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2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项3时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由题意，得∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}，故选A. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z (2＋i)＝3＋2i ，则下列结论正确的是( ) A ．z 的共轭复数为85－15iB ．z 的虚部为－15C ．z 在复平面内对应的点在第二象限D ．|z |＝95解析：因为复数z (2＋i)＝3＋2i ，所以z ＝3＋2i 2＋i ＝(3＋2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝8＋i5，由此可得z ＝8＋i 5，选项A 错误；因为z ＝8－i 5，所以z 的虚部为－15，选项B 正确；z在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，－15，在第四象限，选项C 错误；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－152＝6525＝655，选项D 错误，故选B. 答案：B3．已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－1D ．1解析：∵AB→＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－1)，∴AB →·BC →＝1×(－4)＋2×(－1)＝－6，故选B.答案：B4．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|sin x | B ．f (x )＝lne －x e ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x )D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )解析：对于选项A ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，f (x )为偶函数，排除A.对于选项B ，f (－x )＝ln e ＋xe －x ＝－ln e －xe ＋x ＝－f (x )，f (x )为奇函数，且f (x )＝ln e －xe ＋x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2e e ＋x ，易知其在[－1,1]上为减函数，排除B.对于选项C ，f (－x )＝12(e －x－e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x 在[－1,1]上均为增函数，所以f (x )＝12(e x －e －x )在[－1,1]上为增函数，满足条件．对于选项D ，f (－x )＋f (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln1＝0，即f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．又f (0)＝0，f (1)＝ln(2－1)＜0＝f (0)，不满足f (x )在[－1,1]上为增函数，排除D.综上可知，选C.答案：C5．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3系数为56，则实数a 的值为( ) A ．6或－1 B ．－1或4 C ．6或5D ．4或5解析：因为(x ＋1)6(ax －1)2＝(x ＋1)6(a 2x 2－2ax ＋1)，所以(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中x 3系数是C 36－2a ·C 46＋C 56a 2＝6a 2－30a ＋20，∴6a 2－30a ＋20＝56，解得a ＝6或－1，故选A.答案：A6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与圆x 2＋y 2－6y＋5＝0相切，则双曲线C 的离心率为( )A.32 B.23 C.62D.94 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即±bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程是x 2＋(y －3)2＝4，若渐近线与此圆相切，则3aa 2＋b 2＝3ac＝2，则e ＝c a ＝32，故选A.答案：A7．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A．42π2B．22π2C．52π2D．4π2解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2，故选A.答案：A8．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是( )A．S＝2，即5个数据的方差为2B．S＝2，即5个数据的标准差为2C．S＝10，即5个数据的方差为10D．S＝10，即5个数据的标准差为10解析：由程序框图知：算法的功能是求S ＝(x 1－20)2＋(x 2－20)2＋…＋(x i －20)2的值，∵跳出循环的i 值为5，∴输出S ＝15×[(18－20)2＋(19－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故选A.答案：A9．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是( )A.115 B.215 C.245 D.445 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数为(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为P ＝4C 210＝445，故选D. 答案：D10．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，则下列命题中不正确的是( )A ．函数y ＝g (x )图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B ．函数y ＝g (x )图象关于x ＝11π12对称C ．函数y ＝g (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π24，0对称D ．函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5π12内为减函数解析：由题可知，函数f (x )的最小正周期为π，其中ω>0，所以ω＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π4个单位后得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，对于A 项，函数g (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，相邻两条对称轴之间的距离为T 2＝π2，故A 项正确．对于选项B ，令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称轴为x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝2，x ＝11π12，故B 项正确．对于C 项，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，可得函数g (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )，此时7π24不满足π6＋k π2，故C 项错误．对于选项D 项，由k π≤2x ＋π6≤(k ＋1)π(k ∈Z )，解得k π2－π12≤x ≤5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ≥0时，函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，5π12，故D 项正确．故选C.答案：C11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2AD ，E 是DD 1的中点，BF ＝C 1K ＝14AB ，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线l，∵A1D1∥CN，∴∠MNC是直线l与直线A1D1所成角(或所成角的补角)，设AB＝AA1＝2AD＝2，∵E是DD1的中点，BF＝C1K＝14AB，∴DE＝1，BF＝C1K＝14AB＝12，∵CK＝32，∴MDMC＝DECK，NBNC＝BFCK，即MDMD＋2＝132，NBNB＋1＝1232，解得MD＝4，NB＝1 2，∴MC＝4＋2＝6，CN＝3 2，∴tan ∠MNC ＝MC NC＝632＝4， ∴直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值为4，故选D. 答案：D12．对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，都存在x 1，x 2(x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2)，使得ax 1－＝ax 2－＝m ln m －m ，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(e 2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，e 2)D ．(0,1)解析：由题意可知，对任意m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2关于x 的方程ax －e x ＝m ln m －m 总有两个不相等的实数根．令f (m )＝m ln m －m ，m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 2，则f ′(m )＝ln m ＋1－1＝ln m ，当m ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1时，f ′(m )＜0，当m ∈(1，e 2]时，f ′(m )＞0，所以f (m )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e 2]上单调递增，所以f (m )min ＝f (1)＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝1e ln 1e －1e ＝－2e ，f (e 2)＝e 2ln e 2－e 2＝e 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＞－1，所以f (m )的值域为[－1，e 2]，则所求问题转化为ax －e x ＝k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根，即e x ＝ax －k (k ∈[－1，e 2])至少有两个实数根．考查临界情况：当k ＝e 2时，直线y ＝ax －e 2与指数函数y ＝e x 相切．由y ＝e x 得y ′＝e x ，设切点为(x 0，)，则切线斜率，y 的切线方程为y －＝(x －x 0)，切线过点(0，－e 2)，得－e 2－＝(0－x 0)，即e 2＋＝x，显然方程e 2＋＝x的根为x 0＝2，此时切线的斜率k ＝e 2，如图．由图可知，当切线的斜率a ＞e 2时，方程k ＝ax －e 2有两个不相等的实数根，所以a ＞e 2，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，则cos2α＋cos α＝________.解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝13，得cos α＝13，所以cos2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cosα＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132－1＋13＝－49.答案：－4914．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，若f (m )＝－6，则f (m －61)＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2－5，x ＜3，－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m ＜3时，f (m )＝3m －2－5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6， 解得m ＝63，∴f (m －61)＝f (2)＝32－2－5＝－4. 答案：－415．已知两圆x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，∴4a 2＋b 2＝3，∴4a 2＋b 2＝9， ∴1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋1b 2×4a 2＋b 29＝59＋b 29a 2＋4a 29b 2≥59＋49＝1，当且仅当b 29a 2＝4a 29b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b2的最小值为1.答案：116．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，点M 与F 关于坐标原点O 对称，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，使得AB ⊥BM ，又A 点在x 轴上的投影为C ，则|AF |＋|AC |－|BF |－|BC |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于一般的抛物线方程y 2＝2px 和过焦点的直线方程x ＝my ＋p2，联立直线方程与抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，则x 1x 2＝1，又AB ⊥BM ，得B 在以MF 为直径的圆上，故x22＋y22＝1，而y22＝4x2，得1－x22＝y22＝4x2，又|AF|－|BF|＝1＋x1－(1＋x2)＝x1－x2＝1x2－x2＝1－x22x2＝4x2x2＝4.由1－x22＝4x2，可得x2＝5－2(负值舍去)，则x1＝1x2＝5＋2，从而可得A(5＋2,25＋2)，B(5－2，－25－2)，注意到C(5＋2,0)，可得|AC|2－|BC|2＝4(5＋2)－[42＋4(5－2)]＝0，则|AC|－|BC|＝0，故|AF|＋|AC|－|BF|－|BC|＝4.答案：4。
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。
