2020年江苏省连云港市灌云县高一(下)期中数学试卷

江苏省连云港市2020版高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若，，，则下列不等式：①；②；③；④恒成立的是（）A . ①②④B . ①②③C . ②③④D . ①③④2. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .3. （2分）已知等差数列40，37，34，……前n项和为Sn ，则使Sn最大的正整数n= （）A . 12B . 13C . 14D . 154. （2分） (2018高二上·临夏期中) 若，则不等式的解集是（）A .B .C .D .5. （2分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·河南月考) 在中，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）A . 6B . 5C .D .8. （2分） (2019高二上·林州月考) 已知等比数列中，，则的结果可化为（）A .B .C .D .9. （2分）已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，向量与向量垂直时，则下列选项的命题中为假命题的是（）A .B .C .D .10. （2分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 钝角三角形D . 等腰直角三角形11. （2分） (2020高三上·永州月考) 在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·西安期末) 设a，b，c都是正实数，且a+b+c=1，则的取值范围是（）A . [0，）B . [8，+∞）C . [1，8）D . [ ，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二上·佛山月考) 圆锥的母线长为2，高为1，过圆锥顶点的截面图中，最大的截面面积为________.14. （1分）(2018·朝阳模拟) 等比数列满足如下条件:① ②数列的前项和 .试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________．15. （2分） (2020高一下·嘉兴期中) 已知关于x的不等式为，若，则该不等式的解集是________，若该不等式对任意的均成立，则的取值范围是________.16. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 给出下列命题：1）已知两平面的法向量分别为 =（0，1，0）， =（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；2）若曲线 + =1表示双曲线，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；3）已知双曲线方程为x2﹣ =1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2 = sinB，a=3c．（1）求角B的大小和tanC的值；（2）若b=1，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高一下·霍邱期中) 已知关于x的不等式mx2+2x+6m＞0，在下列条件下分别求m的值或取值范围：（1）不等式的解集为{x|2＜x＜3}；（2）不等式的解集为R．19. （5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积和体积．20. （10分） (2016高二上·南城期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．21. （15分） (2016高二下·沈阳开学考) 已知数列{an}的前n项和为．（1）求a1 ， a2 ， a3；（2）若数列{an}为等比数列，求常数a的值及an；（3）对于（2）中的an ，记f（n）=λ•a2n+1﹣4λ•an+1﹣3，若f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．22. （10分） (2018高二上·烟台期中) 已知等差数列的各项为正数，其公差为1，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020年连云港市高一数学下期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732BCD 2．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 7．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．49．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.16．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.17．正四棱锥S -ABCD 2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x -有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积22．已知点()1,0P ，()4,0Q ，一动点M 满足2MQ MP =.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,3A 的直线l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.23．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.24．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(11322166442642323⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.3．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．C解析：C【解析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC =++205==5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.7．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ .故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．10．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B. 12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：5. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o ，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：22【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.故答案为：2 【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.16．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()033303k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭17．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt△SO1C 中∵SC＝∴∴O1S＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π 【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AEAF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

2.【答案】C
【解析】解：∵
=1，
∴
，
∴b2+c2=a2， ∴A=90°， 故选：C． 根据正弦定理可得 b2+c2=a2，因此三角形 ABC 为直角三角形． 本题考查了正弦定理和勾股定理，属基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查两条直线的位置关系的判断，属于基础题． 分直线 b 和 c 在同一平面上和不在同一平面上分别判断即可. 【解答】 解：∵直线 a 与 b 是异面直线，直线 c∥a， ∴直线 b 和 c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果 b 和 c 在同一平面上的话，二者的位置关系为相交， 如果 b 和 c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面． 故选：D．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行；
④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球 4 个，白色小球 2 个，现从中 摸出 2 个，则摸出的两个都是红球的概率为（）
当四边形 ABDC 的面积最大时，∠BAC=（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
第 1 页，共 14 页
13. 已知数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 =4，则数据 3x1+7，3x2+7，…，3xn+7 的平均
数为______．
14. 在△ABC 中，cos2 = ，则△ABC 是______三角形．
A.
B.
C.
D.
8. 若△ABC 的两边长分别为 2，3，其夹角的余弦为 ，则其外接圆的面积为（ ）

江苏省2020版高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二上·郑州期中) 已知两个等差数列 {an}和{bn}的前 n项和分别为Sn ， Tn ，若= ，则 + =________2. （1分）不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是________．3. （1分） (2019高三上·黄冈月考) 在正项数列中，，且，若，则 ________.4. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED= ．若•=﹣1，则• 的值是________．5. （1分） (2016高一上·茂名期中) 使不等式成立的x的取值范围为________．6. （1分） (2019高一上·河东期末) 已知向量与共线，则的值为________．7. （1分） (2019高一下·上海期中) 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则的通项公式 ________.8. （1分）(2020高二下·海安月考) 在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝________.9. （1分） (2019高二上·北京期中) 等比数列的前项和记为，满足，，，，则的值为________.10. （1分） (2019高二下·上海期末) 如果不等式的解集为，那么 ________.11. （1分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|= |BD|，|AD|=1，则|AC|=________．12. （1分） (2017高二下·大名期中) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切．其中真命题的序号是________．13. （1分）已知等差数列{an}中，a1+a13=10，则a3+a5+a7+a9+a11=________14. （1分） (2019高三上·承德月考) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则A=________二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2017高三·银川月考) 已知数列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，令，求16. （10分） (2016高三上·湖州期中) 如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C： =1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得• = ，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．17. （10分） (2019高三上·武清月考) 在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足, .（1）求角A的值；（2）求周长的取值范围.18. （10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]．（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知数列{an}满足a1= 且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1＜≤2（n∈N*）；（2）设数列{an2}的前n项和为Sn ，证明（n∈N*）．20. （10分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列{an}的通项公式为an= ﹣n．（1）证明：数列{an}是等差数列；（2）求此数列的前二十项和S20 ．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

江苏省连云港市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）如果等差数列中，，那么（）A . 14B . 21C . 28D . 352. （2分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则△ABC的面积S等于（）A . 10B .C . 20D .3. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A . 16B . 8C . 4D . 24. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A . 向左平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向右平移个长度单位5. （2分）已知函数,则等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于（）A . 1B . 3C . 5D . 67. （2分）在等差数列{an}中，若a2=3，a5=9，则其前6项和S6=（）A . 12B . 24C . 36D . 488. （2分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 不等腰的直角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2019高二下·南充月考) 已知向量，，若，则________.11. （1分）(2020·上饶模拟) 已知等比数列的前项和为，且，则________．12. （1分）角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα=________．13. （1分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在同一周期内有最高点（，1）和最低点（，﹣3），则此函数的解析式为________14. （1分） (2016高二上·桃江期中) 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是________．15. （1分）(2018·安徽模拟) 在中，设，分别表示角，所对的边，为边上的高.若，则的最大值是________．三、解答题 (共4题；共40分)16. （10分） (2018高一下·枣庄期末) 已知，， .（1）求向量与的夹角；（2）求及向量在方向上的投影.17. （10分） (2016高三上·鹰潭期中) 在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．（1）若向量，的夹角为钝角，求实数a的取值范围；（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上， =m +n （m，n∈R），求m ﹣n的最大值．18. （10分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）当x∈[﹣2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．19. （10分）已知函数 .用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、。

