得2a =，故选B. 3.【KS5U 答案】D 【KS5U 解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱'''ABC A B C -，、斜边是2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积1221222262S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+ 故选：D ． 4. 【KS5U 答案】B【KS5U 解析】()1120z i ++= ()1111i 12i 2z -⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭,所以复数z 的虚部是12,选B.5. 【KS5U 答案】D【KS5U 解析】设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 6.【KS5U 答案】A【KS5U 解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ． 7.【KS5U 答案】B 【KS5U解析】()()()()450122334401223344554444455555511x x C C x C x C x C x C C x C x C x C x C x-+=-+-++++++ ()()234234514641510105x x x x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为322311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.8.【KS5U 答案】B【KS5U 解析】由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率25P ＝. 从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，所以33223(3,()()0123.555()()ii i X B P X i C i -～)，＝＝＝，，， X 的分布列为均值()355E X np ⨯＝＝＝， 方差()2218135525()D X np p ⨯⨯＝－＝(1-)＝. 9.【KS5U 答案】D 【KS5U 解析】如图，在△ABC 中，∵3AB AC BC ＝＝，＝ ∴由余弦定理可得12cosA ＝－，∴sinA设△ABC 外接圆O ′的半径为r23r r ，得＝. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ，则222)32R R ＝(＋，解得R ＝. 由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R时，三棱锥D ­ABC 的体积最大，1332ABC S ∆⨯⨯＝∴三棱锥D ­ABC体积的最大值为12734.10. 【KS5U 答案】A【KS5U 解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵755,55a S ==-，∴()11a 65{5a 2d 55d +=+=-解得1a 19{4,d =-=∴()2n n n 1S 19n 42n 21n,2-=-+⨯=-32n nS 2n 21n ∴=-， 设()()()()32f x 2x 21x x 0,f x 6x x 7=->=-',当 07x <<时，()f x 0'<,当7x >时，()f x 0'>,故n nS 的最小值为()7343f =-. 故选：A.11.【KS5U 答案】7,53 【KS5U 解析】 设共有人，由题意知 8874x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 12.【KS5U答案】【KS5U 解析】不等式组对应的可行域如下：当动直线20x y t +-=过时，2x y +有最大值，又()2,2B ，故2x y +的最大值为6． 原点到P 的距离的最小值即为OA ==13．【KS5U 答案】2 2 【KS5U 解析】121202S csin ==⨯︒，解得c=2. ∴2222222212012a cos =+-⨯⨯⨯︒=， 解得a=∴242a R sinA ===， 解得R=2.故KS5U 答案为：2;2.14.【KS5U 答案】 4 【KS5U解析】设向量,a b的夹角为θ，由余弦定理有：21254cos a b θ-=+=-，212a b +=+=，则： 54cos a b a b ++-=+令54cos 5y θ=++-[]21016,20y =+，据此可得： ()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．15.【KS5U 答案】(],2-∞-【KS5U 解析】原问题等价于()()2f x f x t +=-有三个不同的实根，即y t =-与()()2y f x f x =+有三个不同的交点，当0x ≥时，()()22x x y f x f x e e =+=+为增函数，在0x =处取得最小值为2，与y t =-只有一个交点.当0x <时，()()22lg ()lg()y f x f x x x =+=-+-，根据复合函数的单调性，其在(),0-∞上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需2t -≥，解得2t ≤-. 16.【KS5U 答案】A【KS5U 解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有42648⨯⨯=种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；则符合题意要求的编排方法有363648120++=种；故选A ． 17.【KS5U答案】2【KS5U 解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，由222211y x x y a b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222()20a b x a x a a b +-+-=，42222244()()0a a b a a b ∆=-+->，221a b +>，2122222212222a x x a b a a b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∵OA OB ⊥，∴12120O A O B x x y y ⋅=+=，即12122()10x x x x -++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，整理得22222a b a b +=，2222222()a a c a a c +-=-，222222222()a a e a a a e -=-，2222212111e a e e -==+--，∵1[,22e ∈，∴272[,5]3a ∈，即2a ==最大．19.【KS5U 答案】（1）5；（2）1*12()()2n n T n n N ⨯∈－＝－＋． 【KS5U 解析】(1)由已知得，14m m m a S S －＝－＝，且12214m m m m a a S S ＋＋＋＋＝－＝， 设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d ＋＝， 2.d ∴＝由0m S ＝，得1(1)202m m ma -⨯＋＝，即11a m ＝－，11()214m a a m m ∴⨯＝＋－＝－＝，5m ∴＝.