2020年江苏省连云港市灌云县高一(下)期中数学试卷

江苏省连云港市2020版高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若，，，则下列不等式：①；②；③；④恒成立的是（）A . ①②④B . ①②③C . ②③④D . ①③④2. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .3. （2分）已知等差数列40，37，34，……前n项和为Sn ，则使Sn最大的正整数n= （）A . 12B . 13C . 14D . 154. （2分） (2018高二上·临夏期中) 若，则不等式的解集是（）A .B .C .D .5. （2分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·河南月考) 在中，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）A . 6B . 5C .D .8. （2分） (2019高二上·林州月考) 已知等比数列中，，则的结果可化为（）A .B .C .D .9. （2分）已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，向量与向量垂直时，则下列选项的命题中为假命题的是（）A .B .C .D .10. （2分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 钝角三角形D . 等腰直角三角形11. （2分） (2020高三上·永州月考) 在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·西安期末) 设a，b，c都是正实数，且a+b+c=1，则的取值范围是（）A . [0，）B . [8，+∞）C . [1，8）D . [ ，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二上·佛山月考) 圆锥的母线长为2，高为1，过圆锥顶点的截面图中，最大的截面面积为________.14. （1分）(2018·朝阳模拟) 等比数列满足如下条件:① ②数列的前项和 .试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________．15. （2分） (2020高一下·嘉兴期中) 已知关于x的不等式为，若，则该不等式的解集是________，若该不等式对任意的均成立，则的取值范围是________.16. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 给出下列命题：1）已知两平面的法向量分别为 =（0，1，0）， =（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；2）若曲线 + =1表示双曲线，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；3）已知双曲线方程为x2﹣ =1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2 = sinB，a=3c．（1）求角B的大小和tanC的值；（2）若b=1，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高一下·霍邱期中) 已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．19. （5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积和体积．20. （10分） (2016高二上·南城期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．21. （15分） (2016高二下·沈阳开学考) 已知数列{an}的前n项和为．（1）求a1 ， a2 ， a3；（2）若数列{an}为等比数列，求常数a的值及an；（3）对于（2）中的an ，记f（n）=λ•a2n+1﹣4λ•an+1﹣3，若f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．22. （10分） (2018高二上·烟台期中) 已知等差数列的各项为正数，其公差为1，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020年连云港市高一数学下期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732BCD 2．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 7．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．49．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.16．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.17．正四棱锥S -ABCD 2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x -有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积22．已知点()1,0P ，()4,0Q ，一动点M 满足2MQ MP =.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,3A 的直线l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.23．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.24．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(11322166442642323⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.3．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．C解析：C【解析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC =++205==5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.7．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ .故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．10．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B. 12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：5. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o ，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：22【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.故答案为：2 【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.16．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()033303k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭17．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt△SO1C 中∵SC＝∴∴O1S＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π 【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AEAF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