江苏省连云港市 2020 年（春秋版）高一下学期数学期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） 已知等差数列 的公差为 2,若成等比数列, 则 =（ ）A . –4 B . –6 C . –8 D . –10 2. （2 分） (2012·四川理) 如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 α 内，过点 O 作平面 α 的垂线交半 球面于点 A，过圆 O 的直径 CD 作平面 α 成 45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 α 的距离最大的点为 B， 该交线上的一点 P 满足∠BOP=60°，则 A、P 两点间的球面距离为（ ）A. B.C. D.3. （2 分） (2016 高一下·郑州期末) 把函数 y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵 坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A . y=sin（2x﹣ ）（x∈R）第1页共8页B . y=sin（ ）（x∈R）C . y=sin（2x+ ）（x∈R）D . y=sin（2x+ ）（x∈R） 4. （2 分） (2017 高一上·武汉期末) 已知函数 f（x）=asinx﹣bcosx（a，b 为常数，a≠0，x∈R）在 x= 处取得最大值，则函数 y=f（x+ ）是（ ） A . 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B . 偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称C . 奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称D . 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称二、 填空题 (共 10 题；共 10 分)5. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为________ （结果用反三角函数值表示）.6. （1 分） (2018 高一下·宁夏期末) 设扇形的周长为 ________．，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是7. （1 分） (2016 高一上·尼勒克期中) 函数 f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为________8. （1 分） 函数 y=tan（ x+ ）的周期为________ 单调区间为________9. （1 分） (2019 高一上·沈阳月考) 振动量 y＝ 则它的相位是________．sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π 和 ，10. （1 分） (2016 高一下·苏州期末) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1= ，且对于任意正整数 m，n 都有 an+m=an•am ． 若 Sn＜a 对任意 n∈N*恒成立，则实数 a 的最小值是________．11. （1 分） 已知等差数列{an}共有 20 项，所有奇数项和为 132，所有偶数项和为 112，则等差数列的公差第2页共8页d=________．12. （1 分） (2012·重庆理) 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 c=________．13. （1 分） (2019 高三上·沈阳月考) 已知函数 f（x） 实数 a 的取值范围是________．，若函数 f（x）的值域为 R，则14. （1 分） (2018 高二下·如东月考) 对大于 的自然数 的 次方幂有如下分解方式：，，，根据上述分解规律， 的分解数中有一个是 59，则 的值是________．三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)15. （5 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 在中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，，，且满足.（1） 求角 的大小；（2） 设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.16. （5 分） (2016 高二上·九江期中) 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，且 2asinA=（2b ﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若 sinB+sinC= ，试判断△ABC 的形状．17. （5 分） (2019 高二上·辽宁月考) 已知数列 公差为 2 的等差数列.的首项为（1） 求数列 的通项公式；，其前 项和为 ，且数列是（2） 若，求数列 的前 项和 .18. （10 分） (2020·华安模拟) 已知函数（1） 求常数 的值；第3页共8页在区间上的最小值为 3，（2） 求的单调增区间；（3） 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求函数的解析式.19. （15 分） (2018 高一上·黄陵期末) 对正整数 n，记 In={1，2，3，...,n}，Pn={ （1） 求集合 P7 中元素的个数；|m∈In ， k∈In}．（2） 若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为“稀疏集”．求 n 的最大值，使 Pn 能分 成两个不相交的稀疏集的并集．第4页共8页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、二、 填空题 (共 10 题；共 10 分)5-1、 6-1、 7-1、参考答案8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)第5页共8页15-1、 15-2、16-1、第6页共8页17-1、 17-2、18-1、18-2、18-3、第7页共8页19-1、19-2、第8页共8页。

2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一（下）期中数学试卷1. 复数的虚部为( )A. 2B.C.D. 02. 已知，为单位向量，且，则( )A. 1B.C. 2D.3. 已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图和图所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是( )A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，104. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则( )A. B. C. D.5. 已知，且，则( )A. B. C. D.6. 设，则( )A. B. C. D.7. 在面积为S的中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则( )A. 1B.C. 2D. 38. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，并且若M为AB的中点，并且，则的周长为( )A. 20B. 18C. 16D. 149. 下列化简正确的是( )A. B.C. D.10. 已知复数z满足，则下列结论正确的是( )A. 复数z的共轭复数为B. z的虚部为C. 在复平面内z对应的点在第二象限D.11. 已知向量，，则下列命题正确的是( )A. 若，则B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为C. 存在，使得D. 的最大值为12. 在中，，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半为，满足，的面积，则( )A. B.C. D.13. 某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为______ .类别老年教师中年教师青年教师合计人数90018001600430014. 如图，在矩形OACB中，E，F分别为AC和BC上的中点，若，其中m，，则的值为__________.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的最大值是______.16. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则__________. 17. 已知复数z满足，求已知O为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为若与共线，求a的值.18. 在直角坐标平面xOy内，已知向量，，，P为满足条件的动点.当取得最小值时，求：向量的坐标；的值；求点A到直线PB的距离.19. 在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：的值；的面积；条件①：，；条件②：，20. 已知向量，，函数若，，求的值；若，，，，求的值．21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1m，圆心角为现要从中截取一块四边形钢板其中顶点B在扇形POQ的弧上，A，C分别在半径OP，OQ上，且，设，试用表示截取的四边形钢板ABCO的面积，并指出的取值范围；求当为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．22. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若求角A的大小；若，求面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：的虚部为故选：根据已知条件，结合复数虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，为单位向量，且，可得，所以，，则故选：利用已知条件求出向量数量积为0，推出，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．3.【答案】B【解析】解：由题意得，样本容量为：，抽取C村贫困户的户数为：故选：利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得，，故选：根据已知条件，结合向量的减法法则，即可求解．本题主要考查向量的减法法则，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，且，，，故选：由已知利用诱导公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦的二倍角公式和同角三角函数的关系，考查了转化思想，属于基础题．由角的范围及三角函数的图象可得，去根号即可求解．【解答】解：，又，，故选：7.【答案】B【解析】解：因为，由三角形的面积公式可得：，即，由余弦定理可得：，所以故选：由三角形的面积公式化简已知等式可得，进而根据余弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由于，故，设，，代入所以或，根据三角形的三边关系，所以所以，则的周长为，由于点M为AB的中点，由余弦定理：，解得，所以的周长为故选：直接利用正弦定理余弦定理的应用和关系式的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】CD【解析】解：，故A不对；，故B不对；，故C正确；，故D正确，故选：由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：设，则，即，故，解得，即，对于A，复数z的共轭复数为，故A正确；对于B，z的虚部为，故B错误；对于C，在复平面内z对应的点在第三象限，故C错误；对于D，，故D正确．故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，先求出z，即可依次求解．本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于选项A，由，，又，则，即，即选项A错误；对于选项B，若在上的投影向量为，则，即，则，又，则，即选项B正确；对于选项C，若，则，即与同向共线，当，即时，即时，与同向共线，即选项C正确；对于选项D，，其中，即选项D正确，故选：由平面向量的数量积的运算，结合投影向量的运算逐一判断即可得解．本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．12.【答案】AD【解析】解：内切圆半为，满足的面积，所以，整理得；满足，所以，整理得故选：直接利用三角形的面积公式和正弦定理及三角函数关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角形的面积公式，正弦定理和三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】180【解析】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故答案为：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．14.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．以O为原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，写出C、E、F坐标，再利用向量相等求出的值．【解答】解：如图，以O为原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，，则，，，，，，，，解得，故答案为：15.【答案】【解析】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号，因此，可得：，可得：，即周长的最大值是故答案为：根据余弦定理以及基本不等式即可求最值．本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属于中等题．由新定义结合三角函数公式分别计算可得．【解答】解：集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，可得所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为故答案为：17.【答案】解：设，，，即，解得，，即；对应的复数为，对应的复数为，则，，与共线，，解得【解析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解；根据已知条件，结合向量的几何意义，以及向量共线的性质，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及向量共线的性质，属于基础题．18.【答案】解：，则，，则，则当时，取得最小值为，此时当时，，，则，，，则则，则点A到直线PB的距离【解析】求出的向量坐标，利用数量积公式转化为一元二次函数，利用配方法进行求解即可．利用向量数量积的应用进行求解即可．求出，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用向量数量积公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：若选择条件①：，；因为，可得，由正弦定理可得，则，解得由及余弦定理可得，因为，所以，因为，，所以，所以若选择条件②：，；因为，可得，由正弦定理可得，在由余弦定理可得，又因为，所以，因为，即，则，所以则由正弦定理，及，可得因为，，，所以，所以【解析】本题以三角形为背景，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．若选择条件①：由已知利用正弦定理即可求解a的值．由及余弦定理可得的值，结合范围，可求A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：由正弦定理，余弦定理可得的值，结合，可求A的值，在根据题中条件利用三角函数恒等变换可求的值，即可根据正弦定理可求a的值；利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．20.【答案】解：因为向量，，所以，因为，所以，即，又，所以，所以因为，则，即，因为，所以，则，因为，，所以，所以又因为，，所以，所以【解析】首先由向量的数量积解出函数的解析式，由，可解出x，进而求的值．由同角基本关系式与两角和的余弦公式可求的余弦值，进而结合角的范围可求角．本题考查的知识点是运用两角和与差的余弦公式，基本关系式进行三角化简、求值．考查学生的运算能力，属于中低档题．21.【答案】解：因为，扇形钢板POQ的圆心角为，所以，因为扇形钢板POQ的半径为1m，，，所以，，所以，又，，所以，所以四边形钢板ABCO的面积，，其中的取值范围为，因为，所以，所以当，即时，四边形钢板ABCO的面积最大，最大值为【解析】由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板ABCO的面积的表达式和的取值范围．利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了三角函数求最值，同时考查了学生的计算能力，是中档题．22.【答案】解：由，及正弦定理得：，因为，，所以，，所以，又，所以；由正弦定理，，，由，得：，即①，由余弦定理得，，解得，可得：，为锐角三角形，，且，即，，，可得面积的取值范围为【解析】由正弦定理化简已知等式结合，，可求，结合范围，可求A的值．由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理即可解得a的值，利用三角形的面积公式可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解面积的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

