江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 空间线面关系的判定(1)教案 苏教版选修2-2

1e 2e aPOA'P'B'C'BA C四队中学教案纸备课时间教学课题 教时 计划1教学课时 1教学 目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

重点难点教学重点：空间向量的基本定理及其推论 教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, ， 使a r2211e e 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使321e z e y e x p证明：（存在性）设321,,e e e 不共面， 过点O 作p OP e OC e OB e OA ,,,321过点P 作直线PP 平行于OC ，交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内，过点P 作直线//,//P A OB P B OA ，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ，于是，存在三个实数,,x y z ，使3/2/1/,,e z OC OC e y OB OB e x OA OA∴OP OA OB OC xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以321e z e y e x p。

【课题】3.2.2空间线面关系的判定【上课时间】【学习目标】1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理3.能用向量方法判定线线、线面垂直【学习重点】能用向量方法判定线线、线面垂直一、课前预习1.用向量描述空间线面关系设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论2.证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）.如图，已知：， 求证：. 证明：αOABCD二、例题选讲例1.证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面（直线与平面垂直的判定定理）. 已知：， 求证：. 证明：例2.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥面B 1AC例3.在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==A BC D A 1B 1C 1D 1E Fαlm n B是棱1CC 的中点，求证：AM B A ⊥1三、巩固练习1.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为D D 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心， 求证：O A 1⊥AM2.在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADEABC A 1B 1C 1M ABC D A 1B 1C 1D 1 O M ABC D A 1B 1C 1D 1E F3.棱长为a的正方体ABCD–A1B1C1D1，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？A BCDA1B1C1D1。

四队中学教案纸
备课 时间
教
学 课题
教时
计划
1
教学 课时
1
教学 目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平
行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理;
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。

重点难点 重点:用向量方法判断空间线面垂直关系 难点:用向量方法判断空间线面垂直关系 教学过程 一、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 二、建构数学
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线2
1
,l l 的方向向量分别为2
1
,e e ，两个平面
21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论
平 行
垂 直
1l 与2
l
21//e e 21e e ⊥ 1
l 与1
α
11n e ⊥
11//n e
x。

3.2.2 空间线面关系的判定向量法判定线面关系设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________． 平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]【例1】 如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．1．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎨⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12⎝⎛⎭⎫DB →＋BA →－12⎝⎛⎭⎫A 1B →＋BA →＝12DB→－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. [证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎨⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)， 又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .【例3】ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． 证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m ⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 2D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，∴x＝6，y＝15 2.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.－5[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平11 面B 1BD .[证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .。

江苏省淮安中学高二数学《空间线面关系的判定（1）》学案
教学目的：利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系。

教学重点：判定位置关系的依据（课本表格） 教学难点：建立坐标系，找出平面的法向量
过程：
一、线面位置关系的判定 设空间两条直线12,l l 的方向向量分别为12,e e ，两个平面12,αα的法向量分别为12,n n ，则有下表：
二、例题
例1、证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

例2、如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

例3、如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠BAC=300
,BC=1,AA 1=6,M 是棱CC 1的中点。

求证：A 1B ⊥AM 。

例4、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，11BM=BD AN=AE 33，。

求证：MN CDE 平面。

例5、已知正方形1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1,BB CD 的中点，求证：1D F ⊥平面A D E 。

z。

3.2.2空间线面关系的判定教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.问题1展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示?解l1∥l2⇔e1∥e2,l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示?解l1∥α1⇔e1⊥n1,l1⊥α1⇔e1∥n1.问题3展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示?解α1∥α2⇔n1∥n2,α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用【例1】(教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM. (见学生用书P63)(例1)要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.因为∥,A1A=,M是CC1的中点,所以||=,所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.(1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.证明=-,=+,故·=·+·-·-·.因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,所以·=0,·=0,故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.变式2在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.证明以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A 1B⊥AM.【例2】(教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE. (见学生用书P64)(例2(1))在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE?(变式(1))证明以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,于是(-3x+1)b2=0,解得x=.故当AN=AE时,MN∥平面CDE.立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.【例3】如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)(例3(1))要证明平面ADE⊥平面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.(例3(2))∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.∴=,=,=(-1,0,0).∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.∴⊥,⊥.∵A1G∩GF=G,∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面A1GF.证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,(变式)所以=,=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,即解得m=.故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.此类问题如果不用坐标法解决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.四、课堂练习1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.(第1题)证明=++=-++=-(-)++(+)=-.在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE⊂平面PBC,所以MN∥平面PBC.2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.(第2题(1))证明如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,(第2题(2))则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0, 所以⊥,⊥,所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.因为BE∩BD=B,BE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.五、课堂小结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:1. 证明线面平行:(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.。

