下载文档原格式
甘肃省2016年高考理科数学试题及答案(Word版)甘肃省2016年高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（B）$(-1,3)$。
2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=\{0,1,2,3\}$。
3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=-8$。
4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=-\frac{2}{3}$。
5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与小红回合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（D）$9$。
6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（B）$24\pi$。
7.若将函数 $y=2\sin^2x$ 的图像向左平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为$x=k\pi$，其中 $k\in Z$。
8.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的。
执行该程序框图，若输入的 $x=2$，$n=2$，依次输入的 $a$ 为 $2$，$2$，$5$，则输入的 $s=17$。
9.若 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{4}{5}$，则$\sin2\alpha=-\frac{25}{27}$。
10.从区间 $[0,1]$ 随机抽取 $2n$ 个数$x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ 构成 $n$ 个数对$(x_1,y_1),\ldots$，其中两数的平方和小于 $1$ 的数对共有$m$ 个，则用随机模拟的方法得$(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ 到的圆周率 $\pi$ 的近似值为$\frac{4n^2}{4m^2+1}$。
2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0} C．{x|0＜x≤2} D．∅2．求z=的值为（）A．﹣i B．i C．D．3．如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．7．已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．5x2﹣=18．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=79．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π10．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．11．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．12．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．14．若实数x，y满足不等式组，则z=2y﹣|x|的最小值是．15．若（4+）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为．16．设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．18．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区500（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．19．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）当二面角G﹣EF﹣D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．20．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0} C．{x|0＜x≤2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A={x|0≤x≤2}，∵B={x|﹣4≤x≤0}，∴∁R B={x|x＜﹣4或x＞0}，则A∩（∁R B）={x|0＜x≤2}．故选：C．2．求z=的值为（）A．﹣i B．i C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：z==，则z的值为：﹣i．故选：A．3．如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，图中的直角三角形的斜边长为5且短直角边长为3，利用勾股定理算出长直角边长为4，从而得到小正方形的边长．最后利用几何概型计算公式，用小正方形的面积除以大正方形的面积，即得所求概率．【解答】解：∵大正方形靶盘的边长为5，即直角三角形的斜边等于5∴根据较短的直角边长为3，可得另一条直角边长为=4由此可得图中的小正方形的边长为4﹣3=1，∴阴影部分小正方形的面积为S=1×1=1∵大正方形的面积为S'=5×5=25∴飞镖落在阴影区域的概率为P==故选：A4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C5．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2．∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π．圆锥的侧面积为=4．∴几何体的表面积为96﹣4π+4．故选：C．7．已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．﹣y2=1B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．5x2﹣=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为⇔（1，0），∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，∵双曲线的离心率等于，∴e==，∴c=，∴b2=c2﹣a2=4，∴x2﹣=1，故选：B．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【考点】程序框图．【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．9．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．10．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．11．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．12．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出•的值．【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，则∠BAC=90°，由于E，F为BC的三等分点，则=﹣，=，，又有=，=，则=，=，又由AB=2，AC=1，故•==故答案为：．14．若实数x，y满足不等式组，则z=2y﹣|x|的最小值是﹣．