最新年届高三五市十校联考理科数学(试卷版)

2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷（答案在最后）2024.9总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}1,2{},0,{2+==a B a A ，若}1{=B A ，则=A ．1B ．1-C ．0D ．1±2．若α为第二象限角，则A ．02s >αin B ．02cos <αC ．0cos sin >-ααD ．0cos sin <+αα3．函数)ln()(2x x x f +-=的定义域为A ．),1[]0,(+∞-∞ B ．)1,0(C ．]1,0[D ．),1[]0,(+∞-∞①若n m n m ⊥,//,//βα，则βα⊥②若βαβα//,//,//n m ，则n m //③若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥④若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则n m ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

10．设函数∈--=，则下列说法正确的是A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 在R 上是单调函数C ．)(x f 的最小值为1D ．当0>x 时，0)(>x f 11．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BB BC BP μλ+=，则下列说法正确的是B ．若1=+μλ，则//1P D 平面BD A 1C ．若21,1==μλ，则⊥OP 平面BD A 112．已知角α的终边经过点)3,2(-P ，则=-++-+-)2cos()2sin()cos()sin(απαππααπ.四、解答题：本题共5小题，共77分。

为直角三角形，则双曲线的离心率是（
）
FAB
A． 3
B． 2
C． 6
6. 如图，在 ABC 中， AB 3, BC 7, AC 2 ，
D． 3 A
若 O 为 ABC 的外心，则 S OBC : S ABC 的值为（
）.
O
1
A．
3 6
C．
7
7
B．
18 7
D．
9
C B
（第 6 题图）
7. 由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 2、4 都不与 6 相邻的六位奇数的个数是（
不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加
5 次测试．假设某学生每
次通过测试的概率都是 1 ，每次测试通过与否相互独立．规定：若前 3
没有通过测试，则第 5 次不能参加测试．
4 次都
（Ⅰ）求该学生恰好通过两次测试考上大学的概率； （Ⅱ）求该学生考不上大学的概率；
（Ⅲ）如果考上大学或参加完 5 次考试就结束，记该生参加测试的次数为
开始
S0
i1
互相垂直的充要条件；
C．命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为真命题；
a
D ．已知函数 f (a) sin xdx, 则 f
0
2
1．
3.阅读右面的程 序框图，该程序运行后输出 i 的值是（
）
A ． 15
B． 27
C． 31
是
输出 i
S 50？
否
S S2 1
结束
i 2i 1
注意事项：
1．第Ⅱ卷共 7 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(2)的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 92. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°3. 若等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列函数中，y = x^3 - 3x是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数5. 已知直线l的方程为3x - 4y + 5 = 0，点P(2, -1)关于直线l的对称点Q的坐标为（）A. (8, 1)B. (8, -1)C. (2, 1)D. (2, -1)6. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，3，9，则该数列的公比q为（）A. 1B. 3C. 9D. 277. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z| = 2，则z在复平面内的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 双曲线D. 直线8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，B(4, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3, 2)B. (3, 1)C. (4, 2)D. (4, 3)10. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 25，S10 = 100，则S15的值为（）A. 75B. 100C. 125D. 150二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数y = 2x + 3在x = 2时的导数为2，则该函数的切线方程为______。

12. 在△ABC中，若a = 5，b = 6，c = 7，则△ABC的面积S为______。

2020届湖南省五市十校高三第三次联考数学（理科） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A=}72|{},63|{<<=<<-x x B x x ，则)(B C A R =( )A. （2，6）B. （2，7）C.（-3，2]D.（-3，2） 2. 已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则2|2i |z +=( )A ．2 C ．10 D 3. 已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( )A. 4B. 2C. 12D. 144．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A. 3eB.43e-11136正视图侧视图俯视图C. 33e-D.13e - 5. 已知命题:,2xp x R x e ∃∈->，命题2:,1,log (1)0a q a R a a +∀∈≠+>且，则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题 6. 7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有( ) A. 35种B. 50种C. 60种D. 70种7. 将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是( )A ．函数()g x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()g x 图像关于直线7π12x =对称C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称8. 已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3 9. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。