编号008 §6．3.2 空间线面关系的判定(1)目标要求1、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．学科素养目标本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力．本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的向量表示； 难点：用向量解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．教学过程基础知识点空间中平行关系的向量表示设直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1，u 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则线线平行 l 1∥l 2⇔_________2⇔∃λ∈R ，使得________线面平行 l 1∥α⇔________⇔__________面面平行α∥β⇔__________ ⇔∃λ∈R ，使得__________【课前小题演练】题1．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( ) A ．(1，1，1)B ．(－1，1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，1，－1)题2．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个结论：①a ∥b ⇔a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量；③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题3．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________．题4．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，BQ ∥平面P AO ?【当堂巩固训练】题5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，则使l ∥α成立的是( ) A ．a ＝(1，－1，2)，n ＝(－1，1，－2) B ．a ＝(2，－1，3)，n ＝(－1，1，1) C ．a ＝(1，1，0)，n ＝(2，－1，0) D ．a ＝(1，－2，1)，n ＝(1，1，2)题6．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定题7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝()1，2，－1 ，v ＝()－4，－8，4 ，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确题8．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α题9．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2题10．已知平面α的法向量为n ＝(1，－1，1)，直线AB 与平面α相交但不垂直，则向量AB →的坐标可以是( )A ．(－2，2，－2)B ．(1，3，2)C ．(2，1，－1)D ．(1，2，3)题11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与哪个坐标平面平行________；直线AB 的一个方向向量的坐标为________．题12．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②1AA ；③1B B ；④11A C ．题13．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ，且l ∥α，则m ＝________．题14．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．题15．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【综合突破拔高】题16．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1 ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3 ，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α∥β或α与β重合D . α⊥β题17．已知两不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n 1＝(2，－3，1)，AB →＝(1，0，－2)，AC →＝(1，1，1)，则( )A ．平面α∥平面ABCB ．平面α⊥平面ABC C ．平面α、平面ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能题18．已知直线l 的方向向量为s ＝(1，2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y ，2)，若l ∥α，则xy 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．18题19．(多选题．．．)若a ＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，又α∥β，则下列向量可以是平面β的法向量的是( )A ．b ＝(1，0，0)B ．b ＝(1，－1，1)C ．b ＝(－1，－1，－1)D ．b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22题20．若向量a ＝(－1，2，3)，b ＝(12 ，－1，－32 )分别是直线l 1和l 2的方向向量，则l 1与l 2的位置关系为________．题21．已知AB → ＝(1，5，－2)，BC → ＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝________．题22．已知空间两点A (－1，1，2)，B (－3，0，4)，直线l 的一个方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________．题23．如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥AD ′.题24．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .题25．如图，已知在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .编号008 §6．3.2 空间线面关系的判定(1)目标要求1、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．学科素养目标本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力．本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的向量表示； 难点：用向量解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．教学过程基础知识点空间中平行关系的向量表示设直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1，u 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则线线平行 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2线面平行 l 1∥α⇔u 1⊥n 1⇔u 1·n 1＝0面面平行α∥β⇔n 1∥n 2 ⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2【课前小题演练】题1．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( ) A ．(1，1，1)B ．(－1，1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，1，－1)【解析】选B .因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B 选项符合． 题2．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个结论：①a ∥b ⇔a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量；③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.