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣|x|得y=|x|+z，平移y=|x|+z，由图象知当y=|x|+z经过点A时，z最小，此时z最小，由得，即A（﹣，0），此时z=﹣|﹣|=﹣，故答案为：﹣．15．若（4+）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为48．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，所以n=3，则二项展开式的通项为T r+1=•x﹣r=，令=0，得r=1，故二项展开式的常数项为×42=48．故答案为：48．16．设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1，n∈N*．【考点】数列递推式．【分析】根据递推关系，分别求出b1，b2，b3，b4的值，由此猜想b n=2n+1，并用数学归纳法证明即可．【解答】解：a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N，当n=1时，b1==4=22，a2==，当n=2时，b2==8=23，a3==，当n=3时，b3=||=16=24，a4==，则b3=32=24，由此猜想b n=2n+1，用数学归纳法证明，①当n=1时，成立，②假设当n=k时成立，即b k+1=2k+2，∵a k+1=，b k=||，∴b k+1=||=||=||=2b k=2k+2，故当n=k+1时猜想成立，由①②可知，b n=2n+1，n∈N*．故答案为：2n+1，n∈N*．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC•BAcosB，即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），由正弦定理得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，所以，由正弦定理得：．（其他方法相应给分）18．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区500（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X 的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如右图．…所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（2）男居民幸福的概率为：=0.5．女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6=0.3…因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3）于是…∴E（X）=np=4×0.3=1.2…19．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）当二面角G﹣EF﹣D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）F是PD的中点时，推导出AB∥平面EFG，从而得到平面PAB∥平面EFG，由此能证明AP∥平面EFG．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出FG与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB=B，∴平面PAB∥平面EFG，AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG．…（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则有G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设F（0，0，a），∴，，设平面EFG的法向量，则有，取z=1，得．又平面EFD的法向量，∵二面角G﹣EF﹣D的大小为时，∴cos＜＞=，解得a=1，∴，设平面PBC的法向量，∵，，则有，取q=1，得．设FG与平面PBC所成角为θ，则有sinθ=|cos＜＞|==，∴cosθ==．∴FG与平面PBC所成角的余弦值为．…20．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可求a，由=可求c，然后由b2=a2﹣c2可求b，进而可求椭圆方程（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m≠0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得，结合二次函数的性质可求t的范围【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）∴a=2∵=∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的标准方程：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）联立方程可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0由韦达定理得①∵∴|NA|=|NB|∴=∴将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2﹣2t）=0，将①代入得所以实数t21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ），，…①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…②a＞0，，函数h（x）的单调递增区间为，，函数h（x）的单调递减区间为…（Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，…考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，…2…由上表可知：，∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=，…所以满足条件的最大整数M=4；…（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，…记h（x）=x﹣x2lnx，所以a≥h max（x）又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0．记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增，记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，x∈（1，2]，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间（1，2]上递减，∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…∴a≥1…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果．（Ⅱ）利用上步的结论和割线定理求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角，则：△BDE∽△BCA．则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t解得：t=，即AD的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞4．