2020高考数学（理）考前题型增分特训 解答题选填题“17～19题”＋“二选一”专项9时间：45分钟 满分：46分17．(12分)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠ADC ＝60°，CD ＝2.(1)若AD ＝BD ＝3，求△ABC 的面积； (2)若AD ＝2，BD ＝4，求sin B 的值． 解：(1)当AD ＝BD ＝3时，△ABD 的面积S △ABD ＝12·AD ·BD ·sin ∠ADB ＝12·3·3·32＝934，△ACD 的面积S △ACD ＝12·AD ·CD ·sin ∠ADC ＝12·3·2·32＝332， △ABC 的面积S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝934＋332＝1534.(2)当AD ＝2，BD ＝4时，∠ADB ＝180°－∠ADC ＝120°，在△ADB 中，由余弦定理可得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋42－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝28，故AB ＝27.在△ADB 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB＝AD sin ∠B，即2732＝2sin∠B，整理得sin∠B＝327＝2114.18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝12AB.(1)过BD作截面与线段CF交于点N，使得AF//平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；(2)在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)当N为线段FC的中点时，使得AF∥平面BDN.证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝O.∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．又∵N为FC的中点，∴ON为△ACF的中位线，∴AF∥ON. (2分)∵AF⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN，故N为FC的中点时，使得AF∥平面BDN.(4分)(2)过O作PQ∥AB分别与AD，BC交于P，Q.因为O为AC的中点，所以P，Q分别为AD，BC的中点．∵ΔADE 与ΔBCF 均为等边三角形，且AD ＝BC ， ∴ΔADE ≅ΔBCF ，连接EP ，FQ ，则得EP ＝FQ . ∵EF ∥AB ，AB 綊PQ ，EF ＝12AB ，∴EF ∥PQ ，EF ＝12PQ ，∴四边形EPQF 为等腰梯形．取EF 的中点M ，连接MO ，则MO ⊥PQ .(6分)又∵AD ⊥EP ，AD ⊥PQ ，EP ∩PQ ＝P ，∴AD ⊥平面EPQF . 过O 点作OG ⊥AB 于G ，则OG ∥AD ，∴OG ⊥ OM ，OG ⊥OQ .(8分)分别以OG→，OQ →，OM →的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，不妨设AB ＝4，则由条件可得：O (0,0,0)，A (1，－2,0)，B (1,2,0)，F (0,1，2)，D (－1，－2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，22. AB→＝(0,4,0)，AF →＝(－1,3，2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABF 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，－x ＋3y ＋2z ＝0，所以可取n ＝(2，0,1)． (10分)由BN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－12，22，可得|cos 〈BN→，n 〉|＝|BN →·n ||BN →|·|n |＝23， ∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.(12分)19．(12分)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)经过点A (1,2)，过A 作两条不同直线l 1，l 2，其中直线l 1，l 2关于直线x ＝1对称．(1)求抛物线E 的方程及准线方程；(2)设直线l 1，l 2分别交抛物线E 于B 、C 两点(均不与A 重合)，若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程．解：(1)∵抛物线E 过点A (1,2)，∴2p ＝4，解得p ＝2， (2分) ∴抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.(4分)(2)法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为x －1＝m (y －2)(m ＞0)，即x ＝my －2m ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2m ＋1，y 2＝4x 消去x 整理得y 2－4my ＋8m －4＝0.设B (x B ，y B )，则y B ＋2＝4m ，故y B ＝4m －2， ∴x B ＝4m 2－4m ＋1， ∴点B (4m 2－4m ＋1,4m －2)．(6分)又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以－m 代替点B 坐标中的m ， 可得点C (4m 2＋4m ＋1，－4m －2)． ∴|BC |＝(－8m )2＋(8m )2＝82m ，且BC 中点的横坐标为x B ＋x C2＝4m 2＋1.(8分)∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切， ∴4m 2＋1＋1＝|BC |2＝42m ，解得m ＝22， (10分)∴B (3－22，22－2)，C (3＋22，－22－2)∴k BC ＝－1，∴直线BC 的方程为y －(22－2)＝－(x －3＋22)，即x ＋y －1＝0.(12分)法二：设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为直线l 1，l 2关于x ＝1对称，所以AB 与AC 的倾斜角互补，所以k AB ＋k AC ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝4y 1＋2＋4y 2＋2＝0，所以y 1＋y 2＝－4， 所以k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 214－y 424＝4y 1＋y 2＝－1. (6分)设直线BC 的方程为y ＝－x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y 2＝4x消去y 整理得x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ＋4，x 1x 2＝m 2， 所以|BC |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1，且BC 中点D 的横坐标为x 1＋x 22＝m ＋2.(8分)因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线x ＝－1相切， 所以x 1＋x 22＋1＝|BC |2，即m ＋3＝22m ＋1，解得m ＝1， (10分)所以直线BC 的方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋r cos αy ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6＝3，且曲线C 1与C 2恰有一个公共点．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)已知曲线C 1上两点A ，B 满足∠AOB ＝π4，求△AOB 面积的最大值．解：(1)曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6＝32ρsin θ＋12ρcos θ＝3，将ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 代入上式可得C 2的直角坐标方程为32y ＋12x ＝3，即x ＋3y －6＝0，所以曲线C 2为直线．又曲线C 1是圆心为(2,0)，半径为|r |的圆，圆C 1与直线C 2恰有一个公共点， 所以|r |＝|2－6|2＝2，所以圆C 1的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0，把x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.(2)由题意可设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ρ2，θ＋π4，()ρ1>0，ρ2>0，S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin π4＝24ρ1ρ2＝42cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝4()cos 2θ－sin θcos θ ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos2θ2－sin2θ2 ＝2＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π4＝1时，△AOB 的面积最大，且最大值为2＋22.23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x ＋4|－m ，m ∈R ，且f (x －2)≤0的解集为[－4,0]． (1)求m 的值；(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c≥2.解：(1)因为f (x －2)＝|x －2＋4|－m ＝|x ＋2|－m ≤0，所以|x ＋2|≤m ， 所以m ≥0，且－m ≤x ＋2≤m ，解得－2－m ≤x ≤－2＋m . (3分) 又不等式f (x －2)≤0的解集为[－4,0]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－m ＝－4，－2＋m ＝0，解得m ＝2.(5分)(2)由(1)知a ＋2b ＋c ＝2，则1a ＋b ＋1b ＋c ＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b ＋c a ＋b ·a ＋b b ＋c ＝2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． (10分)。
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足222)S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵)222a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到12cos sin 2ac B ac B =，B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==，OP =，所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项7时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2D ．2i解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝()1＋2i i i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A ＝{}(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －2)2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )A. 2B. 3 C．2 D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝e x－1x的大致图象为( )解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝x e x－1－e x－1x2＝e x－1(x－1)x2.当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x>0时，f(x)>0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.答案：A6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )A.155B.156C.158D.1515解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠FAG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°， 可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23，故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠FAG ＝AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝155.答案：A8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )A ．2 5B ．4C ．23D ．22解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a2sin B cos B ＝3sin B，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－92a，解得a ＝23，故选C.答案：C9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6) B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12 C ．x ＝π18 D ．x ＝π24 解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，cos φ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π24是f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24的展开式中x 2的系数为( )A ．12B ．3 C.52 D.72 解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴12·(－a )＝－1，求得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x－24＝(x －2)816x 4，要求其展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开式中x 2的系数为C 28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A.938B.3π2C.15π4D ．4π解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH ＝R2，由勾股定理得R 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝12，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON中，r 2＝KN 2＝ON 2－KO 2＝R 2－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2＝154π，故选C. 答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：314．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2－10x 2＝0.答案：015．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋(y＋1)2＋3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－(y＋4)－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1。
2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（附解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，2]D ．R2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－1＋iB ．2C ．－2D ．－1－i3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.OA →＝－(OB →＋OC →)B.OA →与BO →的夹角为120° C.OA →⊥(OB →－OC →) D.OA →在OB →上的投影为－124．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( )A ．－252B ．－12C ．－8D ．－52 5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．4807．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88?8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n－11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．69．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 310．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋112．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：y 关于x 的线性回归方程为________．15．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．16．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．质量指标值频数(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图1和表(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19.(12分)如图，在几何体ABCD-A′B′C′D′中，四边形ABCD是边长为22的正方形，四边形A′B′C′D′是平行四边形，AA′⊥平面ABCD，AA′∥BB′∥CC′∥DD′，DD′＝4，BB′＝1，M是线段CC′上一点，且CM＝1，AM∥平面A′B′C′D′.(1)求线段AA′的长；(2)求直线DD′与平面A′D′B所成角的正弦值．20．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且3x1x2＋4y1y2＝0，试求△AOB的面积(O为坐标原点)．21．