时量 120分钟 满分 150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ）A ．200:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B． C ．200:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2．函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)3．由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3-4．已知的三个内角所对边长分别为，向量，，若∥，则（ ） C D 5．若()sin f x a x b =+（,a b 为常数）的最大值是5，最小值是1-，则a的值为（ ）A ．23-B ．23或23-C ．32- D ．326．等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则63SS =（ ）A ．87B ．45C ．89 D ．27．在中，分别是角所对边的边长，若）A ．1BCD ．2 8．已知函数()f x 满足1()2()f x f x=，当[1,3]x ∈时，，若在区间与轴有B C D35分）9_________．10．若不等式1|||2|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________． x ()ln f x x =2:,210p x R x ⌝∀∈+<2:,210p x R x ⌝∀∈+≤ABC ∆c b a ,,C B A ,,ABC △C B A ,,cb a ,,),(b ac a m -+=→→m =∠C11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为________． 12．如图，在中，、分别为边、的中点． 为边上的点，且，若，，则的值为 ．13．下列命题：①函数在上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线两侧； ③数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当 时，取得最大值；④定义运算 ， 则函数 的图象在点处的切线方程是其中正确命题的序号是_______________（把所有正确命题的序号都写上）．14．点(,)M x y 是不等式组0333x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，使2z y x =-的值取得最小的点为00(,)A x y ，则OM OA ⋅（O 为坐标原点）的取值范围是____________．15．已知两个正数，可按规则扩充为一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数12sin 3cos 2)(2-+=x x x f ．（I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）将函数()f x 的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数()g x 的图象．若直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，求ϕ的值．m n +,m n (1)(1)1m n q p ++-0p q >>,,a b c c c ab a b =++,a b .0536=--y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1113x 2+3()=x x f x x212212=-a a b a b b 11a b n S 4=n n S {}n a 051=+a a {}n a 03=-y x []0π，π=sin -2y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y +,x y R ∈AD xAF yAE =+3AB AF =AB F AC BC E D ABC ∆17．（本小题满分12分）已知,,A B C 是直线上的不同三点，O 是外一点，向量满足23(1)2OA x =+OB(ln )x y OC +-，记．（I ）求函数的解析式；（II ）求函数的单调区间． 18．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)m x =-，1(3cos ,)2n x =-，函数2()2f x m m n =+⋅-． （I ）求()f x 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求11tan tan A C+的值． 19．（本小题满分13分）学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A ，B 两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A 是本校的传统套餐，B 是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A 套餐的学生，下星期一会有15的学生改选B 套餐；而选B 套餐的学生，下周星期一会有r （405r <<）的学生改选A 套餐，用n a ，n b 分别表示在第n 个星期选A 套餐的人数和选B 套餐的人数．（I ）用1n a -表示n a ； （II ）若310r =，且选A 套餐的学生人数保持不变，求1a ； （III ）根据调查，存在一个常数k ，使得数列{}n a k -为等比数列，且[250,300]k ∈，求r 的()y f x =()y f x =()y f x =,,OA OB OC l l取值范围． 20．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，通项为，且满足（是常数且）．（I ）求数列的通项公式；（II ），，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分），若在点处的切线斜率为．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立， （ⅰ）求实数的取值范围；，证明：．(1sin )(1sin )g g θθ-≤+a x ()1g x ≤-()ln ()g x x f x =-b a 1(1,(1))f ()f x m n N *∀∈m 12()()()n n b f a f a f a =+++()log q f x x={}n a 0,1q q >≠q na nS n {}n a2013年下期五市十校高三联考试卷一、选择题： AADB BCBC 二、填空题 9、12 10、13a << 11、12y ex =- 12、25 13、②④ 14、[]0,6 15、21三、解答题16．解：（I ）cos 21()2212cos 22x f x x x x +=-=+ 1分12(sin 2cos 2)2sin(2)226x x x π=+=+ 2分 令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 3分得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 4分所以函数()f x 在每一个[,]()36k k k Z ππππ-+∈区间是增函数． 5分（II ）将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数1()2sin[2()]6f x x πϕ=-+2sin(22)6x πϕ=-+的图象． 6分将函数1()f x 图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数1()2sin(2)26g x x πϕ=-+的图象． 8分因为直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，所以142sin(2)2236ππϕ⨯-+=±，得52,62k k Z ππϕπ-+=+∈ 10分得,26k k Z ππϕ=-+∈， 11分 取0k =，得6πϕ=． 12分17．解：（I ）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =++- ，且,,A B C 是直线l 上的不同三点，∴23(1)(ln )12x x y ++-=， ∴23ln 2y x x =+； 6分（II ）∵23()ln 2f x x x =+，∴2131()3x f x x x x +'=+=，∵23()ln 2f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x +'=在(0,)+∞上恒正，∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞． 12分18．解：（I ）==﹣2===．故f （x ）max =1，此时，得． 所以取得最大值的x 的集合为{x|}．6分 （II ）由f （B ）=，又∵0＜B ＜，∴．∴，∴．由a ，b ，c 成等比数列，则b 2=ac ，∴sin 2B=sinAsinC ． ∴==． 12分19．解：（I ）由已知得111145500n n n n n a a rb a b ----⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，所以114(500)5n n n a a r a --=+-，得14()5005n n a r a r -=-+． 4分（II ） 310r =，∴ 1111502n n n a a a --=+=∴ 11300n a a -==． 8分 （III ） {}n a k -是等比数列，∴ 14()()5n n a k r a k --=--，得141()()55n n a r a r k -=-++，∴ 1()5005r k r +=，得250051r k r =+， 11分[250,300]k ∈，∴250025030051r ≤≤+，∴ 13510r ≤≤． 13分20．解：（I ）由题意，)1(1--=n n a q q S ，得111(1)1q S a a q ==--∴1a q = …1分 当2n ≥时， 11(1)(1)1111n n n n n q q q q a a a a a q q q q --=---=-----， 1(1)n n n q a qa qa --=- ∴1n n aq a -= …3分∴数列{}n a 是首项1a q =，公比为q 的等比数列，∴1n nn a q q q -=⋅= ………4分（II ）由（Ⅰ）知当41=q 时，)411(31411)411(41n n n S -=--= ………5分 ∵1411<-n ，∴31)411(31<-n …………6分即31<n S ……7分（III ）∵()log q f x x =12log log log n q q q n b a a a ∴=+++＝12log ()q n a a a=12(1)log 122nq n n q n ++++=+++=…9分∵12112()(1)1n b n n n n ==-++……10分 ∴11ni ib=∑12111n b b b =+++=111112[(1)()()]2231n n -+-++-+＝21n n + …12分 由113ni im b =≥∑得66(1)666111n n m n n n +-≤==-+++ -------(*) ∵(*)对n N *∀∈都成立 ∴66311m ≤-=+ ∵m 是正整数，∴m 的值为1,2,3．∴使113ni imb =≥∑对n N *∀∈都成立的正整数m 存在，其值为：1，2，3． ……13分21．解：-------------3分（ⅰ）恒成立，即．恒成立，则．当时，,则，，单调递增，()g x ()0g x '>(0,1)x ∈2(0)0x g '≥1a ≥(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥()1g x ≤-max ()1g x ≤-()1g x ≤-当，， 单调递减，则，符合题意，即恒成立．所以，实数的取值范围为． --------------------7分 （ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为． 令，考虑函数下证明，即证：又，只需证即证，显然成立． 即在单调递增，，则，得成立，，成立．-----------------------13分（(1sin )(1sin )g g θθ-≤+(1)(1)g t g t +≥-()0p t ≥min ()(0)0p t p ==[0,1)t ∈()p t 22242221(1)(1)30(3)0t t t t t t t +≥+-⇐-≤⇐-≤10a -≥()0p t '≥sin [0,1)t θ=∈1a ≥a ()1g x ≤-1a ≥a ()1g x ≤-max ()(1)121g x g a ==-≤-()g x ()0g x '<(1,)x ∈+∞。

三数学十校联考试卷（理科）（解答）一、填空题；1、若集合{}32<-=x x A ；集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03x x xB ；则=⋂B A ()()5,30,1⋃- 。

2、函数()()32log 31≥+=x x x f 的反函数的定义域是 (]1,∞- 。

3、已知椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ；右焦点是2F ；点P 在椭圆上；如果线段1PF 的中点在y 轴上；那么 =21:PF PF 3:5 。

4、化简；()()=--xx x x x 2sin sin csc cos sec21。

5、已知()()2,1,1,1-==OB OA ；以OB OA ,为边作平行四边形OACB ；则OC 与AB 的夹角为 55arccos。

6、在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧==10,,3,2,1,6 n n x x π中任取一个元素；所取元素恰好满足方程21cos =x 的概率是 51 。

7、正方体1111D C B A ABCD -中；与1AD 异面；且与1AD 所成角为︒60 的面对角线共有 4 条。

8、曲线()142≤--=x x y 的长度是34π。

9、若复数z 满足()i a z ai +=+1；且z 在复平面内所对应的点位于x 轴的上方；则实数a 的取值范围是 ()1,1- 。

10、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进；上午7时和9时该动点的坐标依次为()2,1和()2,3-；则下午5时该 点的坐标是 ()18,11- 。

11、若对任意实数y x ,都有()()()()()++++++++=-3232324150522222y y x a y y x a y y x a y x a y x()55442y a y y x a +++；则=+++++543210a a a a a a 243- 。