其中正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选B .由a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；若a 1＝a 2＝a 3＝1，则|a |＝ 3 ，故②不正确；③正确.题3．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________． 【解析】因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而1－2 ＝3－6 ＝－2k ，解得k ＝4.答案：4题4．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，BQ ∥平面P AO ?【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则O (1，1，0)，A (2，0，0)，P (0，0，1)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2).再设Q (0，2，c )，所以OA → ＝(1，－1，0)，OP →＝(－1，－1，1)， BQ →＝(－2，0，c )，BD 1＝(－2，－2，2). 设平面P AO 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OA →＝0，n ·OP →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.所以平面P AO 的一个法向量为n ＝(1，1，2). 若BQ ∥平面P AO ，则n ⊥BQ ，所以n ·BQ →＝0，即－2＋2c ＝0，所以c ＝1， 故当Q 为CC 1的中点时，BQ ∥平面P AO . 【当堂巩固训练】题5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，则使l ∥α成立的是( ) A ．a ＝(1，－1，2)，n ＝(－1，1，－2) B ．a ＝(2，－1，3)，n ＝(－1，1，1)C ．a ＝(1，1，0)，n ＝(2，－1，0)D ．a ＝(1，－2，1)，n ＝(1，1，2)【解析】选B .因为直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，使l ∥α成立，所以a ·n ＝0， 在A 中，a ·n ＝－1－1－4＝－6，故A 错误； 在B 中，a ·n ＝－2－1＋3＝0，故B 成立； 在C 中，a ·n ＝2－1＝1，故C 错误； 在D 中，a ·n ＝1－2＋2＝1，故D 错误．题6．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定【解析】选B .建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2，2，2)，A 1(2，2，0)，C (0，0，2)，B (2，0，2)， 所以M (2，1，1)，N (1，1，2)，所以MN →＝(－1，0，1).平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0，1，0)， 因为MN → ·n ＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以MN →⊥n ， 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .题7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝()1，2，－1 ，v ＝()－4，－8，4 ，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【解析】选A .因为u ＝－14v ，所以α∥β.题8．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α【解析】选D .因为a ·b ＝0，所以l ⊂α或l ∥α.题9．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【解析】选C .设平面α的法向量a ＝(2，－4，－2)，平面β的法向量b ＝(－1，2，k ).因为α∥β，所以a ∥b ，所以存在实数λ使得a ＝λb .所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ－4＝2λ－2＝λk，得k ＝1.题10．已知平面α的法向量为n ＝(1，－1，1)，直线AB 与平面α相交但不垂直，则向量AB →的坐标可以是( )A ．(－2，2，－2)B ．(1，3，2)C ．(2，1，－1)D ．(1，2，3)【解析】选D .因为(－2，2，－2)＝2(1，－1，1)，即选项A 中的向量与n 平行，从而线面垂直，因为|x |＋3x (－1)＋2×1＝0，2×1＋1×(－1)＋(－1)×1＝0，所以选项B ，C 中的向量与n 垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D 中的向量与n 不平行，也不垂直，所以AB →的坐标可以是(1，2，3).题11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与哪个坐标平面平行________；直线AB 的一个方向向量的坐标为________．【解析】AB → ＝(0，5，－3)，因为yOz 平面方程为x ＝0，AB → ∥yOz 平面．AB →是AB 直线的一个方向向量． 答案：yOz 平面 (0，5，－3)题12．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②1AA ；③1B B ；④11A C ．【解析】因为AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， 所以1AA 与1B B 可以作为平面ABC 的法向量． 答案：②③题13．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ，且l ∥α，则m ＝________． 【解析】因为l ∥α，所以l 的方向向量与α的法向量垂直．所以(2，m ，1) ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ＝2＋12 m ＋2＝0.解得m ＝－8. 答案：－8题14．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．【证明】以点D 为坐标原点，分别以DA → ，DC →，1DD 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C 1(0，1，1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 ，所以AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12 ，1FC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12 ，1EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12 ， AF → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12 ， 所以AE → ＝FC 1，1EC ＝AF → ，所以AE → ∥1FC ，1EC ∥AF →， 又因为F ∉AE ，F ∉EC 1，所以AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， 所以四边形AEC 1F 是平行四边形．题15．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . 【证明】方法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12 ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1 ， 于是1DA ＝(1，0，1)，DB → ＝(1，1，0)，MN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 .设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1DA ,DB,⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即1DA x z 0,DB x y 0,⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩n n 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1). 