下载文档原格式
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知定义在R 上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为( )A.或B.或C.D.2．已知函数满足：，，则下列说法正确的有( )A.是周期函数B.C.D.图象的一个对称中心为3．已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A. B. C. D.4．若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )5．已知()6．在某城市正东方向200km 处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h ，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋( )A.2B.4.5C.9.5D.107．若函数在内恰好存在8个则的取值范围为( )A. B. C. D.()f x ()()()2f x y f x f y +=++()12f =0x >()2f x >-()()2128f x x f x ++->{2xx <-∣}1x >{1x x <-∣}2x >{}12x x -<<∣{}21xx -<<∣()f x ()()()()221f x f x f x f x ++++=()10f -=()f x ()20240f =()()22f x f x +=-()f x ()0,1()2x f x x =+2()log g x x x =+3()h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>ABC △==1.4)≈()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭()0,πx ω197,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭197,62⎛⎤⎥⎝⎦725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为( )10．如图，直线与半径为1的圆C 相切于D 点，射线绕着D 点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆C 于E 点，设，，且恒满足，射线扫过圆C 内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是( )A.的单调递增区间为C.点为的对称中心D.在11．已知函数，则( )A.在为偶函数C.为奇函数D.在上单调递减三、填空题12．若函数，存在使得，则实数a 的值为________.13．2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，A 、B 、C 三点在同一水平面上的投影、、，满4π2π3π4π6π())sin cos (0)f x x x ωωω=+>5π0,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ω()()(){,4,,}B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ωAB DB DA DB BDE x ∠=[]0,πx ∈2DCE BDE ∠∠=DB ()S f x =ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x x π()sin sin ,3f x x x x ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭R ()f x π0,2⎡⎢⎣π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos f x x a =+12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-1A 1B 1C足、，.由C 点测得B 点的仰角为，由B 点测得A 点的仰角为，则的高度为________.14．已知三个复数，，，所对应的向量，满足四、解答题15．已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数a 的值.16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.1CC =11100A C =11145A C B ∠=︒11130B C A ∠=︒15︒60︒1AA 1z 2z z 12z 1OZ2OZ 12OZ OZ ⋅=1z --()42x xf x a =-⋅2a =()f x []1,1-()()()g x f x f x =+-()g x 11-()p c ()q c（1）当漏诊率时，求临界值c 和误诊率；（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角B 的大小；（2）点D 是上的一点，，且，求周长的最小值.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E ，F 分别为棱PD ，BC 的中点，点G 在线段AF 上.（1）证明：平面；（2）求点F 到平面的距离；（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值.19．设函数.（1）设，在处取得最大值，求；（2）关于x 的方程上恰有12个不同的实数解，求实数k 的取值范围.()0.5p c =%()q c ()()()f c p c q c =+[]95,105c ∈()f c ()f c []95,105ABC △sin2sin cos cos cB AC A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AC ABD CBD ∠=∠1BD =ABC △P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA CD ⊥60ABC ∠=︒1PA =PA ⊥ABCD PCD EG ABCD PAD PAF 1θ2θ3θ123sin sin sin θθθ++()sin 2cos f x x x =-()00,2x π∈()f x 0x x =0cos2x ()f x k =]0,6π参考答案1．答案：B解析：因为，，令，则，令，则，令，，且，则，整理得，因为，则，可得，所以，即，可知在定义域在R 上单调递增，又因为，即，可得，即，结合在定义域在R 上单调递增，可得，解得或，所以不等式的解集为或.故选：B.2．答案：A解析：对于A ，由于，故.从而，这就得到，所以，即.所以是周期函数，故A 正确；对于B ，C ，D ，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B ，C ，D 错误；()()()2f x y f x f y +=++()12f =1x y ==()()()21126f f f =++=2,1x y ==()()()321210=++=f f f 2x x =12y x x =-12x x >()()()12122=+-+f x f x f x x ()()()12122-=-+f x f x f x x 12x x >120x x ->()122f x x ->-()()()121220f x f x f x x -=-+>()()12f x f x >()f x ()()2128f x x f x ++->()()212210++-+>f x x f x ()()2123++->f x x x f ()()213f x x f -+>()f x 213x x -+>1x <-2x >()()2128f x x f x ++->{1xx <-∣}2x >()()()()()()()()121122112f x f x f x f x f x f x +++=+++++=+=()()()()1212f x f x +++=()()()()21412f x f x ++++=()()()()()()()()21411210f x f x f x f x ++++=+++≠()()411f x f x ++=+()()4f x f x +=()f x (){}{}{}0,411,411,21x k k f x x k k x k k ⎧∈-∈⎪⎪=∈+∈⎨-∉-∈Z Z Z ()f x ()20241f =()()()()21110321f f f f -==≠==+()10f -=()11f =()1,0-()0,1()1,23．答案：B解析：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B4．答案：C解析：一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，其中点数之和为8的情况如下：，，，，，点数之和为9的情况如下：，，，，点数之和为10的情况如下：，，，点数之和为11的情况如下：，，点数之和为12的情况如下：，故点数之和不小于8的情况共有种，故选：C 5．答案：B解析：在，整理得，而，解得，所以故选：B3()0h x x x =+=0x =0c ∴=()0f x =2x x =-()0g x =2log x x =-2x y =2log y x =y x =-0a <0b >a c b ∴<<()2,6()3,5()4,4()5,3()6,2()3,6()4,5()5,4()6,3()4,6()5,5()6,4()5,6()6,5()6,65432115++++==ABC △cos sin cos cos sin C B A B A B -=2sin cos sin cos cos sin sin()sin C B A B A B A B C =+=+=sin 0C >cos B =πB <<B =解析：如图，当台风中心向西北方向移动到达点C 时，的距离恰好150km ，此时该城市所在地开始受到影响，设t 小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h ，所以km ，由题意知，km ，又台风中心向西北方向移动，所以，由余弦定理可得，解得或（舍），则开始受到影响在之后.故选：B.7．答案：D解析：由题意可得：，因为，，则，AC 20BC t =200AB =45ABC ∠=︒()22222220020150cos cos 452220020t AB BC ACABC AB BCt+-+-∠===︒=⋅⨯⨯4.5h t =≈9.5h t =≈4.5h ()π1sin cos cos cos 62f x x x x x xωωωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭3πcos 23x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭)0x =0π3x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πx ∈0ω>πππ,π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭ππ3ω<-≤ω≤所以的取值范围为.故选：D.8．答案：B 解析：如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，因为内切球表面积为，设内切圆的半径为r ，则，所以内切圆的半径为1，所以的边长为，故圆锥体积，故选：B.9．答案：AB解析：函数，ω725,26⎛⎤⎥⎝⎦ABC △ABC △ABC △4π24π4πr =ABC △1222tan tan 30OD BD OBD =⨯=⨯=∠33OD =⨯=21π33π3V =⨯⨯⨯=)()π()sin cos 2sin 04f x x x x ωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭则，所以，，或，，因为，所以，因为使得集合恰有五个元素，则故选：AB 10．答案：ACD解析：A ：，，B ：因为，故的单增区间为，因此本选项错误；C ：因为，所以点为的对称中心，因此本选项正确；D ：因为，故在故选：ACD.11．答案：BD解析：对于A ，，所以，所以，则在上的()()ππ4sin sin 444f x f y x y ωω⎛⎫⎛⎫⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πsin 14y ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5π,0,4x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ω+πππ5π,4444y ω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()()(){},4,,B x y f x f y x y A =⋅=∈∣ππ44x y ωω+=+=ππ44x y ω+=+=ππ44x y ω+=+=π4x ω+=π4y +=π4x +=π4y +=π5π44ω≤+<ω≤<()22111121sin2sin2222S f x x x x x ==⨯⨯-⨯⨯=- []0,πx ∈ππ44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1cos20f x x ='-≥()f x []0,π()()()11πsin 2πsin 2π2π22f x f x x x x x +-=-+---=ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()π22f f x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭''()f x x 2π11()sin sin sin (sin )sin cos 322f x x x x x x x x x⎛⎫=⋅+== ⎪⎝⎭1cos 2111π22cos 2sin(244426x x x x x -==-+=-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1sin(2,162x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域为对于B ，设，则，所以为偶函数，故B 正确；对于C ，设，则，所以不是奇函数，故C 错误；对于D ，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D 正确；故选：BD 12．答案：解析：由余弦函数的性质，可得，所以的值域为，当时，，，显然不成立；同理，当时，不成立；所以，存在使得，先满足，即，当时，，，，所以集合与集合的交集不为空集，，亦即，所以，所以实数a 的值为0.故答案为：0.13．答案：解析：因为30,4⎡⎢⎣1π111s πin 2cos 2264)4π2(66F x x f x x ⎡⎤-+=-⎢⎥⎝⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()1111cos 2cos 2()4)22(4x F x F x x --=--==π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1π111sin 2sin 22641)4ππ(1222g x x f x x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎛⎛⎫⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎦⎝⎣()1111sin 2=sin 2()()4242g x g x x x -+---=≠π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6ππ5,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,π2π65π362x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦-5π3ππ3π,,6222π26t x ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥-∈⎣⎦=⎣⎦11()sin 24h t t =+5π3π,62t ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h t ()f x π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦1cos 1x -≤≤()cos f x x a =+[1,1]a a -+10a -≥()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+()()121f x f x ⋅=-10a +≤()()121f x f x ⋅=-12,x x ∈R ()()121f x f x ⋅=-101a a -<<+11a -<<()()120f x f x ⋅≠()[]11,1f x a a ∈-+()[]21,1f x a a ∈-+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭[]1,1a a -+11,,11a a --⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢+-⎝⎦⎣⎭a ≥-1a +20a ≤0a =()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒⋅︒()sin105sin 4560sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=分别过B ，C 做，，垂足分别为E ，D ，在中，则，可得，在，，，则，在中，，则所以故答案为：14．答案：解析：设复数，，在复平面内对应的点分别为A，B ，C ，且，所对应的向量，满足，即，不妨令，，则，，，即则，1BE AA⊥1CD BB ⊥111A B C △111105B A C =∠︒11111sinA BB C A==∠1111111111sin sin A C A C B A B A B C ∠=⋅∠=1111111111sin 50sin A C B A C C A B C ⋅∠==+∠Rt BCD △1150CD B C ==15BCD ∠=︒tan 50BD CD BCD =⋅∠=Rt ABE △1160BE A B ABE ==∠=︒tan AE BE ABE =∠=11AA CC BD AE =++=1z 2z 3z 1z 2z 1OZ 2OZ 120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ ()2,0A ()0,2B 12z =22i z =)θθ()θ∈R )3i z θθ=+)))312i 22i 22i z z z θθθθ--=+--=-+-所以当故答案为：15．答案：（1）最小值为，最大值为0；（2）6解析：（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在单调递减，单调递增，所以所以在上的最小值为，最大值为0.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴，即时，，在单调递增，则，解得，即时，在单调递减，单调递增，所以，解得或（舍去），综上，实数a 的值为6.16．答案：（1），；12z z --====πsin 4θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1z --12max z z --==1-2a =()()2422222x x x x f x ==-⋅-⋅12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()22h t t t =-1t =()h t 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]1,2()()()()min max 11,20,h t h h t h ==-==()f x []1,1-1-()()()()42424422x x x x xx x x g a x f x f x a a -----=+-=+-⋅=⋅+-⋅+()()222222x x x x a ---⋅++-=222x x λ-=+≥=22-=x x 0x =()22d a λλλ=--[)2,λ∈+∞λ2≤4a ≤()22d a λλλ=--[)2,+∞()()min 22211d d a λ==-=-a =2>4a >()22d a λλλ=--2,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()2min21124a a d d λ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭6a =6a =-97.5c =() 3.5%q c =（2），最小值为0.02.解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，.（2）当时，；当时，，故，所以在区间的最小值为0.02.17．答案：（1）（2）解析：（1）由二倍角公式得，故由正弦定理得，，而，，故则（2）设，，设，则，在0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c-+≤≤⎧=⎨-<≤⎩50.0020.5%⨯>95100c <<()950.0020.5%c -⨯=97.5c =()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==[95,100]c ∈()()()(95)0.002(100)0.0150.0020.0080.820.02f c p c q c c c c =+=-⨯+-⨯+⨯=-+≥(100,105]c ∈()()()50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02f c p c q c c c c =+=⨯+-⨯+-⨯=->0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩()f c []95,105B =2sin cos sin cosC cos cB B A A a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos cos cos b B a C c A =+2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A B =+=()0,πB ∈sin 0B ∴≠cos B =B =1AD t =2CD t =ADB θ∠=π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ABD CBD ∠=∠=△sin c θ==1==在周长令，则，，即周长最小值为18．答案：（1）证明见解析；解析：（1）连接，取的中点O ，连接，因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，，又，，，所以所以△()sin πa θ==-2==()122sin 1l t t a c θ=+++=+=1sin ,12t θ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦l ===)⎡==+∞⎣1t =min l =AC AD OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC △ADC △OC AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =OC ⊂ABCD OC ⊥PAD PA ⊂PAD PA OC ⊥PA CD ⊥CD OC C = ,CD OC ⊂ABCD PA ⊥ABCD PA ⊥ABCD ,AC AD ⊂ABCD PA AC ⊥PA AD ⊥2CD =1CF =1PA =121sin1202CFD S =⨯⨯⨯︒=△113P FCD V -=⨯=又，设点F 到平面的距离为d ，则解得（3）连接，，则且又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以取的中点M ，连接，则且，又F 为中点，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，则平面，又，平面，所以平面，连接，，则为直线与平面所成的角，即，所以为直线与平面所成的角，即，所以所以又，，所以所以令，则，PC PD ===1222PCD=⨯=△PCD 13P FCD F PCD PCD V V S d --==⋅=△2d =d =OE OG //OE PA 12OE PA ==PA ⊥ABCD OE ⊥ABCD EGO ∠EG ABCD 1EGO θ∠=1sin EO EG θ==PA ME //ME AD 112EM AD ==BC AF BC ⊥//AD BC AD AF ⊥PA ⊥ABCD ,AF AD ⊂ABCD PA AF ⊥PA AD ⊥AF AP A = ,AF AP ⊂PAF AD ⊥PAF EM ⊥PAF AD AP A = ,AD AP ⊂PAD AF ⊥PAD MG AE EGM ∠EG PAF 3EGM θ∠=3sin ME EG θ==AEG ∠EG PAD 2AEG θ∠=2sin θ=123112sin sin sin AG EG EG EG θθθ++=++=12AE PD ==AG x =(0x ≤≤EG ==12332sin sin sin AG EG θθθ+++==32t x =+33,22t ⎡∈+⎢⎣，因为，所以（2）解析：（1）因为，所以函数关于直线对称，因为当时，，其中所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以所以由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，所以综上，（2）因为，所以函数为周期函数，周期为，====33,22t ⎡∈⎢⎣23⎤⎥⎦()123max sin sin sin θθθ++⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝ ()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x -=---=-=()f x πx =π()0,x ∈()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+sin ϕ=ϕ=0(0,π)x ∈0()f x ()f x (0,π)0()f x ()f x (0,2π)0x ϕ+=0πsin sin cos 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭0πcos sin 2x ϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭200cos212sin x x =-=0(π,2π)x ∈0()f x ()f x (0,2π)0sin x =200212sin x x =-=0cos 2x =()()()()2πsin 2π2cos 2πsin 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=()f x 2π所以原问题等价于关于x 的方程上恰有4个不同的实数解，又由对称性可知关于x 的方程上恰有2个不同的实数解，当时，，，，所以因为，所以，因为，解得，所以k的取值范围为.()f x k =2π]()f xk =π)[0,π]x ∈()()sin 2cosf x x x x ϕ=-=+(0)2f =-()π2f =12k k<+<12k k+>1k ≠1k k +<210+<k ∈⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。