江苏省2020版高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二上·郑州期中) 已知两个等差数列 {an}和{bn}的前 n项和分别为Sn ， Tn ，若= ，则 + =________2. （1分）不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是________．3. （1分） (2019高三上·黄冈月考) 在正项数列中，，且，若，则 ________.4. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED= ．若•=﹣1，则• 的值是________．5. （1分） (2016高一上·茂名期中) 使不等式成立的x的取值范围为________．6. （1分） (2019高一上·河东期末) 已知向量与共线，则的值为________．7. （1分） (2019高一下·上海期中) 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则的通项公式 ________.8. （1分）(2020高二下·海安月考) 在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝________.9. （1分） (2019高二上·北京期中) 等比数列的前项和记为，满足，，，，则的值为________.10. （1分） (2019高二下·上海期末) 如果不等式的解集为，那么 ________.11. （1分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|= |BD|，|AD|=1，则|AC|=________．12. （1分） (2017高二下·大名期中) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切．其中真命题的序号是________．13. （1分）已知等差数列{an}中，a1+a13=10，则a3+a5+a7+a9+a11=________14. （1分） (2019高三上·承德月考) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则A=________二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2017高三·银川月考) 已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，令，求16. （10分） (2016高三上·湖州期中) 如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C： =1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得• = ，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．17. （10分） (2019高三上·武清月考) 在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足, .（1）求角A的值；（2）求周长的取值范围.18. （10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]．（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知数列{an}满足a1= 且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{an2}的前n项和为Sn ，证明（n∈N*）．20. （10分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}的通项公式为an= ﹣n．（1）证明：数列{an}是等差数列；（2）求此数列的前二十项和S20 ．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

江苏省连云港市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）如果等差数列中，，那么（）A . 14B . 21C . 28D . 352. （2分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则△ABC的面积S等于（）A . 10B .C . 20D .3. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A . 16B . 8C . 4D . 24. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位5. （2分）已知函数,则等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于（）A . 1B . 3C . 5D . 67. （2分）在等差数列{an}中，若a2=3，a5=9，则其前6项和S6=（）A . 12B . 24C . 36D . 488. （2分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 不等腰的直角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2019高二下·南充月考) 已知向量，，若，则________.11. （1分）(2020·上饶模拟) 已知等比数列的前项和为，且，则________．12. （1分）角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα=________．13. （1分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在同一周期内有最高点（，1）和最低点（，﹣3），则此函数的解析式为________14. （1分） (2016高二上·桃江期中) 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是________．15. （1分）(2018·安徽模拟) 在中，设，分别表示角，所对的边，为边上的高.若，则的最大值是________．三、解答题 (共4题；共40分)16. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，， .（1）求向量与的夹角；（2）求及向量在方向上的投影.17. （10分） (2016高三上·鹰潭期中) 在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．（1）若向量，的夹角为钝角，求实数a的取值范围；（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上， =m +n （m，n∈R），求m ﹣n的最大值．18. （10分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）当x∈[﹣2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．19. （10分）已知函数 .用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、。