（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，x=2是方程f （x ）=3x+4的解，即|2﹣a|+6=6+4，求得a=6，或 a=﹣2．检验可得结论．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f （x ）＞4，即|x ﹣2|+2|x+1|＞4，∴①，或 ②，或 ③．解①求得x ＜﹣，解②求得x ＞0，解③求得x ≥2，故原不等式的解集为{x|x ＜﹣，或 x ＞0}．（2）不等式f （x ）＜3x+4，即|x ﹣a|+2|x+1|＜3x+4，∵不等式f （x ）＜3x+4的解集是{x|x ＞2}，故x=2是方程f （x ）=3x+4的解，即|2﹣a|+6=6+4，求得a=6，或 a=﹣2．当a=6时，求得f （x ）＜3x+4的解集是{x|x ＞2}，满足题意；当a=﹣2时，求得f （x ）＜3x+4的解集不是{x|x ＞2}，不满足题意，故a=﹣2应该舍去． 综上可得，a=6．2016年6月24日。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作白银十中2016高考数学（理科）考前冲刺押题卷最后一卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =， {2,4,6}B =，则右图中的阴影部分表示的集合为 A ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2.如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21zz 的虚部为（ ） A ．25- B ．25i -C ．25D ．25i3．设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题：① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34. 1013x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中含x 的正整数指数幂的项有（ ）项.A ． 0B ． 2C ． 4D ． 65．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，B ＝45°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 6.曲线x xe y=在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则ba的值为（ ） A. e 21-B. e2- C. e 2 D. e 217．读右图所示程序 则最终输出结果为（ ）A ．1920B ．1920-C ．920 D ．920- 8.某四面体三对对棱（对棱即不相邻的两条棱）长度分别相等，依次为3,4,5.则此四面体外接球体积为 （ ） A ．25πB ．1256π C ．100π D ．5003π 9. 函数tan()42x y ππ=-(04)x <<的图象如图所示， A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数图象交于 ,B C 两点．则()OB OC OA +⋅=A ．23B ．4C ．163D ．8 10. 身高互不相同的6名同学，排队照相，站成2排3列，要求每一列前面的同学比其后的矮，则共有UAB1题图xyOABC9题图INPUT i ＝20S ＝0DO 1(1)S S i i -＝＋i ＝i 一1LOOP UNTIL i ＜2 PRINT S END排法（ ）种. A ．15 B ．36C ．90D ． 54011．设当x θ＝时，函数23f x cosx sinx （）＝－取得最小值，则tan θ等于( )A ．23 B ．－23 C ．－32 D ．3212.已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，()()1g x f x =+，即16n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前15项和为 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
白银十中2015—2016学年第一学期期中考试高三数学（理科）模拟试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={}|12x x <≤, Q={}2|20x x x +-≤ ,那么PQ 等于（ ）A ．∅ B.｛1｝ C.｛x ｜－2≤x ≤2｝ D.{x ｜1<x ≤2｝ 解析：Q={}|21x x -≤≤ 答案：A2. 已知复数 iiz -=1的共轭复数为（ ） A. i --1 B. i +1 C. i +-1 D. i -1解析：11iz i i-==-- 答案：C 3．若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为（ ） A ． B ．﹣C ．D ．﹣解答：∵角α的终边过点（﹣1，2）， ∴cos α==﹣，∴cos2α=2cos 2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：B ． 4. 若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>解析：0.50221a =>=，3330log 1log log 31π=<<=，222log sinlog 105π<=答案：A 5．已知△ABC 中,=a ,=b ,a ·b <0,S △ABC =,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角为( )A.30°B.120°C.150°D.30°或150°【解析】选C.S △ABC =||||sinA=|a ||b |sinA=×3×5sinA=,所以sinA=.又a ·b <0,所以A 为钝角,所以A=150°.6. 已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，则( )A ．p 是假命题，⌝p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1B ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题，⌝p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1解析 ∵f (x )＝(12)x 是R 上的减函数，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤f (0)＝1.∴p 为真命题，全称命题p 的⌝p 为：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1. 答案 C 7.已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( ) A.3312 B ．31 C.314 D ．以上都不正确 解析：设{a n }的公比为q ，q >0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2，q 2＋3q －10＝0， 解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 又a 2＝2， 则a 1＝1，所以S 5＝a 1－q51－q＝－251－2＝31.答案：B8．已知函数f （x ）=sin ωx （x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度解答：由函数f （x ）=sin ωx （x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，可得ω=2 则设将y=f （x ）的图象向左平行a 个单位得到函数的图象则即2a= ,解得a=故选C9．