洛阳市2019-2020学年数学高二下期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设随机变量X 的分布列如下：则方差D (X)＝（）． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出a 的值，然后求出()E X ，利用公式求出()D X 详解：10.10.30.40.2a =---=()10.220.330.42E X =⨯+⨯+⨯=()210.240.390.45E X =⨯+⨯+⨯=()()()()22541D X E X E X ⎡⎤=-=-=⎣⎦故选B点睛：本题考查了随机变量的分布列的相关计算，解答本题的关键是熟练掌握随机变量的期望与方差的计算方法2．有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（ ） A ．20 B ．120 C ．2400 D ．14400【答案】A 【解析】由题意3620C =，故选A ．点睛：本题是不相邻问题，解决方法是“插空法”，先把数学书排好（由于是相同的数学书，因此只有一种放法），再在数学书的6个间隔（含两头）中选3个放语文书（语文书也相同，只要选出位置即可），这样可得放法数为36C ，如果是5本不同的数学书和3本不同的语文书，则放法为5356A A ． 3．函数与它的导函数的大致图象如图所示，设,当时，单调递减的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 结合图象可得到成立的x 的取值范围，从而可得到的单调递减区间，即可选出答案.【详解】由图象可知，轴左侧上方图象为的图象，下方图象为的图象，对求导，可得，结合图象可知和时，，即在和上单调递减，故时，单调递减的概率为，故答案为B.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合的数学思想，考查了导数的应用，属于中档题. 4．等差数列{n a }中，385a a +=，则前10项和10S =( ) A ．5 B ．25C ．50D ．100【答案】B 【解析】试题分析：因为38381010()5,55252a a a a S ++=∴==⨯=.考点：等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,,,,m n p q m n p q N *+=+∈,则m n p q a a a a +=+．5．函数()2017f x x =+2016x --的最大值为（ ） A ．1- B ．1C ．4033D ．4033-【答案】C 【解析】x 2017+x 2016--(2017)(2016)4033x x ≤+--=,选C.6．如图，在ABC ∆中， ,,BC a AC b AB c ===． O 是ABC ∆的外心， ODBC 于D ， OE AC⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ）A ．::a b cB ．111::a b cC ．sin :sin :sin A B CD ．cos :cos :cos A B C【答案】D 【解析】 由正弦定理有2sin aR A= ,R 为三角形外接圆半径,所以2sin a R A =,在RtBOD ∆中,22221cos 4OD OB BD R a R A =-=-= ,同理cos ,cos OE R B OF R C ==,所以::cos :cos :cos OD OE OF A B C = ,选D.7．在ABC ∆中，3a = 1b =，3A π∠=，则B 等于( ) A ．3π或23π B ．3πC ．6π或56πD ．6π 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求sin B ，再求B . 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =，可得π1sin sin 13sin 23b A B a ⨯===. 由b a <，可得B A ∠<∠，所以π6B ∠=.故选D. 【点睛】本题考查正弦定理的应用. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.8．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若a ，b 都是单位向量，则a b =．③向量AB 与向量BA 相等．④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线． 以上命题中，正确命题序号是（ ） A ．① B ．②C ．①和③D ．①和④【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误 【详解】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB 与向量BA 互为相反向量，故③错误；若AB 与CD 是共线向量，那么,,,A B C D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误， 故选A. 【点睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共线向量，它指两个向量方向相同或相反，这两个向量对应的起点和终点可以不在一条直线上，实际上共线向量就是平行向量．9．已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，若123a f log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2log (sin )7b f π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()0.30.2c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质()()f x f x -=-，将a 转化成()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用单调性比较函数值大小，先比较自变量的大小，再根据增函数，即可比较函数值的大小关系. 【详解】根据题意，()f x 为奇函数，则()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由0.322log (sin)00.21log 37π<<<<，又由()f x 在(,)-∞+∞上是增函数， 则有b c a <<， 故选：D. 【点睛】比较指数值或对数值时可以跟1或0进行比较再排列出大小顺序.10．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种 B ．15种 C ．10种 D ．4种【答案】B 【解析】若4本中有3 本语文和1 本数学参考，则有4种方法，若4本中有1本语文和3本参考，则有4种方法，若4本中有2 语文和2 本参考，则有246C =种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有有446115+++= ，故选B.11．若对任意的实数k,直线y-2＝k(x ＋1)恒经过定点M,则M 的坐标是 A ．(1,2) B ．(1,2-)C ．(1-,2)D ．(1,2--)【答案】C 【解析】∵对任意的实数k ，直线2(1)y k x -=+恒经过定点M ∴令参数k 的系数等于零，得1,2x y =-= ∴点M 的坐标为1,2故选C点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成()(),,0f x y g x y λ+=，解方程组()(),0{,0f x yg x y ==，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标. 12．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．在平面直角坐标系中，曲线在处的切线为，则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______. 【答案】【解析】 【分析】由题意先求出切线为的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程 【详解】 因为，所以， 当时，，，即切点为，切线斜率，则的方程为，即，所以直线恒过定点.又直线与以点为圆心的圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离， 又当时，最大，所以，故所求圆的标准方程为.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力 14．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()1,3- 【解析】试题分析：由题意得()211420132a a ∆=--⨯⨯<⇒-<< 考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其右支上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】(1,3] 【解析】 【分析】设P 点的横坐标为x ，根据|PF 1|=2|PF 2|，P 在双曲线右支（x≥a ），利用双曲线的第二定义，可得x 关于e 的表达式，进而根据x 的范围确定e 的范围． 【详解】∵122PF PF =,P 在双曲线右支(x ⩾a)根据双曲线的第二定义,可得222a a e x e x c c =⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ex=3a ∵x ⩾a ，∴ex ⩾ea ∴3a ⩾ea ，∴e ⩽3 ∵e>1，∴1<e ⩽3 故答案为：(1,3]. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 16．已知X 的分布列如图所示，则（1）()0.3E X =， （2）()0.583D X =，（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________. 【答案】1 【解析】 【分析】由分布列先求出a ，再利用公式计算()E X 和()D X 即可. 【详解】 解：由题意知：10.20.30.5a =--=，即()10.5P X ==；()10.200.310.50.3E X ∴=-⨯+⨯+⨯=()()()()2220.210.30.300.30.510.3D X =⨯--+⨯-+⨯-0.380.0270.2450.652=++=综上，故（1）正确，（2）（3）错误，正确的个数是1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
洛阳市!"#$ !"!"学年第一学期期末考试高二数学试卷 理 参考答案一 选择题#*(),,--,"""")+#")*.,-.""""##+#!).*二 填空题#&!!*!##""""""#'! )""""#(!##槡!""""#)!槡'&&三 解答题#/!解)5":)"0+#;)"0-#:是;的充分条件#"6"+5-!..!分!#"当&$##$!#即$$#&时#+&'")!#"#&$##(!..&分由+5-得$!!&$##!$!#'!#解得#&#$!&*槡(!!..(分!!"当&$##&!#即$&#&时#+&?#不符合题意#舍去!..)分!&"当&$###!#即$##&时#+&'")&$###"#!(!../分由+5-得$!&$##!!$!#'!#解得*#!!$##&!..$分综上#实数$的取值范围是%*#!##&"6!#&#&*槡(!&!..#"分#0!解)!#"设等比数列'$'(的首项为$##公比为;#由题意知;7##则(&&$#!#*;&"#*;&*)()&$#!#*;)"#*;&*+,'!#..!分从而##;&&*/#即;&&*0#..'分所以;&*!#$#&*!#所以$'&!*!"'#..)分('&!*!"@%#*!*!"'&#*!*!"&*!&%#*!*!"'&!..0分!!"由!#"知#('###('#!&*!&%#*!*!"'##&*!&%#*!*!"'#!&&*!&%!*!*!"'##*!*!"'#!&&*!&%!#!@!*!"'*'@!*!"'&&*'&%#*!*!"'&&!('#..##分所以('###('#('#!成等差数列!..#!分高二数学!理"答案"第#页"!共'页""!!"!"%#"#$!解)!#"在/+-,中#7!&/!##'$!*/$789%+,-!在/+.,中#%!&/!##'$!*/$789%+,.!..!分5"%+,-#%+,.& #"6"789%+,-#789%+,.&"#6"%!#7!&!/!##!$!#"6"/!&#!!%!#7!"*#'$!!..'分5"$!#!%7&'/!#"6"$!#!%7&!%!#!7!*$!#即%!#7!*$!&%7#6"789%-+.&%!#7!*$!!%7&#!!5""#%-+.# #"6"%-+.& &!..)分!!"由$&'#%-+.& &及正弦定理得%9:2-&79:2.&'9:2&&槡0&"%&槡0&&9:2-#7&槡0&&9:2.&槡0&&9:2!! &*-"#..0分6"%#7&槡0&&9:2-#槡0&&9:2!! &*-"&槡0&&!&!9:2-#槡&!789-"&09:2!-# )"..#"分5""#-#! ")#-# )#( )##!#9:2!-# )"!##%#70!'#0&#..##分故/+-.的周长的取值范围是!0##!&!..#!分!"!!#"依题意#可设>的方程为"&/1*!!/7""!由1!&0""&/1*'!得1!*0/1##)&"#..!分则/&)'/!*)'$"#/$#或/#*#!..&分设+!"##1#"#-!"!#1!"#则,!"##*1#"#"6"1##1!&0/#1#1!&#)#..'分直线-,的方程为1*1!&1!#1#"!*"#(!"*"!"#即1*1!&01!*1#(!"*1!!0"!..(分令1&"#得"&1#1!&!#所以直线-,经过点0!!#""!..)分!!"由!#"知#"##"!&!/1#*!"#!/1!*!"&/!1##1!"*'&0/!*'#"#"!&1!#0(1!!0&'..0分5"-.0+&!"#*!#1#"#-.0-&!"!*!#1!"#高二数学!理"答案"第!页"!共'页""!!"!"%#"6"-.0+(-.0-&!"#*!"!"!*!"#1#1!&"#"!*!!"##"!"#'##)&&!*#)/!#..#"分故&!*#)/!&"#解得/&A 槡!!..##分所以>的方程为"#槡!1#!&"或"*槡!1#!&"!..#!分!#!!#"取+-的中点,#连接52#.,#5,#易证四边形52.,为平行四边形#从而528.,!..#分5"底面+-.3侧面++#-#-#底面+-.4侧面++#-#-&+-#.,3+-#.,9底面+-.#6".,3侧面++#-#-#..!分6"523侧面++#-#-!..&分又+-#9侧面++#-#-#"6"+-#352!..'分又侧面++#-#-为菱形#所以+-#3+#-#所以+-#3平面+#52!..(分因为+#29平面+#52#所以+-#3+#2!..)分!!"由!#"知#5235+##5235+#5+35+##以5为原点#建立如图所示的空间直角坐标系5*"1B !5"侧面++#-#-是边长为!的菱形#且%++#-#&)"3#6"5!"#"#""#+!"###""#-#!"#*##""#-!*槡&#"#""#.!*槡&!##!#槡&"#2!"#"#槡&"#-.52&!"#"#槡&"!../分设-.+4& -.+.! $""#得4!*槡&! ##*#! #槡& "#6"-.54&!*槡&! ##*#!#槡& "#"6"-.52--.54&& !..0分5"-.52--.54&)-.52)-)-.54)-789%452&槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!#6"槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!&&#解得 &#!或 &*#!舍去"#..$分6"4!*槡&'#&'#槡&!"#-#-.-&!*槡&###""#-#-.4&!*槡&'#/'#槡&!"!设平面-#-4的法向量''&!"#1#B "#由-#-.--''&"-#-.4-''&*+,"得*槡&"#1&"*槡&'"#/'1#槡&!B &*+,"#取''&!##槡&#*&"!..#"分而侧面++#-#-的一个法向量&/&!"#"##"!高二数学!理"答案"第&页"!共'页""!!"!"%#"则789#&/#''$&&/-'')/-)-)'-)&*槡&&#&!..##分又二面角4*--#*+的平面角为锐角#6"二面角4*--#*+的余弦值为槡&&#&..#!分!!!解)!#"当4与坐标原点5重合时#+#-关于原点对称#设+!""#1""#-!*""#*1""!5"2!!#""为椭圆的右顶点#"6"$&!!..#分又直线2+#2-的斜率乘积为*#'#"6"C 2+-C 2-&1"!""!*'&*#'!..!分又""!$!#1"!%!&##6"1"!&%!!#*""!$!"&%!'!'*""!"#即1"!""!*'&*%!'..&分6"%!&#!..'分6"椭圆的标准方程为"!'#1!&#!..(分!!"设4!/#""#直线+-的方程为"&D 1#/!D 7""#/0!*!#!"!由"!'#1!&#"&D 1#*+,/得!D !#'"1!#!/D 1#/!*'&"!..)分则 &'/!D !*'!D !#'"!/!*'"&#)!D !#'*/!"$"#设+!"##1#"#-!"!#1!"#则1##1!&*!/D D !#'#1#1!&/!*'D !#'!../分5"-.+4&!-.4-#"6"!/*"##*1#"&!!"!*/#1!"#"6"1#&*!1!#..0分6"/!&'D !##)$D !#'#1!&!/D D !#'..$分5"/+5-的面积(&#!)/)-)1#*1!)&&!)/1!)#6"(!&$'!/1!"!&$'-'D !##)$D !#'-#)D !!$D !#'"!'#D !"&$-#)D !!$D !#'"!#..#"分6"(&#!)D )$D !#'&#!$)D )#')D )!##当且仅当D !&'$#D &A !&时上式取等号!6"/5+-面积的最大值为#!..#!分高二数学!理"答案"第'页"!共'页""!!"!"%#"。