12、对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数）；如果在q p <时有q p i i >；则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”；一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像开口向上，且过点（1，2），则下列哪个选项一定成立？A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $a + b + c > 0$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1 + a_3 + a_5 = 18$，$a_2 + a_4 + a_6 = 24$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为：A. $a_n = 3n + 2$B. $a_n = 4n - 2$C. $a_n = 2n + 2$D. $a_n = 3n - 2$3. 设复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$），若$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$和$b$的关系为：A. $a = 0$B. $b = 0$C. $a = b$D. $a = -b$4. 若不等式$2x^2 - 3x + 1 > 0$的解集为$\{x | x > \frac{1}{2}\}$，则不等式$2x^2 - 3x - 1 < 0$的解集为：A. $\{x | x < -1\}$B. $\{x | x < 1\}$C. $\{x | x > 1\}$D. $\{x | -1 < x < 1\}$5. 已知向量$\vec{a} = (2, -1)$，$\vec{b} = (-3, 4)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为：A. -5B. -10C. 5D. 106. 在极坐标系中，点$(2, \frac{\pi}{3})$对应的直角坐标为：A. $(1, \sqrt{3})$B. $(1, -\sqrt{3})$C. $(-1, \sqrt{3})$D. $(-1, -\sqrt{3})$7. 若函数$f(x) = \log_2(3 - 2x)$在$x = 2$时取得最大值，则实数$x$的取值范围为：A. $x < 2$B. $x \leq 2$C. $x > 2$D. $x \geq 2$8. 已知函数$y = \frac{1}{x}$在区间$(0, +\infty)$上单调递减，则函数$y = \frac{1}{x^2}$在区间$(0, +\infty)$上：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增9. 设$a, b, c$是等差数列的三个相邻项，且$a^2 + b^2 + c^2 = 36$，$ab + bc + ca = 12$，则$abc$的值为：A. 6B. 8C. 10D. 1210. 若平面直角坐标系中，点$A(1, 1)$关于直线$y = x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为：A. $(1, 1)$B. $(1, -1)$C. $(-1, 1)$D. $(-1, -1)$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

浙江省高三数学五校联考试卷理科一 人教版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{}(){}21,lg 10A x y x B y y x ==-==+，则有（ ）（A ）（B ）（C ）A B = （D ）A=C R B2、如果复数z 满足：210z +=，则3z i（i 为虚数单位）的值为（ ）（A ）i ± （B ）i - （C ）1± （D ）1 3、已知随机变量()2~3,2N ξ，若23ξη=+，则D η=（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、已知{}n a 是正项的等差数列，如果满足：225757264a a a a ++=，则数列{}n a 的前11项的和为（ ）（A ）8 （B ）44 （C ）56 （D ）64 5、函数()cos (cos sin ),0,4f x x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ） （A ）121,2⎡+⎢⎣⎦ （B ）120,2⎡+⎢⎣⎦ （C ）122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6、设,a b R ∈，则“1a b +=”是“41ab ≤”的（ ）条件（Ａ）充分非必要 （Ｂ）必要非充分 （Ｃ）充分必要 （Ｄ）既不充分也不必要 7、函数()322f x x ax x =+++在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,3- （B ）3,3⎡-⎣（C ）(),33,⎡-∞-+∞⎣（D ）((),33,-∞-+∞8、同时抛掷三枚骰子，出现正面朝上的点数之和不大于5的概率是（ ）（A ）3206 （B ）3106 （C ）396 （D ）376 9、已知平面向量,,a b c 满足1,2,3a b c ===，且向量,,a b c 两两所成的角相等，则a b c ++=（ ）（A 3（B ）62 （C ）6 （D ）6310、设二次函数()()220f x ax x b a =++≠，若方程()f x x =无实数解，则方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦的实数根的个数为（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）4个以上第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11、()622xx -展开式中5x 的系数是 ▲ ．12、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 ▲ （用数字作答）． 13、在直角三角形ABC 中，,,c r S 分别表示它的斜边、内切圆半径和面积，则crS的最小值是 ▲ ．14、命题：①若函数()1f x x =+⎪⎩ ()()00x x ≥<，则()0lim 0x f x →=；②若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内一定存在最大值和最小值；③已知()323f x x ax x =++-，若()3lim3x f x x →-存在，则3a =-；④1x x ==．则其中不正确的命题的序号是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 15．（本小题满分14分）已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin cos 3x x +=-．（1）求cos()4x π+的值；（2）求cos 2tan cot xx x+的值．16．（本小题满分14分）已知函数()212f x x x =+，()22ln (1)g x a x a x =++． （1）求过点()2,4与曲线()y f x =相切的切线方程；（2）如果函数()g x 在定义域内存在导数为零的点，求实数a 的取值范围； （3）设()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调递增区间．17．（本小题满分14分）在一袋中有x 个红球、3个黑球和2个白球，现从中任取3个． （1）如果3x =，求取出的3球中颜色都相同的概率；（2）在（1）的前提下，设ξ表示取出的3球中红球的个数，求ξ的概率分布及数学期望 （3）如果取出的3球的颜色各不相同的概率为1235，求x 的值．18．(本小题满分14分)已知正项数列{}n a 满足：()()()2*113,2122181,n n a n a n a n n n N -=-+=++>∈ ．（1）求证：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）求12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭的值．19.（本小题满分14分）已知向量()(),1,,1p x q ax x ==-+，设（1）若1a =，求证：函数()f x 的值恒正；（2）如果不等式()0f x ≥对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分14分）设,,,a b p q 都是正实数，且1a b +=，定义函数()nf x x =()*n N ∈．（1）试比较()2f 与21n +的大小； （2）证明：()()()af p bf q f ap bq +≥+．[参考答案]二．填空题：11．160- 12．28 13．2 14．①②④三．解答题：15．（1）∵sin cosx x+=1)sin()443x xππ+=⇒+=- 2分∵,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,444xπππ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭， 4分∴cos()43xπ+==．（2）∵cos2cos21sin cos cos2sin4sin costan cot4cos sinx xx x x xx xx xx x===++8分又∵cos2sin22sin cos4449x x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦10分27sin2cos212cos449x x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12分∴cos2117sin4tan cot429981xxx x⎛⎛⎫==⨯-⨯-=⎪+⎝⎭⎝⎭14分16．（1）()'1f x x=+，∵点()2,4在曲线上，∴()'23k f==∴所求的切线方程为43(2)y x-=-，即32y x=- 3分（2）()()22'1ag x ax=++若()'0g x=，则221axa=-+．∵221axa=->+，∴1a<-． 6分（3）()()()2222112ln 12ln 022h x x x a x a x x a x ax x =+--+=--> ()22222'0a x ax a h x x a x x--=--=≥ 即()()20x a x a x-+≥ 11分当0a >时，单调递增区间为[)2,a +∞ 当0a =时，单调递增区间为()0,+∞当0a <时，单调递增区间为[),a -+∞ 14分17．（1）设3球中颜色都相同的事件为A当3x =时，()333338128C C P A C +== 4分 （2）0123565656568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 9分（3）设取出3球中颜色都不相同的事件为B ，则有()1113235x x C C C P B C += 11分 依题意有11132351235x x C C C C += 化简得321258600x x x +-+= 12分 即()()2214300x x x -+-=因x N ∈，所以2x = 14分 18．（1）∵()()21212218n n n a n a n --+=++∴()()21212182n n n a n a n ---+=-即()1212121n n a an n n --=>+- 4分∵1121a =+，∴21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列 5分 （2）∵()1122121na n n n =+-⨯=-+ ∴241n a n =- 9分（3）∵()()211111141212122121n a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭11分 ∴12111111111123352121n a a a n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭12分 ∴12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭ 14分19．（1）()2212f x p q a ax x a =+=-++ 1分 ∵1a =，∴()212f x x x =-++当1x ≥-时，()210f x x x =-+>恒成立 3分 当1x <-时，()230f x x x =++>恒成立 5分∴()212f x x x =-++对一切x R ∈都恒正． 6分（2）方法1：因为对一切实数x ，都有 2120ax x a -++≥即212x a x +≥+ 8分 设()212x g x x +=+，则(){}max a g x ≥ 9分 令1t x =+，则()()222312tt g x t t t ==-+-+（ⅰ）当1x ≥-，即0t ≥时，有()21234t g x t t =≤=-+ 当且仅当t =，即1x =时，等号成立． 11分（ⅱ）当1x <-，即0t <时，有()21234t g x t t -=≤=-+当且仅当t =，即1x =时，等号成立． 13分综合可得(){}1max 4g x =，所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭14分 方法2：把问题转化为不等式()0f x <的解集为空集即2120ax x a -++< 7分 当0a =，则101x x -+<⇒≠-，矛盾 8分 当0a ≠时，不等式2120ax x a -++<要无解 （ⅰ）当1x ≥-时，()2210g x ax x a =-+-<无解 若112a<-时，则()112100g a a a -=++-≥⇒≥矛盾若112a≥-时，则()1142104a a a ∆=--≤⇒≥或14a ≤则有a ≥（1） 11分 （ⅱ）当1x <-，()2210g x ax x a =+++<无解若112a-<-时，()14210a a a ∆=-+≤⇒≥a ≤则12a >≥若112a -≥-时，则()112100g a a a -=-++≥⇒≥ 则12a ≥综合有a ≥（2） 13分所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭14分20．（1）当1n =时，()22213f n =<+= 1分 当2n =时，()24215f n =<+= 2分 当3n ≥时，()()01122112221nnn nn n n n f C C C C n n -==+=++++≥+>+（用数学归纳法也可以证明）． 6分 （2）即证：()nnnap bq ap bq +≥+ 7分证法1：（数学归纳法）（ⅰ）当1n =时，()ap bq ap bq +=+不等式成立， 8分（ⅱ）假设n k =时，有()kkkap bq ap bq +≥+当1n k =+时， ()()()()1()k kk k ap bq ap bq ap bq ap bq ap bq ++=++≤++2121k k k k a pb q abpq abqp ++=+++因11()()0kkkkk k p q p q qp pq p q ++--≥⇒+≤+故()1k ap bq ++()212111k k k k a p b q ab p q ++++≤+++1111()()k k k k ap a b bq a b apbq++++≤+++=+即当1n k =+时命题成立． 13分 根据（ⅰ）（ⅱ）可得对一切*n N ∈不等式均成立． 14分 方法2：构造函数()()nnnf p ap bq ap bq =+-+若p q =，则等号成立， 7分 若p q ≠，根据对称性，不妨设p q >，当1n =时，不等式成立， 8分 当1n >时， 因()()()()1111'n n n n f p anpna ap bq na ap bp ap bq ----⎡⎤=-+=+-+⎣⎦10分∵10,n ap bp ap bq ->+>+ ∴()()11n n ap bp ap bq --+>+∴()'0f p >，即()f p 在[),q +∞上是单调增函数 12分当p q >时，有()()0f p f q >=∴()nnnap bq ap bq +>+综上得()nnnap bq ap bq +≥+即()()()af p bf q f ap bq +≥+． 14分。