(12分)已知函数f(x)＝a e2x－a e x－x e x(a≥0，e为自然对数的底数)，若f(x)≥0对于x ∈R恒成立．(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且ln 22e＋14e2≤f(x0)<14.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值．23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1| (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，2]D ．R 解析 集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}＝{y |y ≤2}， 集合B ＝{x |2 019x >1}＝{x |x >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0,2]．故选B. 答案 B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－1＋iB ．2C ．－2D ．－1－i解析 因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，所以复数z 2＝－1＋i ，z 1z 2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2，故选C.答案 C3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.OA →＝－(OB →＋OC →)B.OA →与BO →的夹角为120° C.OA →⊥(OB →－OC →) D.OA →在OB →上的投影为－12解析 对于A ，由平行四边形法则可知OB →＋OC →＝AO →＝－OA →，正确； 对于B ，OA →与BO →的夹角为60°，错误；对于C ，OA →·(OB →－OC →)＝OA →·OB →－OA →·OC →＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，正确；对于D ，OA →在OB →上的投影为－12，正确，故选B.答案 B4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( )A ．－252B ．－12C ．－8D ．－52 解析 当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时显然适合上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *，所以b n ＝(n －5)a n ＝2n (n －5)．令f (x )＝2x (x －5)，易知对称轴为x ＝52， 所以b n 的最小值为b 2＝b 3＝－12.故选B. 答案 B5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)解析 设A ＝{x |x ≤m }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋1<1＝{x |x <－1或x >3}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴m <－1，∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选D.答案 D6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．480 解析 分成两类：(1)甲乙均不参加比赛：共有A 44＝24种情况；(2)甲乙有且只有一人参加比赛：共有C 12A 34＝48种情况．∴不同的参赛方案共有24＋48＝72种．故选B. 答案 B7．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88? 解析 因为cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 289° ＝44(cos 21°＋cos 289°)＋cos 245° ＝44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5， 所以x ≤89. 答案 B8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n－11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析 由a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，得公比q ＝2，所以a n ＋1－a n ＝(a 2－a 1)·2n －1＝2n . 所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1. 从而，由不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2，得12n －12n ＋1≥λ2n ＋2，即λ≤2.则λ的最大值是2.答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 3解析 由43πR 3＝43π，得球的半径R ＝1， ∴正三棱柱的高等于球的直径，即h ＝2R ＝2. 设三棱柱的底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝34×(23)2×2＝63，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 解析 依题意，T 2＝13π12－7π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝12，所以7π6＋φ＝π6＋2n π(n ∈Z )或7π6＋φ＝5π6＋2n π(n ∈Z )，解得φ＝－π＋2n π(n ∈Z )或φ＝－π3＋2n π(n ∈Z )．因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3，所以f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令π2＋2k π<2x －π3<3π2＋2k π(k ∈Z )，解得5π12＋k π<x <11π12＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．因为函数f (x )的最小正周期为π，所以选项D 符合题意．故选D. 答案 D11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋1解析 取PF 2的中点A ，则由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得2OA →·F 2P →＝0，即OA →⊥F 2P →.在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2.又由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝c ，所以(3－1)c ＝2a ，解得e ＝3＋1.故选D.答案 D12．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x ，x >0，－e xx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图像，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析 本题考查空间直线和平面间的位置关系．当l ⊥m ，m ∥α时，l 与α不一定垂直，可能相交，也可能平行；当l ⊥m ，l ⊥α时，m ∥α；当m ∥α，l ⊥α时，l ⊥m ，综上可知，正确命题是若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α.或若m ∥α，l ⊥α，则l ⊥m .答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：y 关于x 的线性回归方程为________．解析 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，∵x →＝2.5，y →＝4.5，∴由题意得⎩⎨⎧4.5＝2.5b ^＋a ^，23.5＝12b ^＋a ^，解得⎩⎨⎧a^＝－0.5，b^＝2，∴线性回归方程为y ^＝2x －0.5.答案 y ^＝2x －0.515．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．解析 (1＋x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·x r ，所以x 4的系数为C 47－C 37＋C 27＝C 27＝21.答案 2116．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．解析 解法一：设点A ，B 到直线OM 的距离分别为d A ，d B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA ||QB |＝d A d B ＝S △AOM S △BOM ＝12⇒S △AMQ ＝13S △AMB ＝S △AOM ，故M 为OQ 的中点，所以Q (12,4)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BQ →＝2QA →⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 12－x 2＝2(x 1－12)，4－y 2＝2(y 1－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝36－2x 1，y 2＝12－2y 1.代入y 22＝4x 2，并结合y 21＝4x 1解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝16，y 1＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0(不合题意，舍去)．故直线l 的斜率k ＝y 1－y Q x 1－x Q ＝8－416－12＝1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－6，y 1－2)，MB →＝(x 2－6，y 2－2)，又MO →＝(－6，－2)，所以由奔驰定理，得MA →·S △OMB ＋MB →·S △AMO ＋MO →·S △BMA ＝0⇒2MA →＋MB →＋3MO →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＋x 2－36＝0，2y 1＋y 2－12＝0.把x 1＝y 214，x 2＝y 224代入解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝16，y 1＝8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝－4.故求得k AB ＝1，即直线l 的斜率为1.结论拓展 奔驰定理：已知O 为△ABC 内一点，则有OA →·S △OBC ＋OB →·S △OAC ＋OC →·S △OAB ＝0. 答案 1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．解析 (1)由a n ＋1＝S n ＋2，得a n ＝S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 1＋2＝m ＋2，{a n }是等比数列，∴m ＋2m ＝2，∴m ＝2.(4分) (2)由(1)得，a n ＝2n ，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，令b 1＋b 2＋…＋b n ＝T n ，则T 2k ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝21＋23＋…＋22k －1＋(3＋5＋…＋2k ＋1)＝2·1－4k 1－4＋k 2＋2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k .(7分)∴当n 为偶数时，T n ＝23(4n 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋2·n 2＝23·2n ＋n 24＋n －23.(8分) T 2k －1＝T 2k －b 2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k －(2k ＋1)＝23·4k ＋k 2－53. ∴n 为奇数时，T n ＝23·4n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－53＝43·2n ＋n 24＋n 2－1712.(10分)故b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23·2n ＋n 24＋n －23，n 为偶数，43·2n ＋n 24＋n 2－1712，n 为奇数.(12分)18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图1和表(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析(1)根据图1和表1得到2×2列联表：设备改造前设备改造后合计合格品8696182不合格品14418合计100100200(1分) 将2×2列联表中的数据代入公式计算得：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝200×86×4－96×142 182×18×100×100＝5 000819≈6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．(4分)(2)根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为86100＝4350，设备改造后产品为合格品的概率约为96100＝2425；显然设备改造后产品合格率更高，因此，改造后的设备更优．(6分)(3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的概率为16，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为16.(7分)由已知得：随机变量X的取值为：240,270,300,330,360.(8分)P (X ＝240)＝16×16＝136，P (X ＝270)＝C 12×13×16＝19，P (X ＝300)＝C 12×12×16＋13×13＝518，P (X ＝330)＝C 12×12×13＝13，P (X ＝360)＝12×12＝14. ∴随机变量X 的分布列为：(10分)∴E (X )＝240×136＋270×19＋300×518＋330×13＋360×14＝320.(12分)19.(12分)如图，在几何体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 是边长为22的正方形，四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，AA ′⊥平面ABCD ，AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′，DD ′＝4，BB ′＝1，M 是线段CC ′上一点，且CM ＝1，AM ∥平面A ′B ′C ′D ′.(1)求线段AA ′的长；(2)求直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值．解析 (1)设AA ′＝x ，连接A ′C ′，则由AM ∥平面A ′B ′C ′D ′，平面AMC ′A ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝A ′C ′，得AM ∥A ′C ′，所以四边形A ′C ′MA 是平行四边形，则C ′M ＝x ，C ′C ＝x ＋1.连接B ′D ′交A ′C ′于点O ′，连接AC ，BD 交于点O ，连接OO ′，则OO ′为梯形BB ′D ′D 的中位线，得2OO ′＝5.又易知OO ′为梯形A ′C ′CA 的中位线，所以x ＋x ＋1＝2OO ′＝5，得x ＝2，即线段AA ′的长为2.(5分)(2)解法一：延长D ′A ′，DA 交于点Q ，由AA ′＝2，D ′D ＝4，得AA ′是△QD ′D 的中位线．连接BQ ，则AO 为△DQB 的中位线，AO ∥BQ ，所以BQ ⊥BD ， 又DD ′∥AA ′，AA ′⊥平面ABCD ，所以BQ ⊥D ′D ， 所以BQ ⊥平面BDD ′B ′，所以平面BQD ′⊥平面BDD ′.作DH ⊥BD ′于点H ，则DH ⊥平面BQD ′，∠DD ′B 即所求线面角．由DB ＝DD ′＝4，得∠DD ′B ＝45°，则直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为22.(12分)解法二：以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD ′→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A ′(22，0,2)，D ′(0,0,4)，B (22，22，0)，A ′D ′→＝(－22，0,2)，A ′B →＝(0,22，－2)，D ′D →＝(0,0，－4)．