2019-2020学年河南省洛阳市偃师市七年级第二学期期中数学试卷一、选择题1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（）A．若x＝y，则x﹣5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bcC．若＝则2a＝3b D．若x＝y，则＝2．下列方程中，是一元一次方程的为（）A．2x﹣y＝1B．x2﹣y＝2C．﹣2y＝3D．y2＝43．若关于x的方程3x+2a＝12和方程2x﹣4＝12的解相同，则a的值为（）A．4B．8C．6D．﹣64．解方程时，去分母正确的是（）A．2x+1﹣（10x+1）＝1B．4x+1﹣10x+1＝6C．4x+2﹣10x﹣1＝6D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝15．将方程2x﹣3y﹣4＝0变形为用含有y的式子表示x是（）A．2x＝3y+4B．x＝y+2C．3y＝2x﹣4D．y＝6．若（a+b）2011＝﹣1，a﹣b＝1，则a2011+b2011的值是（）A．2B．1C．0D．﹣17．下列在数轴上表示不等式2x﹣6＞0的解集正确的是（）A．B．C．D．8．不等式组的解集为（）A．x＜3B．x≥2C．2≤x＜3D．2＜x＜39．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m＝3B．m＞3C．m＜3D．m≥310．已知|2x﹣y﹣3|+（2x+y+11）2＝0，则（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共15分）11．不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是．12．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量最少为克．13．当a＝时，关于x的方程﹣＝1的解是x＝﹣1．14．若5x﹣5的值与2x﹣9的值互为相反数，则x＝．15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b＝．三、解答题（75分）16．解方程：x﹣＝﹣117．解方程组：（1）（2）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来：19．某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？20．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．21．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B 商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？22．某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？23．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|+|a+2|；（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（）A．若x＝y，则x﹣5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bcC．若＝则2a＝3b D．若x＝y，则＝【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．解：A、不符合等式的基本性质，故本选项错误；B、不论c为何值，等式成立，故本选项正确；C、∵＝，∴•6c＝•6c，即3a＝2b，故本选项错误；D、当a≠b时，等式不成立，故本选项错误．故选：B．2．下列方程中，是一元一次方程的为（）A．2x﹣y＝1B．x2﹣y＝2C．﹣2y＝3D．y2＝4【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．解：A、2x﹣y＝1是二元一次方程，故本选项错误；B、x2﹣y＝2是二元二次方程，故本选项错误；C、﹣2y＝3是一元一次方程，故本选项正确；D、y2＝4是一元二次方程，故本选项错误．故选：C．3．若关于x的方程3x+2a＝12和方程2x﹣4＝12的解相同，则a的值为（）A．4B．8C．6D．﹣6【分析】先求方程2x﹣4＝12的解，再代入3x+2a＝12，求得a的值．解：解方程2x﹣4＝12，得x＝8，把x＝8代入3x+2a＝12，得：3×8+2a＝12，解得a＝﹣6．故选：D．4．解方程时，去分母正确的是（）A．2x+1﹣（10x+1）＝1B．4x+1﹣10x+1＝6C．4x+2﹣10x﹣1＝6D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【分析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．解：方程两边同时乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6，去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6．故选：C．5．将方程2x﹣3y﹣4＝0变形为用含有y的式子表示x是（）A．2x＝3y+4B．x＝y+2C．3y＝2x﹣4D．y＝【分析】将y看做已知数求出x即可．解：方程2x﹣3y﹣4＝0，解得：x＝y+2．故选：B．6．若（a+b）2011＝﹣1，a﹣b＝1，则a2011+b2011的值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【分析】利用乘方的意义，结合题意列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：∵（a+b）2011＝﹣1，a﹣b＝1，∴，解得：，则原式＝0﹣1＝﹣1．故选：D．7．下列在数轴上表示不等式2x﹣6＞0的解集正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．解：∵2x﹣6＞0，∴2x＞6，则x＞3，故选：A．8．不等式组的解集为（）A．x＜3B．x≥2C．2≤x＜3D．2＜x＜3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥2，∴不等式组的解集为2≤x＜3，故选：C．9．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m＝3B．m＞3C．m＜3D．m≥3【分析】不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选：D．10．已知|2x﹣y﹣3|+（2x+y+11）2＝0，则（）A．B．C．D．【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可．解：∵|2x﹣y﹣3|+（2x+y+11）2＝0，∴，①+②得：4x＝﹣8，即x＝﹣2，②﹣①得：2y＝﹣14，即y＝﹣7，则方程组的解为，故选：D．二、填空题（每题3分，共15分）11．不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是a＜0．【分析】不等式的两边同时除以一个数，不等号的方向改变，则这个数为负数．解：∵ax＞b的解集是x＜，方程两边除以a时不等号的方向发生了变化，∴a＜0，故答案为a＜0．12．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量最少为 1.5克．【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可．解：∵某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，∴蛋白质含量的最小值＝300×0.5%＝1.5克，∴白质的含量不少于1.5克．故答案是：1.5．13．当a＝﹣1时，关于x的方程﹣＝1的解是x＝﹣1．【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出a的值．解：把x＝﹣1代入方程得：﹣＝1，去分母得：2+3﹣a＝6，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．14．若5x﹣5的值与2x﹣9的值互为相反数，则x＝2．【分析】由5x﹣5的值与2x﹣9的值互为相反数可知：5x﹣5+2x﹣9＝0，解此方程即可求得答案．解：由题意可得：5x﹣5+2x﹣9＝0，∴7x＝14，∴x＝2．15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b＝2．【分析】首先把x、y的值代入，可得关于a、b的方程组，再利用减法消元可消去未知数b，解出a的值，然后把a的值代入②可得b的值，进而可得方程组的解，然后可得答案．解：把代入得：，①+②得：3a＝4，a＝，把a＝代入①得：b＝﹣，则a﹣2b＝+＝2，故答案为：2．三、解答题（75分）16．解方程：x﹣＝﹣1【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次求解可得．解：12x﹣3（x﹣2）＝2（5x﹣7）﹣12，12x﹣3x+6＝10x﹣14﹣12，∴x＝32．17．解方程组：（1）（2）【分析】（1）把①变形为y＝4﹣2x③，再把③代入②可消去未知数y，解出x的值，然后把x的值代入③可得y的值，进而可得方程组的解；（2）首先化简两个方程，再利用减法消元求出方程组的解即可．解：（1），由①得：y＝4﹣2x③，将③代入②中，2（4﹣2x）+1＝5x，解得：x＝1，把x＝1代入③中，y＝2，∴方程组的解为：．（2）原方程组可化为，①×3﹣②×4得：y＝2，将y＝2代入①得：x＝2，∴方程组的解为：．18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来：【分析】首先分别求得两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，公共部分即为不等式组的解集．注意在解不等式系数化一时：（1）系数为正，不等号的方向不变，（2）系数为负，不等号的方向改变．解：不等式可化为：，即；在数轴上可表示为：∴不等式组的解集为﹣2≤x＜0．19．某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？【分析】两个等量关系为：加工的甲部件的人数+加工的乙部件的人数＝85；3×16×加工的甲部件的人数＝2×加工的乙部件的人数×10．解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有y人．，由②得：12x﹣5y＝0③，①×5+③得：5x+5y+12x﹣5y＝425，即17x＝425，解得x＝25，把x＝25代入①解得y＝60，所以答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人．20．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b 的方程组即可得出a，b的值．解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为，解方程组（1）得，代入（2）得，解得：．所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．21．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B 商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数＝1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数＝880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：，解得．答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：，解得：12≤m≤13，∵m是整数，∴m＝12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m＝12，2m﹣4＝20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案（2）：m＝13，2m﹣4＝22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．22．某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？【分析】（1）找到关键描述语“用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服”，进而找到所求的量的不等关系，列出不等式组求解．（2）根据利润＝售价﹣成本，分别求出甲款，乙款的利润相加后再比较，即可得出获利最大方案．解：设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服（30﹣x）套，由题意，得（1分）（1）解这个不等式组，得∵x为整数，∴x取11，12，13∴30﹣x取19，18，17答：方案①甲款11套，乙款19套；②甲款12套，乙款18套；③甲款13套，乙款17套．（2）解法一：设该店全部出售甲、乙两款运动服后获利y元，则y＝（400﹣350）x+（300﹣200）（30﹣x）＝50x+3000﹣100x＝﹣50x+3000∵﹣50＜0，∴y随x增大而减小∴当x＝11时，y最大．解法二：三种方案分别获利为：方案一：（400﹣350）×11+（300﹣200）×19＝2450（元）方案二：（400﹣350）×12+（300﹣200）×18＝2400（元）方案三：（400﹣350）×13+（300﹣200）×17＝2350（元）∵2450＞2400＞2350∴方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大答：甲款11套，乙款19套，获利最大．23．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|+|a+2|；（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？【分析】（1）求出不等式组的解集即可得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可；（2）根据a的范围去掉绝对值符号，即可得出答案；（3）求出a＜﹣，根据a的范围即可得出答案．解：（1）∵①+②得：2x＝﹣6+2a，x＝﹣3+a，①﹣②得：2y＝﹣8﹣4a，y＝﹣4﹣2a，∵方程组的解x为非正数，y为负数，∴﹣3+a≤0且﹣4﹣2a＜0，解得：﹣2＜a≤3；（2）∵﹣2＜a≤3，∴|a﹣3|+|a+2|＝3﹣a+a+2＝5；（3）2ax+x＞2a+1，（2a+1）x＞2a+1，∵不等式的解为x＜1∴2a+1＜0，∴a＜﹣，∵﹣2＜a≤3，∴a的值是﹣1，∴当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1．。
2019-2020学年河南省洛阳市九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（）
A．﹣1B．2C．1和2D．﹣1和2
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．任意一个四边形的外角和等于360°
C．早上太阳从西方升起
D．平行四边形是中心对称图形
4．（3分）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）x……﹣3﹣2﹣101……
y……﹣17﹣17﹣15﹣11﹣5……
A．x＝﹣3B．x＝﹣2.5C．x＝﹣2D．x＝0
5．（3分）在同平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1
x的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（）
A．10%B．20%C．25%D．40%
第1 页共23 页。
2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤12．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．43．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．甲、乙两人成绩的稳定性相同C．乙的成绩比甲的成绩稳定D．无法确定谁的成绩更稳定4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（）A．10°B．20°C．30°D．22.5°5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（）A．8和9B．7和9C．9和7D．7和8.56．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（）A．82分B．86分C．85分D．84分7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（）A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜2D．m＞09．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．4C．4D．810．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16C．20D．4二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若实数a、b满足，则＝．12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是．13．（3分）方程组的解为．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为．三、解答题（共75分）16．（8分）计算：（1）3﹣+﹣；（2）÷﹣×+．17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为；（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．（1）求a的值；（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．①求W关于a的函数关系式；②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．2019-2020学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤1【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1，故选：C．2．（3分）下列计算：①+＝；②（）2＝2；③5﹣＝5；④（+）（﹣）＝﹣1．其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．4【分析】根据合并同类二次根式法则、二次根式的性质和平方差公式依此计算可得．【解答】解：①与不是同类二次根式，不能合并，此式计算错误；②（）2＝2，此式计算正确；③5﹣＝4，此式计算错误；④（+）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，此式计算正确；故选：B．3．（3分）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．甲、乙两人成绩的稳定性相同C．乙的成绩比甲的成绩稳定D．无法确定谁的成绩更稳定【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可判断．【解答】解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩比甲的成绩稳定；故选：C．4．（3分）如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（）A．10°B．20°C．30°D．22.5°【分析】根据正方形的性质，可以得到∠ACB和∠CAB的度数，再根据AC＝AE，可以得到∠ACE和∠AEC的度数，然后即可得到∠BCE的度数．【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，故选：D．5．（3分）为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用数量，结果如下（单位：个）：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7，则这组数据的众数和平均数分别是（）A．8和9B．7和9C．9和7D．7和8.5【分析】根据众数和算术平均数的定义列式计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为7，7，7，8，8，9，9，10，11，14，所以这组数据的众数为7，平均数为＝9，故选：B．6．（3分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分、80分、85分，若依次按20%、40%、40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（）A．82分B．86分C．85分D．84分【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：90×20%+80×40%+85×40%＝84（分）；答：这个人的面试成绩是84分．故选：D．7．（3分）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（）A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定【分析】根据D、E、F分别是△ABC各边的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF＝AC，即可求解．【解答】解：∵D、E分别是△ABC各边的中点，∴DE为△ABC的中位线，∵ED＝6cm，∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），∵AH⊥CD，且F为AC的中点，∴HF＝AC＝6cm．故选：B．8．（3分）已知一次函数y＝（2m﹣1）x+1上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜2D．m＞0【分析】先根据x1＜x2时，y1＜y2，得到y随x的增大而增大，所以x的比例系数大于0，那么2m﹣1＞0，解不等式即可求解．【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2∴y随x的增大而增大∴2m﹣1＞0，∴m＞．故选：B．9．（3分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．4C．4D．8【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD 中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2OD＝2，由勾股定理求出OC，得出AC，由菱形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，∵∠ACD＝30°，∴CD＝2OD＝2，∴OC＝＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．故选：A．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16C．20D．4【分析】连接MB交AC于N，此时DN+MN最小，先证明这个最小值就是线段BM的长，利用勾股定理就是即可解决问题．【解答】解：如图，连接MB交AC于N，此时DN+MN最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴DN＝BN，∴DN+MN＝BN+NM＝BM，在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，∴BM＝．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若实数a、b满足，则＝．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式＝﹣．故答案是：﹣．12．（3分）在开展“爱心捐助武汉疫区”的活动中，某团支部8名团员捐款分别为（单位：元）6，5，3，5，6，10，5，6，则这组数据的中位数是 5.5元．【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将这组数据重新排列为：3，5，5，5，6，6，6，10，所以这组数据的中位数为＝5.5（元），故答案为：5.5元．13．（3分）方程组的解为．【分析】由图象可知，一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），所以方程组的解为．【解答】解：∵一次函数x+y＝3与y＝2x的交点坐标为（1，2），∴方程组的解为．故答案为．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，BF＝6，AB＝5，则AE的长为8．【分析】连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，先证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．【解答】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠BEA，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，∴AF＝BE，而AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，而AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，BO＝OF＝3，在Rt△AOB中，OA＝＝＝4，∴AE＝2OA＝8．故答案为8．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为或．【分析】过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE＝a，则D′E＝a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM＝CM时，AN＝DM＝CD＝AB＝4，AD＝AD′＝5，由勾股定理可知：ND′＝＝3，∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即a2＝（4﹣a）2+4，解得：a＝；②当MD′＝ND′时，MD′＝ND′＝MN＝AD＝，由勾股定理可知：AN＝＝，∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝﹣a，∵ED′2＝EM2+MD′2，即，解得：a＝．综上知：DE＝或．故答案为：或．三、解答题（共75分）16．（8分）计算：（1）3﹣+﹣；（2）÷﹣×+．【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先计算二次根式的乘除运算、化简二次根式，再计算加减运算可得．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3＝﹣；（2）原式＝﹣+2＝4+．17．（9分）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得BD长，那么根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．【解答】解：作AB⊥L于B，则AB＝30m，AD＝50m．∴BD＝40m．设CD＝x，则CB＝40﹣x，x2＝（40﹣x）2+302，x2＝1600+x2﹣80x+302，80x＝2500，x≈31，答：商店C与公交站D之间的距离约为31米．