2022-2023学年江苏省连云港市灌云县高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 2i z +=，则z 的虚部为（）A ．1i +B ．i -C ．1i-+D ．1-【答案】D【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义求解即可.【详解】由()1i 2i z +=可得()()()()2i 1i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ⋅-⋅-====+++-，则1i z =-，故z 的虚部为1-.故选：D.2．向量()cos 20,sin 20a =︒︒ 与()cos10,sin10b =︒︒的夹角为（）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【答案】A【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为()1,cos 20cos10sin 20sin10cos 2010cos10a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒-︒=︒r r r r，则cos10cos ,cos1011a b a b a b ⋅︒===︒⨯⋅r rr r r r ，且0,180a b ︒︒≤≤ ，所以,10a b =︒r r.故选：A.3．已知1a = ，3b = ，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b方向上的投影向量为（）A ．455bB ．23b C ．26b -D ．455b -【答案】C【分析】直接利用a 在b 方向上投影向量公式||||a b bb b ⋅⋅计算即可得出结果.【详解】a 在b 方向上的投影向量为213()22336a b b b b bb⨯⨯-⋅⋅=⨯=-，故选：C4．在菱形ABCD 中，若2AC =，则CA AB ⋅=（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D【分析】根据菱形的性质结合数量积的运算律运算求解.【详解】连接,AC BD 交于点O ，则,1OA OB OA ⊥=，所以()22222CA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-uur uuu r uur uuu r uur uur uuu r uur .故选：D.5．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C 、D 两点，在C 、D 处测得旗杆AB 的仰角分别为45ACB ∠=︒、30ADB ∠=︒，在水平面上测得120BCD ∠=︒，且C ，D 的距离为12米，则旗杆的高度为（）A ．9米B ．12米C ．133米D ．15米【答案】B【分析】设旗杆的高度为h ，在BCD △中，利用余弦定理求解.【详解】如图所示：设旗杆的高度为h ，所以,3tan 45tan 30h hBC h BD h ====，在BCD △中，由余弦定理得2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅⋅ ，即()22213122122h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即26720h h --=，解得12h =或6h =-（舍去），故选：B6．在ABC 中，若sin 3cos a B b A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC 一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解即可.【详解】因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理可得sin sin 3sin cos A B B A =，且(),0,πA B ∈，则sin 0B ≠，可得sin 3cos A A =，即tan 3A =，所以π3A =，又因为sin 2sin cos C A B =，由正弦定理可得2cos c a B =，由余弦定理可得22222a c b c a ac+-=⨯，整理得22a b =，即a b =，所以ABC 一定是等边三角形.故选：A.7．ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c .若3b =，2223a c ac b +-=，则23a c +的最大值为（）A ．27B ．32C ．257D ．357【答案】C【分析】由已知及余弦定理可得π6B =，再应用正弦定理有23sin a A =，23sin cC =，将目标式转化为23257sin()a c C ϕ+=+且3tan 4ϕ=，利用正弦型函数性质求最大值即可.【详解】因为2223a c ac b +-=，由余弦定理2223cos 22a cb B ac +-==，又0πB <<，故π6B =，由正弦定理知：23sin sin sin b a cB A C===，则23sin a A =，23sin c C =，所以2312sin 23sin a c A C +=+，而π65A C =-，则5π2312sin 23sin 12sin 23sin 6a c A C C C⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭5π5π12sin cos cos sin 23sin 66C C C⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6cos 83sin C C=+()257sin C ϕ=+，且3tan 4ϕ=，又5π06C <<，当π2C ϕ+=时23a c +的最大值为257.故选：C8．已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，若非零向量122a xe ye =+，其中x ，R y ∈，则x a 的最大值为（）A ．22B ．33C ．21515D ．215【答案】B【分析】先对条件平方得到2242a x y xy =++ ，结合二次函数可得答案.【详解】因为单位向量满足1212e e ⋅= ，122a xe ye =+ ，所以22242a x y xy =++ ，所以2242a x y xy =++ ，当0x =时，0x a= ；当0x ≠时，22214242x xa x y xyy y x x ==++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113y x =⎛⎫++ ⎪⎝⎭.因为2133y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，所以33x a ≤ .故选：B.二、多选题9．已知向量()3,1a =- ，()1,2b =-，则下列结论中正确的是（）A ．5a b ⋅= B ．5a b -= C ．π,4a b =D ．5a b +=【答案】ACD【分析】根据向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()()31125a b ⋅=⨯+-⨯-=，故A 正确；对于选项B ：因为()2,1a b -=，则22215a b -=+=r r ，故B 错误；对于选项C ：因为()()22223110,125a b =+-==+-=r r ，则52cos ,2105a b a b a b⋅===⨯⋅r rr r r r ，且[],0,πa b ∈ ，所以π,4a b = ，故C 正确；对于选项D ：因为()4,3a b +=- ，则()22435a b +=+-= ，故D 正确；故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．若1z 、2z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43i in +=C ．若1i +是关于x 的方程22)(,0ax bx b a ++=∈R 的一个根，则1a b +=-D ．在ABCD Y 中，点A 、B 、C 分别对应复数2i +，43i +，35i +，则点D 对应复数为53i -【答案】AC【分析】利用复数的乘法可判断A 选项；利用复数的乘方可判断B 选项；根据复数的运算结合复数相等求出a 、b 的值，可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义结合向量相等求点D 的坐标，判断D 选项.【详解】对于选项A ：设1i z a b =+，则2i z a b =-，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+为实数，故A 正确；对于选项B ：因为433*i ,i i n n +==-∈N ，故B 错误；对于选项C ：若1i +是关于x 的方程22)(,0ax bx b a ++=∈R 的一个根，则()()()()2112220a i b i b a b i=++++=+++，可得2020b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()121a b +=+-=-，故C 正确；对于选项D ：由题意可知：()()()2,1,4,3,3,5A B C ，设(),D x y ，可得()()2,2,3,5AB DC x y ==--uuu r uuu r，因为ABCD 为平行四边形，则AB DC = ，即3252x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3D ，点D 对应复数为13i +，故D 错误；故选：AC.11．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若30A =︒，3a =，43b =，则ABC 有一解B ．若60A =︒，9a =，8b =，则ABC 有一解C ．若60A =︒，15a =，16b =，则ABC 有两解D ．若45A =︒，2a =，3b =，则ABC 有两解【答案】BCD【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】对于A ：因为30A =︒，3a =，43b =，由正弦定理sin sin a bA B=，解得23sin 13B =>，所以B 无解，故ABC 无解，即A 错误；对于B ：因为60A =︒，9a =，8b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得433sin 92B =<，又a b >，所以B 有唯一解，故ABC 有一解，即B 正确，对于C ：若60A =︒，15a =，16b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得833sin 152B =>，又0120A ︒<<︒，所以B 有两解，故ABC 有两解，即C 正确；对于D ：若45A =︒，2a =，3b =，由正弦定理sin sin a b A B =，解得3sin 2B =，又b a >，所以B A >，则60B =︒或120︒，所以B 有两解，故ABC 有两解，即D 正确；故选：BCD12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若sin sinBC =，则B C=B ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形C ．若2AC AB AB ⋅> ，则ABC 为钝角三角形D ．若对任意R t ∈，均有BA tBC AC -≥，则ABC 为钝角三角形【答案】AC【分析】对于A ：利用正弦定理分析运算；对于B ：利用数量积的定义分析判断；对于C ：利用数量积的定义结合余弦定理分析判断；对于D ：根据向量线性运算的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：若sin sin B C =，由正弦定理可得b c =，所以B C =，故A 正确；对于选项B ：若cos 0AC AB bc A ⋅=>，即cos 0A >，可得A 为锐角，但不能确定,B C 是否为锐角，故B 错误；对于选项C ：若2AC AB AB ⋅> ，则2222cos 2c b c a bc A bc bc+->=⨯，整理得2220a c b +-<，则222cos 02a c b B ac+-=<，且()0,πB ∈，所以B 为钝角，故C 正确；对于选项D ：设,R t BC BP t =∈uur uuu r，则点P 为直线BC 上的动点，因为BA tBC BA BP PA -=-=uur uuu r uur uur uur，可知BA tBC -uur uuu r 即为定点A 到动点P 的距离，若对任意R t ∈，均有BA tBC AC -≥，则点C 为定点A 在直线BC 上的投影，即AC BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AC.三、填空题13．若i 为虚数单位，且1i1ia +=-，则202220211a a ++=．【答案】i【分析】利用复数的运算求解a 的值，利用虚数单位i 的性质，求解2022a 与2021a 的值即可.【详解】解：因为21i (1i)i 1i (1i)(1i)a ++===--+，则5941i,()n a a a a n N +===⋅⋅⋅==∈*，2610421,()n a a a a n N +===⋅⋅⋅==-∈*,故2022202111i 1i a a ++=-++=.故答案为：i .14．若ABC 的面积为2224a b c +-，则内角C 等于.【答案】45︒【分析】利用余弦定理以及三角形面积公式可得tan 1C =，从而可得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c ab C+-=因为ABC 的面积为2224a b c +-，所以2222cos 1sin 442a b c ab C ab C +-==，可得tan 1C =，因为0180C << ，所以45C = ，故答案为：45︒.