江苏省连云港市 2020 年（春秋版）高一下学期数学期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） 已知等差数列 的公差为 2,若成等比数列, 则 =（ ）A . –4 B . –6 C . –8 D . –10 2. （2 分） (2012·四川理) 如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 α 内，过点 O 作平面 α 的垂线交半 球面于点 A，过圆 O 的直径 CD 作平面 α 成 45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 α 的距离最大的点为 B， 该交线上的一点 P 满足∠BOP=60°，则 A、P 两点间的球面距离为（ ）A. B.C. D.3. （2 分） (2016 高一下·郑州期末) 把函数 y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵 坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A . y=sin（2x﹣ ）（x∈R）第1页共8页B . y=sin（ ）（x∈R）C . y=sin（2x+ ）（x∈R）D . y=sin（2x+ ）（x∈R） 4. （2 分） (2017 高一上·武汉期末) 已知函数 f（x）=asinx﹣bcosx（a，b 为常数，a≠0，x∈R）在 x= 处取得最大值，则函数 y=f（x+ ）是（ ） A . 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B . 偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称C . 奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称D . 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称二、 填空题 (共 10 题；共 10 分)5. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为________ （结果用反三角函数值表示）.6. （1 分） (2018 高一下·宁夏期末) 设扇形的周长为 ________．，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是7. （1 分） (2016 高一上·尼勒克期中) 函数 f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为________8. （1 分） 函数 y=tan（ x+ ）的周期为________ 单调区间为________9. （1 分） (2019 高一上·沈阳月考) 振动量 y＝ 则它的相位是________．sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π 和 ，10. （1 分） (2016 高一下·苏州期末) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1= ，且对于任意正整数 m，n 都有 an+m=an•am ． 若 Sn＜a 对任意 n∈N*恒成立，则实数 a 的最小值是________．11. （1 分） 已知等差数列{an}共有 20 项，所有奇数项和为 132，所有偶数项和为 112，则等差数列的公差第2页共8页d=________．12. （1 分） (2012·重庆理) 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 c=________．13. （1 分） (2019 高三上·沈阳月考) 已知函数 f（x） 实数 a 的取值范围是________．，若函数 f（x）的值域为 R，则14. （1 分） (2018 高二下·如东月考) 对大于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式：，，，根据上述分解规律， 的分解数中有一个是 59，则 的值是________．三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)15. （5 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 在中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，，，且满足.（1） 求角 的大小；（2） 设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.16. （5 分） (2016 高二上·九江期中) 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2asinA=（2b ﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若 sinB+sinC= ，试判断△ABC 的形状．17. （5 分） (2019 高二上·辽宁月考) 已知数列 公差为 2 的等差数列.的首项为（1） 求数列 的通项公式；，其前 项和为 ，且数列是（2） 若，求数列 的前 项和 .18. （10 分） (2020·华安模拟) 已知函数（1） 求常数 的值；第3页共8页在区间上的最小值为 3，（2） 求的单调增区间；（3） 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求函数的解析式.19. （15 分） (2018 高一上·黄陵期末) 对正整数 n，记 In={1，2，3，...,n}，Pn={ （1） 求集合 P7 中元素的个数；|m∈In ， k∈In}．（2） 若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为“稀疏集”．求 n 的最大值，使 Pn 能分 成两个不相交的稀疏集的并集．第4页共8页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、二、 填空题 (共 10 题；共 10 分)5-1、 6-1、 7-1、参考答案8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)第5页共8页15-1、 15-2、16-1、第6页共8页17-1、 17-2、18-1、18-2、18-3、第7页共8页19-1、19-2、第8页共8页。

2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一（下）期中数学试卷1. 复数的虚部为( )A. 2B.C.D. 02. 已知，为单位向量，且，则( )A. 1B.C. 2D.3. 已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图和图所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是( )A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，104. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则( )A. B. C. D.5. 已知，且，则( )A. B. C. D.6. 设，则( )A. B. C. D.7. 在面积为S的中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则( )A. 1B.C. 2D. 38. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，并且若M为AB的中点，并且，则的周长为( )A. 20B. 18C. 16D. 149. 下列化简正确的是( )A. B.C. D.10. 已知复数z满足，则下列结论正确的是( )A. 复数z的共轭复数为B. z的虚部为C. 在复平面内z对应的点在第二象限D.11. 已知向量，，则下列命题正确的是( )A. 若，则B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C. 存在，使得D. 的最大值为12. 在中，，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半为，满足，的面积，则( )A. B.C. D.13. 某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为______ .类别老年教师中年教师青年教师合计人数90018001600430014. 如图，在矩形OACB中，E，F分别为AC和BC上的中点，若，其中m，，则的值为__________.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的最大值是______.16. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则__________. 17. 已知复数z满足，求已知O为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为若与共线，求a的值.18. 在直角坐标平面xOy内，已知向量，，，P为满足条件的动点.当取得最小值时，求：向量的坐标；的值；求点A到直线PB的距离.19. 