18．（9分）某校为迎接中华人民共和国建国70周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调査，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图；填出本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为3本；（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（3）已知该校七年级有600名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．【分析】（1）先由读1本书的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以读4本书的百分比可得其人数，用读3本书人数除以总人数可得其百分比，据此可补全统计图，最后根据中位数的定义可得答案；（2）根据加权平均数的定义求解可得；（3）用总人数乘以样本中四月份“读书量”为5本的学生人数所占比例可得答案．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为3÷5%＝60（人），∴读书4本的人数为60×20%＝12（人），读3本书的人数所占百分比为×100%＝35%，∵共有60个数据，其中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均为3本，∴中位数为＝3（本），故答案为：3本．（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为＝3.6（本）；（3）估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为600×＝60（人）．19．（9分）如图，已知一次函数y1＝ax+2与y2＝x﹣1的图象交于点A（2，1）．（1）求a的值；（2）若点C是直线y2＝x﹣1上的点且AC＝2，求点C的坐标；（3）直接写出y2＞y1＞0时，x的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入y1＝ax+2可求出a的值；（2）设C（t，t﹣1），利用两点间的距离公式得到（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，然后解方程可得到点C的坐标；（3）先确定一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），然后结合函数图象，写出x轴上且直线y＝x﹣1在直线y＝﹣x+2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）把A（2，1）代入y1＝ax+2得2a+2＝1，解得a＝﹣；（2）设C（t，t﹣1），∵A（2，1），AC＝2，∴（t﹣2）2+（t﹣1﹣1）2＝（2）2，解得t1＝0，t2＝4，∴点C的坐标为（0，﹣1）或（4，3）；（3）当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，∴一次函数y1＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），∴当2＜x＜4时，y2＞y1＞0．20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，由三角形DEF的面积求出EG的长，根据勾股定理求出FG的长，则可求出答案．【解答】（1）证明：∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：如图，连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，∴DF＝＝＝10，∴S△DEF＝EF×DE，∴EG＝＝，∴FG＝CG＝＝＝，∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．故答案为：．21．（10分）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．①求W关于a的函数关系式；②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据3部A型号手机和2部B型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部B型号手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；（2）①根据：每类手机利润＝单部手机利润×部数，总利润＝A型手机利润+B型手机利润，得函数关系式．注意a的取值范围．②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论．【解答】解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．由题意，得解得（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），即w＝30000﹣100a，又∵50﹣a≤3a∴a≥∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥）；②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，∵k＝﹣100＜0，∴w随a的增大而减小，又∵a只能取正整数，∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝2870050﹣a＝37答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元22．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是BC⊥CF，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为CF+CD＝BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC＝，DB＝5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF⊥BC，CF+CD＝BC．（2）结论：CF⊥BC，CF﹣CD＝BC．理由：如图2中，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；（3）如图3中，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF＝5，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，∴△FCD是直角三角形．∵OD＝OF，∴DF＝2OC＝13，∴Rt△CDF中，CD＝＝＝12，∴BC＝DC﹣BD＝12﹣5＝7，∴AB＝AC＝，∴S△ABC＝××＝．23．（11分）如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为（，0），点C的坐标为（0，﹣1）；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y＝0和x＝0，可得B、C点坐标；（2）根据面积的和差，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y轴的右侧，有三个符合条件的点M，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M的坐标．【解答】解：（1）将D（1，﹣）代入y＝x+n，解得n＝﹣3，即y＝x﹣3，当y＝0时，x﹣3＝0．解得x＝，即B点坐标为（，0）；将（1，﹣）代入y＝﹣x+m，解得m＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．即C点坐标为（0，﹣1）；故答案为：（，0），（0，﹣1）；（2）如图1，S△BDP＝（t﹣）×|﹣|＝，当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣，即E点坐标为（﹣，0），S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE＝（t+）×﹣×（t+）×|﹣1|＝，由△BDP和△CDP的面积相等，得：＝+，解得t＝5.2；（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，点M1在y轴的左侧，不符合题意，过M2作M2A⊥y轴于A，∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，∴∠ACM2＝∠OPC，∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，∴△POC≌△CAM2（AAS），∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，∴M2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，过M4作M4E⊥x轴于E，同理得△COP≌△PEM4，∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，∴M4（6.2，﹣5.2），同理得M3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年洛阳市数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．过点(4,5)且与2230x y -+=平行的直线l 与圆C ：2242110x y x y +-+-=交于M ，N 两点，则||MN 的长为（ ）A B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线:10l x y -+=，求得圆心到直线距离，再由弦长公式MN =即可求解 【详解】设直线:220l x y D -+=过点(4,5)，可得2D =，则直线:10l x y -+= 圆C 的标准方程为()()222116x x -++=，∴圆心为()2,1-，4r =∴圆心到直线距离d ==MN ∴=== D【点睛】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题 2．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π- B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π【答案】A 【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -++=，∴圆心为1(,44-，半径r=12．∵tanα=3π-， ∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-． 故选A ．3．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ）A ．既有最大值又有最小值B ．有最大值无最小值C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.4．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B【解析】分析：分别假设甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判断即可. 详解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意； 若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意； 若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意； 若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意点睛：本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 5．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-= D ．()()22233x y -++=【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，， 以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=． 故选:A. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题. 6．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断点的位置，然后根据公式：，求出，根据点的位置，求出. 【详解】因为点的直角坐标为，所以点在第二象限.，因为点在第二象限，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置. 7．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2π B ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.8．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．参与奖总费用最高B ．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C ．购买奖品的费用的平均数为9.25元D ．购买奖品的费用的中位数为2元【答案】D 【解析】 【分析】先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案. 【详解】参与奖的百分比为：130%10%5%55%---= 设人数为单位1一等奖费用：205%1⨯= 二等奖费用：1010%1⨯= 三等奖费用：530% 1.5⨯= 参与奖费用：255% 1.1⨯= 购买奖品的费用的平均数为：4.6参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元 故答案选D 【点睛】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.9．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=<B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=>D ．()220045x y x -=<【答案】A 【解析】由双曲线的定义可知：点C 位于以()()3,0,3,0A B -为焦点的双曲线的左支上，且23,25c a b ==⇒=，故其轨迹方程为()221045x y x -=<，应选答案A 。
24* 金色的脚印编写教师：单位：建议先阅读20页以上再决定是否购买，版本要确定好，文档中有教材目录可以核对人教版语文六年级上册教案全集汇编（带目录送课件试卷）专家团队精心打造含教案教学反思测试卷等精品建议：1、先阅读部分页面再下载；2、本文档根据最新教材编辑，一定要核对好再下载，以面版本不对影响使用；3、本文档可编辑，也可下载直接使用。
1 山中访友编写教师：单位：2* 山雨编写教师：单位：3 草虫的村落编写教师：单位：4* 索溪峪的“野”编写教师：单位：口语交际．习作一（习作部分）编写教师：单位：回顾．拓展一编写教师：单位：5 詹天佑编写教师：单位：次6 怀念母亲编写教师：单位：7* 彩色的翅膀编写教师：单位：8中华少年一、说教材全诗共８个小节。
第１节以壮丽广袤的神州大地做背景引出中华少年的飒爽英姿，这是全诗的总起。
从结构上来说是先分后总，“雪莲”喻指纯洁，“海燕”喻指勇敢乐观，“雏鹰”喻指抱负远大，“山丹丹”喻指热烈顽强，末句小结中华少年是“神州大地生长的希望”。
第２、３、４节分别从三个不同的视角展开：第２节是写祖国锦绣的山川哺育了中华少年；第３小节写祖国悠久的文化滋润着中华少年；第４节是写祖国特有的民族传统风俗滋养了中华少年。
这三个小节结构上都是先分后总。
第５节是回顾中华母亲的艰难历程，晓喻中华少年应该继承先辈的志愿。
第６、７节是写中华少年的誓言，表达了中华少年的坚强决心和豪迈情怀。
第８节是全诗的总结。
综观全诗，结构清楚，过渡自然，首尾照应，浑然一体。
在感情节奏上，全诗句式匀整，节奏鲜明，句末押韵，朗读时能感受到很强的节奏韵律。
８个小节一韵到底，朗诵时显得铿锵、悠远、激情。
在方法上，本诗把直抒胸臆和借物（景、境）抒情融为一体，反复运用排比句和对偶句，突出了诗歌直接抒情的特点，每个小节中景的选择（如，“碧波环绕的宝岛”）、物的安排（如，“冰山上的雪莲”）、境的再现（如，“军舰长风破浪”）都极具匠心而融情，使无形的情感有了有形、有声、直观、可感的载体。
2019-2020学年河南省洛阳市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．比22-小1的数是( ) A ．3-B ．3C ．5D ．5-2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为( ) A ．21.7110⨯B ．101.7110⨯C ．91.7110⨯D ．817110⨯3．如图，//AB CD ，2B D ∠=∠，22E ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．22︒B ．44︒C ．68︒D ．30︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，AD =，2DE =，则四边形OCED 的面积为( )A ．B ．4C ．D ．85．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,3)-，将原点O 绕点A 顺时针旋转90︒得到点O '，则点O '的坐标是( ) A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(4,2)-D ．(2,4)6．一元二次方程(1)1x x x +-=的根是( ) A ．121x x ==-B ．121x x ==C ．11x =，21x =-D ．120x x ==7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )A ．3600(1)12000x +=B ．23600(1)12000x +=C ．23600(1)3600(1)12000x x +++=D ．236003600(1)3600(1)12000x x ++++=8．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若12x -<<，则y 的取值范围是( )A ．30y -<B ．43x -<-C ．40y -<<D ．40y -<9．若点(,)m n 在坐标系中的第四象限，则一次函数(2)4y m x n =++-的图象一定不经过() A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图，等边三角形ABC 的边长是2，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接MN ，则在点M 运动过程中，线段MN 长度的最小值是( )A ．12B ．1CD 二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算23--= ．12．不等式组1274xx ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是 ．13．二次函数224y x x =-+的顶点坐标是 ．14．已知抛物线2y ax bx c =++在坐标系中的位置如图所示，它与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，P 是其对称轴1x =上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①20a b +=；②3x =是20ax bx c ++=的一个根；③若PA PB =，PA PB ⊥，则4a b c ++=．其中正确的有 个．15．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，将点B 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点为B '，BAB ∠'的平分线交BC 于E ，且35BE a =．若点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简再求值：2234(1)121x x x x x ---÷+++，其中x 是方程：220x x -=的一个根． 17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 ．（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．18．如图，直线y =+A 、B 两点． （1）求ABO ∠的度数；（2）过A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB AC =，求直线l 的函数解析式．19．已知关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最小整数值，并求此时方程的根． 20．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C （1）请画出将ABC ∆向左平移4个单位长度后得到的图形△111A B C ； （2）请画出ABC ∆关于点(1,0)成中心对称的图形△222A B C ；（3）若△111A B C 绕点M 旋转可以得到△222A B C ，请直接写出点M 的坐标； （4）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标；21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；22．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE ∆． （1）观察猜想小明发现，将DAC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，如图1，他发现ACD ∆的面积1S 与BAE ∆的面积2S 之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系： ． （2）类比探究如图2，M 是CD 的中点，请写出AM 与BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）解决问题如图3，AB AD =，AB AD ⊥，AC AE =，AC AE ⊥，C 在线段BD 上，AH BE ⊥交CD 于H ，若2BC =，3CD =，请直接写出AH 的长．23．如图，抛物线2y x bx c=-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线122y x=-+经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求PBC∆面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．2019-2020学年河南省洛阳市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．比22-小1的数是( ) A ．3-B ．3C ．5D ．5-【解答】解：224-=-， 则比22-小1的数是5-， 故选：D ．2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为( ) A ．21.7110⨯B ．101.7110⨯C ．91.7110⨯D ．817110⨯【解答】解：171亿17= 100 000 10000 1.7110=⨯． 故选：B ．3．如图，//AB CD ，2B D ∠=∠，22E ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．22︒B ．44︒C ．68︒D ．