【点睛】应用余弦定理，一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．()cos1013tan10sin 40︒︒+︒=.【答案】2【分析】根据切化弦及两角和正弦公式的逆用即可得解.【详解】()sin10cos1013cos1013tan10cos103sin10cos10sin 40sin 40sin 40⎛⎫︒︒︒+ ⎪︒+︒︒+⎝⎭︒=︒︒=︒132cos10sin1022sin 40︒︒⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭=()2sin 10302sin 40︒+︒︒==.故答案为：216．在ABC 中，1cos 3ABC ∠=，3AD DC =且2BD =，则ABC 面积的最大值为.【答案】823/823【分析】以,BA BC 为基底表示BD，然后利用平方的方法进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】由于3AD DC = ，所以()3344BD BA AD BA AC BA BC BA =+=+=+- 1344BA BC +=，两边平方得2222131394416816BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ ,所以2213194168316c c a a =+⨯⨯⨯+22311311124484482a c ca a c ca ac ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ac ≤，当且仅当3a c =时等号成立.1cos 3ABC ∠=，则ABC ∠为锐角，所以2122sin 133ABC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，所以ABC 面积12282sin 82333S ac ABC ac =∠=≤⨯=.故答案为：823四、解答题17．已知复数()224129i z m m m =--+-，其中R m ∈.(1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点在第一象限，求m 的取值范围.【答案】(1)6m =或2m =-.(2)()(),36,-∞-⋃+∞【分析】（1）由题知22412090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解方程即可得答案；（2）由题知22412090m m m ⎧-->⎨->⎩，解不等式组即可得答案.【详解】（1）因为复数()224129i z m m m =--+-，z 为纯虚数，所以22412090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得6m =或2m =-，所以，当z 为纯虚数时，6m =或2m =-.（2）复数()224129i z m m m =--+-，z 在复平面内对应的点在第一象限，所以22412090m m m ⎧-->⎨->⎩，解得3m <-或6m >.故m 的取值范围是()(),36,-∞-⋃+∞.18．已知向量()()1,2,1,3a b ==-r r，(),2c λ= .(1)求a r 及a ，b的夹角的弧度数；(2)若()a cb +⊥ ，求λ的值.【答案】(1)5a = ，a ，b 的夹角的弧度数π4(2)11λ=【分析】（1）根据向量数量积和模长的坐标运算求解；（2）先求a c +，再根据向量垂直的坐标表示求解.【详解】（1）由题意可得：()()2222125,1310,11235a b a b =+==-+=⋅=⨯-+⨯=r r r r，所以52cos ,2510a b a b a b⋅===⨯⋅r rr r r r ，又因为[],0,πa b ∈ ，可得π,4a b = ，即a ，b 的夹角的弧度数π4.（2）由题意可得：()1,4a c λ+=+r r，因为()a c b +⊥，则()()11430a c b λ+⋅=-⨯++⨯=r r r ，解得11λ=.19．已知向量()sin ,1a θ=- 与()2,cos b θ= 互相垂直，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求sin 2θ和cos 2θ的值；(2)若()10sin 10θϕ-=，π02ϕ<<，求cos ϕ的值.【答案】(1)43sin 2,cos 255θθ==(2)2cos 2ϕ=【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合同角三角关系可得525sin ,cos 55θθ==，再利用倍角公式运算求解；（2）先求()cos θϕ-，再利用两角和的余弦公式运算求解.【详解】（1）因为a 与b 互相垂直，则2sin cos 0θθ-=，即cos 2sin θθ=，又因为22222sin cos sin 4sin 5sin 1θθθθθ+=+==，解得5sin 5θ=±，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则525sin ,cos 55θθ==，所以5254sin 22sin cos 2555θθθ==⨯⨯=，22222553cos 2cos sin 555θθθ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为π0,2θϕ<<，则ππ,22θϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()()2310cos 1sin 10θϕθϕ-=--=，故()()()cos cos cos cos sin sin ϕθθϕθθϕθθϕ⎡⎤=--=---⎣⎦2531051025105102=⨯-⨯=，即2cos 2ϕ=.20．在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b c B C a c +=-+，③23S BA BC =-⋅ 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且选条件：______.(1)求B ∠；(2)作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足π3ACD ∠=，23AD =，求BC 的取值范围.【答案】(1)2π3B ∠=(2)()0,4【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；若选②：利用正、余弦定理运算求解；若选③：根据面积公式以及数量积运算求解；（2）设π0,3BAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，分别在ACD 、ABC 中利用正弦定理结合三角恒等变换整理得43πsin 2233BC θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正切函数运算求解.【详解】（1）若选①：因为cos cos 2B b C a c=-+，即()2cos cos a c B b C +=-，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C +=-，整理得()()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =-+=-+=-，又因为(),0,πA B ∈，则2cos 1B =-，即1cos 2B =-，所以2π3B ∠=；若选②：因为sin sin sin A b c BC a c+=-+，由正弦定理可得a b c b c a c +=-+，整理得222a c b ac +-=-，由余弦定理2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，且()0,πB ∈，所以2π3B ∠=；若选③：因为23S BA BC =-⋅ ，则12sin 3cos 2ac B ac B ⨯=-，整理得tan 3B =-，且()0,πB ∈，所以2π3B ∠=.（2）设π0,3BAC θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则π6D θ∠=+，在ACD 中，有正弦定理可得sin sin AD AC ACD D=∠∠，整理得π23sin sin π64sin sin 632AD D AC ACD θθ⎛⎫+ ⎪⋅∠⎛⎫⎝⎭===+ ⎪∠⎝⎭，在ABC 中，有正弦定理可得sin sin BC AC BAC B=∠∠，整理得π4sin sin sin 8316sin cos sin sin 22332AC BAC BC B θθθθθ⎛⎫+⨯ ⎪⎛⎫⋅∠⎝⎭===+ ⎪ ⎪∠⎝⎭()()2232343π23sin 2sin cos sin 23cos 23sin 223333θθθθθθ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得π33sin 2,322θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()43πsin 220,433BC θ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，即BC 的取值范围为()0,4.21．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2m =；（2）72764m ≤<.【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴2233cos cos sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222cos24cos x x =+=，∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴24cos 2cos a b x x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2m t =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴2m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，2m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴2312724{1273477m m m m ≤<≤<≠∴72763727{840m m m ≤<≤<≠∴72764m ≤<.22．在边长为4的等边ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =.(1)若P 为ABC 内部一点（不包括边界），求PB PC ⋅ 的取值范围；(2)若AD 上一点K 满足2DK KA = ，过K 作直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =uuur uu u r ，AN yAC =uuu r uuu r ，AMN 的面积为1S ，四边形BCNM 的面积为2S ，且21S kS =，求实数k 的最大值.【答案】(1)()4,8-(2)738【分析】（1）取BC 的中点E ，进而整理可得24PB PC PE ⋅=-uur uuu r uur ，分析求解即可得结果；（2）根据题意利用面积公式分析可得11k xy=-，根据向量的线性运算，结合三点共线的结论整理得129x y=-，代入结合二次函数求最值.【详解】（1）取BC 的中点E ，连接PE ，则()0,23,2PE EB uur uur Î=，因为,PB PE EB PC PE EC PE EB =+=+=-uur uur uur uuu r uur uuu r uur uur ，可得()()2224PB PC PE EB PE EB PE EB PE ⋅=+⋅-=-=-uur uuu r uur uur uur uur uur uur uur ，又因为()0,23PE uur Î，即()20,12PE uur Î，所以()244,8PB PC PE ⋅=-∈-uur uuu r uur ，故PB PC ⋅ 的取值范围为()4,8-.（2）由题意可得：1113113sin 223,sin 223222222ABC AM AN A x y xy S AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=uuur uuu r △，113sin 223222ABC S AB AC A ==⨯⨯⨯=△，则2133ABC S S S xy =-=-△，若21S kS =，即333xy xyk -=，可得11k xy=-，因为()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以129193AB C AD A AK +==u uuu r uuu r uu r uuu r ，又因为,,M K N 三点共线，则AK A AN M λμ=+uuu r uuur uuu r ，且1λμ+=，可得AK AM x AB y AN AC λμλμ=++=uu uuu r uuur uuu r u r uuu r ，所以1929x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1929x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得12199x y +=，即129x y =-，所以221212919731911248k xy y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当194y =，即49y =时，实数k 的最大值为738.【点睛】结论点睛：若,,A B C 三点共线，则OA OB OC λμ=+ ，且1λμ+=.。