在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：的值；的面积；条件①：，；条件②：，20. 已知向量，，函数若，，求的值；若，，，，求的值．21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1m，圆心角为现要从中截取一块四边形钢板其中顶点B在扇形POQ的弧上，A，C分别在半径OP，OQ上，且，设，试用表示截取的四边形钢板ABCO的面积，并指出的取值范围；求当为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．22. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若求角A的大小；若，求面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：的虚部为故选：根据已知条件，结合复数虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，为单位向量，且，可得，所以，，则故选：利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．3.【答案】B【解析】解：由题意得，样本容量为：，抽取C村贫困户的户数为：故选：利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得，，故选：根据已知条件，结合向量的减法法则，即可求解．本题主要考查向量的减法法则，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，且，，，故选：由已知利用诱导公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦的二倍角公式和同角三角函数的关系，考查了转化思想，属于基础题．由角的范围及三角函数的图象可得，去根号即可求解．【解答】解：，又，，故选：7.【答案】B【解析】解：因为，由三角形的面积公式可得：，即，由余弦定理可得：，所以故选：由三角形的面积公式化简已知等式可得，进而根据余弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由于，故，设，，代入所以或，根据三角形的三边关系，所以所以，则的周长为，由于点M为AB的中点，由余弦定理：，解得，所以的周长为故选：直接利用正弦定理余弦定理的应用和关系式的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】CD【解析】解：，故A不对；，故B不对；，故C正确；，故D正确，故选：由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：设，则，即，故，解得，即，对于A，复数z的共轭复数为，故A正确；对于B，z的虚部为，故B错误；对于C，在复平面内z对应的点在第三象限，故C错误；对于D，，故D正确．故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，先求出z，即可依次求解．本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于选项A，由，，又，则，即，即选项A错误；对于选项B，若在上的投影向量为，则，即，则，又，则，即选项B正确；对于选项C，若，则，即与同向共线，当，即时，即时，与同向共线，即选项C正确；对于选项D，，其中，即选项D正确，故选：由平面向量的数量积的运算，结合投影向量的运算逐一判断即可得解．本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．12.【答案】AD【解析】解：内切圆半为，满足的面积，所以，整理得；满足，所以，整理得故选：直接利用三角形的面积公式和正弦定理及三角函数关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角形的面积公式，正弦定理和三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】180【解析】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故答案为：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．14.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．以O为原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，写出C、E、F坐标，再利用向量相等求出的值．【解答】解：如图，以O为原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，，则，，，，，，，，解得，故答案为：15.【答案】【解析】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号，因此，可得：，可得：，即周长的最大值是故答案为：根据余弦定理以及基本不等式即可求最值．本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属于中等题．由新定义结合三角函数公式分别计算可得．【解答】解：集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，可得所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为故答案为：17.【答案】解：设，，，即，解得，，即；对应的复数为，对应的复数为，则，，与共线，，解得【解析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解；根据已知条件，结合向量的几何意义，以及向量共线的性质，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及向量共线的性质，属于基础题．18.【答案】解：，则，，则，则当时，取得最小值为，此时当时，，，则，，，则则，则点A到直线PB的距离【解析】求出的向量坐标，利用数量积公式转化为一元二次函数，利用配方法进行求解即可．利用向量数量积的应用进行求解即可．求出，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用向量数量积公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：若选择条件①：，；因为，可得，由正弦定理可得，则，解得由及余弦定理可得，因为，所以，因为，，所以，所以若选择条件②：，；因为，可得，由正弦定理可得，在由余弦定理可得，又因为，所以，因为，即，则，所以则由正弦定理，及，可得因为，，，所以，所以【解析】本题以三角形为背景，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．若选择条件①：由已知利用正弦定理即可求解a的值．由及余弦定理可得的值，结合范围，可求A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：由正弦定理，余弦定理可得的值，结合，可求A的值，在根据题中条件利用三角函数恒等变换可求的值，即可根据正弦定理可求a的值；利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．20.【答案】解：因为向量，，所以，因为，所以，即，又，所以，所以因为，则，即，因为，所以，则，因为，，所以，所以又因为，，所以，所以【解析】首先由向量的数量积解出函数的解析式，由，可解出x，进而求的值．由同角基本关系式与两角和的余弦公式可求的余弦值，进而结合角的范围可求角．本题考查的知识点是运用两角和与差的余弦公式，基本关系式进行三角化简、求值．考查学生的运算能力，属于中低档题．21.【答案】解：因为，扇形钢板POQ的圆心角为，所以，因为扇形钢板POQ的半径为1m，，，所以，，所以，又，，所以，所以四边形钢板ABCO的面积，，其中的取值范围为，因为，所以，所以当，即时，四边形钢板ABCO的面积最大，最大值为【解析】由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板ABCO的面积的表达式和的取值范围．利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了三角函数求最值，同时考查了学生的计算能力，是中档题．