30︒【解答】解：//AB CD ，B EFC ∴∠=∠，2E EFC D B D D D D ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，22E ∠=︒， 22D ∴∠=︒，故选：A ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，AD =，2DE =，则四边形OCED 的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8【解答】解：连接OE ，与DC 交于点F ， 四边形ABCD 为矩形，OA OC ∴=，OB OD =，且AC BD =，即OA OB OC OD ===， //OD CE ，//OC DE ， ∴四边形ODEC 为平行四边形，OD OC =，∴四边形ODEC 为菱形，DF CF ∴=，OF EF =，DC OE ⊥， //DE OA ，且DE OA =， ∴四边形ADEO 为平行四边形，2AD =，2DE =，OE ∴=，即OF EF ==在Rt DEF ∆中，根据勾股定理得：1DF ==，即2DC =，则11222ODEC S OE DC =⋅=⨯=菱形．故选：A ．5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,3)-，将原点O 绕点A 顺时针旋转90︒得到点O '，则点O '的坐标是( ) A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(4,2)-D ．(2,4)【解答】解：观察图象可知(4,2)O '-，故选：C ．6．一元二次方程(1)1x x x +-=的根是( ) A ．121x x ==- B ．121x x ==C ．11x =，21x =-D ．120x x ==【解答】解：(1)10x x x +--=，(1)(1)0x x x ∴+-+=，则(1)(1)0x x +-=， 10x ∴+=或10x -=，解得11x =-，21x =， 故选：C ．7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A ．3600(1)12000x += B ．23600(1)12000x +=C ．23600(1)3600(1)12000x x +++=D ．236003600(1)3600(1)12000x x ++++=【解答】解：根据题意列出方程，得236003600(1)3600(1)12000x x ++++=． 故选：D ．8．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若12x -<<，则y 的取值范围是( )A ．30y -<B ．43x -<-C ．40y -<<D ．40y -<【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)， ∴抛物线的解析式可设为(1)(3)y a x x =+-，把(0,3)-代入得31(3)a -=-，解得3a =，∴抛物线的解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--，2(1)4y x =--，1x ∴=时，y 有最小值4-， 2x =时，2233y x x =--=-，∴当12x -<<，y 的取值范围是40y -<．故选：D ．9．若点(,)m n 在坐标系中的第四象限，则一次函数(2)4y m x n =++-的图象一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：点(,)m n 在坐标系中的第四象限， 0m ∴>，0n <， 20m ∴+>，40n -<，∴一次函数(2)4y m x n =++-的图象经过第一、三、四象限．故选：B ．10．如图，等边三角形ABC 的边长是2，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接MN ，则在点M 运动过程中，线段MN 长度的最小值是( )A ．12B ．1 CD【解答】解：由旋转的特性可知，BM BN =， 又60MBN ∠=︒， BMN ∴∆为等边三角形． MN BM ∴=，点M 是高CH 所在直线上的一个动点，∴当BM CH ⊥时，MN 最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）． 又ABC ∆为等边三角形，且2AB BC CA ===，∴当点M 和点H 重合时，MN 最短，且有112MN BM BH AB ====． 故选：B ．二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算23--= 12- ． 【解答】解：原式93=-- 12=-．故答案为：12-．12．不等式组1274xx ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是 2x - ．【解答】解：解不等式12x-，得：2x -，解不等式74x -+>，得：3x <， 则不等式组的解集为2x -， 故答案为：2x -．13．二次函数224y x x =-+的顶点坐标是 (1,3) ．【解答】解：224y x x =-+，∴12ba-= 244144344ac b a -⨯⨯-==， 即顶点坐标为(1,3)， 故答案为：(1,3)．14．已知抛物线2y ax bx c =++在坐标系中的位置如图所示，它与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，P 是其对称轴1x =上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①20a b +=；②3x =是20ax bx c ++=的一个根；③若PA PB =，PA PB ⊥，则4a b c ++=．其中正确的有 3 个．【解答】解：①因为抛物线的对称轴1x =， 所以12ba-=，即20b a +=， 所以①正确；②因为(1,0)A -，对称轴1x =，所以设抛物线与x 轴的另一个交点为E ， 所以(3,0)E ，所以3x =时，0y =，即3x =是20ax bx c ++=的一个根． 所以②正确； ③如图：过点B 作BD ⊥对称轴于点D ，设对称轴交x 轴于点C ， AP BP ⊥， 90APB ∴∠=︒， 90APC BPD ∴∠+∠=︒， 90BPD PBD ∠+∠=︒， PBD APC ∴∠=∠，AP BP =，Rt APC Rt PBD(AAS)∴∆≅∆ 1PC BD ∴==，2DP AC ==， 3DC ∴=， 3OB ∴=，(0,3)B ∴．又(3,0)E ，(1,0)A -．设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-， 把(0,3)B 代入，解得1a =-， ∴抛物线解析式为223x x -++，当1x =时，4y =， 即4a b c ++=． 所以③正确． 故答案为3．15．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，将点B 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点为B '，BAB ∠'的平分线交BC 于E ，且35BE a =．若点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的【解答】解：分两种情况： ①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形， 90BAD B ∴∠=∠=︒，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上， 1452BAE B AE BAD ∴∠=∠'=∠=︒，AB BE ∴=， ∴315a =， 53a ∴=； ②当点B '落在CD 边上时，如图2． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上， 90B AB E ∴∠=∠'=︒，1AB AB ='=，35EB EB a ='=，DB ∴'==，3255EC BC BE a a a =-=-=．90B AD EB C AB D ∠'=∠'=︒-∠'， 90D C ∠=∠=︒，ADB ∴∆'∽△B CE '，∴DB AB CE B E ''='12355a =，解得1a =2a =． 综上，所求a 的值为53或故答案为53三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简再求值：2234(1)121x x x x x ---÷+++，其中x 是方程：220x x -=的一个根． 【解答】解：解方程220x x -=得：0x =或2，2234(1)121x x x x x ---÷+++2(2)(2)(1)1(2)(2)x x x x x x +-+=++- 1x =+，当2x =时，原式没有意义，舍去； 当0x =时，原式1=．17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 50 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 ．（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．【解答】解：（1）本次共调查学生：48%50÷=（人)，最喜爱戏曲的人数为：506%3⨯=（人)；“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：18100%36%50⨯=， ∴ “体育”类人数占被调查人数的百分比为：18%30%36%6%20%----=， ∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是36020%72︒⨯=︒；故答案为：50，3，72︒．（2）20008%160⨯=（人)，答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．18．如图，直线y =+A 、B 两点． （1）求ABO ∠的度数；（2）过A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB AC =，求直线l 的函数解析式．【解答】解：（1）对于直线y =+，令0x =，则y = 令0y =，则1x =-，故点A 的坐标为，点B 的坐标为(1,0)-，则AO =1BO =， 在Rt ABO ∆中，tan AOABO BO∠==，60ABO ∴∠=︒；（2）在ABC ∆中， AB AC =，AO BC ⊥， AO ∴为BC 的中垂线，即BO CO =，则C 点的坐标为(1,0)，设直线l 的解析式为：(y kx b k =+，b 为常数），则0b k b ==+⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即函数解析式为：y =+．19．已知关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最小整数值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根， ∴210(2)4(1)(2)0k k k k +≠⎧⎨=--+->⎩， 解得：2k >-且1k ≠-，∴实数k 的取值范围为2k >-且1k ≠-．（2）2k >-且1k ≠-，∴满足条件的k 的最小整数值为0，此时原方程为220x -=，解得：1x =，2x =．20．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C （1）请画出将ABC ∆向左平移4个单位长度后得到的图形△111A B C ； （2）请画出ABC ∆关于点(1,0)成中心对称的图形△222A B C ；（3）若△111A B C 绕点M 旋转可以得到△222A B C ，请直接写出点M 的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA PB+的值最小，请直接写出点P的坐标；【解答】解：（1）如图，△A B C即为所求．111（2）如图，△A B C即为所求．222（3）如图，点M即为所求，点M的坐标(1,0)-．（4）如图，点P即为所求，点P的坐标(2,0)．21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；【解答】解：（1）设每箱新红星a 元，每箱红富士b 元，由题意可得： 40600.943001000.9354950a b a b +⨯=⎧⎨⨯+=⎩， 解得4050a b =⎧⎨=⎩，答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；（2）设购置新红星x 箱，则购置红富士(120)x -箱，所需的总费用为y 元， 由题意可得：1(120)2x x -， 解得：40x ， 又60x ，所以新红星箱数x 的取值范围：4060x ， 当4050x <时， 40500.8(120)y x x =+⨯- 804800x =+，所以40x =时，y 有最小值80000元，当5060x 时，0.840500.8(120)724800y x x x =⨯+⨯-=+， 所以50x =时，y 有最小值8400元， 80008400<，∴购买新红星40箱，红富士80块，费用最少，最少费用为8000元．22．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE ∆． （1）观察猜想小明发现，将DAC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，如图1，他发现ACD ∆的面积1S 与BAE ∆的面积2S 之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系： 12S S = ． （2）类比探究如图2，M 是CD 的中点，请写出AM 与BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）解决问题如图3，AB AD =，AB AD ⊥，AC AE =，AC AE ⊥，C 在线段BD 上，AH BE ⊥交CD 于H ，若2BC =，3CD =，请直接写出AH 的长．【解答】解：（1）结论：12S S =．理由：如图1中，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ，CM AD ⊥于M ．由题意CA AE =，AD AB =，90CAE DAF ∠=∠=︒， EAH CAM ∴∠=∠， sin sin CAM EAH ∴∠=∠，111sin 22S AD CM AD AC CAM ==∠，211sin 22S AB EH AB AE EAH ==∠， 12S S ∴=．故答案为12S S =．（2）结论：2BE AM =．理由：如图2中，延长AM 到T ，使得MT AM =，连接CT ，DT ．CM DM =，AM MT =，∴四边形ADTC 是平行四边形，//AC DT ∴，AC DT =，180CAD ADT ∴∠+∠=︒，90CAE BAD ∠=∠=︒，180BAE CAD ∴∠+∠=︒，BAE ADT ∴∠=∠，AE AC DT ==，BA AD =，()BAE ADT SAS ∴∆≅∆，BE AT ∴=，AM MT =，2BE AM ∴=．（3）作//DT AC 交AH 的延长线于T ．连接DE ．=，AC AEAB AD∠=∠=︒，=，90BAD CAE∴∠=∠=︒，BAC DAE∠=∠，ABD ADB45∴∆≅∆，BAC DAE SAS()BC DE==，∴∠=∠=︒，2ADE ABC45∴∠=∠+∠=︒，BDE BDA ADE90BE∴===，∠=∠=︒，BAD CAE90∴∠+∠=︒，180CAD BAEAC DT，//∴∠+∠=︒，CAD ADT180∴∠=∠，BAE ADTAH BE⊥，∠+∠=︒，ABE BAT90DAT BAT∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，DAT ABE=，AB AD∴∆≅∆，()ABE DAT ASA=，∴=，AE DTBE AT=，AC AE∴=，AC DT∠=∠，∠=∠，AHC DHTCAH T∴∆≅∆，()AHC THD AAS∴=，AH HT12AH BE ∴==． 23．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 直线122y x =-+经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ． ①求PBC ∆面积最大值和此时m 的值； ②Q 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）直线122y x =-+经过点B ，C ，则点B 、C 的坐标分别为：(4,0)、(0,2)， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：72b =，2c =， 故抛物线的表达式为：2722y x x =-++； （2）①过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，则点27(,2)2P m m m -++，点1(,2)2H m m -+， PBC ∆面积2211714(22)282222PH OB m m m m m =⨯⨯=⨯⨯-+++-=-+， 20-<，∴面积存在最大值为8，此时，2m =；②设27(,2)2P m m m -++，点1(,2)2Q n n -+，当AB 是平行四边形的边时， 点A 向右平移92个单位得到B ，同样点()P Q 向右平移92个单位得到()Q P ， 则92m n ±=，2712222m m n -++=-+，解得：m =，n =当AB 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：4m n +=，27122222m m n -++-+=，解得：0m =或4（舍去4)；综上点P 的坐标为，或，或，或或(0,2)．。
2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．16．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．09．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i【分析】根据复数的运算法则进行化简即可．解：＝＝＝2+i，则对应的虚部为1，故选：A．2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．解：因为f′（x0）＝＝﹣＝﹣，故选：A．3．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析，可得推理过程中的小前提是错误的，即可得答案．解：根据题意，在演绎推理过程中，大前提为正弦函数是奇函数，是正确的，小前提为：f（x）＝sin（x+）是正弦函数，是错误的；结论f（x）＝sin（x+）是奇函数也是错误的，故选：C．4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．6．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【分析】函数y＝x3、y＝x5与y＝sin x都是定义在R上的奇函数，而它们的导数都是偶函数．由此归纳，得一个奇函数的导数是偶函数，不难得到正确答案．解：根据（x3）′＝3x2、（x5）′＝5x4、（sin x）′＝cos x，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），说明函数f（x）是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g（﹣x）＝g（x）故选：C．7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]【分析】由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，进一步得x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，进而得△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，解之即可．解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，又f′（x）＝x2+2ax+2，∴x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，所以△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，所以a2≤2，∴．故选：D．8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．0【分析】在曲线y＝ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8＝0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．由，所以切线的斜率．解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．即P（1，0）到直线的最短距离是d＝．故选：A．9．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）【分析】函数f（x）有两个极值点x1，x2，即f′（x）＝0在定义域上有两个不相等的实数根，构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出m的取值范围．解：函数f（x）＝x2+mln（1+x），定义域为（﹣1，+∞）；若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则不妨设﹣1＜x1＜x2，即f′（x）＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，所以2x+＝0，化为方程2x2+2x+m＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根；记g（x）＝2x2+2x+m，x∈（﹣1，+∞），则，即，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围是（0，）．故选：D．10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．【分析】类比所给的解法，令，则，解出S的值，即可求解．解：由题意令，则，故S2+2S﹣2＝0，解得或﹣1，∵S＞0，∴S＝，S＝﹣﹣1（舍去）．故选：D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定【分析】分析：根据选项可构造函数h（x）＝＝利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而得到答案．解：令h（x）＝则h′（x）＝＝，∵函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，e2x＞0，所以当x∈R时，h′（x）＞0，h（x）在定义域R上单调递增，∴h（ln3）＞h（ln2），即，∴9f（ln2）＜4f（ln3）；故选：B．12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0），则x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0），求导分析单调性，进而可得h（a）的最小值，即可得出答案．解：不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0）所以e＝ln+1＝a，所以x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，所以x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0）h′（a）＝2e a﹣1﹣，所以h′（a）在（0，+∞）上单调递增，且h′（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（a）＜0，h（a）单调递减，在（1，+∞）上，h′（a）＞0，h（a）单调递增，所以h（a）在a＝1处取得最小值，所以x2﹣x1的最大值为h（1）＝2e1﹣1﹣2ln1＝2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为2．【分析】根据积分的应用可知所求的面积为，然后根据积分公式进行计算即可．解：∵在[0，π]，sin x≥0，∴y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积S＝＝（﹣cos x）＝﹣cosπ+cos0＝1+1＝2．故答案为：2．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝﹣2i．【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）2﹣8i，可求出z．