2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。

范文2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(四)1/ 52020年高一数学下学期期中试卷及答案（四）一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知倾斜角为 45o 的直线经过 A(2, 4) ， B(3, m) 两点，则 m ? （） A． 3 B． ?3 C． 5 D． ?1 2．过点 A( 3,1) 且倾斜角为120? 的直线方程为（） A. y ? ? 3x ? 4 B. y ? ? 3x ? 4 C. y ? ? 3 x ? 2 3 D. y ? ? 3 x ? 2 3 3．下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④ 4．如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( ) 高一数学第1页（共 4 页）A B C D 5．如图，平面? ? 平面 ? ，A??, B ? ?, AB与两平面?, ? 所成的角分别为 ? 和 4 ? ，过 A, B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A?, B?，若 6 ? AB ?16 ，则 A?B? ? （） A B’B? A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 A‘ 6、已知两条直线 m, n 和两个不同平面?, ? ，满足? ? ? ，? ? ? =l , m / /? , n ? ? , 则（）A． m / /n B． m ? n C. m / /l D． n ? l ? ? ? ? 7．已知向量 r a ? ??1, ?2? ，br ? ?3, 0? ，若 rr 2a ? b // rr ma ? b ，则 m 的值为（） A． 3 7 B． ? 3 7 C． ?2 D． 2 8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形 O1A1B1C1 如图②，其中 O1A1 ? 6,O1C1 ? 2, 则该几何体的体积为（） A． 32 B． 64 C．16 2 D． 32 2 高一数学第2页（共 4 页）3/ 59、已知向量 a,b 满足 a ? 2b ? 0 ， (a ? b) ? a ? 2 ，则 a ? b ? （ A． ? 1 2 B． 1 2 C． ?2 ） D．2 10．点 O 在 ?ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）OuuAur ? uuur OB ? uuur OC ? r 0 ；（2）OuuAur ? uuur OB ? uuur OB ? uuur OC ? uuur OC ? uuur OA ；（ 3 ） uuur ? OA ? ? uuur AC uuur ? uuur AB uuur ? uuur ? ? ? OB ?? uuur BC uuur ? uuur BA uuur ? ??0 ； ? ? AC AB ? ? ? ? BC BA ? ? uuur (OA ? uuur OB) ? uuur AB ? uuur (OB ? uuur OC) ? uuur BC ?0 ．（4）则点 O 依次为 ?ABC 的（）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心 11．已知 O 是正三角形 ABC 内部一点，且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OAB的面积与 ?OAC 的面积之比为（） A． 3 B． 5 C．2 D．5 2 2 12．直角梯形 ABCD，满足 AB ? AD,CD ? AD, AB ? 2AD ? 2CD ? 2 ,现将其沿 AC 折叠成三棱锥 D ? ABC ，当三棱锥 D ? ABC 体积取最大值时其外接球的体积为（） A． 3? 2 B．4 ? 3 C．3? D．4? 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 高一数学第3页（共 4 页）13．直线 3x ? 3y ? 1的倾斜角等于． 14．如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ACB ? 900, AA1 ? AC ? BC ? 1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 ____________． 15．设 a 、b 是单位向量，其夹角为? ．若 ta ? b 的最小值为 1 ，其中t ?R ．则2 ? ? ______． 16．在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，以 A 为球心半径为 2 3 3 的球面与正方体表面的交线长为。

考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．)600sin( -的值为 ；2．若5-=α，则角α的终边在第 象限；3．函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 ；4．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= ； 5．若向量(2,3)AB =且A 的坐标为(1,2)，则B 的坐标为 ；6．已知扇形的中心角为 150，则此扇形的面积为 ；7．已知向量，满足：1||=，2||=，2)(=+⋅，则与的夹角是 ； 8．已知(3a =，1)，(sin b α=， cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ ； 9．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 ；10．已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分 图象如图所示，则函数的解析式为 ； 11．将函数()sin()(0)4f x x πωω=->的图象向左平移4πω个单位得到函数()yg x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为增函数，则ω的最大值是 ；12． 在ABC ∆中， 90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上，且DB CD 2=，则⋅的值为 ；13．已知=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈)32sin(,32)12cos(,0,2παπαπα则 ； 14．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2=++，||||=，则CA CB ⋅= ．二．解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分） 设向量)2,1(),1,2(-==b a ．(1)求证：b a ⊥；(2)若向量b a λ+与向量)3,4(-=c 共线，求实数λ的值．16．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，以Ox 轴为始边作两锐角βα，，它们终边分别与单位圆交于B A ，两点，且B A ，横坐标分别为10103,2107． （1）求AOB ∠tan ；（2）求βα2+的值．17．（本小题满分14分）已知)0,3(A ，)3,0(B ，)sin (cos αα，C 。

江苏省连云港市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知数列{an}是等差数列， （）,a5=13a1 ， 设 Sn 为数列{(-1)nan}的前 n 项和，则 S2014=A . 2014B . -2014C . 3021D . -30212. （2 分） 已知命题 p：“∀ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题 q：“∃ x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A . a≤－2 或 a＝1B . a≤－2 或 1≤a≤2C . a≥1D . －2≤a≤13. （2 分） (2016 高一下·永年期末) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．若 c=3，，且 a+b=4，则△ABC 的面积为（ ）A. B. C.D.第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2016 高一下·卢龙期中) 已知 最大值和最小值分别是（ ）=（cosθ，sinθ），=（﹣1，），则| ﹣2 |的A . 25，9B . 5，3C . 16，0D . 16，45. （2 分） (2018 高二下·台州期中) 已知等比数列“”的（ ）的公比为 ，前 项和是 ，则“”是A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2 分） (2016 高一下·岳阳期中) 在△ABC 中，D 是 BC 的中点，| |=3，点 P 在 AD 上，且满足 = ，则 •（ + ）=（ ）A.4B.2C . ﹣2D . ﹣47. （2 分） 已知正项等比数列 满足： 小值为（ ）， 若存在两项 使得，则的最A.B.第 2 页 共 11 页C. D . 不存在 8. （2 分） 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 度的方向，两船相距 a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船 的速度是乙船的 倍，甲船为了尽快追上乙船，应取北偏东 方向前进，则 的度数为：（ ） A . 15 B . 30 C . 45 D . 60 9. （2 分） 空中有一气球，在它的正西方 A 点测得它的仰角为 45°，同时在它南偏东 60°的 B 点，测得它的 仰角为 30°，若 A、B 两点间的距离为 266 米，这两个观测点均离地 1 米，那么测量时气球到地面的距离是（ ）A.米B.（ C . 266 米+1）米D . 266 米10. （2 分） 设 O 是△ABC 的外接圆圆心，且 ++2 = ， 则∠AOC=（ ）A.B. C.D.11.（2 分）(2018 高二上·南阳月考) 已知各项均不为零的数列 ，定义向量，第 3 页 共 11 页.下列命题中真命题是（ ）A . 若 ∀ n∈N* 总有 ⊥ 成立，则数列 {an} 是等比数列B.若总有成立，则数列 是等比数列C . 若 ∀ n∈N* 总有 ⊥ 成立，则数列 {an} 是等差数列D.若总有成立，则数列 是等差数列12. （2 分） (2020·漳州模拟) 在、 成等差数列，且，则中，角、、 （所对的边分别为 ）、、，若 、A. B.C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016·杭州模拟) 在△ABC 和△AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6， ，则 与 的夹角的余弦值等于________．14. （ 1 分 ） (2018· 绵 阳 模 拟 ) 在中，角所对的边分别为，若 ，且为________．， 是 的中点，且，，则的最短边的边长15. （1 分） (2016 高二上·黄浦期中) 数列{an}满足 a1=1，a2=3，且 an+2=|an+1|﹣an ， n∈N* ， 记{an} 的前 n 项和为 Sn ， 则 S100=________．16. （1 分） (2017 高二上·江门月考) 数列三、 解答题） (共 6 题；共 50 分)第 4 页 共 11 页的前 项和为________.17. （10 分） (2018 高一下·山西期中) 已知中，，，角平分线．用向量的方法解答：，为（1） 求 的长度；（2） 过点 作直线交于不同两点，且满足，，求:的值，并说明理由．18. （10 分） (2016 高二下·温州期中) 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠D=2∠B，且 AD=1，CD=3，cos∠B=（1） 求△ACD 的面积；（2） 若 BC=2 ，求 AB 的长． 19. （5 分） (2016 高二上·汉中期中) 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 a1=2，且 4S1 ， 3S2 ， 2S3 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=|2n﹣5|•an ， 求数列{bn}的前 n 项和 Tn ． 20. （10 分） (2017·菏泽模拟) 已知向量 =（sinx，mcosx）， =（3，﹣1）． （1） 若 ∥ ，且 m=1，求 2sin2x﹣3cos2x 的值；（2） 若函数 f（x）= • 的图象关于直线 x= 对称，求函数 f（2x）在[ ，第 5 页 共 11 页]上的值域．21. （10 分） (2016 高二上·大连期中) 数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an﹣ 3n．（1） 设 bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式； （2） 求数列{nan}的前 n 项和． 22. （5 分） 已知数列{an}的前 n 项的和 Sn= n2﹣ n． （1）求{an}的通项公式 an； （2）当 n≥2 时，an+1+ ≥λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围．第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题） (共 6 题；共 50 分)17-1、 17-2、18-1、 18-2、第 8 页 共 11 页19-1、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、 21-1、第 10 页 共 11 页21-2、22-1、第11 页共11 页。