高三数学（理科）第一学期期末五校联考试题高三数学(理科)第一学期期末五校联考试题第一部分选择题(共40分)一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．若集合,,则=A．B．C．D．2．在复平面内,复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知,则的值等于A．B．1C．2D．34．已知三条不重合的直线m.n.l,两个不重合的平面,有下列命题①若;②若;③若; ④若;其中正确的命题个数是A．1 B．2 C．3D．45．已知数列.都是公差为1的等差数列,其首项分别为.,且,,,则数列前10项的和等于A.55B.70C.85D.1006．定义行列式运算=. 将函数的图象向左平移()个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为A． B．C． D．7．定义在上的函数的图象关于点成中心对称,对任意的实数都有,且,则的值为A． B．C．0D．18．对任意正整数,定义的双阶乘如下:当为偶数时,当为奇数时,`现有四个命题:①,②,③个位数为0,④个位数为5其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4第二部分非选择题(共110分)二.填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分,满分30分.9．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为．10．设＝,则二项式展开式中含项的系数是11．在Rt△ABC中,CA⊥CB,斜边AB上的高为h1,则;类比此性质,如图,在四面体P—ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,则得到的正确结论为;12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把名使用血清的人与另外名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设:〝这种血清不能起到预防感冒的作用〞,利用列联表计算得,经查对临界值表知．对此,四名同学做出了以下的判断:p:有的把握认为〝这种血清能起到预防感冒的作用〞q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有的可能性得感冒r:这种血清预防感冒的有效率为s:这种血清预防感冒的有效率为则下列结论中,正确结论的序号是．(把你认为正确的命题序号都填上)(1) p∧﹁q ;(2)﹁p∧q ;(3)(﹁p∧﹁q)∧(r∨s);(4)(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.13．(坐标系与参数方程选做题) 已知圆的极坐标方程为,则该圆的圆心到直线的距离是.14．(不等式选讲选做题) 已知g(_)=_-1-_-2,则g(_)的值域为;若关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围是．15．(几何证明选讲选做题)如图:PA与圆O相切于A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心O,已知∠BPA=,PA=,PC=1,则圆O的半径等于．三.解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程.16．(本小题满分12分) 在△ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c.已知a+b=5,c =,且(1) 求角C的大小;(2)求△ABC的面积.17．(本小题满分12分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R 的函数:(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E.F分别是AB.CD上的点,EF∥BC,AE = _,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .(1) 当_=2时,求证:BD⊥EG ;(2) 若以F.B.C.D为顶点的三棱锥的体积记为f(_),求f(_)的最大值;(3) 当 f(_)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.19．(本小题满分14分) 椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = ,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A.B,且．(1)求椭圆方程; (2)若,求m的取值范围．20．(本小题满分14分)已知数列的前n项和满足:(a为常数,且)．(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求a的值;(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设,数列的前n项和为Tn .求证:．21．(本小题满分14分) 已知函数(I)若在其定义域是增函数,求b的取值范围;(II)在(I)的结论下,设函数的最小值;(III)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P.Q,过线段PQ的中点R作_轴的垂线分别交C1.C2于点M.N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.试题答案一.选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)题号12345678答案BBDBCCDC1.解析: B．本题考查了定义域及交集运算={-1＜_＜1}, N={0≤_＜1}2．解析:B．本题考查了复数的概念及运算原式=3．解析:D．本题考查了函数概念及分段函数4．解析:B．本题考查了直线和平面的基本位置关系．②,④正确;①,③错误5．解析:C．本题考查了等差数列的通项及前项和计算．因此,数列也是等差数列,并且前10项和等于:6．解析:C．本题考查了信息的处理.迁移和应用能力以及三角函数的基础知识．=2cos(_+) 左移n2cos(_+n+) ,因此,n=7．解析:D．本题考查了函数的对称性和周期性．由,得,因此,是周期函数,并且周期是３函数的图象关于点成中心对称, 因此,=-,所以,,＝8．解析:C．本题考查了信息处理和应用能力．因为所以,有因此,①,③,④正确;②错误第二部分非选择题(共110分)二.填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分,满分30分.9．解析:６．本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识．双曲线的右焦点F(3,0)是抛物线的焦点,所以,,p=610．解析:－192．本题考查了简单定积分的计算以及求二项式展开式的指定项的基本方法．＝=2 , T=(-1) ()()=(-1)2_令３－r=2,得r=1 , 因此,展开式中含项的系数是－192．11．解析:．本题考查了合情推理的能力．连接CO且延长交AB于点D,连PD,由已知PC⊥PD,在直角三角形PDC中,DC·h＝PD·PC,即,容易知道AB⊥平面PDC,所以AB⊥PD,在直角三角形APB中,AB·PD＝PA·PB,所以,,故.(也可以由等体积法得到)12．解析:(1)(4)．本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意,得,,所以,只有第一位同学的判断正确,即:有的把握认为〝这种血清能起到预防感冒的作用〞．由真值表知(1)(4)为真命题．▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.(其中14题第一空3分,第二空2分)13．解析:．本题考查了简单的直线和圆的极坐标方程以及它们的基本知识．直线化为直角坐标方程是2_+y-1=0; 圆的圆心(１,０)到直线2_+y-1=0的距离是14．解析:[－１,１] ;．本题考查绝对值的意义,含参绝对值不等式的解法．当_≤1时,g(_)=_-1-_-2=-1当１＜_≤２时,g(_)=_-1-_-2=2_-3,所以-１_lt;≤1当_＞２时,g(_)=_-1-_-2=1综合以上,知-1≤g(_) ≤1.(此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出)的解集为空集,就是1= []ma_＜所以.15．解析:7．本题考查了圆和切线的基本知识．由圆的性质PA=PC·PB,得,PB=12,连接OA并反向延长交圆于点E,在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3, DB=8,J记圆的半径为R,由于ED·DA=CD·DB因此,(２R－２) ·2=3·8,解得R=7三.解答题:16．(本小题满分12分)(1) 解:∵A+B+C=180°由…………1分∴………………3分整理,得…………4分解得: ……5分∵∴C=60°………………6分(2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2－2abcosC,即7=a2+b2－ab …………7分∴………………8分由条件a+b=5得7=25－3ab …… 9分……10分∴…………12分17．(本小题满分12分)解:(1)记事件A为〝任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数〞,由题意知………………………………………………………………4分(2)ξ可取1,2,3,4.,; …………8分故ξ的分布列为ξ1234P……………………………………………………………10分答:ξ的数学期望为………………………………………………………………12分18．(本小题满分14分)解:(1)(法一)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-_yz.…………………………………………… 1分则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)…………2分(－2,2,2),(2,2,0)…………………………………………………3分(－2,2,2)(2,2,0)＝0,∴ ……………………………4分(法二)作DH⊥EF于H,连BH,GH,……………1分由平面平面知:DH⊥平面EBCF,而EG平面EBCF,故EG⊥DH.又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,BHDH＝H,故EG⊥平面DBH,………………… 3分而BD平面DBH,∴EG⊥BD.………………… 4分(或者直接利用三垂线定理得出结果)(2)∵AD∥面BFC,所以 VA-BFC＝＝4(4-_)_ ………………………………………………………………………7分即时有最大值为.…………………………………………………………8分(3)(法一)设平面DBF的法向量为,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),F(0,3,0),∴(－2,2,2), ………………………………9分则 ,即,取_＝3,则y＝2,z＝1,∴面BCF的一个法向量为……………………………12分则cos_lt;_gt;= …………………………………………13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为－………………………………………………………………………………14分(法二)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM.由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角. ………………………………………………………………9分由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM＝.又DH＝2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH＝, ………………………………13分而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,故二面角D-BF-C的余弦值为－. ………………………………14分19．(本小题满分14分)解:(1)设C:＋＝1(a_gt;b_gt;0),设c_gt;0,c2＝a2－b2,由条件知a-c＝,＝, ∴a＝1,b＝c＝,故C的方程为:y2＋＝1 ………………………………………4分(2)由＝λ得－＝λ(－),(1＋λ)＝＋λ,∴λ＋1＝4,λ＝3………………………………………………6分设l与椭圆C交点为A(_1,y1),B(_2,y2)得(k2＋2)_2＋2km_＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)_gt;0 (_)_1＋_2＝, _1_2＝………………………………………………9分∵＝3 ∴－_1＝3_2 ∴消去_2,得3(_1＋_2)2＋4_1_2＝0,∴3()2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 ………………………………………………11分m2＝时,上式不成立;m2≠时,k2＝,因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝_gt;0,∴－1_lt;m_lt;－或 _lt;m_lt;1容易验证k2_gt;2m2－2成立,所以(_)成立即所求m的取值范围为(－1,－)∪(,1)………………………14分20．(本小题满分14分)解:(Ⅰ)∴当时,,即是等比数列．∴;……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,若为等比数列,则有而故,解得, ………………………………7分再将代入得成立,所以．………………………………………………………………8分(III)证明:由(Ⅱ)知,所以, ………………………………………………… 9分由得所以, …………………… 12分从而．即．…………………………14分21．解:(I)依题意:在(0,+)上是增函数,对_∈(0,+)恒成立, …………2分…………4分 (II)设当t=1时,ym In=b+1;…………6分当t=2时,ym In=4+2b…………8分当的最小值为 (9)分(III)设点P.Q的坐标是则点M.N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为…………10分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则……………11分设……………… ①…………12分这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. …………14分。