解：设z＝ai，a∈R，∴（z+2）2﹣8i＝（ai+2）2﹣8i＝4+4ai﹣a2﹣8i＝（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵它是纯虚数，∴a＝﹣2故答案为：﹣2i．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．【分析】先利用导数求出g（x）在某点处的切线l的方程，然后再利用判别式法说明l 与y＝ax2相切，由此列出a的方程求解．解：设A（m，lnm）是公共点，由，得曲线y＝g（x）在A处的切线为：y﹣lnm＝，即……①，再设A（m，am2），f′（x）＝2ax，故f（x）在A处的切线为：y﹣am2＝2am（x﹣m），即y＝2am•x﹣am2……②，由已知得①②重合，故，解得，．故答案为：．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为e．【分析】令f（x）＝e x﹣λln（λx），则问题e x﹣λln（λx）≥0恒成立转化为f（x）min≥0，利用导数的知识分析f（x）取得最小值时λ的值，即可得出答案．解：令f（x）＝e x﹣λln（λx），e x﹣λln（λx）≥0恒成立，即f（x）min≥0，f′（x）＝e x﹣λ••λ＝e x﹣，如图所示：函数y＝e x与y＝（λ＞0），在第一象限有且只有一个交点（m，n），所以当x∈（0，m）时，e x＜，即f′（x）＜0，f（x）在（0，m）上单调递减，当x∈（m，+∞）时，e x＞，即f′（x）＞0，f（x）在（m，+∞）上单调递增，令f′（x）＝0，即e x＝，即e m＝，解为m＝1，λ＝e，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝e﹣λlnλ，因为e﹣λlnλ≥0，即λlnλ≤e，令g（λ）＝λlnλ，g′（λ）＝lnλ+λ•＝lnλ+1，令g′（λ）＝0，即lnλ+1＝0，解得λ＝e，若λlnλ≤e，则λ的最大值为e．故答案为：e．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．【分析】（1）将m代入，化简复数即可；（2）利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．解：（1）当m＝3时，z1＝3﹣8i虚部为﹣8；（2）∵z1＝z2，∴，消去m，得λ＝（sinθ﹣1）2﹣1，由于﹣1≤sinθ≤1，∴﹣1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[﹣1，3]．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．【分析】（1）由题意首先确定导函数的解析式，然后利用导函数与原函数的关系即可确定函数的极值；（2）结合（1）的结论利用函数的单调性比较所给的数的大小即可．解：（1）f（x）的定义域为，由f’（x）＞0得0＜x＜e，由f’（x）＜0得x＞e，故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．当x＝e时，f（x）有极大值，其极大值为：无极小值．（2）由（1）知f（x）在（e，+∞）上单调递减，又π＞3，故，πln3＞3lnπ，即ln3π＞lnπ3，又y＝lnx在（0，+∞）内单调递增，故3π＞π3．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．【分析】（1）利用反证法结合基本不等式证明；（2）利用分析法，移向后两边平方，依次寻找使结论成立的充分条件即可．【解答】证明：（1）假设+，+，+都小于2，则（+）+（+）+（+）＜6，①又（+）+（+）+（+）＝（）+（）+（）．且a，b，c＞0，∴，，，∴（+）+（+）+（+）≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，与①矛盾．∴假设不成立，故三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）要证﹣＜﹣，需要证+＜+，只需要证＜，即证2a﹣5+2＜2a﹣5+2，也就是证a（a﹣5）＜（a﹣2）（a﹣3），只需证a2﹣5a＜a2﹣5a+6，此时显然成立，故﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？【分析】连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则OI＝x，FI＝4﹣x，写出棱锥体积公式，再由导数求最值．解：（1）如图，连接OF，与BC交于I，因为AB＝2x，则OI＝x，FI＝5﹣x，设E，F，G，H重合于点P，则PI＝IF＝5﹣x＞x，则x＜，则所得正四棱锥的高为h＝＝，∴四棱锥的体积V＝•4x²•＝，其中0＜x＜，（2）令f（x）＝25x4﹣10x5，0＜x＜，f′（x）＝100x3﹣50x4，令f′（x）＝0，解得x＝2，则当0＜x＜2时，f′（x）＞0，y＝25x4﹣10x5单调递增；当2＜x＜时，f′（x）＜0，y＝25x4﹣10x5单调递减，∴当x＝2，四棱锥体积最大．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．【分析】（1）根据已知条件，分别令n＝1，n＝2，n＝3，n＝4，依次求解a1，a2，a3，a4，即可猜想a n的值．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，求证n＝k+1时猜想成立，即可求证．【解答】解（1）在a n+3S n＝3 中，令n＝1，4a1＝3，解得a1＝，令n＝2，a2+3S2＝3，即4a2+3a1＝3，解得a2＝，令n＝3，a3+3S3＝3，即4a3+3（a1+a2）＝3，解得，令n＝4，a4+3S4＝3，即4a4+3（a1+a2+a3）＝3，解得，故猜想．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，那么当n＝k+1时，∵a k+3S k＝3，∴，∵a k+1+3S k+1＝3，∴＝，即n＝k+1时猜想成立，根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求其导数，分a≥0与a＜0两类讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调性；（Ⅱ）法1°：设0＜x1＜x2，由已知得f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h （x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，利用h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0恒成立，可求得实数a的取值范围．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，分离参数a，求得其右侧的函数的最小值，即可求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣，若a≥0，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；若a＜0，则由f'（x）＝0得x＝﹣a或x＝1，若a＝﹣1，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若1﹣（﹣a）＞0，即﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，﹣a），（1，+∞）单调递减，在（﹣a，1）上单调递增；若1﹣（﹣a）＜0，即a＜﹣1时，f（x）在（0，1），（﹣a，+∞）单调递减，在（1，﹣a）上单调递增；（Ⅱ）法1°：令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x1）＞（x1﹣x2）（1﹣a），即f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h（x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2（x＞0）恒成立，∴a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，整理得a≤x2（x＞0）恒成立，∵x2＞0，∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019-2020学年河南省洛阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知a是实数，是实数，则的值为（）A．B．C．0D．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（）A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤03．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．已知向量，，且．若x，y满足不等式，则z 的取值范围为（）A．[0，2]B．[﹣2，3]C．[2，3]D．[0，3]5．以双曲线的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36．的展开式中常数项为（）A．30B．15C．﹣15D．307．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a•log2b的最大值为（）A．B．C．4D．88．设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）＝0.2，则函数没有极值点的概率是（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.89．若，则（）A．﹣1B．C．D．10．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等设n 位回文数的个数为a n（n为正整数），如11是2位回文数，则（）A．a2＝10B．a3＝10C．a4＝90D．a5＝9011．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x＞0时，，若a＝f（21.3），b＝f（40.6），，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c12．已知点P在抛物线C：y2＝mx（m≠0）上，过点P作抛物线x2＝2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若G（1，1），且，则C的准线方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2+b2＝c2（a，b，c∈N*），把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是．15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：．P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”16．已知函数，下面四个结论：①函数f（x）在其定义域上为增函数；②对于任意的a＜0，都有f（a）＞﹣1；③f（x）有且仅有两个零点；④若y＝e x在点处的切线也是y＝lnx的切线，则x0必是f（x）的零点，其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若a＝4，△ABC的面积为，求c．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，若数列{S n+1}是公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2），求数列{b n}的前n项和T n．19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点，AB＝1，BC＝2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若，求二面角B﹣SA﹣D的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，点A（0，﹣2）在椭圆上，斜率为k 的直线1过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）设k1，k2分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，k1k2是否为定值？说明理由．21．某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N（μ，σ2），并把质量指标值在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品称为优等品，质量指标值在（μ+σ，μ+2σ）内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望．22．函数f（x）＝xe x﹣ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y＝﹣x+1．（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知a是实数，是实数，则的值为（）A．B．C．0D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，代入得答案．解：∵＝是实数，∴，即a＝﹣1．∴＝cos（﹣）＝．故选：A．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（）A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果，并判断真假即可．解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则￢P：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，故选：B．3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为＝0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为＝0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x＝170cm时，＝0.85×170﹣85.71＝58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．已知向量，，且．若x，y满足不等式，则z 的取值范围为（）A．[0，2]B．[﹣2，3]C．[2，3]D．[0，3]【分析】根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的＝（x+z，3），＝（2，y﹣z），且，构造出一个关于x，y，z的方程，即关于z的目标函数，画了约束条件对应的平面区域，结合图象即可求解结论．解：∵，，且．∴（x+z）×2+3×（y﹣z）＝2x+3y﹣z＝0，即z＝2x+3y∵满足不等式的平面区域如下图所示：由图可知当x＝0，y＝1时，z取最大值3，当x＝0，y＝0时，z取最小值0，故z的取值范围为[0，3]故选：D．5．以双曲线的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】由双曲线的方程可得右焦点F的坐标，及渐近线的方程，再由以右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，可得圆心到渐近线的距离等于半径，可得a＝b，再由a，b，c之间的关系求出双曲线离心率．解：由双曲线的方程可得右焦点F（c，0），渐近线的方程为：±＝0，即bx±ay ＝0，由以双曲线的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：＝＝b＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝，故选：A．6．的展开式中常数项为（）A．30B．15C．﹣15D．30【分析】写出通项，然后令x的指数为0，即可求出常数项．解：展开式的通项为：＝．令k＝4，可得常数项为．故选：B．7．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a•log2b的最大值为（）A．B．C．4D．8【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．解：a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a•log2b＝（log28﹣log2b）•log2b＝（3﹣log2b）•log2b＝3log2b﹣（log2b）2＝﹣（log2b﹣）2≤．当且仅当b＝2＝2时，函数取得最大值．故选：B．8．设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）＝0.2，则函数没有极值点的概率是（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8【分析】函数没有极值点，则f′（x）＝x2+2x+η2＝0无解，可得η的取值范围，再根据随机变量η服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x ＝1对称，从而可得结论．解：∵函数没有极值点，∴f′（x）＝x2+2x+η2＝0无解，∴△＝4﹣4η2＜0，∴η＜﹣1或η＞1，∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）＝0.2，∴P（η＜﹣1或η＞1）＝0.2+0.5＝0.7，故选：C．9．若，则（）A．﹣1B．C．D．【分析】设t，则t＝，积分后解方程即可．解：依题意，设t，则t＝＝，所以t＝，解得t＝﹣，即﹣，故选：D．10．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等设n 位回文数的个数为a n（n为正整数），如11是2位回文数，则（）A．a2＝10B．a3＝10C．a4＝90D．a5＝90【分析】由回文数的特点，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n个，逐一判断即可．解：由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001，1111，1221，…，1991，2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n个，即a2n+2＝a2n+1＝9×10n个，所以a2n＝9×10n﹣1个，所以a2n+1＝10a2n（n∈N+）所以a2n＝a2n﹣1（n∈N+），故选：C．11．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），当x＞0时，，若a＝f（21.3），b＝f（40.6），，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合导数即可得到结论．解：x＞0时，，，令g（x）＝﹣lnx﹣1，x＞0，则g（x）单调递减且g（1）＝0，故当0＜x＜1时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞1时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，因为21.3＞40.6＝21.2＞2，f（2log）＝f（log23），所以f（21.3）＜f（21.2）＜f（log23），故a＜b＜c．故选：D．12．已知点P在抛物线C：y2＝mx（m≠0）上，过点P作抛物线x2＝2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若G（1，1），且，则C的准线方程为（）A．B．C．D．【分析】设M，N，P的坐标，由G（1，1），且，可得M，N的横坐标之和与P的横坐标的关系，求导，可得在M，N处的切线方程，两个切线联立求出交点P的坐标，进而可得m的值，再求抛物线C的准线方程．解：由题意设M（x1，），N（x2，），P（x0，y0），因为，所以可得x1+x2＝3﹣x0，+＝3﹣y0，由抛物线x2＝2y的方程可得y＝，所以y'＝x，所以在M点处的切线方程为y﹣＝x1（x﹣x1），即y＝x1x﹣，①同理可得在M点处的切线方程为y＝x2x﹣②由①+②可得可得2y＝（3﹣x0）x﹣③，及①﹣②可得x＝，即x0＝，可得x0＝1，由题意可得2y0＝（3﹣x0）x0﹣（3﹣y0），所以2y0＝（3﹣1）×1﹣3+y0，解得：y0＝﹣1，而y02＝mx0，所以（﹣1）2＝m×1，解得m＝1，所以抛物线C的方程为y2＝x，可得抛物线的准线方程为：x＝﹣，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．解：由f（x）＝xlnx，得，∴f′（1）＝ln1+1＝1，即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2+b2＝c2（a，b，c∈N*），把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是60．【分析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为x，x+1，所以（x+1）2＝112+x2，即x＝60，得解．解：由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二、三个数为相邻的两个整数，可设为x，x+1，所以（x+1）2＝112+x2，即x＝60，所以第5组勾股数的三个数依次是11，60，61．故答案为：60．15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参考公式：．P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参照附表，在犯错误的概率最多不超过5%（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”【分析】根据题目所给的数据填写2×2列联表算K2，对照题目中的表格，得出答案．解：由题意可得：＝＝≈4.762＞3.841．由参照表可知对应P（K2＞k）＝0.05，故在犯错误的概率最多不超过5%前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”故答案为：5%，16．已知函数，下面四个结论：①函数f（x）在其定义域上为增函数；②对于任意的a＜0，都有f（a）＞﹣1；③f（x）有且仅有两个零点；④若y＝e x在点处的切线也是y＝lnx的切线，则x0必是f（x）的零点，其中所有正确的结论序号是②③④．【分析】根据f（0）和f（）的大小即可否定①，根据e x和的大小即可判断②，根据f（x）的单调性和零点的存在性定理判断③，设公切线与y＝lnx的切点的横坐标为x1，列方程组得出x1和x0的关系，计算f（x0）即可判断④．解：（1）f（x）＝e x﹣﹣1（x≠1），显然f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上均为增函数，而f（0）＝2，f（）＝e﹣5，∵（e）2＝e3＜25，∴e＜5，故f（）＜0，∴f（x）在定义域上不是增函数，故①错误；（2）当x＜0时，e x＞0，＜0，∴e x﹣＞0，∴e x﹣﹣1＞﹣1，即f（x）＞﹣1在（﹣∞，0）上恒成立，故②正确；（3）由（1）可知f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上均为增函数，又f（﹣2）＝﹣＜0，f（0）＝2，f（）＜0，f（2）＝e2﹣3＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，故③正确；（4）y＝e x在（x0，e）处的切线方程为y＝e（x﹣x0）+e，设直线y＝e（x﹣x0）+e与y＝lnx的切点为（x1，lnx1），则，∴（x1﹣x0+1）＝﹣x0，∴x1＝，故＝，∴f（x0）＝e﹣＝﹣＝0，故x0是f（x）的零点，故④正确；故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若a＝4，△ABC的面积为，求c．【分析】（1）由已知利用正弦定理化简可得，由余弦定理可求cos C 的值，结合范围0＜C＜π，可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求c的值．解：（1）∵，由正弦定理得，…………………………………………………………………………即，………………………………………………………………………………………由余弦定理得．