22.【答案】解：由，及正弦定理得：，因为，，所以，，所以，又，所以；由正弦定理，，，由，得：，即①，由余弦定理得，，解得，可得：，为锐角三角形，，且，即，，，可得面积的取值范围为【解析】由正弦定理化简已知等式结合，，可求，结合范围，可求A的值．由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理即可解得a的值，利用三角形的面积公式可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解面积的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 2i z +=，则z 的虚部为（）A ．1i +B ．i -C ．1i-+D ．1-【答案】D【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义求解即可.【详解】由()1i 2i z +=可得()()()()2i 1i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ⋅-⋅-====+++-，则1i z =-，故z 的虚部为1-.故选：D.2．向量()cos 20,sin 20a =︒︒ 与()cos10,sin10b =︒︒的夹角为（）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【答案】A【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为()1,cos 20cos10sin 20sin10cos 2010cos10a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒-︒=︒r r r r，则cos10cos ,cos1011a b a b a b ⋅︒===︒⨯⋅r rr r r r ，且0,180a b ︒︒≤≤ ，所以,10a b =︒r r.故选：A.3．已知1a = ，3b = ，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b方向上的投影向量为（）A ．455bB ．23b C ．26b -D ．455b -【答案】C【分析】直接利用a 在b 方向上投影向量公式||||a b bb b ⋅⋅计算即可得出结果.【详解】a 在b 方向上的投影向量为213()22336a b b b b bb⨯⨯-⋅⋅=⨯=-，故选：C4．在菱形ABCD 中，若2AC =，则CA AB ⋅=（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D【分析】根据菱形的性质结合数量积的运算律运算求解.【详解】连接,AC BD 交于点O ，则,1OA OB OA ⊥=，所以()22222CA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-uur uuu r uur uuu r uur uur uuu r uur .故选：D.5．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C 、D 两点，在C 、D 处测得旗杆AB 的仰角分别为45ACB ∠=︒、30ADB ∠=︒，在水平面上测得120BCD ∠=︒，且C ，D 的距离为12米，则旗杆的高度为（）A ．9米B ．12米C ．133米D ．15米【答案】B【分析】设旗杆的高度为h ，在BCD △中，利用余弦定理求解.【详解】如图所示：设旗杆的高度为h ，所以,3tan 45tan 30h hBC h BD h ====，在BCD △中，由余弦定理得2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅⋅ ，即()22213122122h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即26720h h --=，解得12h =或6h =-（舍去），故选：B6．在ABC 中，若sin 3cos a B b A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC 一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解即可.【详解】因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理可得sin sin 3sin cos A B B A =，且(),0,πA B ∈，则sin 0B ≠，可得sin 3cos A A =，即tan 3A =，所以π3A =，又因为sin 2sin cos C A B =，由正弦定理可得2cos c a B =，由余弦定理可得22222a c b c a ac+-=⨯，整理得22a b =，即a b =，所以ABC 一定是等边三角形.故选：A.7．ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c .若3b =，2223a c ac b +-=，则23a c +的最大值为（）A ．27B ．32C ．257D ．357【答案】C【分析】由已知及余弦定理可得π6B =，再应用正弦定理有23sin a A =，23sin cC =，将目标式转化为23257sin()a c C ϕ+=+且3tan 4ϕ=，利用正弦型函数性质求最大值即可.【详解】因为2223a c ac b +-=，由余弦定理2223cos 22a cb B ac +-==，又0πB <<，故π6B =，由正弦定理知：23sin sin sin b a cB A C===，则23sin a A =，23sin c C =，所以2312sin 23sin a c A C +=+，而π65A C =-，则5π2312sin 23sin 12sin 23sin 6a c A C C C⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭5π5π12sin cos cos sin 23sin 66C C C⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6cos 83sin C C=+()257sin C ϕ=+，且3tan 4ϕ=，又5π06C <<，当π2C ϕ+=时23a c +的最大值为257.故选：C8．已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，若非零向量122a xe ye =+，其中x ，R y ∈，则x a 的最大值为（）A ．22B ．33C ．21515D ．215【答案】B【分析】先对条件平方得到2242a x y xy =++ ，结合二次函数可得答案.【详解】因为单位向量满足1212e e ⋅= ，122a xe ye =+ ，所以22242a x y xy =++ ，所以2242a x y xy =++ ，当0x =时，0x a= ；当0x ≠时，22214242x xa x y xyy y x x ==++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113y x =⎛⎫++ ⎪⎝⎭.因为2133y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，所以33x a ≤ .故选：B.二、多选题9．已知向量()3,1a =- ，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（）A ．5a b ⋅= B ．5a b -= C ．π,4a b =D ．5a b +=【答案】ACD【分析】根据向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()()31125a b ⋅=⨯+-⨯-=，故A 正确；对于选项B ：因为()2,1a b -=，则22215a b -=+=r r ，故B 错误；对于选项C ：因为()()22223110,125a b =+-==+-=r r ，则52cos ,2105a b a b a b⋅===⨯⋅r rr r r r ，且[],0,πa b ∈ ，所以π,4a b = ，故C 正确；对于选项D ：因为()4,3a b +=- ，则()22435a b +=+-= ，故D 正确；故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．