2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共五套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。

江苏省灌南高级中学2019-2020级高一第二学期期中考试数学试卷一、单选题（40分）1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,4)-关于y 轴对称的点为（ ） A ．1,2)4(,--- B ．()1,2,4--C ．()1,2,4-D ．()1,2,42．已知1tan 3α=，求tan 2α=（ ） A ．14 B ．23C ．34D ．253．若过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=垂直，则m 的值为（ ） A ．2B ．0C ．10D ．8-4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或1735．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o 6．定义运算a b ad bc c d=-，若sin sin 10cos cos αβαβ=-，5sin α=，,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（ ）．A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 7．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o ，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+二、多选题（错选不得分，漏选得3分。

共20分）9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 与β内所有直线平行B ．a 与β内的无数条直线平行C ．a 与β内的任意直线都不垂直D ．a 与β没有公共点10．若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -=D ．10x y --=11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是（ ）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形 D ．若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形12．集合{}22(,)|4A x y x y =+=，{}222(,)|(3)(4)B x y x y r =-+-=，其中0r >，若A B I 中有且仅有一个元素，则r 的值是（ ）. A ．3B ．5C ．7D ．9三、填空题（20分）13．已知空间两点()1,2,A z 、()2,1,1B -，则z =______. 14．两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的距离是____________． 15．若点P （1，﹣1）在圆x 2+y 2+x +y +k ＝0（k ∈R ）外，则实数k 的取值范围__． 16．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为________．四、解答题（70分）17．（10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 的纵坐标是1010． （1）求3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为55-,求αβ+的值．18．（12分）已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为3-4（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.19．（12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:PD P 面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:x 2+y 2−4x =0及点A(−1,0),B(1,2)．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M,N 两点，MN =AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．21．（12分）为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心O 处，A 为居民小区，OA 的距离为200米，按照设计要求，以居民小区A 和圆弧上点B 为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC （C 为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB ，如图所示． （1）若OB OA ⊥时，C 与出入口O 的距离为多少米？ （2）B 设计在什么位置时，公园OACB 的面积最大？22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点,A B .（1）若直线l 与y 轴交于D ，且16DP DQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程；（2）设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，求12k k +的值； （3）设AB 的中点为M ，点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，若13MN OM =，求QAB ∆的面积.参考答案单选题：1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．B 多选题：9．BD 10．ABC 11．AC 12．AC填空题：13．0或2 14．2015．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 16．5.解答题：17．（1）2）34αβπ+= 【解析】 【分析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,10sin α=,进而求出cos 10α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭.（2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是-得出cos β=,进而得出sin β=利用正弦的和差公式即可求出()sin 2αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标是10,所以由任意角的三角函数的定义可知,10sin α=．从而cos 10α==． （1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭1021025⎛⎫⎛⎫=⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是所以cos β=,从而sin 5β==． 于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=1051052⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=． 【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题. 18．(1) 3x ＋4y －14＝0；(2) 3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 【解析】 【分析】（1）代入点斜式方程求直线l 的方程；（2）根据（1）设m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线的距离求c . 【详解】（1）由点斜式方程得，()3524y x -=-+，∴34140x y +-=. （2）设m 的方程为340x y c ++=，则由平线间的距离公式得，1435c +=，解得：1c =或29-.∴3410x y ++=或34290x y +-= 【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.19．（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC ⊥面PBD 来加以证明． 【解析】【分析】 【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC 内找一条直线与直线PD 平行即可．设AC BD O =I ，连接EO ，由三角形中位线可得PD EO P 即得；（2）连接PO ，由题意得PO ⊥AC ，又底面为菱形，则AC ⊥BD ，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设AC BD O =I ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD EO P而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面，所以PD P 面AEC（2）连接PO ，因为PA PC =，所以AC PO ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ 而PO ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，PO BD O =I ，所以AC ⊥面PBD 又AC ⊂面AEC ，所以面AEC ⊥面PBD考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理； 20．（1）x −y =0或x −y −4=0．（2）2． 【解析】试题分析：（1）本题实质为直线被圆截得弦长问题，一般方法为利用垂径定理进行转化解决：先根据AB 斜率得直线斜率2−01−(−1)=1，设直线方程x −y +m =0，再根据AB 长得弦长MN =AB =√22+22=2√2，最后根据垂径定理得r 2=d 2+(MN 2)2，根据圆心C 到直线l 的距离公式得d=|2−0+m|√2=|2+m|√2代入得4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，（2）P点既在圆C上，又满足，因此研究点P的个数，实质研究两曲线位置关系，先确定满足的轨迹方程，利用直接法得x2+(y−1)2=4，也为圆，所以根据两圆位置关系可得点P的个数试题解析：（1）圆C的标准方程为(x−2)2+y2=4，所以圆心C(2,0)，半径为2．因为l∥AB，A(−1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l的方程为x−y+m=0，……………………………………………2分则圆心C到直线l的距离为d=2=2．…………………………4分因为MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，所以4=(2+m)22+2，……………………………6分解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y−4=0．…………………………………8分（2）假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，即x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，………………………………10分因为|2−2|<√(2−0)2+(0−1)2<2+2，所以圆(x−2)2+y2=4与圆x2+(y−1)2=4相交，所以点P的个数为2．…………………………………………………………12分考点：直线与圆位置关系，圆与圆位置关系【思路点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．21．（1）OC=2）212500)m【解析】【分析】（1）设OAB θ∠=，在Rt OAB ∆中可表示sin ,cos θθ，进而可表示cos cos()4OAC πθ∠=+，则在在OAC ∆中利用余弦定理即可得解.（2）设∠AOB ＝α，利用余弦定理得到以及三角形的面积公式得到关于α的面积表达式，结合三角函数求最值． 【详解】解：（1）设,,4OAB BAC πθ∠=∠=则在Rt OAB ∆中22250000,25000sin 2AB AB AC θθ=====，在OAC ∆中cos cos()=cos cos sin sin 444OAC πππθθθ∠=+-=2222cos +=4OC OA AC OA AC πθ=+-⋅⋅（）45000，则OC =（2）如图，设∠AOB ＝α，则AB 2＝OB 2+OA 2﹣2OB ×OA ×cos α＝50000﹣40000cos α，又22111222ABC S AC AB V ==⨯=12500﹣10000cos α，又1122AOB S OA OBsin α=⨯=⨯V 200×100sin α＝10000sin α，∴S 四边形OACB ＝S △ABC +S △AOB ＝12500﹣10000cos α+10000sin α＝10000（sin α﹣cos α）+12500＝（4πα-）+12500，∴当sin （4πα-）＝1，即34πα=时，四边形OACB 面积最大为（12500）m 2． 【点睛】本题考查了余弦定理以及三角形的面积公式结合的面积最值求法，关键是建立关系式，借助于三角函数的有界性求最值，属于中档题．22．（1）320x y --=（2）-1（3）125【解析】 【分析】（1）可设点()0,D m ，表示出,DP DQ u u u r u u u r，可求出参数2m =-或6，结合题意可舍去6m =，再由,D P 两点已知求出直线l 的方程；（2）可设()()1122,,,A x y B x y ，设直线方程为()24y k x =-+，联立直线和圆的方程求出关于x 的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出,QA QB k k ，结合前式即可求解； （3）设()00,M x y ，由3MN OM =建立方程，化简可得22000640x y x ++-=，由（2）可得()()()1202002222122241k k x x x k k y k x k -⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩，联立求解得3k =，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）设()0,D m ，求出()2,0Q ，()()2,4,2,DP m DQ m =-=-u u u r u u u r，则244162DP DQ m m m ⋅=+-=⇒=-u u u r u u u r或6，结合直线圆的位置关系可知，2m =-一定满足，()0,2D -，()2,4P 此时直线l 的方程为：320x y --=；当6m =时，()0,6D ，()2,4P ，直线l 的方程为：60x y +-=，圆心到直线距离2d ==>（舍去）； （2）设直线l 的方程为：()24y k x =-+，联立()22424y k x y x ⎧=-++=⎨⎩可得：()()()2221422440kx k k x k +--+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()12221224212441k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪⋅=⎪+⎩，①1212,22QA QB y y k k x x ==--， 则()()1212121221212424442222222k y k k x k x y k x x x x x x -+-+=+=+=++----+--，② 将①代入②化简可得()124842221116k k k k k k +=---+==-， 即121k k +=-；（3）设点()00,M x y ，由点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，3MN OM =， 可得()2222000041339x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，化简得22000640x y x ++-=，③ 又()()()1202002222122241k k x x x k k y k x k -⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩，④ ④式代入③式解得3k =或13k =，由圆心到直线的距离423d k =<⇒>，故3k =，此时31,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆心到直线距离5d ==，则5AB ==直线方程为：320x y --=，()2,0Q ，Q 到直线的距离5h =，则111222555QAB S AB h ∆=⋅=⨯=【点睛】本题考查圆中，由向量关系反求直线方程，由韦达定理求解圆锥曲线中的定值问题，由弦的中点问题求三角形面积，圆的几何性质，点到直线距离公式等，计算能力，综合性强，属于难题。