设平面A ′D ′B 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧m ·A ′D ′→＝0，m ·A ′B →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－22a ＋2c ＝0，22b －2c ＝0.令a ＝1，则m ＝(1,1，2)为平面A ′D ′B 的一个法向量．(9分) 故直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为|cos 〈m ，D ′D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·D ′D →|m |·|D ′D →|＝22.(12分)20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y ＝2x ＋3相切，点P 在椭圆C 上，|PF 1|＝2，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．解析 (1)依题意有b ＝32＋1＝3，∴b 2＝3.由|PF 1|＝2及椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2.由|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，得a 2－3a ＋3＝c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，解得c ＝1，a ＝2. 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，化简可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即3＋4k 2－m 2>0， 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2，(6分) 所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k2. 由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 23＋4k 2＝0，即2m 2＝3＋4k 2.(8分)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·48(3＋4k 2－m 2)(3＋4k 2)2＝1＋k 2·12m 2，点O 到AB 的距离d ＝|m |1＋k2＝m 21＋k2，(10分)所以S△AOB＝12·d·|AB|＝12·1＋k2·12m2·m21＋k2＝3，故三角形AOB的面积为 3.(12分)21．(12分)已知函数f(x)＝a e2x－a e x－x e x(a≥0，e为自然对数的底数)，若f(x)≥0对于x ∈R恒成立．(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且ln 22e＋14e2≤f(x0)<14.解析(1)由f(x)＝e x(a e x－a－x)≥0可得g(x)＝a e x－a－x≥0.∵g(0)＝0，∴g(x)≥g(0)，∴x＝0是g(x)的一个极小值点，∵g′(x)＝a e x－1，∴g′(0)＝a－1＝0⇒a＝1.(2分)当a＝1时，g(x)＝e x－1－x，g′(x)＝e x－1，∵x∈(－∞，0)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减；x∈(0，＋∞)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；∴g(x)≥g(0)＝0，∴a＝1.(4分)(2)当a＝1时，f(x)＝e2x－e x－x e x，f′(x)＝e x(2e x－x－2)．令h(x)＝2e x－x－2，则h′(x)＝2e x－1，∵x∈(－∞，－ln 2)，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数；x∈(－ln 2，＋∞)，h′(x)>0，h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数，∵h(－1)<0，h(－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，(6分) ∵h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴x∈(－∞，x0)时h(x)>0，即f′(x)>0，f(x)在(－∞，x0)上为增函数；x∈(x0，－ln 2)时，h(x)<0，即f′(x)<0，f(x)在(x0，－ln 2)上为减函数．∴f (x )在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x 0，(7分)由于h (0)＝0，且h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数，∴x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数；x ∈(0，＋∞)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0.(8分)综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．(9分)∵h (x 0)＝0，∴2e x 0－x 0－2＝0，∴f (x 0)＝e2x 0－e x 0－x 0e x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，(10分) ∵x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14.∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2. 综上知，ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值．解析 (1)ρ3＋sin 2θ＝23⇔3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，得3(x 2＋y 2)＋y 2＝12，化简可得C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由l 的参数方程可得直线l 过点P (1,1)，且直线l 的斜率是34，所以过点P (1,1)的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)， 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 是参数)代入x 24＋y 23＝1，整理得84t 2＋240t －125＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝－207，t 1t 2＝－12584，所以||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝207.(10分)23．(10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1；(2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12. 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|－|2x －1|. 所以⎩⎨⎧ x <12，2－x －1＋2x ≥1，或 ⎩⎨⎧ 12≤x ≤2，2－x －2x ＋1≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2－2x ＋1≥1， 解得0≤x ≤23，所以当a ＝2时，不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤23.(5分) (2)证明：f (x )＝|x －a |－|2x －1|＝|x －a |－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12 ≤|a －x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.(10分)。
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项1时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－2＜x ＜2}解析：∵A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2＋x －2＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选C.答案：C2．若复数z 满足(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.22B.12C.2D.3解析：因为(1＋z )(1＋i)＝1＋2i ， 所以z ＝1＋2i 1＋i－1＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )－1＝3＋i 2－1＝1＋i 2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝22，故选A. 答案：A3．已知a ＝log 0.92019，b ＝20190.9，c ＝0.92019，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：因为a ＝log 0.92019<log 0.91＝0，b ＝20190.9>20190＝1,0<c ＝0.92019<0.90＝1，所以a<c<b，故选A.答案：A4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C.答案：C5．函数y＝4cos2xx2＋π的部分图象大致是( )解析：由题意，因为f(x)＝4cos2xx2＋π，所以f(－x)＝4cos(－2x)(－x)2＋π＝f(x)，所以函数f(x)＝4cos2xx2＋π是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项D；又因为当x＝0时，y＝4π，排除选项A；令x＝1，则y＝4cos2π＋1，则y＜0，故选C.答案：C6．若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则实数a的值为( ) A．－2 B．2C．3 D．4解析：解法一：(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为C34C33(－ax)3x2＋C24C12(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.解法二：若a＝－2，则x5的系数不可能为负数，所以排除选项A；选项B中，若a＝2，则(1－ax＋x2)4＝(1－x)8，则x5的系数为C58×(－1)5＝－56，符合题意，故选B.答案：B7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为( )A.34πB.23πC.π3 D.π4 解析：由题意，得(a ＋b )·(3a －2b )＝3a 2＋a ·b －2b 2＝0，则3＋a ·b －4＝0，∴a ·b ＝1，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝11×2＝22，所以a 与b 的夹角为π4，故选D.答案：D8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b sin A －a cos B＝2b －c ，则A ＝( )A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3解析：由3b sin A －a cos B ＝2b －c 及正弦定理可得，3sin B ·sin A －sin A cos B ＝2sin B －sin C ＝2sin B －sin(A ＋B )＝2sin B －sin A cos B －cos A sin B ，所以3sin B sin A ＝2sin B －cos A sin B .因为sin B ≠0，所以3sin A ＋cos A ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.答案：C9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前2 019项和为( )A.2 0182 019B.2 0182 020C.2 0192 020D.2 0172 019解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＝4，S 5＝15，∴a 1＋3d ＝4,5a 1＋5×42d＝15，联立解得a 1＝d ＝1，∴a n ＝1＋n －1＝n ，∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前2019项和S ＝1－12＋12－13＋…＋12019－12020＝1－12020＝20192020，故选C. 答案：C10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，则椭圆方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 26＝1 D.x 222＋y 29＝1 解析：椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 在椭圆上，AB ⊥F 1F 2于F 2，|AB |＝4，|F 1F 2|＝23，可得c ＝3，2b 2a＝4，c 2＝a 2－b 2，解得a ＝3，b ＝6，则所求椭圆方程为x 29＋y 26＝1，故选C.答案：C11．已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上单调递减C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心 解析：f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝2cos 2x －3sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1，所以T＝2π2＝π，A 正确；当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，因为t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12为增函数，y ＝2cos t ＋1在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π12上为减函数，B正确；函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到，C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，D 正确，故选C.答案：C12．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且∠BAC ＝π3，AC ＝2AB ，PA＝1，BC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积等于( )A.1313π6B.33π2C.513π6D.53π2解析：如图，设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，则2r ＝BC sin π3＝23，r＝3.由题意知球心O 在过O 1且与平面ABC 垂直的直线HO 1上， 令HO 1＝PA ＝1，OO 1＝d ，则OH ＝1－d . 设球半径为R ，则在Rt △OO 1B 中有R 2＝d 2＋r 2，① 在Rt △OHP 中有R 2＝(1－d )2＋r 2，② 由①②两式得d ＝12，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋(3)2＝134，R ＝132， 所以该三棱锥的外接球的体积为V ＝43πR 3＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1323＝1313π6，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________.解析：由f (x )＝a e x ＋b ，得f ′(x )＝a e x ，因为函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1＝a ＋b f ′(0)＝2＝a解得a ＝2，b ＝－1，得a －b ＝3.答案：314．已知{a n }是等比数列，前n 项和为 S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝a 1q 2－a 1q ＝4，a 4＝a 1q 3＝16，解得a 1＝2，q ＝2，所以S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝2(1－23)1－2＝14.答案：1415．在一场对抗赛中，A ，B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A 每局获胜的概率均为23，且各局比赛相互独立，则A 在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是________．解析：第1局A 失利为事实，经过5局A 获胜，第2,3,4局A 胜2局，B 胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×23＝827. 答案：82716．已知直线x －3y ＝0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C的右焦点，若FA→·FB →＝0，则C 的离心率为________．解析：因为直线x －3y ＝0经过原点，所以直线与双曲线的交点A 、B 关于原点对称，所以OA ＝OB ，即O 是AB 的中点，由FA→·FB →＝0，得FA ⊥FB ，OF ＝OB ＝c ，直线x －3y ＝0的斜率为33，所以∠BOF ＝30°，则x B ＝c ·cos30°＝32c ，y B ＝c ·sin30°＝12c ，将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2代入双曲线得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 22b 2＝1，即3c 24a 2－c 24b2＝1，因为c 2＝a 2＋b 2，得4a 4＋3c 4－8a 2c 2＝0，即(2a 2－c 2)(2a 2－3c 2)＝0，整理得2a 2－c 2＝0或2a 2－3c 2＝0.因为e ＞1，所以e ＝2.答案： 2。