周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 答案：A10．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 () A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：D [由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0. 由(x 2－2x －3)f ′(x )>0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．] 11. 已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎦⎤π6，π C. ⎝⎛⎭⎫π3，23πD. ⎝⎛⎦⎤π3，π 解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x .∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，故选D. 12. 已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14]∪[4，＋∞)解析：C [将f (x )<12化为x 2－12<a x ，利用数形结合，分a >1和0<a <1两种情况求解．结合图象得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －1≥12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ≥12， 解得1<a ≤2或12≤a <1.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由曲线2y x =与曲线||y x =围成的平面区域的面积为 ·14．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则2a －3b 的模长为________．解析 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61. 答案6115．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是_________________.解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.16．已知函数f （x ）=﹣x 3+ax ﹣4（a ∈R ）若函数y=f （x ）的图象在点P （1，f （1））处的切线垂直于y 轴，则f(x)在[-2,2]上的最大值与最小值之和为___________．解答： ∵f （x ）=﹣x 3+ax ﹣4，∴f'（x ）=﹣3x 2+a ，∵函数y=f （x ）的图象在点P （1，f （1））处的切线垂直于y 轴， ∴﹣3+a=0， ∴a=3．∴f(x)在[-2,-1]单减，在[-1,1]单增，在[1,2]单减．∴最大值为f(-2)=f(1)=-2 最小值为f(-1)=f(2)=-6 答案：-8 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．已知函数)12(sin 2)62sin(3)(2ππ---=x x x f .(Ⅰ)求函数)(x f 的周期及增区间； (Ⅱ)若 312ππ≤≤-x ，求函数)(x f 的值域.解：(Ⅰ) ∵ )12(sin 2)62sin(3)(2ππ---=x x x f =1)62cos()62sin(3--+-ππx x=21)]62cos(21)62sin(23[--+-ππx x =12sin 2-x ………… 4分 ∴ π=T ……………………… 5分 ∵ ππππk x k 22222+≤≤+- ∴ ππππk x k +≤≤+-44∴ 增区间为 ]44[ππππk k ++-， …………… 8分(Ⅱ) ∵ 312ππ≤≤-x ∴ 3226ππ≤≤-x∴ 12≤≤-y ∴ 值域为 }12|{≤≤-y y ………………… 12分18. 已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n .求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 由已知a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4， 即a 1＋a 2＝4p ＋4，∴a 2＝3p ＋2，由已知a 2－a 1＝2，∴p ＝1，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明 在等比数列{b n }中，b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， ∴q ＝b 4b 3＝3，由b 3＝b 1·32，即3＝b 1·32，解得b 1＝13. ∴{b n }是以13为首项，3为公比的等比数列，∴T n ＝13（1－3n ）1－3＝16·(3n －1)，即T n ＋16＝16·3n ＝12·3n －1，又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解(1)由题意得a(sin A－sin B)＋b sin B＝c sin C，由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，结合0<C<π，得C＝π3.(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，从而得a＝b＝3，所以△ABC的面积S＝12×32×sinπ3＝934.20. “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目．经测算，该项目处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数可以近似的表示为：，且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴．（1）当x∈[200，300）时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获得，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？分析：（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．解答：解：（1）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则S=200x﹣（x2﹣200x+80000）=﹣（x﹣400）2，∴当x∈[200，300）时，S＜0，因此，该项目不会获利当x=300时，S取得最大值﹣5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（2）由题意知，食品残渣的每吨的平均处理成本为①当x∈[120，144）时，，∴当x=120时，取得最小值240；②当x∈[144，500）时，当且仅当，即x=400时，取得最小值200∵200＜240∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式．21. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝12，a n＋1＝n＋12n a n.(1)证明：数列{a nn}是等比数列；(2)求通项a n与前n项的和S n.