又MN → ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 ·(1，－1，－1)＝0，所以MN →⊥n .所以MN ∥平面A 1BD .方法二：MN →＝11C N C M －＝11111111111C B C C (D A D D)=DA 2222-=-所以MN → ∥1DA ，所以MN ∥平面A 1BD .方法三：MN →＝11C N C M －＝11111111C B C C DA A A 2222==-＝12 ()DB →＋BA → － 12 1(A B BA)+＝12 DB → －121A B ． 即MN → 可用1A B 与DB → 线性表示，故MN → 与1A B ，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 【综合突破拔高】题16．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1 ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3 ，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α∥β或α与β重合D . α⊥β【解析】选C .因为n ＝－3m ，所以m ∥n ，所以α∥β或α与β重合．题17．已知两不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n 1＝(2，－3，1)，AB →＝(1，0，－2)，AC →＝(1，1，1)，则( ) A ．平面α∥平面ABC B ．平面α⊥平面ABCC ．平面α、平面ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能【解析】选A .由题意，计算n 1·AB → ＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得n 1⊥AB → ；计算n 1·AC →＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得n 1⊥AC →；所以n 1⊥平面ABC ， 所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线， 则平面α∥平面ABC .题18．已知直线l 的方向向量为s ＝(1，2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y ，2)，若l ∥α，则xy 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．18【解析】选B .由题意可得s ⊥n ，所以s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1.当x ，y 同负，一正一负或一个为0，一个为1时，均不满足题意，令x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14 ，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．题19．(多选题．．．)若a ＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，又α∥β，则下列向量可以是平面β的法向量的是( )A ．b ＝(1，0，0)B ．b ＝(1，－1，1)C ．b ＝(－1，－1，－1)D ．b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，22 【解析】选CD .设b 是平面β的法向量，因为α∥β，所以a ∥b ，所以C ，D 满足要求．题20．若向量a ＝(－1，2，3)，b ＝(12 ，－1，－32 )分别是直线l 1和l 2的方向向量，则l 1与l 2的位置关系为________．【解析】因为a ＝－2b ，所以a ∥b ，所以l 1与l 2平行． 答案：平行题21．已知AB → ＝(1，5，－2)，BC → ＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝________． 【解析】因为DE ∥平面ABC ，所以存在实数对(λ，μ)，使DE → ＝λAB → ＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝x 5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2x ＝5 . 答案：5题22．已知空间两点A (－1，1，2)，B (－3，0，4)，直线l 的一个方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________． 【解析】设a ＝(x ，y ，z )，因为AB →＝(－2，－1，2)，且l 与AB 平行， 所以a ∥AB →，所以x －2 ＝y －1 ＝z2 ，所以x ＝2y ，z ＝－2y ，又因为|a |＝3，所以|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，所以y ＝±1，所以a ＝(2，1，－2)或(－2，－1，2). 答案：(2，1，－2)或(－2，－1，2)题23．如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥AD ′.【证明】方法一：基向量法：设AB → ＝a ，AD → ＝b ，AA′→＝c ， 则AM → ＝12 (a ＋c )，AN →＝c ＋12 (a ＋b )，所以MN → ＝AN → －AM → ＝12(b ＋c ).又因为b ＋c ＝AD′→ ，所以MN → ＝12 AD′→，所以MN → ∥AD′→，因为M 不在平面ADD ′A ′内，所以MN ∥AD ′. 方法二：坐标法：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则A (0，0，0)，D ′(0，2，2)，M (1，0，1)，N (1，1，2)， 所以AD′→ ＝(0，2，2)，MN →＝(0，1，1)， 所以MN → ＝12AD′→ ，所以MN → ∥AD′→，因为M 不在平面ADD ′A ′内，所以MN ∥AD ′.题24．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1＝(0，2，1)， DA → ＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1).(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA → ，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝－2y 1 ，令z 1＝2⇒y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1，2)， 因为n 1·1FC ＝－2＋2＝0，所以n 1⊥1FC ， 又因为FC 1⊄平面ADE ，即FC 1∥平面ADE .(2)因为11C B ＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得21222112FC 2y z 0C B 2x 0⎧=+=⎪⎨==⎪⎩n n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0z 2＝－2y 2.令z 2＝2⇒y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，所以n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .题25．如图，已知在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .【解析】存在．因为P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，F (1，1，0)，D (0，2，0). 不妨令P (0，0，t )，所以PF → ＝(1，1，－t )，DF →＝(1，－1，0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2 ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1 . 设点G 的坐标为(0，0，m )，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0 ，则EG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m .要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×t2 ＋0×t 2 ＋m ×1＝0，即m －t 4 ＝0，解得m ＝14 t ，所以满足AG ＝14 AP 的点G 即为所求．。