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
如图是函数f3)⎝⎭6的图象知，A＝2，最小正周期解析：∵函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象有交点，∴根据三角函数线可得出交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1π＋π4ω，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋5π4ω，－22，k 1，k 2都为整数．∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一周期内，∴36＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－22－22)2，解得ω＝π2.6．[2019·唐山摸底考试]把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12 答案：C解析：解法一 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选择C.解法二 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，然后把选项代入检验，易知x ＝π6符合题意，选择C.7．[2019·河南八市重点高中测评]函数f (x )＝4x －3tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )答案：D解析：因为函数f (x )＝4x －3tan x 是奇函数，排除B 、C ；通过特殊值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3－33＝4π－933<0，故选D. 8.学调研]已知函的部分图象如图所示，φ∴cos φ＝0.∵0<φ<π.∴φ的最小正周期和最大值；)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的零点个数．)＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝x－π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2 2x －π4－5π4 －π －π2 0 π2 3π4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 22 0 －1 0 1 22 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1 211－211＋22描点作图如下．函数y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数，即函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝m 的交点个数．由图可知，当m <1－2或m >1＋2时，无零点； 当m ＝1－2或m ＝1＋2时，有1个零点； 当1－2<m <2或2<m <1＋2时，有2个零点； 当m ＝2时，有3个零点．。
2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（附解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{y|y＝log3x,0<x≤9}，B＝{x|2 019x>1}，则A∩B＝( ) A．(0,2) B．(0,2] C．(－∞，2] D．R2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1＋i，则z1z2＝( ) A．－1＋i B．2 C．－2 D．－1－i3.如图，A、B、C是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.＝－(＋)B.与的夹角为120°C.⊥(－)D.在上的投影为－1 24．数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，若b n＝(n－5)a n，则b n的最小值为( )A．－252 B．－12 C．－8 D．－525．已知p：x≤m，q：4x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A．48 B．72 C．144 D．4807．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88?8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．69．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 310．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z )11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋112．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：23.5万元，则y 关于x 的线性回归方程为________．15．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．16．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)19.(12分)如图，在几何体ABCDA′B′C′D′中，四边形ABCD是边长为22的正方形，四边形A′B′C′D′是平行四边形，AA′⊥平面ABCD，AA′∥BB′∥CC′∥DD′，DD′＝4，BB′＝1，M是线段CC′上一点，且CM＝1，AM∥平面A′B′C′D′.(1)求线段AA′的长；(2)求直线DD′与平面A′D′B所成角的正弦值．20．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且3x1x2＋4y1y2＝0，试求△AOB的面积(O为坐标原点)．21．(12分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值．23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1| (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.2020届全国高考数学（理）增分练高考预测卷（一）（解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，2]D ．R 解析 集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}＝{y |y ≤2}， 集合B ＝{x |2 019x >1}＝{x |x >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0,2]．故选B. 答案 B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－1＋iB ．2C ．－2D ．－1－i解析 因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，所以复数z 2＝－1＋i ，z 1z 2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2，故选C.答案 C3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.＝－(＋)B.与的夹角为120°C.⊥(－)D.在上的投影为－12解析 对于A ，由平行四边形法则可知＋＝＝－，正确； 对于B ，与的夹角为60°，错误；对于C ，·(－)＝·－·＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，正确；对于D ，在上的投影为－12，正确，故选B. 答案 B4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( )A ．－252B ．－12C ．－8D ．－52 解析 当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时显然适合上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *，所以b n ＝(n －5)a n ＝2n (n －5)．令f (x )＝2x (x －5)，易知对称轴为x ＝52， 所以b n 的最小值为b 2＝b 3＝－12.故选B. 答案 B5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析 设A ＝{x |x ≤m }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋1<1＝{x |x <－1或x >3}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB ，∴m <－1，∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选D.答案 D6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．480 解析 分成两类：(1)甲乙均不参加比赛：共有A 44＝24种情况；(2)甲乙有且只有一人参加比赛：共有C 12A 34＝48种情况．∴不同的参赛方案共有24＋48＝72种．故选B. 答案 B7．如图所示的程序框图的输出结果为y ＝44.5，则循环体的判断框内应填( )A ．x <88?B ．x ≤89?C ．x <89?D ．x ≤88? 解析 因为cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 289° ＝44(cos 21°＋cos 289°)＋cos 245° ＝44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5， 所以x ≤89. 答案 B8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，且{a n ＋1－a n }成等比数列，则满足不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2的实数λ的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析 由a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，得公比q ＝2，所以a n ＋1－a n ＝(a 2－a 1)·2n －1＝2n .所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1.从而，由不等式11＋a n －11＋a n ＋1≥λ1＋a n ＋2，得12n －12n ＋1≥λ2n ＋2，即λ≤2.则λ的最大值是2.答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 3 解析 由43πR 3＝43π，得球的半径R ＝1， ∴正三棱柱的高等于球的直径，即h ＝2R ＝2. 设三棱柱的底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝34×(23)2×2＝63，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 解析 依题意，T 2＝13π12－7π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝12，所以7π6＋φ＝π6＋2n π(n ∈Z )或7π6＋φ＝5π6＋2n π(n ∈Z )，解得φ＝－π＋2n π(n ∈Z )或φ＝－π3＋2n π(n ∈Z )．因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3，所以f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令π2＋2k π<2x －π3<3π2＋2k π(k ∈Z )，解得5π12＋k π<x <11π12＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．因为函数f (x )的最小正周期为π，所以选项D 符合题意．故选D.答案 D11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12 D ．3＋1解析 取PF 2的中点A ，则由(＋)·＝0，得2·＝0，即⊥.在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2.又由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝c ，所以(3－1)c ＝2a ，解得e ＝3＋1.故选D.答案 D12．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x ，x >0，－e xx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图像，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析 本题考查空间直线和平面间的位置关系．当l ⊥m ，m ∥α时，l 与α不一定垂直，可能相交，也可能平行；当l ⊥m ，l ⊥α时，m ∥α；当m ∥α，l ⊥α时，l ⊥m ，综上可知，正确命题是若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α.或若m ∥α，l ⊥α，则l ⊥m .答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：23.5万元，则y 关于x 的线性回归方程为________．解析 设线性回归方程为＝x ＋，∵＝2.5，＝4.5，∴由题意得解得∴线性回归方程为＝2x －0.5.答案 ＝2x －0.515．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．解析 (1＋x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·x r ，所以x 4的系数为C 47－C 37＋C 27＝C 27＝21.答案 2116．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．解析 解法一：设点A ，B 到直线OM 的距离分别为d A ，d B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA ||QB |＝d A d B ＝S △AOM S △BOM ＝12⇒S △AMQ ＝13S △AMB ＝S △AOM ，故M 为OQ 的中点，所以Q (12,4)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧12－x 2＝2(x 1－12)，4－y 2＝2(y 1－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝36－2x 1，y 2＝12－2y 1.代入y 22＝4x 2，并结合y 21＝4x 1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝16，y 1＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0(不合题意，舍去)．故直线l 的斜率k ＝y 1－y Q x 1－x Q ＝8－416－12＝1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 1－6，y 1－2)，＝(x 2－6，y 2－2)，又＝(－6，－2)，所以由奔驰定理，得·S △OMB ＋·S △AMO ＋·S △BMA ＝0⇒2＋＋3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＋x 2－36＝0，2y 1＋y 2－12＝0.