(1)证明因为a1＝12，a n＋1＝n＋12n a n，当n∈N*时，a nn≠0.又a11＝12，a n＋1n＋1∶a nn＝12(n∈N*)为常数，所以{a nn}是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由{a nn}是以12为首项，12为公比的等比数列，得a nn＝12×(12)n－1，所以a n＝n×(12)n.∴S n＝1·(12)＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n·(12)n，12S n＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n－1)(12)n＋n·(12)n＋1，∴12S n＝(12)＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n－n·(12)n＋1＝12－(12)n＋11－12－n·(12)n＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n＝2－(n ＋2)·(12)n .综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n .22. 已知函数f （x ）=（2﹣a ）lnx++2ax （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=0时，求f （x ）的极值；（Ⅱ）当a ＜0时，求f （x ）单调区间；（Ⅲ）若对任意a ∈（﹣3，﹣2）及x 1，x 2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a ﹣2ln3＞|f （x 1）﹣f （x 2）|成立，求实数m 的取值范围．考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题： 计算题；分类讨论；转化思想．分析： （Ⅰ）当a=0时，f （x ）=2lnx+，求导，令f ′（x ）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a ＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f （x ）单调区间； （Ⅲ）若对任意a ∈（﹣3，﹣2）及x 1，x 2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a ﹣2ln3＞|f （x 1）﹣f （x 2）|成立，求函数f （x ）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m 的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）依题意知f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f （x ）=2lnx+，f ′（x ）=﹣=，令f ′（x ）=0，解得x=， 当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0；当x ≥时，f ′（x ）＞0又∵f （）=2﹣ln2∴f （x ）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f ′（x ）=﹣+2a=当a ＜﹣2时，﹣＜，令f ′（x ）＜0 得 0＜x ＜﹣或x ＞， 令f ′（x ）＞0 得﹣＜x ＜； 当﹣2＜a ＜0时，得﹣＞，令f ′（x ）＜0 得 0＜x ＜或x ＞﹣， 令f ′（x ）＞0 得＜x ＜﹣；当a=﹣2时，f ′（x ）=﹣≤0，综上所述，当a ＜﹣2时f （x ），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）； 当a=﹣2时，f （x ）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a ＜0时，f （x ）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a ∈（﹣3，﹣2）时，f （x ）在区间[1，3]上单调递减， 当x=1时，f （x ）取最大值； 当x=3时，f （x ）取最小值；|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （1）﹣f （3）=（1+2a ）﹣[（2﹣a ）ln3++6a]=﹣4a+（a ﹣2）ln3， ∵（m+ln3）a ﹣ln3＞|f （x 1）﹣f （x 2）|恒成立， ∴（m+ln3）a ﹣2ln3＞﹣4a+（a ﹣2）ln3整理得ma ＞﹣4a ，∵a ＜0，∴m ＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a ＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m ≤﹣点评： 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。
白银十中2016—2017学年第一学期高三年级第一次月考数学(理科)试题出题人：田学礼 审题人：王开泰第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则下图中的阴影部分表示( )A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4,5} 2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的是( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x)2C ．y ＝lg 10xD ． 2log 2x y =3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为 ( )A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =4. 给出以下四个判断，其中正确的判断是 ( )A ．函数f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的充分不必要条件B ．命题“若x≥4且y≥2，则x ＋y≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”C ．若p ：∂0x ≥ ，x 2－x ＋1>0，则¬p ：∀x<0，x 2－x ＋1≤0D ．己知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝15．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ，则方程1()2f x =的解集为（ ） A． B． C．{ D． 6. 如图给出了函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2的图象，则与函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2依次对应的图象是 ( )A ．①②③④B ．①③②④C ．②③①④D ．①④③②7. 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x>0，都有1(2)()f x f x +=-，且当x ∈[0,2)时f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(2 015)＋f(2 016)的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．18. 