灌云县第一中学高一年级第二学期期中考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项1. 计算：的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方及除法运算法则计算可得.【详解】.故选：D2. 设的内角所对的边分别为,若，则A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】首先结合题中所给的条件，根据正弦定理，求得，利用三角形中大边对大角的结论，以及三角形内角的取值范围，可求得，得到结果.【详解】根据题中所给条件，依据正弦定理有，，的202422i(1i)+-12i+12i-1i-1i+202422i(1i)+-45062i2i⨯=+-()50642ii1ii=+=+-ABC∆,,A B C,,a b c2,4a b Aπ===3π6π3π23π6π56π1sin2B=6Bπ=sin sina bA B==1sin2B=因为，所以，又，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及三角函数值求角，属于简单题目.3. 若表示直线，表示平面，则下列命题为真命题是（ ）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则或与异面【答案】D 【解析】【分析】举反例否定A ，B ，C ，利用线面平行的性质定理判断D 即可.【详解】对于A ，若，则或，故A 错误；对于B ，若，，则或与相交或与异面，故B 错误；对于C ，若，，则或，故C 错误;对于D ，若，，结合线面平行的性质定理得或与异面，故D 正确.故选：D4. 已知，，则（ ）A.B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】若，则的.b a <B A <(0,)B π∈6B π=,a b α//,a b b α⊂//a α//a α//b α//a b //a b //b α//a α//a αb α⊂//a b a b //,a b b α⊂a α⊂//a α//a α//b α//a b a b a b //a b //b αa α⊂//a α//a αb α⊂//a b a b 2sin cos 3αβ+=1cos sin 3αβ+=-sin()αβ+=13181118-1318-139-13sin cos cos sin 18αβαβ+=-2sin cos 3αβ+=2224(sin cos )sin 2sin cos cos 9αβααββ+=++=若，则，将两式子相加可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故C 正确.故选：C5. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为.故选：A 6. 已知，求（ ）A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.【详解】由，得.故选：B1cos sin 3αβ+=-2221(cos sin )cos2cos sin sin 9αβααββ+=++=5132sin cos 2cos sin 299αβαβ+=-=-13sin cos cos sin 18αβαβ+=-8s 13sin cos cos si in()n 1βαβαβα=-=++(2,a b =-= b a14a14a- b- b(2,a b =-= ||4,214a a b ==⋅=-⨯+= b a 224144||a b a a a a ⋅==πsin()6β+=2πcos(2)3β-=2313-23-13πsin(6β+=2πππcos(2)cos[(2π]cos 2()336βββ-=+-=-+22π12sin ()12163β=+-=⋅-=-7. 在三角形中，若，则是（ ）三角形．A. 等腰 B. 等腰或Rt C. 等腰直角 D. Rt 【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.【详解】由正弦定理，即，因为，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.故选：B8. 在中，是边的中点，是线段的中点．若，则取最小值时，则（ ）A. 2 B. C. 6D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.【详解】在中，由，，则由是边的中点，是线段的中点，得，，则，，即ABC cos cos b cC B=ABCcos cos b c C B =sin sin ,sin2sin2cos cos B CB C C B=∴=(),,0,πA B C ∈B C =π2B C +=ABC M BC N BM π6A ∠=ABC AM AN ⋅2BC =12-AB AC ⋅AM AN ⋅ ABAC ABC π6A ∠=ABC 1πsin 26AB AC =×AB AC ×=M BC N BM 1()2AM AB AC =+111131()()222244AN AB AM AB AB AC AB AC =+=++=+ 22131311()()||||244882AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC⋅=+⋅+=++⋅ 22311π||||||||cos ||||||||||68826AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =++≥==||||AB AC = |||2,|AB AC ==在中，由余弦定理得：，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分）9. 下列选项中正确的是（ ）A. 若，则B. 在复平面内，复数 对应的点位于第二象限C. D. 若∥，∥ ，则∥【答案】BC 【解析】【分析】对于AD ：举反例说明即可；对于B ：根据复数的几何意义分析判断；对于C ：根据共轭复数的定义结合复数的加减法分析判断.【详解】对于选项A ：例如，满足，但，故A 错误；对于选项B ：复数 对应的点为，位于第二象限，故B 正确；对于选项C ：设，则，可得，所以，故C 正确；对于选项D ：例如，满足∥，∥ ，但，不共线，故D 错误；故选：BC.10. 下列等式成立的有（ ）A. B. ABC 2BC ===24BC =AM AN ⋅||||a b = a b=12i z =-+1212z z z z -=-a b c a c()()1,0,0,1a b == ||||1a b ==r r a b ≠12i z =-+()1,2-12i,i,,,,=+=+∈z a b z c d a b c d R 12i,i a b c z z d =-=-()()()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d -=-+--=---=---1212z z z z -=-()()1,0,0,0,1a b c ===r r r ra b b c a c1cos20cos40cos60cos808=()2o o1sin15cos152-=C. D. =1【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A 选项；利用同角三角关系式和二倍角正弦公式可判断B 选项；利用二倍角的余弦公式公式可判断C 选项；利用两角和的正切公式可判断D 选项.【详解】对于A,A 错误；对于B ，，B 正确；对于C ，C 错误；对于D ，，D 正确；故选：BD11. 下列选项中正确的是（ ）A. 如果空间中一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等B. 若等边三角形的边长为2C. 设且的夹角为钝角，则D. 若满足，则可以构成两个三角形【答案】BCD 【解析】【分析】举反例判断A ，利用直观图的性质判断B ，利用平面向量的坐标运算列出不等式求解参数范围判断C ，利用正弦定理判断D 即可.【详解】对于A ，如果空间中一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故A 错误，2o2osin 22.5cos 22.5-=o o o otan30tan151tan30tan15+-2sin20cos20cos40cos60cos80sin40cos40cos60cos80cos20cos40cos60cos802sin202sin20==2sin40cos40cos60cos80sin80cos60cos802sin80cos60cos802sin80cos80sin160122sin2022sin20222sin202222sin2016sin2016======⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ()2o o2o 2o o o o 11sin15cos15sin 15cos 152sin15cos151sin30122-=+-=-=-=2o 2o o sin 22.5cos 22.5cos45-=-=o oo o otan30tan15tan 4511tan30tan15+==-(,3),(2,1)a x b ==- ,a b 3(,6)(6,)2x ∈-∞-⋃-11π6,,23a b B ===对于B，等边三角形的边长为2，B正确，对于C，若的夹角为钝角，且设的夹角为，则，故有，解得，而当时，，，此时共线，故排除，故，故C正确，对于D，由正弦定理得，易知在内有两个符合条件的，故可以构成两个三角形，则D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在中，，，，则其外接圆的面积为______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解出剩余的边长，再利用正弦定理求出外接圆半径，再求面积即可.【详解】在中，由余弦定理得，解得，由同角三角函数的关系得，由正弦定理得,故，设外接圆的面积为，故，则其外接圆的面积为.故答案为：13. 如图，在正方体中，是的中点，求与两条异面直线所成角的正弦值122⨯==,a b,a bθcos0θ<cos0a ba bθ⋅==<⋅3(,2x∈-∞6x=-(6,3)a=-(2,1)b=-,a b3(,6)(6,)2x∈-∞-⋃-6sin A=()sin0,1A=(0,π)AABC4AB=6AC=2cos3A=9πABC2236163246BC+-=⨯⨯BC=sin A==R26R===3R=S23π9πS=⨯=9π9π1111ABCD A B C D-E BC DE1CD为________【解析】【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，在利用余弦定理求解夹角余弦值，最后求解正弦值即可.【详解】如图，作//，易知是的中点，连接，故即为所求角，设正方体的棱长为，由勾股定理得，在中，由余弦定理得易知，故14. 设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是___．