若1z 、2z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43i in +=C ．若1i +是关于x 的方程22)(,0ax bx b a ++=∈R 的一个根，则1a b +=-D ．在ABCD Y 中，点A 、B 、C 分别对应复数2i +，43i +，35i +，则点D 对应复数为53i -【答案】AC【分析】利用复数的乘法可判断A 选项；利用复数的乘方可判断B 选项；根据复数的运算结合复数相等求出a 、b 的值，可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义结合向量相等求点D 的坐标，判断D 选项.【详解】对于选项A ：设1i z a b =+，则2i z a b =-，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+为实数，故A 正确；对于选项B ：因为433*i ,i i n n +==-∈N ，故B 错误；对于选项C ：若1i +是关于x 的方程22)(,0ax bx b a ++=∈R 的一个根，则()()()()2112220a i b i b a b i=++++=+++，可得2020b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()121a b +=+-=-，故C 正确；对于选项D ：由题意可知：()()()2,1,4,3,3,5A B C ，设(),D x y ，可得()()2,2,3,5AB DC x y ==--uuu r uuu r，因为ABCD 为平行四边形，则AB DC = ，即3252x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3D ，点D 对应复数为13i +，故D 错误；故选：AC.11．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若30A =︒，3a =，43b =，则ABC 有一解B ．若60A =︒，9a =，8b =，则ABC 有一解C ．若60A =︒，15a =，16b =，则ABC 有两解D ．若45A =︒，2a =，3b =，则ABC 有两解【答案】BCD【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】对于A ：因为30A =︒，3a =，43b =，由正弦定理sin sin a bA B=，解得23sin 13B =>，所以B 无解，故ABC 无解，即A 错误；对于B ：因为60A =︒，9a =，8b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得433sin 92B =<，又a b >，所以B 有唯一解，故ABC 有一解，即B 正确，对于C ：若60A =︒，15a =，16b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得833sin 152B =>，又0120A ︒<<︒，所以B 有两解，故ABC 有两解，即C 正确；对于D ：若45A =︒，2a =，3b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得3sin 2B =，又b a >，所以B A >，则60B =︒或120︒，所以B 有两解，故ABC 有两解，即D 正确；故选：BCD12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若sin sinBC =，则B C=B ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形C ．若2AC AB AB ⋅> ，则ABC 为钝角三角形D ．若对任意R t ∈，均有BA tBC AC -≥，则ABC 为钝角三角形【答案】AC【分析】对于A ：利用正弦定理分析运算；对于B ：利用数量积的定义分析判断；对于C ：利用数量积的定义结合余弦定理分析判断；对于D ：根据向量线性运算的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：若sin sin B C =，由正弦定理可得b c =，所以B C =，故A 正确；对于选项B ：若cos 0AC AB bc A ⋅=>，即cos 0A >，可得A 为锐角，但不能确定,B C 是否为锐角，故B 错误；对于选项C ：若2AC AB AB ⋅> ，则2222cos 2c b c a bc A bc bc+->=⨯，整理得2220a c b +-<，则222cos 02a c b B ac+-=<，且()0,πB ∈，所以B 为钝角，故C 正确；对于选项D ：设,R t BC BP t =∈uur uuu r，则点P 为直线BC 上的动点，因为BA tBC BA BP PA -=-=uur uuu r uur uur uur，可知BA tBC -uur uuu r 即为定点A 到动点P 的距离，若对任意R t ∈，均有BA tBC AC -≥，则点C 为定点A 在直线BC 上的投影，即AC BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AC.三、填空题13．若i 为虚数单位，且1i1ia +=-，则202220211a a ++=．【答案】i【分析】利用复数的运算求解a 的值，利用虚数单位i 的性质，求解2022a 与2021a 的值即可.【详解】解：因为21i (1i)i 1i (1i)(1i)a ++===--+，则5941i,()n a a a a n N +===⋅⋅⋅==∈*，2610421,()n a a a a n N +===⋅⋅⋅==-∈*,故2022202111i 1i a a ++=-++=.故答案为：i .14．若ABC 的面积为2224a b c +-，则内角C 等于.【答案】45︒【分析】利用余弦定理以及三角形面积公式可得tan 1C =，从而可得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c ab C+-=因为ABC 的面积为2224a b c +-，所以2222cos 1sin 442a b c ab C ab C +-==，可得tan 1C =，因为0180C << ，所以45C = ，故答案为：45︒.【点睛】应用余弦定理，一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．()cos1013tan10sin 40︒︒+︒=.【答案】2【分析】根据切化弦及两角和正弦公式的逆用即可得解.【详解】()sin10cos1013cos1013tan10cos103sin10cos10sin 40sin 40sin 40⎛⎫︒︒︒+ ⎪︒+︒︒+⎝⎭︒=︒︒=︒132cos10sin1022sin 40︒︒⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭=()2sin 10302sin 40︒+︒︒==.故答案为：216．在ABC 中，1cos 3ABC ∠=，3AD DC =且2BD =，则ABC 面积的最大值为.【答案】823/823【分析】以,BA BC 为基底表示BD，然后利用平方的方法进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】由于3AD DC = ，所以()3344BD BA AD BA AC BA BC BA =+=+=+- 1344BA BC +=，两边平方得2222131394416816BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ ,所以2213194168316c c a a =+⨯⨯⨯+22311311124484482a c ca a c ca ac ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ac ≤，当且仅当3a c =时等号成立.1cos 3ABC ∠=，则ABC ∠为锐角，所以2122sin 133ABC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，所以ABC 面积12282sin 82333S ac ABC ac =∠=≤⨯=.故答案为：823四、解答题17．