定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x ，f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()9．函数2()(1)1f x x f x '=--+在x=1处的切线方程为（ ）A. 4y x =-+B. 3y x =C. 33y x =-D. 39y x =-10.已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数()y f x '＝的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：①函数f(x) 在x=0，4处取到极大值；②函数f(x)在区间[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1＜a ＜2时，函数y ＝f(x)－a 不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是（ ）A.①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④11.函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)＝f(2－x)，当(1,)x ∈+∞时，()()10x f x '<－，设352a=f(),b=f 22(),c=f(5)log log log ，则( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c12. 设函数2sin 20()20a x x f x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（其中a ∈R ）的值域为S ，若[1，+∞）⊆S ，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，）B ．[1，]∪（，2]C ．（﹣∞，）∪[1，2]D ．（，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．函数f(x)＝ 1－2log 6x 的定义域为________． 14．已知函数()()21()0,1m f x log x m m =-+>≠且的图象恒过点P,且点P 在直线1,,ax by a b R +=∈上,那么ab 的最大值为____________________.15. 已知a≥0，函数f(x)＝(x 2－2ax)e x ，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________.16. 设函数f(x)＝e 2x 2＋1x ，g(x)＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g(x 1)k ≤f(x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知()f x xlnx ＝.(1)求曲线f(x)在x e =处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 3＋cx ＋d(a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；19.（本小题满分12分）设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a>0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象(二次函数图象的一部分),如图所示,请根据图象:(1)画出函数()f x 在y 轴右边的图像并写出函数()()f x x R ∈的解析式.(2)若函数()()[]2()2,1,2g x f x ax x =-+∈（a R ∈为常数），求函数()g x 的最小值及最大值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若方程()0f x m -=有三个不同的的解，求m 的取值范围（用a 表示）。
甘肃省2016年高考理科数学试题及答案（Word 版）（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算 法的。
执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（111F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32 （C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
白银十中2016—2017学年第一学期高三年级期中考试数学(理科)试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U ＝R ，A ＝{x |y=lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝cos x }，则图中阴影部分表示的区间是 ()A ．[1,2)-B ． (1,2)-C ．()[)12∞∞－，－，＋D ．(][)12∞∞－，－，＋2. 若点P 在43π-角的终边上，且P 的坐标为(1,)y -，则y 等于( )A.B.C. 3-D. 33．给出以下四个判断，其中正确的判断是 ( )A ．命题p ：R α∃∈，使幂函数y x α=图象经过第四象限；命题q ：在锐角ABC ∆中，sin cos A B >，则p q ∧为真B ．命题：“正切函数y ＝tan x 在定义域内为增函数”的逆否命题为真C ．在区间(,)a b 连续的函数()f x ，()()0f a f b ⋅<是()f x 在区间(,)a b 内有零点的充要条件D ．命题p ：函数f (x )＝x 2－2x 仅有两个零点，则p ⌝是真命题 4. 一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦长AB=（ ）.A. 2B. 2sin 1C. 2sin 2D. sin 1 5.已知(,)2παπ∈，1sin()123=πα+，则7sin()12=πα+( )A ．13- B.13C. 3-D. 36. 关于函数tan(2)3y x π=-，下列说法正确的是 ( )A ．最小正周期为πB ．是奇函数C. 在区间15(,)1212ππ-上单调递减 D ．5(,0)12π为其图象的一个对称中心 7.已知1x =⎰， 1.12x e -=(其中e 为自然对数的底数)，实数3x 满足3231lg x x =，则123,,x x x 的大小关系为（ ）A. 123x x x >>B. 213x x x >>C. 321x x x >>D. 312x x x >>8. 把函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f (x )的图象，则函数y=f (x )的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为（ ）A.B.C.D.9. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴正方向滚动．设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，设()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域为S,则直线x t =从04t t ==到所匀速移动扫过区域S 的面积D 与t 的函数图象大致为（ ）A BC D10. 已知函数22()220x x f x x ax a x ⎧<=⎨-+≥⎩的图像上恰好有两对关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,0)(4,)-∞+∞C ．