2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高三十校联考数学试卷〔理〕一、填空题.〔本大题总分值是44分〕本大题一一共有11题，只要求直接填写上结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1．集合{}Rx x y y A ∈+==,12，函数)4lg(2xx y -=的定义域为B ，那么=B A ________2．不等式2112<+x 的解集为___________. 3.函数y=1og 2(x 2+2)(x ≤0)的反函数是_________________. 4．复数,,4321i t z i z +=+=且21z z ⋅是实数，那么实数._________=t5．函数x xx f sin )2(cos 2)(2+=的最小正周期是____________.6．以抛物线xy 382=的焦点F为右焦点,且两条渐近线是3=±y x 的双曲线方程为___________________.7.在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛32,1π到圆θρcos 2=上动点的间隔的最大值为________.8.函数,121)(--=x x f 那么方程12)(=⋅x x f 的实根的个数是_________.9．特奥会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．假设每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，那么开幕式当天不同的排班种数为___________. 10．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅定义且内一点∆其中p n m 、、分别是yx y x M f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=则若的面积∆∆∆ 的最小值是_______________. 11．)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足)()()(a bf b af b a f +=⋅,)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n 考察以下结论：〔1〕)1()0(f f =；〔2〕)(x f 为偶函数；〔3〕数列{}n a 为等比数列；〔4〕e b nb nn =+∞→)11(lim 。

一、选择题1. 答案：D解析：根据三角函数的性质，正弦函数在第二象限是正值，故选D。

2. 答案：B解析：由题意知，函数在x=1时取得极值，结合导数的定义，可得f'(1)=0，故选B。

3. 答案：A解析：根据复数的乘法法则，i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1，故选A。

4. 答案：C解析：由题意知，数列{an}是等差数列，首项a1=3，公差d=2，第n项an=3+(n-1)×2=2n+1，故选C。

5. 答案：D解析：由题意知，直线l的方程为y=kx+b，代入点A(2,3)得3=2k+b，代入点B(1,2)得2=k+b，解得k=1，b=1，故直线l的方程为y=x+1，故选D。

二、填空题6. 答案：$\frac{1}{3}$解析：根据等比数列的性质，an = a1 r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