把x 1＝y 214，x 2＝y 224代入解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝16，y 1＝8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝－4.故求得k AB ＝1，即直线l 的斜率为1.结论拓展 奔驰定理：已知O 为△ABC 内一点，则有·S △OBC ＋·S △OAC ＋·S △OAB ＝0.答案 1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．解析 (1)由a n ＋1＝S n ＋2，得a n ＝S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 1＋2＝m ＋2，{a n }是等比数列，∴m ＋2m ＝2，∴m ＝2.(4分)(2)由(1)得，a n ＝2n ，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，令b 1＋b 2＋…＋b n ＝T n ，则T 2k ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝21＋23＋…＋22k －1＋(3＋5＋…＋2k ＋1)＝2·1－4k 1－4＋k 2＋2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k .(7分)∴当n 为偶数时，T n ＝23(4n 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋2·n 2＝23·2n ＋n 24＋n －23.(8分)T 2k －1＝T 2k －b 2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k －(2k ＋1)＝23·4k ＋k 2－53. ∴n 为奇数时，T n ＝23·4n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋122－53＝43·2n ＋n 24＋n 2－1712.(10分) 故b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23·2n ＋n 24＋n －23，n 为偶数，43·2n ＋n 24＋n 2－1712，n 为奇数.(12分)18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：(2)根据图优劣进行比较；(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析(1)根据图1和表1得到2×2列联表：设备改造前 设备改造后 合计合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200(1分)将2×2列联表中的数据代入公式计算得： K 2＝nad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝200×86×4－96×142182×18×100×100＝5 000819≈6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．(4分)(2)根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为86100＝4350，设备改造后产品为合格品的概率约为96100＝2425；显然设备改造后产品合格率更高，因此，改造后的设备更优．(6分)(3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的概率为16，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为16.(7分)由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330,360.(8分)P (X ＝240)＝16×16＝136，P (X ＝270)＝C 12×13×16＝19，P (X ＝300)＝C 12×12×16＋13×13＝518，P (X ＝330)＝C 12×12×13＝13，P (X ＝360)＝12×12＝14. ∴随机变量X 的分布列为：(10分)∴E (X )＝240×136＋270×19＋300×518＋330×13＋360×14＝320.(12分)19.(12分)如图，在几何体ABCDA ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 是边长为22的正方形，四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，AA ′⊥平面ABCD ，AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′，DD ′＝4，BB ′＝1，M 是线段CC ′上一点，且CM ＝1，AM ∥平面A ′B ′C ′D ′.(1)求线段AA ′的长；(2)求直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值．解析 (1)设AA ′＝x ，连接A ′C ′，则由AM ∥平面A ′B ′C ′D ′，平面AMC ′A ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝A ′C ′，得AM ∥A ′C ′，所以四边形A ′C ′MA 是平行四边形，则C ′M ＝x ，C ′C ＝x ＋1.连接B ′D ′交A ′C ′于点O ′，连接AC ，BD 交于点O ，连接OO ′，则OO ′为梯形BB ′D ′D 的中位线，得2OO ′＝5.又易知OO ′为梯形A ′C ′CA 的中位线，所以x ＋x ＋1＝2OO ′＝5，得x ＝2，即线段AA ′的长为2.(5分)(2)解法一：延长D ′A ′，DA 交于点Q ，由AA ′＝2，D ′D ＝4，得AA ′是△QD ′D 的中位线．连接BQ ，则AO 为△DQB 的中位线，AO ∥BQ ，所以BQ ⊥BD ， 又DD ′∥AA ′，AA ′⊥平面ABCD ，所以BQ ⊥D ′D ， 所以BQ ⊥平面BDD ′B ′，所以平面BQD ′⊥平面BDD ′.作DH ⊥BD ′于点H ，则DH ⊥平面BQD ′，∠DD ′B 即所求线面角． 由DB ＝DD ′＝4，得∠DD ′B ＝45°，则直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为22.(12分)解法二：以点D 为坐标原点，，，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A ′(22，0,2)，D ′(0,0,4)，B (22，22，0)，＝(－22，0,2)，＝(0,22，－2)，＝(0,0，－4)．设平面A ′D ′B 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则所以⎩⎪⎨⎪⎧－22a ＋2c ＝0，22b －2c ＝0.令a＝1，则m ＝(1,1，2)为平面A ′D ′B 的一个法向量．(9分)故直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为|cos 〈m ，〉|＝＝22.(12分)20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y ＝2x ＋3相切，点P 在椭圆C 上，|PF 1|＝2，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．解析 (1)依题意有b ＝32＋1＝3，∴b 2＝3.由|PF 1|＝2及椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2.由|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，得a 2－3a ＋3＝c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，解得c ＝1，a ＝2. 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，化简可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即3＋4k 2－m 2>0， 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，(6分)所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. 由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 23＋4k 2＝0，即2m 2＝3＋4k 2.(8分)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k2·48(3＋4k2－m2)(3＋4k2)2＝1＋k2·12m2，点O到AB的距离d＝|m|1＋k2＝m21＋k2，(10分)所以S△AOB＝12·d·|AB|＝12·1＋k2·12m2·m21＋k2＝3，故三角形AOB的面积为 3.(12分)21．(12分)已知函数f(x)＝a e2x－a e x－x e x(a≥0，e为自然对数的底数)，若f(x)≥0对于x∈R恒成立．(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且ln 22e＋14e2≤f(x0)<14.解析(1)由f(x)＝e x(a e x－a－x)≥0可得g(x)＝a e x－a－x≥0.∵g(0)＝0，∴g(x)≥g(0)，∴x＝0是g(x)的一个极小值点，∵g′(x)＝a e x－1，∴g′(0)＝a－1＝0⇒a＝1.(2分)当a＝1时，g(x)＝e x－1－x，g′(x)＝e x－1，∵x∈(－∞，0)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减；x∈(0，＋∞)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；∴g(x)≥g(0)＝0，∴a＝1.(4分)(2)当a＝1时，f(x)＝e2x－e x－x e x，f′(x)＝e x(2e x－x－2)．令h(x)＝2e x－x－2，则h′(x)＝2e x－1，∵x∈(－∞，－ln 2)，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln 2)上为减函数；x∈(－ln 2，＋∞)，h′(x)>0，h(x)在(－ln 2，＋∞)上为增函数，∵h(－1)<0，h(－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，(6分)∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数， ∴x ∈(－∞，x 0)时h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数； x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数．∴f (x )在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x 0，(7分) 由于h (0)＝0，且h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∴x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数； x ∈(0，＋∞)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0.(8分)综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．(9分) ∵h (x 0)＝0，∴2e x 0－x 0－2＝0，∴f (x 0)＝e2x 0－e x 0－x 0e x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，(10分)∵x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14. ∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2.综上知，ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值． 解析 (1)ρ3＋sin 2θ＝23⇔3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，得3(x 2＋y 2)＋y 2＝12， 化简可得C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由l 的参数方程可得直线l 过点P (1,1)，且直线l 的斜率是34，所以过点P (1,1)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)代入x 24＋y 23＝1，整理得84t 2＋240t －125＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－207，t 1t 2＝－12584，所以||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝207.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12. 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|－|2x －1|.所以⎩⎨⎧x <12，2－x －1＋2x ≥1，或⎩⎨⎧12≤x ≤2，2－x －2x ＋1≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2－2x ＋1≥1，解得0≤x ≤23，所以当a ＝2时，不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤23.(5分)(2)证明：f (x )＝|x －a |－|2x －1| ＝|x －a |－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤|a －x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.(10分)。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0（a >0，c >0）恒过点P （1，m ）且Q （4，0）到动直线l 的最大距离为3，则122a c +的最小值为（） A ．92B ．94C ．1D ．92．已知函数321()2f x ax x =+在1x =-处取得极大值，记1()()g x f x ='．在如图所示的程序框图中，若输出的结果20192020S >，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．2019n …？B ．2020n …？C ．2019n >？D ．2020n >？3．某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点： ①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇； ③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或都不去； ⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去. 则该参观团至多去了（） A ．B ，D 两镇B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇D ．A ，C 两镇4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =() A ．0B ．1C ．11D ．125．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数 C．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数6．正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是()A ．0B ．6πC ．3πD ．2π7．设a=211 x ⎰dx ，b=311 x ⎰dx ，c=511x ⎰dx ，则下列关系式成立的是( )A．a 2<b 3<c 5B ．b 3<a 2<c 5C ．c 5<a 2<b 3D ．a 2<c 5<b 38．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是()A ．338- B ．334- C ．338+ D ．334+ 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（） A ．11B ．12C ．21D ．2210．已知函数()()22,12ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x =-+的零点个数为4个时，实数a 的取值范围为（）A ．265,7,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪ ⎝∞⎦+⎭⎝U B ．263,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()265233,,⎛⎤+∞ ⎥ ⎝⎦U11．如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB =+u u u vu u u vu u u v（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．