…………………………………………………………∵0＜C＜π，∴．……………………………………………………………………………………（2）∵a＝4，△ABC面积为，∴，即，………………………………………………………………∴．………………………………………………………………………………………………………由余弦定理得，……………………………∴．……………………………………………………………………………………………………18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，若数列{S n+1}是公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由数列{S n+1}是公比为2的等比数列求得S n，再由a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）求数列的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式与前n项和代入，然后裂项相消求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵a1＝1，∴S1+1＝a1+1＝2．∵数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴，∴．当n≥2时，，∴．显然a1＝1适合上式，∴；（2）由（1）知，，∴，则T n＝b1+b2+…+b n＝＝．19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB＝SC，M是BC的中点，AB＝1，BC＝2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若，求二面角B﹣SA﹣D的余弦值．【分析】（1）由面面垂直和线面垂直的性质定理可推出SM⊥AM，在矩形中通过简单计算可证AM⊥MD，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；（2）过点M作MN∥AB，交AD于N，以M为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系O﹣xyz，根据法向量的性质分别求得平面ABS的法向量和平面ADS的法向量，根据空间向量数量积的坐标运算可得cos＜，＞，故而得解．【解答】（1）证明：∵SB＝SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC．∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC＝BC，∴SM⊥平面ABCD．∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM．∵ABCD是矩形，M是BC的中点，AB＝1，BC＝2，∴AM⊥MD，又SM、MD⊂面SMD，且SM∩MD＝M，∴AM⊥平面SMD．∵SD⊂平面SMD，∴AM⊥SD．（2）解：由（1）知SM⊥平面ABCD．过点M作MN∥AB，交AD于N，则MN，MC，MS两两垂直．以M为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系O﹣xyz，则M（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，1，0），，A（1，﹣1，0）．∴，，．设平面ABS的法向量为，则，∴，令z1＝1，则，x1＝0，∴．设平面ADS的法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴，令z2＝1，则，y2＝0，∴．∴，∵二面角B﹣SA﹣D为钝二面角，故二面角B﹣SA﹣D的余弦值为．20．已知椭圆的离心率为，点A（0，﹣2）在椭圆上，斜率为k 的直线1过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）设k1，k2分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，k1k2是否为定值？说明理由．【分析】（1）由椭圆的离心率及过的点的坐标和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线AC，AD的斜率之积的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．解：（1）设椭圆的半焦距为c．∵椭圆的离心率为e＝＝，点A（0，﹣2）在椭圆上，∴，解得，b＝2，，∴椭圆的方程为；（2）当k变动时，k1k2为定值﹣2，证明如下：设直线l的方程为y＝kx+1．由得（3k2+2）x2+6kx﹣9＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，因为A（0，﹣2），所以，，所以＝＝k2+＝k2+＝k2﹣k2﹣2＝﹣2．所以当k变动时，k1k2为定值﹣2．21．某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N（μ，σ2），并把质量指标值在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品称为优等品，质量指标值在（μ+σ，μ+2σ）内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望．【分析】（1）根据平均数的运算公式，代入数值计算即可；（2）由已知可得，质量指标值Y～N（70，102），该厂生产的产品为正品的概率P＝P （70﹣10＜Y＜70+10）+P（70+80＜Y＜70+20）＝P（60＜Y＜80）+P（80＜Y＜90）＝；（3）根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定X取不同值时的概率，列表对应，列出X的分布列，根据数学期望公式，代入数值求解即可．解：（1）由频率分布直方图可知，．（2）由题意可知，样本方差s2＝100，故，所以质量指标值Y～N（70，102），该厂生产的产品为正品的概率P＝P（60＜Y＜90）＝P（60＜Y＜80）+P（80＜Y＜90）＝．（3）X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望．22．函数f（x）＝xe x﹣ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y＝﹣x+1．（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出f′（x）＝（x+1）e x﹣a，由，能求出a，b．（2）推导出m≤xe x﹣x﹣lnx+1，令g（x）＝xe x﹣x﹣lnx+1，x＞0，由m≤xe x﹣x﹣lnx+1恒成立⇔m≤g（x）min，利用导数性质能求出实数m的取值范围．解：（1）∵f（x）＝xe x﹣ax+b，∴f′（x）＝（x+1）e x﹣a，由函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为：y＝﹣x+1，知：，解得a＝2，b＝1．（2）∵f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，∴m≤xe x﹣x﹣lnx+1，①令g（x）＝xe x﹣x﹣lnx+1，x＞0，则＝，设g′（x0）＝0，x0＞0，则＝，从而lnx0＝﹣x0，g′（）＝3（）＜0，g′（1）＝2（e﹣1）＞0，由g′（）﹣g′（1）＜0，知：，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+1＝﹣x0﹣lnx0+1＝x0•﹣x0+x0+1＝2．m≤xe x﹣x﹣lnx+1恒成立⇔m≤g（x）min＝2．∴实数m的取值范围是：（﹣∞，2]．。
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B 。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2．已知变量x ，y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ1-2 yx =，则变量x ，y 是（） A ．线性正相关关系B ．线性负相关关系C ．由回归方程无法判断其正负相关关系D ．不存在线性相关关系【答案】B 【解析】 【分析】根据变量x ，y 的线性回归方程的系数b $＜0，判断变量x ，y 是线性负相关关系． 【详解】根据变量x ，y 的线性回归方程是y $=1﹣2x ， 回归系数b =-$2＜0，所以变量x ，y 是线性负相关关系． 故选：B ．【点睛】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．3．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e【答案】B【解析】【分析】设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．4．若，则（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【解析】【分析】通过对等式中的分别赋0，1，求出常数项和各项系数和得到要求的值.【详解】令，得，令，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有二项展开式中系数和的有关运算问题，涉及到的知识点有应用赋值法求二项式系数和与常数项，属于简单题目.5．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．-1【答案】D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C =5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D 【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6．欧拉公式：i e cos isin (i x x x =+为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，i 22(e )π=（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案． 【详解】由ix e cosx isinx =+得2222cos sin 212i e i i πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭=-⎭故选B ． 【点睛】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题． 7．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算21ii+的结果是（） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】 解：21i =-Q ，22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+∴===+++-， 故选A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．T B ．SC ．S T ⋂D ．S T ⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据定义集合{},S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解. 【详解】因为{},S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即S T ⋂，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题, 9．已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像如图所示，则()f x （ ）A ．有极小值，但无极大值B ．既有极小值，也有极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】由导函数图像可知：导函数'()y f x =在(),a -∞上小于0，于是原函数()y f x =在(),a -∞上单调递减，'()y f x =在()+a ∞，上大于等于0，于是原函数()y f x =在()+a ∞，上单调递增，所以原函数在x a =处取得极小值，无极大值，故选A. 【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.10．若a v ，b v 均为单位向量，且(2)a a b ⊥-vv v ，则a v 与b v 的夹角大小为 （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可求得夹角．详解：∵()2a a b ⊥-vv v ，∴2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r ，∴12a b ⋅=r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>==r rr r r r ，∴,3a b π<>=r r ．故选C ．点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r ，由此有cos ,a b a b a b⋅<>=r rr r r r ，根据定义有性质：0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r．11．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【答案】B 【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A ．1只 B ．43只 C ．53只 D ．2只【答案】C 【解析】 【分析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，由前5项和为5求得3a ，进一步求得d ，则答案可求． 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，则12348355a a a a a a ++++==， ∴3a =1，则431d 3a a =-=- ，∴13523a a d =-=．∴大夫所得鹿数为53只．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()1,1a =r ，()3,2b =-r ，若2ka b -r r 与a r垂直，则实数k =__________．【答案】-1 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-vv ， 2ka b -r r与a r 垂直，则()20ka b a -⋅=v v v ，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知过点1,1（）P -的直线m 交x 轴于点A ，抛物线2x y =上有一点B 使PA PB ⊥,若AB 是抛物线2x y =的切线，则直线m 的方程是___．【答案】320x y +-=或20x y -+=. 【解析】分析：由题设()2,B t t，求导得到直线2:2,AB y tx t=- 然后分0t =和0t ≠两种情况讨论即可得到直线m 的方程.详解：由题设()2,B t t，求导2x y ='即2ABkt =，则直线2:2,AB y tx t =-当0t =时，验证符合题意，此时()2,0A - ，故:20m x y -+= ，当0t ≠时，,02t A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()0111042t PA PB t t t ⎛⎫⋅=⇒++-+=⇒= ⎪⎝⎭u u u v u u u v 或1t =-（,B P 重合，舍去）此时()()1,1,2,0P A -，故:320m x y +-=点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.15．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是_____________． 【答案】10【解析】 【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展幵扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的式子，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的式子，，求出它们的比值. 【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ， 侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为,h H ， 则:1:2rl Rl ππ=，得2R r =，Q 两圆锥的侧面展幵图恰好拼成一个圆，22r Rlππ+∴=⨯，得3l r =，再由勾股定理，得h =，同理可得，H ==，∴两个圆锥的体积之比为2211:433r r ππ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为【点睛】本题主要考查圆锥的性质与侧面积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.16．已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________. 【答案】92【解析】 【分析】根据抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M ,可以设出抛物线的标准方程,代入(1,3)M 后可计算得92p =,再根据抛物线的几何性质可得答案. 【详解】因为抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M , 所以可设抛物线的标准方程为:22(0)y px p =>,将(1,3)M 代入可得2321p =⨯,解得92p =, 所以抛物线的焦点到准线的距离为92p =. 故答案为:92. 【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =； ②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++； ③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值； （2）求(,)f m n 的解析式．【答案】（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【解析】 【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f L 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】 解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得: (3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯， (3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，… …f m n f m n m n m n--=⨯+--=⨯+-．(,)(,1)2(11)2(2)n-个等式相加得：将上述12=+++++⋅⋅⋅++-++-f m n m m m m n m m(,)2[(1)(2)(2)]122=++--+．m mn n m n231【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.18．2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②，【解析】【分析】(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 140 40 180 对商品不满意 10 10 20 合计 150 50200则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关． （2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3， 则，，，．故X 的分布列为 X123P（ⅱ）由于X ～B （3，），则，．【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.19．如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，3PA AB AC ===，且D 为线段BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAD ；（2）若3,2AE AC PE AD λ=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求平面PAB 与平面PDE 所成角的正弦值.【答案】 (1)见解析；（2）2211. 【解析】分析：（1）由题意得AD BC ⊥，又PA BC ⊥，从而即可证明；（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，即可运用空间向量的方法求得答案. 详解：（1）证明：因为AB AC =，D 为线段BC 的中点， 所以AD BC ⊥.又,,PA PB PC 两两垂直，且AB AC A ⋂= 所以PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥. 因为AD PA A ⋂=， 所以BC ⊥平面PAD .（2）解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()()()330,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3,,,022A B C P D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵AE AC λ=u u u v u u u v，∴可设()0,,0E t ，则()330,,3,,,022PE t AD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，3322PE AD t u u u v u u u v ⋅==∴1t =，则()31,,0,0,1,322ED PE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v，设平面PDE 的法向量为(),,n x y z v=，则00n ED n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即 3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩令1z =，得()1,3,1n =-v.平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =v， 则311cos ,11m n ==v v. 故平面PAB 与平面PDE 所成二面角的正弦值为2211.点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量； ②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：1．111.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.7163.841 5.124 6.635 7.879 11.828【答案】（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽人，女生抽人，故，由此求得男生平均运动事件为小时；（2）计算，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故，则该校男生平均每天运动时间为：故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有人；②由表可知：故的观测值故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关” 考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.21．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，21a -，31a -成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义和1a ，21a -，31a -成等比数列代入公式得到方程，解出答案. (2)据(1)把n b 通项公式写出,根据裂项求和的方法求得n S . 【详解】解：(1) 1a ，21a -，31a -成等比数列,则2213(1).(1)a a a -=-⇒22d d =2d =或0d =(舍去)所以21n a n =- （2）111111()(21).(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+12111111111....(...)(1)21335212122121n n nS b b b n n n n =+++=-+-++-=-=-+++【点睛】本题考查了公式法求数列通项式，裂项求和方法求n S ，属于基础题. 22．已知函数32()2f x x x x a =+++．（1）若()f x 在0x =处的切线过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在[]2,0-上存在零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）[]0,2． 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，然后求出()0f '和()0f ，然后表示出切线方程，把点()2,3代入方程即可取出a （2）由32()20f x x x x a =+++=得322a x x x =---，然后求出32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-的值域即可. 【详解】解：（1）∵2()341f x x x '=++．∴()01f '=，又∵()0f a =，∴()f x 在点0x =处的切线方程为()()()000y f f x ¢-=-，即y a x -=．由过点()2,3得：32a -=，1a =． （2）由32()20f x x x x a =+++=， 得322a x x x =---，令32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-． ∴2()341g x x x '=---，令()0g x ¢=，解得1x =-，或13x =-．易知()22g -=，()00g =，()10g -=，14()327g -=， 由()f x 在[]2,0-上存在零点，得a 的取值范围为[]0,2． 【点睛】若方程()a f x =有根，则a 的范围即为函数()f x 的值域.。