(2)由(1)知14226n a d a n ∴＝－，＝，＝－，3232n n n n log b b ∴－－＝，得＝，322(62)2n n n n a b n n ∴⋅⨯⨯－－＋＝＝.设数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和为n T ， 则1032(1222122)n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－－＝＋＋＋－＋，① 0121(2122212)2n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－＝＋＋＋－＋，②①－②，得10212222n n n T n ⋯⨯－－－－＝＋＋＋－112(12)212n n n --⨯-－＝－111222n n n ⨯－－＝－－， 1*()112()2n n T n n N ∴⨯∈－＝－＋．20.【KS5U 答案】（1）详见KS5U 解析（2）5 【KS5U 解析】(1)证明：由四边形ABCD 为菱形， 120BAD ∠=︒，可得60ABC ABC ∠=︒，为正三角形。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则0<b <1，所以当b →0时，6i =1x i f x i →0；当b →1时，6i =1x i f x i →6，所以6i =1x i f x i 的取值范围是0,6 ，故D 正确.故选：BCD .26.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln x +x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A.0<x 0<1eB.x 0>1eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。

2022届高考数学压轴题1．已知函数f（x）＝xlnx−12（a+1）x2﹣x．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意的x∈[e﹣1，e]都有f（x）≥﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝xlnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝1+lnx﹣2x﹣1＝lnx﹣2x，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝﹣2，f（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣2（x﹣1），即为y＝﹣2x；（2）对任意的x∈[e﹣1，e]都有f（x）≥﹣1，所以f（1）=−12（a+1）﹣1≥﹣1，所以a≤﹣1．下面证明当a≤﹣1时，对任意的x∈[e﹣1，e]时，都有f（x）≥﹣1．易得f′（x）＝lnx﹣（a+1）x，①若a+1≤﹣e，即a≤﹣e﹣1，当x∈[e﹣1，e]时，f′（x）＝lnx﹣（a+1）x≥0，所以f（x）在[e﹣1，e]上递增，所以当x∈[e﹣1，e]时，f（x）≥f（e﹣1）＝﹣e﹣1−12（a+1）e﹣2﹣e﹣1≥−32e﹣1＞﹣1，满足题意，故a≤﹣e﹣1；②若﹣e＜a+1≤0，即﹣e﹣1＜a≤﹣1，设h（x）＝lnx﹣（a+1）x（x∈[e﹣1，e]），则易得h（x）＝lnx﹣（a+1）x在（x∈[e﹣1，e]递增，又h（1）＝﹣（a+1）≥0，h（e﹣1）＝﹣1﹣（a+1）e﹣1＜0，所以h（x）＝lnx﹣（a+1）x在[e﹣1，1]上存在零点，设为x0，则lnx0﹣（a+1）x0＝0，所以f（x）在[e﹣1，x0）递减，在（x0，e]递增，所以当x∈[e﹣1，e]时，f（x）≥f（x0）＝x0lnx0−12（a+1）x02﹣x0=12x0lnx0﹣x0，设g（x）=12xlnx﹣x（x∈[e﹣1，1]），则g′（x）=12lnx−12＜0，所以g（x）=12xlnx﹣x在（e﹣1，1]递减，所以g（x）≥g（﹣1）＝﹣1，所以当﹣e﹣1＜a≤﹣1时，f（x）≥﹣1，满足题意．综上可得，a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．2．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点是F ，直线l ：2kx ﹣2y +1＝0恰好经过F ，且与C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点P ． （Ⅰ）求证：点P 在定直线y =−12上；（Ⅱ）点E （0，t ），当AF →=2FB →时，D 为线段AB 的中点，且满足DE →•DF →=0，求四边形APBE 的面积四边形S 四边形APBE ．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵直线l ：2kx ﹣2y +1＝0恰好经过F （0，12）， ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝2y ．联立{y =kx +12x 2=2y，整理可得x 2﹣2kx ﹣1＝0， △＝4（k 2+1）＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，因为y =x 22的导数为y ′＝x ，所以抛物线在A （x 1，x 122）处的切线方程为：y =x 1x −x 122， 同理抛物线在B （x 2，x 222）处的切线方程为y =x 2x −x 222． 联立①②可得{x =x 1+x 22=k y =−12，即点P 的坐标为（k ，−12）． ∴点P 在定直线y =−12上；（Ⅱ）∵AF →=2FB →，∴x 1＝﹣2x 2，又x 1+x 2＝2k ，∴x 1＝4k ，x 2＝﹣2k ，代入x 1x 2＝﹣1，解得k =±√24． 由对称性可知，求四边形APBE 的面积只需取k =√24，AB =√1+k 2√(x 1−x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√4k 2+4=2（1+k 2）=94，设AB 的中点为D ，则x D =x 1+x 22=k =√24，y D =kx D +12=58，即可得D （√24，58）． ∵E （0，t ），DE →⋅DF →=0，∴216+18×(58−t)=0，解得t =138， 将直线AB 方程√24x −y +12=0化为x −2√2y +√2=0，则点E到AB的距离d1=|0−2√2×138+√2|√1+8=3√24．所以S△ABE=12|AB|•d1=27√232，由（Ⅰ）知两切线的交点P的坐标（k，−1 2），又k=√24，此时P的坐标（√24，−12），则点P到AB的距离d2=|√24−2√2×(−12)+√2|√1+8=3√24，∴S△ABP=12|AB|•d2=27√232．又已知P，E两点在AB的同侧，所以S四边形APBE＝S△ABE+S△ABP=27√232+27√232=27√216．。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。