设集合，，，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题“12选择＋4填空”专项2时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜2}C．{x|－2＜x＜0} D．{x|x＞－2}解析：解不等式x2－4＜0得－2＜x＜2，所以集合A＝{x|－2＜x＜2}，解不等式2x＜1得x＜0，所以集合B＝{x|x＜0}，所以A∪B＝{x|x＜2}，故选B.答案：B2．若复数z满足z(1＋i)＝|1＋3i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题得z＝21＋i＝2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－i，所以z＝1＋i，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A.答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)满足(3a＋b)·c＝10，则x＝( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意，向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2，x)，则向量3a＋b＝3(1,1)＋(－1,3)＝(2,6)，所以(3a＋b)·c＝(2,6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1，故选A.答案：A4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A.125 B.340 C.18 D.35解析：如图，F 为月球的球心，月球半径为12×3476＝1738，依题意，|AF |＝100＋1738＝1838，|BF |＝400＋1738＝2138,2a ＝1838＋2138，a ＝1988，a ＋c ＝2138，c ＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501988≈340，故选B.答案：B5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：总体均值为2，总体方差为3D ．丁地：中位数为2，众数为3解析：A 选项，若10天内数据为：0,0,0,0,4,4,4,4,4,10，满足均值为3，中位数为4，存在超过7人的情况，不符合该标志，则A 错误；B 选项，若10天内数据为：0,0,0,0,0,0,0,0,0,10，满足均值为1，方差大于0，存在超过7人的情况，不符合该标志，则B 错误；C 选项，设10天内存在一天超过7人，为最低的超过标志的人数8人，则必有s 2＝110[(x 1－2)2＋…＋(x 9－2)2＋(8－2)2]>3，可知方差不可能为3，可知假设错误，则必符合该标志，则C 正确；D 选项，若10天内数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，满足中位数为2，众数为3，存在超过7人的情况，不符合该标志，则D 错误，故选C.答案：C6．若a >b ，ab ≠0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2>b 2 B ．lg(a －b )>0 C.1a <1bD ．2a >2b解析：对于选项A ，a 2>b 2不一定成立，如a ＝1>b ＝－2，但是a 2<b 2，所以该选项是错误的；对于选项B ，a ＝12，b ＝13，a －b ＝16，lg 16<0，所以该选项是错误的；对于选项C ，1a －1b ＝b －a ab ，因为b －a <0，ab 符号不确定，所以1a <1b不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D ，因为a >b ，所以2a >2b ，所以该选项是正确的，故选D.答案：D7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若m ⊥α，n ⊥β，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，当m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n 时，则必有α⊥β；反之，当α⊥β，m ⊥α，n ⊥β时，则必有m ⊥n ，所以当m ⊥α，n ⊥β时，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的充要条件，故选C.答案：C8．已知M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为( )A ．2 B. 4 C ．6D ．8解析：由于以M 为圆心的圆与直线x ＝－1相切且经过点N (1,0)，根据抛物线的定义可知N 为抛物线的焦点，所以p2＝1，p ＝2，得抛物线方程为y 2＝4x .设斜率为1的直线的方程为y ＝x ＋b ，则x ＝y －b ，代入抛物线方程得y 2＝4(y －b )，整理得y 2－4y ＋4b ＝0，所以y 1＋y 2＝4，y 1＋y 22＝42＝2，得PQ 中点的纵坐标为2，故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2上有最小值－1，则a 的最大值为( )A ．－π2B ．－π3C ．－π4D ．－π6解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a －π3，2π3，f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ，π2上有最小值－1，根据余弦函数的性质，可得2a －π3≤－π，可得a ≤－π3，故选B.答案：B10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4，则sin2θ＝( )A.18 B.310 C.35 D.45 解析：通解：由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝2，∴1＋tan θ1－tan θ＝2，∴tan θ＝13. 当θ在第一象限时，sin θ＝1010，cos θ＝31010， ∴sin2θ＝2×1010×31010＝35；当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010，∴sin2θ＝2×－1010×－31010＝35，故选C. 另解：由题意得sin θ＋cos θ＝2(cos θ－sin θ) 两边平方，得1＋sin2θ＝4(1－sin2θ)， 所以sin2θ＝35.答案：C11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与C 的公共点为P ，若ΔPF 1F 2是直角三角形，则C 的离心率为( )A.2－1B.5－1C.2＋1D.5＋1解析：由题意知|F 1F 2|＝2c ＝|PF 1|，若ΔPF 1F 2是直角三角形，则∠PF 1F 2＝π2，且|PF 2|＝22c ，又由双曲线的定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a ＋2c ＝22c ，即2a ＝(22－2)c .由e＝ca＝12－1，解得e ＝2＋1，故选C.答案：C12．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对于任意的实数x ，都有f (x )＝6x 2－f (－x )，当x ∈(－∞，0)时，2f ′(x )＋1＜12x ，若f (m ＋2)≤f (－2m )＋12m ＋12－9m 2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－23，＋∞ B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，＋∞ C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：因为f (x )＝6x 2－f (－x )， 所以f (x )－3x 2＝－[f (－x )－3(－x )2]．记g (x )＝f (x )－3x 2，则g (x )＝－g (－x )，所以g (x )为奇函数，且g ′(x )＝f ′(x )－6x .又因为当x ∈(－∞，0)时，2f ′(x )＋1＜12x ，即f ′(x )－6x <－12，所以当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．又因为g (x )为奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，若f (m ＋2)≤f (－2m )＋12m ＋12－9m 2，则f (m ＋2)－3(m ＋2)2≤f (－2m )－3(－2m )2，即g (m ＋2)≤g (－2m )，所以m ＋2≥－2m ，所以m ≥－23，故选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1x ＋log 21＋ax1－x为奇函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝1x ＋log 21＋ax1－x为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0， 则－1x ＋log 21－ax 1＋x ＋1x ＋log 21＋ax1－x＝0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋ax 1－x ·1－ax 1＋x ＝0，∴1＋ax 1－x ·1－ax 1＋x ＝1－a 2x 21－x 2＝1， 化简得1－a 2x 2＝1－x 2， ∴a 2＝1，解得a ＝±1. 当a ＝－1时，f (x )＝1x＋log 21－x1－x，则f (x )的定义域为{x |x ≠0且x ≠1}，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a ＝1时，f (x )＝1x＋log 21＋x1－x，满足题意，∴a ＝1.答案：114．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”、“社会主义核心价值观”、“依法治国理念”、“中国戏剧”、“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．解析：由于知识竞赛有五个板块，所以共有C 25＝10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为C 14＝4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P (A )＝25. 答案：2515．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝2a cos B ，且a ＝2，b ＝3，则△ABC 的面积是_____．解析：由题意可知b cos C ＋c cos B ＝2a cos B ， 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， 又在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )， 所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，即sin A ＝2sin A cos B ，又A ∈(0，π)， 所以sinA ＞0， 所以cos B ＝12，又由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，且a ＝2，b ＝3， 整理得c 2－2c －5＝0，解得c ＝1＋6或c ＝1－6(舍)，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.答案：3＋32216．如图1为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银钿工的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线C ：x 23－y 29＝1的右支与直线x ＝0，y ＝4，y ＝－2围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图2，N ，P 分别为C 的渐近线与y ＝4，y ＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等)求得．据此求得该金杯的容积是________．(杯壁厚度忽略不计)图1图2解析：由双曲线C ：x 23－y 29＝1，得x 2＝3＋y 23，由祖暅原理可知，金杯的容积与曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积相同，而曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积为V ＝πx 2d y ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋y 23d y ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3y ＋y 39 ＝π⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋649－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6－89＝26π.∴金杯的容积是26π. 答案：26π。
2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项5时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，B ＝{x |0＜log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,4) B ．(1,2) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜4}， 则A ∩B ＝(2,4)，故选A. 答案：A2．若复数z ＝cos θ＋isin θ，当θ＝4π3时，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意，当θ＝4π3时，sin θ＝－32，cos θ＝－12，所以复数z ＝－12－32i 在复平面所对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－32在第三象限，故选C. 答案：C3．已知等差数列{a n }首项为a 1，公差d ≠0，则“a 1，a 3，a 9成等比数列” 是“a 1＝d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据题意，设数列{a n }的公差为d, 若a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，变形可得：a 1＝d, 则“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的充分条件；若a 1＝d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3d ，a 9＝a 1＋8d ＝9d ，则有a 23＝a 1a 9，则“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的必要条件．综上可得“a 1，a 3，a 9成等比数列”是“a 1＝d ”的充要条件，故选C.答案：C4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离为22，且离心率为3，则该双曲线实轴的长为( )A ．1 B.3 C ．2D ．23解析：由题意可得，焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，故⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝3，b ＝22，c 2＝a 2＋b 2，求解方程组可得a ＝1，则双曲线实轴的长为2a ＝2，故选C. 答案：C5．CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．下图为国家统计局发布的2018年2月至2019年2月全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比；环比表示连续2个单位周期(比如连续两月)内的量的变化比，环比增长率＝(本期数－上期数)/上期数×100%)．全国居民消费价格涨跌幅下列说法错误的是( )A．2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%B．2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%C．2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%D．2018年11月份居民消费价格同比下降0.3%解析：选项A,2019年2月份居民消费价格同比上涨1.5%，题中的说法正确；选项B,2019年2月份居民消费价格环比上涨1.0%，题中的说法正确；选项C,2018年6月份居民消费价格环比下降0.1%，题中的说法正确；选项D,2018年11月份居民消费价格环比下降0.3%，2018年11月份居民消费价格同比上升2.2%，题中的说法错误，故选D.