由题意知，a3 = 2，a5 = 32，代入公式得2 = a1 r^2，32 = a1 r^4，解得r=2，a1=1，所以an = 2^(n-1)，故an = 2^(5-1) = 2^4 = 16，所以$\frac{a5}{a1} = \frac{16}{1} = 16$，化简得$\frac{1}{3}$。

7. 答案：$\sqrt{3}$解析：由题意知，$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$，所以$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 90^\circ$。

由正弦定理得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，代入数据得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}} =\frac{c}{1}$，解得a=2，b=1，c=2。

湖南省五市十校教研教改共同体2024届高三12月大联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},230A B x x x =-=--=∣，则()U A B ⋃=ð（）A.{1,3}- B.{2,0,1}- C.{1,2,3}- D.{2,0,1,2,3}-2.设复数z 满足|2i |z -=z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(2)x y -+=B.22(2)x y +-=C.22(2)3x y +-= D.22(2)3x y ++=3.已知非零向量a b，满足|||b a = ，且(3)a a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A.,1a eb ==- B.,1a eb == C.1,1a eb -== D.1,1a eb -==-5.在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O ，始边均为x 轴的非负半轴．若角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转π3后与角β的终边重合，则cos β=（）A.34310- B.310+ C.43310- D.410+6.推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是（）（参考数据：ln 3 1.10≈，ln10 2.30≈，ln11 2.40≈）A.2033年B.2034年C.2035年D.2036年7.已知等差数列{}n a 中，7π8a =-，设函数44()cos sin 2sin cos 2f x x x x x =-++，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（）A.0B.12C.24D.268.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足2()()1,(2)e 1f x f x f '>+=+，则不等式e ()e 1x xf x --≥+的解集是（）A .(,1]-∞ B.(,2]-∞ C.[1,2]- D.[2,)+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数321()3f x x x x =-+，则（）A.()f x 为奇函数B.1x =不是函数()f x 的极值点C.()f x 在[1,)-+∞上单调递增D.()f x 存在两个零点10.已知0,0a b >>，直线12:(2)10,:20l x a y l bx y +-+=+-=，且12l l ⊥，则（）A.01ab <≤ B.2+≤ C.222a b +< D.23b a b+≥11.已知偶函数π()cos())0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A.π()2cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.不等式()1g x ≥的解集为ππ,π,Z 3k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C.若方程2()3g x =在区间2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的解为12,x x ，则()123sin 2x x +=D.π4y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线1122y x =-的交点个数为312.已知圆锥SO 的侧面积为3π，母线SA l =，底面圆的半径为r ，点P 满足2AP PS =，则（）A.当1r =时，圆锥SO 的体积为3B.当32r =时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C.当1r =时，从点A 绕圆锥一周到达点PD.当3l =的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若313a a -=，426a a -=，则5S =__________.14.已知圆C 的圆心与抛物线28y x =的焦点关于直线y x =对称，直线230x y --=与圆C 相交于A ，B两点，且||AB =，则圆C 的方程为_________．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且R x ∀∈，都有()(2)f x f x =-，当10x -≤<时，2()log ()f x x =-，则函数()()2g x f x =+在区间(1,8)-内的所有零点之和为_________．16.在平面四边形ABCD 中，3,AB AD BC CD BC CD ====⊥，将ABD △沿BD 折起，使点A到达点A '，且A C '=，则四面体A BCD -'的外接球O 的体积为_________；若点E 在线段BD 上，且4BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面圆中面积最小的圆的半径为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,),(sin sin ,sin sin )m b a c n B C A B =-=-+，且m n ∥．（1）求A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，12PA AB PA AB AD ⊥===，，，E ，F 分别是BC ，PA 的中点．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，求直线PD 与平面DEF 所成角的余弦值．19.杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为25，每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？20.已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且()*1325N n n S S n n +=++∈．（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）令212()nn f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在1x =处的导数(1)f '．21.已知动点(,)M x y 与定点(2,0)F 的距离和M 到定直线:6l x =的距离的比是常数33．（1）求动点M 的轨迹；（2）过点F 的直线l '与点M 的轨迹相交于A ，B 两点，与圆22:8O x y +=相交于P ，Q 两点，求2||||AB PQ ⋅的取值范围．22.已知函数21()ln ()2f x x x ax x a =--∈R （1）若函数()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，求实数a 的最大值；湖南省五市十校教研教改共同体2024届高三12月大联考数学试题答案1.B 【分析】解一元二次方程得集合B ，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可.【详解】因为{}{}22301,3B xx x =--==-∣，又{1,2}A =-，所以{1,2,3}A B =- ，又{2,1,0,1,2,3}U =--，所以(){}2,0,1U A B ⋃=-ð.2.C 【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.【详解】因为z 在复平面内对应的点为(,)x y ，所以i z x y =+，则()2i 2i z x y -=+-，又|2i |z -==，即22(2)3x y +-=.3.D 【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解即可.【详解】因为(3)a a b ⊥+ ，所以2(3)3||0a a b a a b ⋅+=+⋅=，设a 与b的夹角为θ，则2cos 2||||a b a b θ⋅==- ，所以5π6θ=.4.D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y xb =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．5.A【分析】根据三角函数的定义表示43sin ,cos 55αα==，利用和差角的余弦公式计算即可.【详解】由题意知π2π3k βα=++，根据三角函数的定义得43sin ,cos 55αα==，所以ππππ343cos cos 2πcos cos cos sin sin 333310k βαααα-⎛⎫⎛⎫=++=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，6.C设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且()4000110%12000ny =⋅+>，解不等式可得答案．【详解】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，由题得()4000110%12000ny =⋅+>，即1.13n >，则ln1.1ln 3n >，ln 3ln 311ln1.1ln11ln10n >=≈-，又*n ∈N ，则12n =．所以所求年份大约是2035年．7.D 【分析】分析可知函数的图象关于点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，利用等差中项的性质，结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】结合题意：()()()442222cos sin 2sin cos 2cos sin cos sin sin 22f x x x x x x x x x x =-++=+-++()22πcos sin sin 22cos 2sin 22224x x x x x x ⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭，所以π()224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由ππ(Z)x k k +=∈24，可得ππ(Z)28k x k =-∈，当0k =时，π8x =-，故函数()f x 的图象关于点π,28⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，由等差中项的性质可得1132126872a a a a a a a +=+==+= ，所以数列{}n y 的前13项和为()()()121364226f a f a f a +++=⨯+= ．8.B 【分析】结合题意，构造函数()1(),exf xg x -=利用已知条件判断出()g x 在R 上单调递减，结合2(2)e 1f =+，构造出()(2),g x g ≥从而求得解集.