(0,4)D ．(,0)-∞11.函数3211()22132f x ax ax ax a =+-++图象经过四个象限的必要而不充分条件是（ ）A.3134-<<-a B. 02<<-a C.16356-<<-a D. 211-<<-a 12. 设函数()()f x x R ∈满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-，且当x ∈[0，1]时，3()f x x =.又函数()|cos()|g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在3[1,]2-上的零点个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最终答案填在题中的横线上） 13．函数2()2y x f x x ==-与围成的封闭图形的面积为_____________. 14．已知3sin cos ,52ααπαπ-=-<<，则tan α=________________. 15. 函数()f x 是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()0cos f x x<的解集为________.16. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()0f x >，()()()f x f y f x y ⋅=+，且1(1)2f =，当(0,)x ∈+∞时()1f x <，关于x 的不等式()(2)40x f a f xe ⋅--->(其中e 为自然对数的底数)恒成立，则实数a 的取值范围为__________________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）(1) .计算：3162224()[(2)]lg 0.42lg 0.514log 9-+----⨯(2) .已知(sin ,cos )P αα在直线12y x =，求co s ()s i n ()2s i n c o s11cos()sin()22+παπαααπαπα-++-++的值.18. （本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间3[,]44ππ上的最大值和最小值.19. （本小题满分12分）已知函数32()f x x bx cx =++在1x =处的切线方程为1210x y +-=.（1）求,b c 的值；（2）若方程()0f x m -=有三个解，求m 的取值范围。
白银十中2016高考数学（理科）考前冲刺押题卷（五）时间120分钟，满分150分。
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}0,)21(|{},4log |{2<==<=x y y N x x M x，则()R M C N =A 、（0,1］B 、［0,1）C 、（1,2） ｃ、［1,2）2.复数21ii+的共轭复数为 A.1+i B.-1+i C.-1-i D.1-i3.下列说法错误的是( )A ．在∆ABC 中，a b >是sin sin AB >的充要条件B ．命题：“在锐角∆ABC 中，sin cos A B >”为真命题 C ．若p ：∃0x ≥，x 2－x ＋1>0，则¬p ：∀x <0，x 2－x ＋1≤0 D ．已知命题p ：∃ϕ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：∀x ∈R ，cos2x ＋4sin x －3＜0，则“p ∧(¬q )”为真命题4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为() A ．11B ．12C ．13D ．145.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()111,01,1,0011,0,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为6.执行下图所示的程序框图，若p ＝1112，则输出的n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．37．将函数sin()6y x π=+图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（） A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π=D ．4x π=8.凸四边形OABC 中，(24)(21)OB AC ==-，，，则该四边形的面积为 A.5B.25C.5D.109.已知圆C 的圆心在射线()20y x x =≥上，且与x 轴相切，被y 轴所截得的弦长为23，则圆C 的方程是A.()222(4)20x y -+-= B.()222(4)16x y -+-=C.()221(2)1x y -+-= D.()221(2)4x y -+-=10.过抛物线的焦点F 的直线，交抛物线于A,B 两点，交准线于C 点，若2,,AF FB CF FB λ==，则λ=A.－4B.－3C.－2D.－111.已知函数()x x f x+=2,()x x x g +=3log ,()xx x h 1-=的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c12.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，12F F ，是焦点，1PF 与渐近线平行，1290F PF ∠=则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知（2x ﹣）n 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．14.设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为 。
白银十中2016高考数学（理科）考前冲刺押题卷（五）白银十中2016高考数学，理科，考前冲刺押题卷，五，时间120分钟,满分150分。
考生注意,本试卷分第?卷,选择题,和第?卷,非选择题,两部分,满分150分,考试时间为120分钟,其中第?卷22题,24题为选考题,其它题为必考题,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回, 注意事项,1,答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内,2,选择题必须用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0,5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚,3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效,4,保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀,第?卷，选择题共60分，一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1xM,{x|logx,4},N,{y|y,(),x,0}2MCN:,，，R21.已知集合,则A、，0,1,B、,0,1，C、，1,2， :、,1,2，2i1，i2.复数的共轭复数为1+i-1+i-1-i1-iA. B. C. D.3. 下列说法错误的是( )ab,sinsinAB,,A,在ABC中,是的充要条件sincosAB,,B,命题,“在锐角ABC中,”为真命题22x,0,C,若p,? ,x,x，1>0,则?p,?x<0,x,x，10,D,已知命题p,??R,使f(x),sin(x，φ)为偶函数,命题q,?x?R,cos 2x，4sin x,3,0,则“p?