答案：D6．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p，某检验员从该生产线上随机抽取50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若D(X)＝8，P(X＝20)＜P(X＝30)，则p＝( )A．0.16 B．0.2C．0.8 D．0.84解析：∵P(X＝20)＜P(X＝30)，∴C 2050p 20(1－p )30＜C 3050p 30(1－p )20， 化简得1－p ＜p ，即p ＞12.又D (X )＝8＝50p (1－p )，解得p ＝0.2或p ＝0.8. 又p ＞12，则p ＝0.8，故选C.答案：C7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 7－a 4＝6，S 8－S 5＝45，则a 10＝( ) A ．21 B ．27 C ．32D ．56解析：设等差数列{a n }公差为d ，由a 7－a 4＝6得3d ＝6，又S 8－S 5＝45，则a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝45，∴a 7＝15，∴a 10＝a 7＋3d ＝15＋6＝21，故选A. 答案：A8．为了计算S ＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：由S ＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020＝1＋13＋15＋…＋12019－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋14＋…＋12020＝N －T ，即N ＝1＋13＋15＋…＋12019，T ＝12＋14＋…＋12020，则每次循环，i 增加2个数，即i ＝i ＋2，故选B.答案：B9．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2的图象与函数g (x )的图象关于直线x ＝π8对称，则关于函数y ＝g (x )以下说法正确的是( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π8，0对称解析：设点P (x ，y )是函数y ＝g (x )图象上的任意一点，则点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋π4，y 在函数y ＝f (x )的图象上，y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋π4－π2＝－sin2x ＝g (x )，对于选项A ，函数y ＝g (x )的最大值为1，但是g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝0≠±1，所以图象不关于直线x ＝π2对称，所以该选项是错误的；对于选项B ，g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，解2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2得k π－π4≤x ≤k π＋π4，(k ∈Z )，所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C ，由前面分析得函数y ＝g (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，且函数y ＝g (x )不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D ，函数的周期为π，解2x ＝k π，∴x ＝k π2，k ∈Z .所以函数图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，所以该选项是错误的，故选B.答案：B10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB ＝2 ，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ＝1，连接AC .以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D .以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点．如图所示，在Rt △ABC 中，扇形区域ADE 记为Ⅰ，扇形区域CBD 记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，(参考数据：5≈2.236)则( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2＋p 3D ．p 2＝p 1＋p 3解析：根据几何概型可知，p 1，p 2，p 3的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积的大小关系，∵AB ＝2，BC ＝1，∴AC ＝5，CD ＝1，AD ＝5－1，设∠A ＝α，则∠C ＝π2－α，∵tan α＝12<33，∴α<π6.S 1＝12×AD 2×α＝(5－1)22α，S 2＝12×BC 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α，S 1－S 2≈12×1.2362α－π4＋12α<12×1.2362×π6－π4＋12×π6<0， ∴S 1<S 2，∴p 1<p 2，故选B.答案：B11．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC ＝23，则四面体ABCD的体积为( )A.33 B.32C.233 D. 3解析：由AB ＝BC ＝2，AC ＝2，可知∠ABC ＝π2.取AC 的中点M ，则点M 为△ABC 外接圆的圆心，又O 为四面体ABCD 外接球球心，所以OM ⊥平面ABC ，且OM 为△ACD 的中位线，所以DC ⊥平面ABC ，所以三棱锥D －ABC 的体积为V ＝13×12×2×2×23＝233，故选C.答案：C12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0)，O 为坐标原点，则S △AOB ＝( )A ．2 2B.3 C.6 D ．36解析：抛物线的焦点为F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，化简整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k，所以AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2k 2，2k ，AB 的垂直平分线方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1－2k 2，由于AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0)，所以0－2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5－1－2k 2，化简得k ＝±1，即直线AB 的方程为y ＝±(x －1)，点O 到直线AB 的距离d ＝|1|1＋1＝22，又|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝1＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，选A.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y ＝x －a ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 解析：因为曲线y ＝f (x )＝x －a ln(x ＋1)，所以f ′(x )＝1－a x ＋1，因为曲线y ＝f (x )＝x －a ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，所以f ′(0)＝1－a1＝1－a ＝2，a＝－1.答案：－1 14．已知函数f (x )＝cos xx＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________． 解析：解法一：因为函数f (x )＝cos xx ＋12x ＋1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－cos xx－12x ＋1－a ＝cos (－x )－x＋12－x ＋1＋a ，即2a ＝－12－x ＋1－12x ＋1＝－2x 2x ＋1－12x ＋1＝－2x ＋12x ＋1＝－1，则a ＝－12. 解法二：因为函数f (x )＝cos xx ＋12x ＋1＋a 是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即－cos1－12＋1－a ＝－cos(－1)＋12－1＋1＋a ，解得a ＝－12.答案：－1215．设a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin βcos β＝1＋cos2α2cos α＋sin2α，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2β＋π4＝________.解析：sin βcos β＝1＋cos2α2cos α＋sin2α＝2cos 2α2cos α＋2sin αcos α＝cos α1＋sin α＝cos 2α2－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin α2＋cos α22＝cos α2－sinα2sin α2＋cos α2＝1－tanα21＋tan α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α2，故tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α2.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，π4－α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴β＝π4－α2，故2β＝π2－α，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2β＋π4＝tan 3π4＝－1.答案：－116．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，且CD ＝3AD ，BD ＝2，cos ∠ABC 2＝104，则3AB ＋BC 的最大值为__________．解析：设AB ＝x ，BC ＝y ，AD ＝z ， 则CD ＝3z ，AC ＝4z ，在△ABC 中，由cos ∠ABC 2＝104得cos ∠ABC ＝14，由余弦定理得 16z 2＝x 2＋y 2－2xy ×14＝x 2＋y 2－12xy ①在△ADB 中，由余弦定理得 cos ∠ADB ＝2＋z 2－x 222z在△CDB 中，由余弦定理得 cos ∠CDB ＝2＋9z 2－y 222×3z∵∠ADB ＋∠CDB ＝π， ∴2＋z 2－x 222z ＝－2＋9z 2－y 222×3z 化简得12z 2＝3x 2＋y 2－8 ② 结合①②得32＝9x 2＋y 2＋32xy ＝(3x ＋y )2－92xy∵92xy ＝32×3x ×y ≤32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋y 22＝38(3x ＋y )2当且仅当3x ＝y 时取等号，∴32≥(3x ＋y )2－38(3x ＋y )2＝58(3x ＋y )2 ∴3x ＋y ≤1655，当且仅当3x ＝y ＝855时，3x ＋y 即3AB ＋BC 取得最大值1655. 答案：1655。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020高考数学（理）考前题型增分特训
解答题选填题“17～19题”＋“二选一”专项13
时间：45分钟 满分：24分
20.(12分)
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12
，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为k (k ≠0)，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求证：|MF ||PQ |
为定值． 解：(1)由题意可知x 2a 2＋y 2b 2
＝1，令x ＝c 得y ＝±b 2a ， 则|PQ |＝2b 2a
， 则S 四边形APBQ ＝12|AB |·|PQ |＝12×2a ×2b 2a ＝2b 2＝6，解得b 2＝3.∵e ＝c a ＝12
，∴a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2，
∴a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)证明：由题意可知F (1,0)，直线l 的方程为 y ＝k (x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23
＝1，
y ＝k (x －1)，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋(4k 2－12)＝0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3
， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 4k 2＋3. 设PQ 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3， 则MN 的方程为y ＋3k
4k 2＋3＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －4k 24k 2＋3. 令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫k 24k 2＋3，0，∴|MF |＝3(k 2＋1)4k 2＋3. ∵|PQ |＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 24k 2＋32－4(4k 2－12)4k 2＋3＝12(k 2＋1)4k 2＋3
， ∴|MF ||PQ |＝14
为定值． 21．(12分)
已知函数f (x )＝x －x 22＋ax (ln x －1)＋a －1
2
. (1)当a ≤0时，证明：函数f (x )只有一个零点；
(2)若函数f (x )的极大值等于0，求实数a 的取值范围．
解：(1)由题可知f ′(x )＝1－x ＋a ln x .
令g (x )＝1－x ＋a ln x ，则g ′(x )＝a －x x (x ＞0)，
所以当a ≤0时，g ′(x )＝a －x x ＜0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2分)
又因为f ′(1)＝g (1)＝0，所以，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0. 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0， 所以f (x )只有一个零点．
(4分)
(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )的极大值等于0，符合题意．
①当0＜a ＜1时，因为当x ∈(0，a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＜0
且g (1)＝0，g (
)＝1－－1＝－＜0，故存在x 1∈⎝⎛⎭⎫，a ，满足f ′(x 1)＝0.
当x ∈(0，x 1)，f ′(x )＜0，当x ∈(x 1，a )，f (x )＞0.
又x ∈(a,1)，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＜0，
所以此时x ＝1是f (x )的唯一极大值点，且f (1)＝0，符合题意．
(6分) ②当a ＝1时，因为x ∈(0,1)，g ′(x )＞0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＜0，且g (1)＝0. 所以g (x )≤0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减无极值点，不合题意． (8分) ③当a ＞1时，因为当x ∈(0，a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＜0，且g (1)＝0，g (e a )＝1－e a ＋a 2.
令W (a )＝a 2＋1
e a ，则W ′(a )＝－(a －1)2e a ≤0； 所以W (a )＜W (1)＜1，所以1＋a 2＜e a ，即g (e a )＜0.
又因为a ＜1＋a 2＜e a ，故存在x 0∈(a ，e a )，满足
f ′(x 0)＝0，x ∈(a ，x 0)，f ′(x )＞0；x ∈(x 0，e a )，f ′(x )＜0，
此时x ＝1是f (x )的唯一极小值点，x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点，f (x 0)＞f (1)
＝0，不合题意．(11分) 综上可得：a＜1. (12分)。