已知复数()224129i z m m m =--+-，其中R m ∈.(1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围.【答案】(1)6m =或2m =-.(2)()(),36,-∞-⋃+∞【分析】（1）由题知22412090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解方程即可得答案；（2）由题知22412090m m m ⎧-->⎨->⎩，解不等式组即可得答案.【详解】（1）因为复数()224129i z m m m =--+-，z 为纯虚数，所以22412090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得6m =或2m =-，所以，当z 为纯虚数时，6m =或2m =-.（2）复数()224129i z m m m =--+-，z 在复平面内对应的点在第一象限，所以22412090m m m ⎧-->⎨->⎩，解得3m <-或6m >.故m 的取值范围是()(),36,-∞-⋃+∞.18．已知向量()()1,2,1,3a b ==-r r，(),2c λ= .(1)求a r 及a ，b的夹角的弧度数；(2)若()a cb +⊥ ，求λ的值.【答案】(1)5a = ，a ，b 的夹角的弧度数π4(2)11λ=【分析】（1）根据向量数量积和模长的坐标运算求解；（2）先求a c +，再根据向量垂直的坐标表示求解.【详解】（1）由题意可得：()()2222125,1310,11235a b a b =+==-+=⋅=⨯-+⨯=r r r r，所以52cos ,2510a b a b a b⋅===⨯⋅r rr r r r ，又因为[],0,πa b ∈ ，可得π,4a b = ，即a ，b 的夹角的弧度数π4.（2）由题意可得：()1,4a c λ+=+r r，因为()a c b +⊥，则()()11430a c b λ+⋅=-⨯++⨯=r r r ，解得11λ=.19．已知向量()sin ,1a θ=- 与()2,cos b θ= 互相垂直，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求sin 2θ和cos 2θ的值；(2)若()10sin 10θϕ-=，π02ϕ<<，求cos ϕ的值.【答案】(1)43sin 2,cos 255θθ==(2)2cos 2ϕ=【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合同角三角关系可得525sin ,cos 55θθ==，再利用倍角公式运算求解；（2）先求()cos θϕ-，再利用两角和的余弦公式运算求解.【详解】（1）因为a 与b 互相垂直，则2sin cos 0θθ-=，即cos 2sin θθ=，又因为22222sin cos sin 4sin 5sin 1θθθθθ+=+==，解得5sin 5θ=±，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则525sin ,cos 55θθ==，所以5254sin 22sin cos 2555θθθ==⨯⨯=，22222553cos 2cos sin 555θθθ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为π0,2θϕ<<，则ππ,22θϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()()2310cos 1sin 10θϕθϕ-=--=，故()()()cos cos cos cos sin sin ϕθθϕθθϕθθϕ⎡⎤=--=---⎣⎦2531051025105102=⨯-⨯=，即2cos 2ϕ=.20．在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b c B C a c +=-+，③23S BA BC =-⋅ 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且选条件：______.(1)求B ∠；(2)作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足π3ACD ∠=，23AD =，求BC 的取值范围.【答案】(1)2π3B ∠=(2)()0,4【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；若选②：利用正、余弦定理运算求解；若选③：根据面积公式以及数量积运算求解；（2）设π0,3BAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，分别在ACD 、ABC 中利用正弦定理结合三角恒等变换整理得43πsin 2233BC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正切函数运算求解.【详解】（1）若选①：因为cos cos 2B b C a c=-+，即()2cos cos a c B b C +=-，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C +=-，整理得()()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =-+=-+=-，又因为(),0,πA B ∈，则2cos 1B =-，即1cos 2B =-，所以2π3B ∠=；若选②：因为sin sin sin A b c BC a c+=-+，由正弦定理可得a b c b c a c +=-+，整理得222a c b ac +-=-，由余弦定理2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，且()0,πB ∈，所以2π3B ∠=；若选③：因为23S BA BC =-⋅ ，则12sin 3cos 2ac B ac B ⨯=-，整理得tan 3B =-，且()0,πB ∈，所以2π3B ∠=.（2）设π0,3BAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则π6D θ∠=+，在ACD 中，有正弦定理可得sin sin AD AC ACD D=∠∠，整理得π23sin sin π64sin sin 632AD D AC ACD θθ⎛⎫+ ⎪⋅∠⎛⎫⎝⎭===+ ⎪∠⎝⎭，在ABC 中，有正弦定理可得sin sin BC AC BAC B=∠∠，整理得π4sin sin sin 8316sin cos sin sin 22332AC BAC BC B θθθθθ⎛⎫+⨯ ⎪⎛⎫⋅∠⎝⎭===+ ⎪ ⎪∠⎝⎭()()2232343π23sin 2sin cos sin 23cos 23sin 223333θθθθθθ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得π33sin 2,322θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()43πsin 220,433BC θ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，即BC 的取值范围为()0,4.21．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2m =；（2）72764m ≤<.【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴2233cos cos sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222cos24cos x x =+=，∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴24cos 2cos a b x x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴2m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，2m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴2312724{1273477m m m m ≤<≤<≠∴72763727{840m m m ≤<≤<≠∴72764m ≤<.22．