2019-2020学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5−i 1−i=( )A. 3+2iB. 2+2iC. 2+3iD. −2−2i2. 命题“对∀∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5>0 C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 02−3x 0+5>03. 从某大学随机选取8名女生，其身高x(cm)和体重y(kg)数据如下表所示．其回归直线方程为y ∧=0.85x −85，则下列结论错误的是( )A. x 与y 是正相关B. 随机误差e i (i =1,2，…，8)的均值为0C. 身高180 cm 的女生的体重估计为68 kgD. 身高175 cm 的残差为−0.254. 若x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (163,8)B. (163,16)C. [163,16)D. [163,16]5. 以双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定6. (√x +13x )10的展开式中常数项为( )A. 120B. 210C. 252D. 457. 已知正实数a ，b ，c 满足a 2−2ab +9b 2−c =0，则当abc 取得最大值时，3a +1b −12c的最大值为( ) A. 3B. 94C. 1D. 08. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ<−2)=0.1，则函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.59. 若f(x)={x3+sinx,−1≤x ≤121<x ≤2，则∫f 2−1(x)dx =( )A. 0B. 1C. 2D. 310.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则2n+1(n∈N ∗)位回文数的个数为()A. 9×10 n−1个B. 9×10 n个C. 9×10 n+1个D. 9×10 n+2个11.已知函数，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数12.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为()A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知曲线f(x)=x3，则过点P(1,1)的曲线f(x)的切线方程为________．14.观察下列等式：按此规律，第10个等式的右边等于______ ．15.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题．为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100有关系．.】【参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82816.①函数f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于y轴对称②若函数f(x)=e x，则对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2③若函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，则f(−2)>f(a+1)④若函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，则函数的最小值为−2其中正确的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba+c =1−sinAsinC+sinB．(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2√3,a+b=6，求c．18.设S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=λa n−1(λ为常数，n∈N∗).a3=a22，求λ的值；19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．21.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22.设函数f(x)=(2x2−4mx)lnx，m∈R．(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)若∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：5−i1−i =(5−i)(1+i)(1−i)(1+i)=6+4i2=3+2i，故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对∀∈R，x2−3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02−3x0+5>0．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查回归直线方程及相关概念，属基础题目．【解答】解：因为0.85>0，故A正确．随机误差的均值为0，故B正确．当x=180时，y∧=0.85×180−85=68，故C正确．当x=175时，y∧=0.85×175−85=63.75.残差e=64−63.75=0.25.故D错误，故选D．4.答案：C解析：【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，然后求解目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键． 【解答】解：x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4的可行域如下图所示：则z =x +2y 经过可行域的C 点时，取得最小值． {x −2y =0x +y −4=0解得C(83,43) x =83，y =43时，z =x +2y =163，由{y =4x −2y =0解得B(8,4)，z =16 ∴z =x +2y 的取值范围为[163,16)． 故选：C ．5.答案：C解析：解：由题意，圆F 的方程为：(x +c)2+y 2=b 2，双曲线的渐近线方程为：bx ±ay =0 ∴F 到渐近线的距离为d =√a 2+b 2=b ∴圆F 与双曲线的渐近线相切 故选C ．确定圆F 的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论． 本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6.答案：B解析：解：(√x+13x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x5−5r6，令5−5r6=0，解得r=6，∴(√x+13x)10的展开式中常数项为C106=210，故选：B．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题．由已知条件得出c=a2−2ab+9b2，代入abc，并在分式分子分母中同时除以ab，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a=3b，并得出c=12b2，代入3a+1b−12c并利用配方可求出该代数式的最大值．【解答】解：由a2−2ab+9b2−c=0，可得c=a2−2ab+9b2，∴abc =aba2−2ab+9b2=1a2+9b2−2abab=1ab+9ba−2≤2√b⋅a−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．函数f(x)=13x3+2x2+ξ2x有极值点，则f′(x)=x2+4x+ξ2=0有两个不同实数解，可得ξ的取值范围，再根据随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，由对称性即可求得答案．【解答】解：∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x ， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2，∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2=0有两个不同实数解， ∴△=16−4ξ2>0，即−2<ξ<2．∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)且P(ξ<−2)=0.1， ∴P(−2<ξ<2)=0.5−0.1=0.4．∴函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为0.4． 故选C ．9.答案：C解析：解：∵f(x)={x 3+sinx,−1≤x ≤12, 1<x ≤2，∴∫f 2−1(x)dx =∫(1−1x 3+sinx)dx +∫221dx=(14x 4−cosx)|−11+2x|12=(14⋅14−cos1)−[14⋅(−1)4−cos(−1)]+(2×2−2×1)=2． 故选：C根据分段函数的积分法则，可得所求积分为：y =x 3+sinx 在[−1,1]上的积分值，再加上函数y =2在[1,2]上的积分值积所得的和．再由定积分计算公式求出被积函数的原函数，由微积分基本定理加以计算，可得答案．本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法， 故2n +1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个 故选：B ．利用回文数的定义，结合分步计数原理即可计算2n +1(n ∈N +)位回文数的个数．本题主要考查了分步计数原理的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题11.答案：A解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的判定，属于基础题．利用奇偶函数的定义判定即可．【解答】解：由题意知，f(x)的定义域为R，=xlg[(10x+1)×10−12x]=xlg(10x2+10−x2)，则f(−x)=−xlg(10−x2+10x2)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．故选A．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，由中点坐标公式可得M的坐标，由此求得点M到抛物线准线的距离x1+x22+1的值．【解答】解：由抛物线的方程y2=4x可得它的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1．由中点坐标公式可得PQ的中点M(x1+x22,y1+y22)由于x1+x2=6，则M到准线的距离为x1+x22+1=4，故选B．13.答案：y=3x−2或y=34x+14解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数腰间曲线上某点的切线方程．【解答】解：因为f′(x)=3x2，设切点为，所以切线方程为y−x03=3x02(x−x0)，将P(1,1)代入切线方程得(x0−1)2(2x0+1)=0，得x0=1或x0=−12，∴过点P(1,1)的f(x)的切线方程为y=3x−2或y=34x+14，故答案为y=3x−2或y=34x+14．14.答案：280解析：解：因为3−1=2，7−3=4，13−7=6，所以第5个式子的第一数与第4个式子的差为21−13=8，第6个式子的第一个数与第5个式子的第一个数差10，即31−21=10．…所以第10个式子的第一个数为19，后面是连续10个奇数的和．所以等式的左边为19+21+23+⋯+37．∵19+21+23+⋯+37=(19+37)×102=280，故答案为：280．根据前四个式子的规律，归纳出规律，进而可得第10个等式．本题考查归纳推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．15.答案：0.05解析：【分析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．根据列联表中数据计算观测值，参照附表得出概率结论．【解答】解：根据列联表中数据，计算观测值为K2=100×(10×30−20×40)2 50×50×70×30=10021≈4.762>3.841，参照附表知，在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故答案为：0.05．16.答案：②④解析：解：①设t=−x+2，∴x−2=−t，∴函数化为y=f(t)与y=f(−t)，两函数图象关于直线t=0对称，由t=−x+2=0得：x=2，∴y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称；∴命题①错误；②∵f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，有f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=e x1+e x22ex1+x22=e x1−x222+ex2−x122≥2√ex1−x222⋅ex2−x122=2×12=1，∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，∴命题②正确；③当函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增时，a>1，∴a+1>2，∴f(a+1)>f(2)；又f(−2)=f(2)，∴f(a+1)>f(−2)；∴命题③错误；④∵函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，设x+2013=t，则x=t−2013；∴f(t)=(t−2013)2−2(t−2013)−1=(t−2013−1)2−1−1=(t−2014)2−2，即f(x)=(x−2014)2−2；∴函数f(x)的最小值为−2，∴命题④正确；综上知，正确命题的序号是②④；故答案为：②④．①令t=−x+2，知y=f(t)与y=f(−t)的图象关于y轴对称，从而得出y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象的对称性；②利用作商法，结合基本不等式，判定f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2是否成立即可；③由函数f(x)的单调性与奇偶性判定命题是否正确；④利用换元法求出函数f(x)的解析式，再求出f(x)的最小值，即可判定命题是否正确．本题通过命题真假的判定考查了函数的单调性、奇偶性、对称轴以及最值问题，是综合题目．17.答案：解：(1)由ba+c =1−sinAsinC+sinB=sinC+sinB−sinAsinC+sinB，得：b a+c =b+c−a c+b，化简为b 2+a 2−c 2=ba ，再由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ba=12，∵C ∈(0,π)， ∴C =π3．(2)由(1)知C =π3，由S △ABC =2√3， 得：12ab ⋅√32=2√3，解得ab =8，∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2ab ×12=(a +b)2−3ab =12， ∴c =2√3．解析：(1)化简已知等式，由余弦定理可求cos C 的值，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值． (2)利用三角形的面积公式可求ab 的值，根据余弦定理可求c 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：λ=0或λ=2解析：由S n =λa n −1得a 1=λa 1−1(即知λ≠1)，a 1+a 2=λa 2−1，a 1+a 2+a 3=λa 3−1.故 a 1=1λ−1，a 2=λ(λ−1)2，a 3=λ2(λ−1)3 于是由a 3=a 22得λ2(λ−1)3=λ2(λ−1)4解得λ=0或 λ=2 . 19.答案：解：∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB =2，BC =2 √2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0，2)，A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2 √2，0)， D(0,2 √2，0)，E(0,√2,0)，F(1,√2,1)，证明：(1)由题意得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√2,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)，∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4−2=0， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥BF ， 又∵BE ∩BF =B ， ∴PC ⊥平面BEF ；解：(2)由已知可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量， 由(1)得向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量， 设平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小为θ， 则cosθ=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22，则θ=45°，即平面BEF 与平面BAP 所成二面角为45°．解析：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将线面垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答本题的关键．(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，进而求出PC ，BE ，BF 对应的方向向量，根据向量的数量积为0，则向量垂直，可证得PC ⊥BE ，PC ⊥BF ，再由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由已知及(1)中结论，可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量，向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小．20.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由ca =√32及c 2=a 2−b 2，可得a 2=4，b 2=1． 则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 解得k >√32或k <−√32，则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题．21.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115．(2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X =5)=C 21C 43A 44A 55+C 43C 21A 44A 55=815．X 的分布列为因此，E(X)=2×15×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望． (1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X 的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．22.答案：【解答】解：(1)m =0时，f(x)=2x 2lnx ，f′(x)=4xlnx +2x ，f′(e)=6e ，f(e)=2e 2， 所以y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程y =6ex −4e 2；(2)∀x ∈[1,+∞),f (x )+x 2−m >0恒成立，等价于(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立， 由于y =4xlnx +1在[1,+∞)递增，可得y ≥1>0， 所以(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立等价于m <x 2(2lnx+1)4xlnx+1在x ≥1恒成立，设g (x )=x 2(2lnx+1)4xlnx+1，x ≥1，则g′(x )=4x (lnx+1)(2xlnx−x+1)(4xlnx+1)2，由y =2xlnx +1−x 的导数为y′=2(1+lnx )−1=1+2lnx ≥1>0，可得2xlnx +1−x ≥0， 又lnx +1>0，可得g′(x )≥0，即g (x )在[1,+∞)递增， 所以g (x )的最小值为g (1)=1， 则m <1，即m 得取值范围为(−∞,1)．解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，和构造函数利用导数解决恒成立问题，属中档题．(1)利用导数的几何意义，求出f′(e)和f(e)，利用点斜式写出方程；(2)利用等价转化思想将∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立转化为m<x2(2lnx+1)在x≥1恒成立，4xlnx+1，利用导数g(x)求出最小值即得证．构造函数g(x)=x2(2lnx+1)4xlnx+1。