【答案】8【解析】【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.11D E DE 1E 11C B 1CE 11CD E ∠2111D E CE ==1CD =11CD E 11cos CD E ∠==11sin 0CD E ∠>11sin CD E ∠=21,e e 12(1)AB a e e =-+ 122AC be e =-0a >0b >,,A B C 42a bab+【详解】， ,若三点共线，设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，，则，当且仅当，即时，取等号，故最小值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5大题，每题13~17分，共77分．15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求m 的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3 （2）【解析】【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m 的值.（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解.【小问1详解】复数，且为纯虚数是的共轭复数），则，解得．【小问2详解】，12(1)AB a e e =-+ 122AC be e =-,,A B C AB AC λ= 1212(1)(2)a e e be e -+=- λ21,e e 112a bλλ-=⎧⎨=-⎩12λ=-112a b +=42424214(1(()22482a b a b a b ab b a b a b a +=+⨯=+⨯+=+++≥+=1124a b a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112b a =⎧⎪⎨=⎪⎩z (,1)(R)m m -∈(13i)z +z z 20231i a z z+=(3,)+∞(13i)⋅+z 1z i(R)z m m =-∈(13i)(i)(13i)3(31)i z m m m ⋅+=++=-++(z z 30310m m -=⎧⎨+≠⎩3m =202321011i (i )i i ==-复数在复平面对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．16. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足．（1）若，求；（2）若，求的坐标．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示求解即可；（2）根据平面向量平行的坐标表示求解可得.【小问1详解】因为，，所以，所以，因为，所以，解得；【小问2详解】因为，，由，得， 解得，所以的坐标为．17. 如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.1i (i)(3i)313i (3i)(3i)1010a a a a z z --++-===+-+∴310103010a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩3a >∴a (3,)+∞xOy (4,3),(6,8)A B --M ,OM OB λλ=∈RAM OB ⊥λ()OM OA AB +∥M 0.48λ=-(6,8)M --(4,3),(6,8)A B --(6,8)OB = (6,8)OM OB λλλ==(64,83)AM OM OA λλ=-=++AM OB ⊥6(64)8(83)100480AM OB λλλ⋅=+++=+= 0.48λ=-()64,83OM OA λλ+=-- (10,11)AB =()//OM OA AB +11(64)10(83)14140λλλ---=--=1λ=-M (6,8)M --求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由BC ∥AD 证明BC ∥平面PAD ，再结合平面PBC ∩平面PAD=l ，由线面平行推出线线平行，即得证；（2）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可证明四边形AMNE 是平行四边形，即 MN ∥AE ，由线线平行推线面平行，即得证【详解】（1）∵▱ABCD∴BC ∥AD ，又BC 平面PAD ，平面PAD∴BC ∥平面PAD.又∵平面PBC ∩平面PAD=l ，平面PBC∴l ∥BC.（2）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE .则NE ∥CD ，且NE=CD ，⊄AD ⊂BC ⊂12又AM ∥CD ，且AM=CD ，∴NE ∥AM ，且NE=AM.∴四边形AMNE 是平行四边形.∴MN ∥AE.又∵AE ⊂平面PAD ，MN 平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.18. 在以下四个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答．（注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分）①；②；③；④．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，且___________．（1）求C ；（2）若，求周长的取值范围；（3）若D 为AB 的中点，求CD 的值．【答案】（1）（2） （3）【解析】【分析】（1）选①②，用正弦定理化简求解即可；选③，用正弦定理及切化弦，然后用两角和的正弦公式化简求解即可；选④，用正弦定理及辅助角公式化简求解即可；（2）在中，由（1），又由余弦定理可得，再由基本不等式有，可得，又，得则可得周长的取值范围；（3）由可得，再由余弦定理可得，则可解出，进而求出CD 的值．【小问1详解】若选①：，在中，由正弦定理得，又，12⊄22cos a b c B -=πsin cos()6c B b C =-2tan 1tan a C b B =+cos sin b b C B +ABC a b c 2c =ABC c =ABC 3C π=(4,6]CD =ABC π3C =2c =2()43a b ab +-=2()334a b ab +≤⨯44a b -≤+≤a b c +>24a b <+≤ABC ABC 2ab =225a b +=a b 、22cos a b c B -=ABC 2sin sin 2sin cos A B C B -=sin()sin B C A +=所以，又，所以，即，又，所以；若选②：，在中，由正弦定理得，所以，即，所以，所以；若选③：，在中，由正弦定理得，则，所以，又，所以；若选④：，在中，由正弦定理得，所以，所以，又，所以.【小问2详解】在中，由（1），又由余弦定理得， ，化简整理的： ，解不等式得： ，由三角形性质知，，且，所以，即 ，2sin cos sin B C B =sin 0B >2cos 1C =1cos 2C =0πC <<π3C =πsin cos()6c B b C =-ABC πsin sin sin cos()6C B B C =-π1sin cos(sin 62C C C C =-=+1sin 2C C =tan C =0πC <<π3C =2tan 1tan a C b B=+ABC 2sin tan 1sin tan A C B B =+()sin 2sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin B C A C B C B A B C B C B C B++===1cos 2C =0πC <<π3C =cos sin b b C B +ABC sin sin cos sin B B C C B +=π1cos 2sin 6C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<π3C =ABC π3C =2c =2222241cos 60222a b c a b ab ab +-+-︒===22()()4334a b a b ab ++-=≤⨯44a b -≤+≤0,0a b >>2a b c +>=24a b <+≤46a b c <++≤所以，周长.【小问3详解】在中，由（1），，在中，，解得，则或，则在中，有，或，所以或是直角三角形，在直角三角形中，，则 ，在直角三角形中，则 ，所以，19. 在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设.（1）求四边形的面积关于的函数解析式；（2）求四边形的面积的取值范围；（3）托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值.为ABC (4,6]ABC π3C =11sin 22ABC S ab C === 2ab =ABC c =2222212cos 232c a b ab C a b ab =+-=+-⨯=225a b +=21a b =⎧⎨=⎩12a b =⎧⎨=⎩ABC 222b c a +=222a c b +=ACD BCD △ACD 11,2AC AD AB ===CD ===BCD △11,2BC BD AB ===CD ===CD =AOB 2π3AOB ∠=10OA =P AB POA θ∠=OAPB S θOAPB S OA OB M N MNP △MNP △【答案】（1）， （2）（3【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及两角和差的正弦公式化简即可；（2）由（1）知：，，利用正弦函数性质求解；（3）由托勒密定理知：，在中，由余弦定理利用基本不等式求得，利用正三角形面积公式求解即可.【小问1详解】，；【小问2详解】因为，所以，所以，所以，即四边形的面积的取值范围为.【小问3详解】因为，由托勒密定理知：，化简得，在中，由余弦定理得：，当且仅当时取到最小值，的S π6θ⎛⎫=+⎪⎝⎭2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(S π6θ⎛⎫=+⎪⎝⎭2π0,3θ⎛⎫∈⎪⎝⎭10ON OM OP +==MNO 275MN ≥OPA OPB S S S =+ 22112πsin sin 223OA OA θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭2π50sin 50sin 3θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()50sin 25sin θθθ=++75sin θθ=+π6θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π1sin ,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(S ∈OAPB S (πMPN MON ∠+∠=OP MN MP ON NP OM ⋅=⋅+⋅10ON OM OP +==MNO 222222π2cos 3MN OM ON OM ON OM ON OM ON =+-⋅⋅=++⋅()()()()2222137544OM ON OM ON OM ON OM ON OM ON =+-⋅≥+-+=+=5ON OM ==所以时取等号.2MNP S MN =≥ 5ON OM ==。