在边长为4的等边ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =.(1)若P 为ABC 内部一点（不包括边界），求PB PC ⋅ 的取值范围；(2)若AD 上一点K 满足2DK KA = ，过K 作直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =uuur uu u r ，AN yAC =uuu r uuu r ，AMN 的面积为1S ，四边形BCNM 的面积为2S ，且21S kS =，求实数k 的最大值.【答案】(1)()4,8-(2)738【分析】（1）取BC 的中点E ，进而整理可得24PB PC PE ⋅=-uur uuu r uur ，分析求解即可得结果；（2）根据题意利用面积公式分析可得11k xy=-，根据向量的线性运算，结合三点共线的结论整理得129x y=-，代入结合二次函数求最值.【详解】（1）取BC 的中点E ，连接PE ，则()0,23,2PE EB uur uur Î=，因为,PB PE EB PC PE EC PE EB =+=+=-uur uur uur uuu r uur uuu r uur uur ，可得()()2224PB PC PE EB PE EB PE EB PE ⋅=+⋅-=-=-uur uuu r uur uur uur uur uur uur uur ，又因为()0,23PE uur Î，即()20,12PE uur Î，所以()244,8PB PC PE ⋅=-∈-uur uuu r uur ，故PB PC ⋅ 的取值范围为()4,8-.（2）由题意可得：1113113sin 223,sin 223222222ABC AM AN A x y xy S AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=uuur uuu r △，113sin 223222ABC S AB AC A ==⨯⨯⨯=△，则2133ABC S S S xy =-=-△，若21S kS =，即333xy xyk -=，可得11k xy=-，因为()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以129193AB C AD A AK +==u uuu r uuu r uu r uuu r ，又因为,,M K N 三点共线，则AK A AN M λμ=+uuu r uuur uuu r ，且1λμ+=，可得AK AM x AB y AN AC λμλμ=++=uu uuu r uuur uuu r u r uuu r ，所以1929x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1929x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得12199x y +=，即129x y =-，所以221212919731911248k xy y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当194y =，即49y =时，实数k 的最大值为738.【点睛】结论点睛：若,,A B C 三点共线，则OA OB OC λμ=+ ，且1λμ+=.。

2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。

范文2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(四)1/ 52020年高一数学下学期期中试卷及答案（四）一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知倾斜角为 45o 的直线经过 A(2, 4) ， B(3, m) 两点，则 m ? （） A． 3 B． ?3 C． 5 D． ?1 2．过点 A( 3,1) 且倾斜角为120? 的直线方程为（） A. y ? ? 3x ? 4 B. y ? ? 3x ? 4 C. y ? ? 3 x ? 2 3 D. y ? ? 3 x ? 2 3 3．下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④ 4．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( ) 高一数学第1页（共 4 页）A B C D 5．如图，平面? ? 平面 ? ，A??, B ? ?, AB与两平面?, ? 所成的角分别为 ? 和 4 ? ，过 A, B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A?, B?，若 6 ? AB ?16 ，则 A?B? ? （） A B’B? A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 A‘ 6、已知两条直线 m, n 和两个不同平面?, ? ，满足? ? ? ，? ? ? =l , m / /? , n ? ? , 则（）A． m / /n B． m ? n C. m / /l D． n ? l ? ? ? ? 7．已知向量 r a ? ??1, ?2? ，br ? ?3, 0? ，若 rr 2a ? b // rr ma ? b ，则 m 的值为（） A． 3 7 B． ? 3 7 C． ?2 D． 2 8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形 O1A1B1C1 如图②，其中 O1A1 ? 6,O1C1 ? 2, 则该几何体的体积为（） A． 32 B． 64 C．16 2 D． 32 2 高一数学第2页（共 4 页）3/ 59、已知向量 a,b 满足 a ? 2b ? 0 ， (a ? b) ? a ? 2 ，则 a ? b ? （ A． ? 1 2 B． 1 2 C． ?2 ） D．2 10．点 O 在 ?ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）OuuAur ? uuur OB ? uuur OC ? r 0 ；（2）OuuAur ? uuur OB ? uuur OB ? uuur OC ? uuur OC ? uuur OA ；（ 3 ） uuur ? OA ? ? uuur AC uuur ? uuur AB uuur ? uuur ? ? ? OB ?? uuur BC uuur ? uuur BA uuur ? ??0 ； ? ? AC AB ? ? ? ? BC BA ? ? uuur (OA ? uuur OB) ? uuur AB ? uuur (OB ? uuur OC) ? uuur BC ?0 ．（4）则点 O 依次为 ?ABC 的（）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心 11．已知 O 是正三角形 ABC 内部一点，且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OAB的面积与 ?OAC 的面积之比为（） A． 3 B． 5 C．2 D．5 2 2 12．直角梯形 ABCD，满足 AB ? AD,CD ? AD, AB ? 2AD ? 2CD ? 2 ,现将其沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ，当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体积为（） A． 3? 2 B．4 ? 3 C．3? D．4? 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 高一数学第3页（共 4 页）13．直线 3x ? 3y ? 1的倾斜角等于． 14．如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ACB ? 900, AA1 ? AC ? BC ? 1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 ____________． 15．设 a 、b 是单位向量，其夹角为? ．若 ta ? b 的最小值为 1 ，其中t ?R ．则2 ? ? ______． 16．在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，以 A 为球心半径为 2 3 3 的球面与正方体表面的交线长为。