【详解】设()1(),()()1exf xg x f x f x -'=>+ ，即()()10f x f x '-+<，()()1()0,()exf x f xg x g x '-+'∴=<∴在R 上单调递减，又2(2)e 1f =+，∴不等式2()1(2)1e ()e 11e e x xx f x f f x ----≥+⇔≥=,即()(2),2,g x g x ≥∴≤∴原不等式的解集为(,2]-∞．9.BC 【分析】根据奇函数的定义判断A ，求导得函数的单调性判断BC ，根据零点存在性定理和单调性判断D.【详解】函数321()3f x x x x =-+的定义域为R ，又321()3f x x x x -=---，321()3f x x x x -=-+-，则()()f x f x -≠-，所以()f x 不是奇函数，故选项A 错误；因为22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 不存在极值点，故选项B与C 正确；因为1(1)1103f =-+>，1(1)1103f -=--+<，又()f x 在R 上单调递增，且(0)0f =，所以()f x 仅有一个零点0，故选项D 错误.10.ABD 【分析】利用12l l ⊥，找到2a b +=，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2l l b a a b ⊥∴⨯+-⨯=∴+= ，且0,0a b >>，所以2012a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；22()4a b a b +=++≤+=，当且仅当a b =时等号成立，2，故B 正确；222222(2)2442(1)22a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，故C 错误；2113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即1a b ==时等号成立，故D 正确．11.BC 【分析】根据函数周期和奇偶性求出函数解析式，然后通过平移变化求出()y g x =，根据三角函数的性质与图像逐项判断即可.【详解】由已知π()cos())2cos ,()3f x x x x f x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=++⎪⎝⎭为偶函数，得ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，则()2cos f x x ω=，又最小正周期为π，所以2π2,()2cos 2πf x x ω===，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数ππ()2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；由()1g x ≥得π1ππcos 22π22π32333x k x k π⎛⎫+≥⇒-+≤+≤ ⎪⎝⎭，所以πππ,Z 3k x k k -+≤≤∈，B 正确；由2()3g x =得π1cos 233x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以12ππ1cos 2cos 2333x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又122π,0,3x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1π23x +，2ππ5π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由对称性知12ππ2233π2x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以()12122π,sin 32x x x x +=+=，C 正确；ππ2cos 22sin 242y f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π4x =时，3ππ3π13π13π42sin 24422284y f -⎛⎫=+=-=>⋅-= ⎪⎝⎭，3π4=-x 时，3ππ3π13π13π42sin 24422284y f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--=-<⋅--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合图象知交点个数不为3个，D错误．12.AC 【分析】根据圆锥的几何性质逐项求解即可.【详解】由已知π3π,3rl rl ==，当1r =时，3l =，此时圆锥的高为h ==，此时圆锥的体积为2122ππ33V r h ==，A正确；当32r =时，设圆锥轴截面为SAB △，因为圆锥SO 的侧面积为3π，所以13π=2π22r l l ⨯⨯⇒=，即2,3SA SB AB ===，22210SA SB AB +-=-<，所以ASB ∠为钝角，故截面三角形的最大面积为211sin 9022222S l ==⨯⨯︒=，B 错误；当1r =时，3l =，侧面展开图的弧长为2π，沿SA 将侧面展开，得扇形1SA A ，所以圆心角为12π3A SP ∠=，又2AP PS =，所以1SP =，在1A SP 中，由余弦定理得1A P =，C 正确；将正四面体放到正方体内，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，，则正方体的棱长为1，则外接球半径为31322=，由题圆锥SO 的母线3SA l ==时，其侧面积为13π=2π12r l r ⨯⨯⇒=，则圆锥的高SO ==，设内切球半径为R ，球心为N ,球与母线SA 相切于T ，则NT SA ⊥,易知SAO SNT ，则3221SA AN R AONTR=⇒=，解得22R =<，不可以任意转动，D 错误．【点睛】关键点睛：本题D 选项解决的关键是充分理解正四面体在圆锥SO 内可以任意转动，从而求出正四面体的外接球与圆锥的内切球，由此得解.13.31【分析】先由313a a -=，426a a -=求出等比数列的首项和公比，即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314236a a a a -=⎧⎨-=⎩，即()21132111136a q a a q a q q a q a ⎧-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以()551123112S ⨯-==-.14.22(2)8x y +-=【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心C 的坐标，再借助点到直线距离求出半径即得.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，该点关于直线y x =的对称点C 的坐标为(0,2)，点C 到直线230x y --=的距离为d ==，圆C的半径为r ===所以圆C 的方程为22(2)8x y +-=.15.794【分析】根据函数的奇偶性和对称性，依据函数图象求解即可.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，R,()(2)()x f x f x f x ∀∈=-=--，则R,()(2)()(2)(4)x f x f x f x f x f x ∀∈-=--⇒=-+=+，所以函数的周期为4，因为R,()(2)x f x f x ∀∈=-，所以()f x 关于1x =对称，因为周期为4，所以()f x 关于直线12,Z x k k =+∈对称，作出函数()y g x =在区间(1,8)-上的图象，由图知共有5个零点，其横坐标从小到大依次为12345,,,,x x x x x ，所以()23452111log 2,,3,7422x x x x x x ++-=-=-==，123451792044x x x x x ++++=-+=．故答案为：79416.①.273π2②.364【分析】①根据题意把四面体A BCD -'置于的正方体中，四面体的外接球转化为正方体外接球计算求得半径，进而求得外接球的体积；②在几何体外接球中所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，可知球心到截面的距离最大，在直角三角形中求解得出截面圆半径.【详解】①因为3,,AB AD BC CD BC CD A C '====⊥=，如图所示，将四面体A BCD -'置于棱长为3的正方体中，可知外接球即为此正方体的外接球，所以球的半径为13322R A C '==，所以球的体积为344πππ3382V R ==⨯⨯=；②过点E 作球O 的截面，若要所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =，所以只需球心到截面的距离d 最大即可，当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离d 最大，即max d OE =，如图，H 是BD 的中点，连接OH ,由①可知OH BCD ⊥面,所以在Rt OHE △中，31,244OH HE BD ===，2229927488OE OH HE =+=+=，所以min 4r ===．故答案为：π2；4.17.（1）π3A =；（2）433.【分析】（1）结合题意表示出m n ∥，利用正弦定理将角化边，借助余弦定理化简即可;（2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到1sin sin 3B C =，利用正弦定理化简得163bc =，求出ABC的面积即可.【小问1详解】由已知m n ∥，即(sin sin )()(sin sin )0c B C b a A B ---+=，由正弦定理得()()()0c b c b a a b ---+=，即2220bc c a b -+-=，整理得222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，故π3A =；【小问2详解】因为π3A =，所以2π3B C +=，则1cos()2B C +=-，即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，所以111sin sin 263B C =-=．因为ABC 的外接圆半径2R =，所以由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，所以163bc =，所以1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯=．18.【分析】（1）方法一，取PD 的中点G ，证明四边形CEFG 为平行四边形即可推出结论；方法二，取AD 的中点M ，证明平面EFM ∥平面PCD 即可；（2）建系，利用向量法求线面角的正弦，再转化成余弦即可.【小问1详解】方法一：取PD 的中点G ，连接GF ，CG ，因为G ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//GF AD ，且12GF AD =，又因为四边形ABCD 为矩形，且E 为BC 的中点，所以//CE AD ，且12CE AD =，可得//GF CE ，且GF CE =，所以四边形CEFG 为平行四边形，则//EF CG ，且EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD ．方法二：取AD 的中点M ，连接FM ，ME ，则//,//EM CD FM PD ，因为EM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD ，同理//FM 平面PCD ，又EM FM M = ，,EM FM ⊂面FEM ，所以平面//EFM 平面PCD ，又EF ⊂平面EFM ，所以//EF 平面PCD ．【小问2详解】由已知平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，又PA AB PA ⊥⊂，平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0),0,0,2A B C D P E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1,1,0),0,2,,(0,2,1)2DE DF PD ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭．设平面DEF 的法向量(,,)n x y z = ，则01202n DE x y n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,4==y z ，可得(1,1,4)n =，设直线PD与平面DEF所成的角为θ，则sin|cos,|15||||n PDn PDn PDθ⋅=〈〉==⋅，215cos15θ∴==，即直线PD与平面DEF 所成角的余弦值为21515．19.【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列，并求得数学期望；（2）先求得一轮测试该同学“优秀”的概率，然后根据二项分布的知识列不等式，从而求得答案.【小问1详解】参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所，ξ所有可能取值为0，1，2，3，则03125555331010C C C C101505(0)(1)C12012C12012P Pξξ========，21305555331010C C C C505101(2)(3)C12012C12012P Pξξ========，所以ξ的分布列为：ξ0123P112512512112所以15513()0123121212122Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为23233323244C C555125p⎛⎫⎛⎫=⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，即满足44~(,),125X B n p p=，由441258()822.712544E X np n n⨯==⨯≥⇒≥≈，所以理论上至少要进行23轮测试．20.【分析】（1）利用当2n≥时，将原式变形为1323n nS S n-=++，两式相减，最后根据等比数列定义给以证明；（2）通过导数得12(1)2n f a a na '=+++ ，根据分组求和法以及错位相减法化简(1)f '.【小问1详解】由已知()*1325Nn n S S n n +=++∈可得当2n ≥时，1323nn SS n -=++，两式相减得()1132n n n n S S S S +--=-+，即132n n a a +=+，从而()1131(2)n n a a n ++=+≥．当1n =时，2137S S =+，所以21137a a a +=+，又15a =，所以217a =，从而()21131a a +=+，所以()*1131,N n n a a n ++=+∈，又115,16a a =+=，1131n n a a ++∴=+，∴数列{}1n a +是以6为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：1163n n a -+=⨯，整理得231nn a =⨯-，因为212()nn f x a x a x a x =+++ ，所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ ．则12(1)2n f a a na '=+++ ，记1223,(1)nn n n b na n n f b b b '==⨯-∴=+++ ，记12234323nn T n =⨯+⨯++⨯ ，则2313234323n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得：123122323232323nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1161323(12)3313n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，所以1(21)332n n n T +-⨯+=，又(1)122n n n ++++= ，所以1(21)33(1)(1)22n n n n f +-⨯++'=-．21.（1）是焦点在x轴上，长轴、短轴长分别是的椭圆；（2）12833⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）结合题意，表示出||33MF d =，化简整理可得动点M 的轨迹;（2）利用直线l '与椭圆及圆的位置关系，分别计算弦长，表示出2||||AB PQ ⋅，利用换元法，求得取值范围,注意要对直线l '的斜率存在与否进行讨论.【小问1详解】设d 是点M 到直线:6l x =的距离，由题意知||33MF d =，3=，所以2223(2)(6)x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即222324x y +=，所以221128x y +=，所以动点M 的轨迹是焦点在x轴上，长轴、短轴长分别是的椭圆；【小问2详解】①若直线l '的斜率不存在，直线l '的方程为2x =，则43432,,2,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，(2,2),(2,2)P Q -，所以22831283||,||16,||||33AB PQ AB PQ ==⋅=；②若直线l '的斜率存在，设直线l '的方程为()()1122(2),,,,y k x A x y B x y =-，联立方程组()221,1282,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()2222231212240k x k x k +-+-=，则22121222121224,2323k k x x x x k k -+==++，所以)221||23k AB k +==+，因为圆心(0,0)O到直线l '的距离d=，结合圆的弦长公式可得：(()2222221624||4811k k PQ k k +⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭，所以)())222222211622||||23123k k k AB PQ k k k+++⋅=⋅=+++，令232t k =+，则22,[2,)3t k t -=∈+∞，所以21283412834||||133t AB PQ t t +⎛⎫⎫⋅==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，4[2,),113tt ∈+∞∴<+≤ ，所以2||||3AB PQ <⋅≤综上，2||||AB PQ ⋅的取值范围是12833⎡⎢⎣．22.【分析】（1）利用导数研究函数的单调性求参数.（2）利用导数研究函数的极值点求参数.【小问1详解】()1ln 1ln ,0f x x ax x ax x '=+--=->，因为函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，所以1()0,,ef x x ⎛⎫'≥∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln 1,,e x a x x ⎛⎫≤∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，记ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，由()00e h x x '>⇒<<，由()0e h x x '<⇒>，所以()h x 在1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在(e,)+∞上递减，又当x →+∞时，()0h x →，所以1e e a h ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，即实数a 的最大值为e -；【小问2详解】因为()1212,x x x x <是()f x 的两个极值点，所以12,x x 是方程()ln 0f x x ax '=-=的两个实数根，且121x e x <<<．由111122221212ln ln ,ln ln ln x x ax x x x a x ax x x x x ⎧⎪=-⎪⇒==⎨=--⎪⎪⎩．21e em m x x <两边取自然对数得121212ln ln 11ln ln m x m x m x m x ax amx -<-⇒+<+=+，即()()11122212121122ln ln11x x x m x x x m a x mx x mx x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=--，令12(0,1)x t x =∈，则()ln 11t m t m t ++<-在(0,1)t ∈恒成立．所以(1)(1)ln 0m t t t m+--<+在(0,1)t ∈恒成立．令(1)(1)()ln ((0,1))m t g t t t t m +-=-∈+，则()2222(1)1(1)()()()t t m m g t t t m t t m --+'=-=++．①当21m ≥，即m 1≥时，()0,()'>g t g t 在(0,1)上递增，所以()(1)0g t g <=恒成立，满足题意；②当01m <<时，()201,0,t m g t '<<()g t 在()20,m上递增，()21,0,m t g t '<<<()g t 在()2,1m 上递减，所以当()2,1x m ∈时，()(1)0g t g >=，所以()0g t <在(0,1)t ∈不能恒成立，不满足题意．综上，m 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】利用函数导数的符号判断函数的单调性和极值，求含参不等式恒成立问题方法归纳：（1）()f x 与常数c 的恒成立问题()()()()()()()()min max ,f x c c f x c c f x c c f x c c >≥⇔>≥<≤⇔<≤（2）()f x 与常数()g x 的恒成立问题两个方法：①令()()()h x f x g x =-研究()h x >0或()h x <0。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^42. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x+1)的图像与f(x)的图像（）A. 相同B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 关于原点对称3. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 + a3 = 8，a2 + a4 = 12，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，则角C的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 15. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 - 3x + 2 > 0B. x^2 + 2x + 1 < 0C. x^2 - 2x - 3 < 0D. x^2 + 2x - 3 < 06. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 单位圆D. 双曲线7. 下列函数中，在定义域内是偶函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^48. 若等比数列{an}的公比为q，且a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 89. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，则角A的正弦值为（）A. 2/3B. 1/2C. 1/3D. 3/210. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 - 3x + 2 > 0B. x^2 + 2x + 1 < 0C. x^2 - 2x - 3 < 0D. x^2 + 2x - 3 < 0二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为______。