(?q)”为真命题4. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840[]随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为( )A(11 B(12 C(13 D(1411,,,,1,01,1,0011,0,1，，，，，，，，，,,,,Oxyz,22,,,,5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面yOz体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为6. 执行下图所示的程序框图，若p,，则输出的n,( )A,4 B,5C,6 D,3,1,yx,，sin()6327(将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为( ) ,,,,x,,x,,,,xx2484A( B( C( D(,,,,,,,,OBAC,,,(24)(21)，，，8.凸四边形OABC中,则该四边形的面积为525A. B. C. 5 D. 10yxx,,20，，y23xCC9. 已知圆的圆心在射线上，且与轴相切，被轴所截得的弦长为，则圆的方程是2222xy,，,,2(4)16xy,，,,2(4)20，，，，A. B.2222xy,，,,1(2)1xy,，,,1(2)4，，，，C. D.10.过抛物线的焦点F的直线,交抛物线于A,B两点,交准线于C点,若,,,,,,,,,,,,,,,,AFFBCFFB,,2,,,,,,则A. ,4B. ,3C. ,2D. ,11，，hx,x,x，，gx,logx，x，，fx,2，x3x11. 已知函数,,的零点依次为a，b，c，则A(a,b,c B.c,b,a C.c,a,b D.b,a,c 22xy,,,,1(0,0)ab,22FF，PF，,FPF9012112ab12.P是双曲线上的一点,是焦点,与渐近线平行,则双曲线的离心率为352A. B. C. 2 D.第?卷，非选择题共90分，本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.n13. 已知，2x,，展开式的二项式系数之和为64,则其展开式中常数项是 , ,4,yx,，，sin()2,,33,,014. 设,函数的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值为。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作白银十中2016高考数学（理科）考前冲刺押题卷最后一卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =， {2,4,6}B =，则右图中的阴影部分表示的集合为 A ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2.如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21zz 的虚部为（ ） A ．25- B ．25i -C ．25D ．25i3．设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题：① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34. 1013x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中含x 的正整数指数幂的项有（ ）项.A ． 0B ． 2C ． 4D ． 65．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，B ＝45°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 6.曲线x xe y=在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则ba的值为（ ）A. e 21-B. e2- C. e 2 D. e 217．读右图所示程序 则最终输出结果为（ ）A ．1920B ．1920-C ．920 D ．920- 8.某四面体三对对棱（对棱即不相邻的两条棱）长度分别相等，依次为3,4,5.则此四面体外接球体积为 （ ） A ．25πB ．1256π C ．100π D ．5003π 9. 函数tan()42x y ππ=-(04)x <<的图象如图所示， A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数图象交于,B C 两点．则()OB OC OA +⋅=A ．23B ．4C ．163D ．8 10. 身高互不相同的6名同学，排队照相，站成2排3列，要求每一列前面的同学比其后的矮，则共有UAB1题图xyOABC9题图INPUT i ＝20S ＝0DO 1(1)S S i i -＝＋i ＝i 一1LOOP UNTIL i ＜2 PRINT S END排法（ ）种. A ．15 B ．36C ．90D ． 54011．设当x θ＝时，函数23f x cosx sinx （）＝－取得最小值，则tan θ等于( )A ．23 B ．－23 C ．－32 D ．3212.已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，()()1g x f x =+，即16n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 16第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
白银十中2016高考数学（理科）考前冲刺押题卷最后一卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =， {2,4,6}B =，则右图中的阴影部分表示的集合为 A ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2.如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21zz 的虚部为（ ） A ．25-B ．25i -C ．25D ．25i 3．设m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，下列四个命题：① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ② m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；③ m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥； ④m m n n αβαβ⊂⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭∥∥ 正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34. 1013x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中含x 的正整数指数幂的项有（ ）项.A ． 0B ． 2C ． 4D ． 65．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，B ＝45°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 6.曲线x xe y=在点（1，e ）处的切线与直线0ax =++c by 垂直，则ba的值为（ ）A. e 21-B. e2- C. e 2 D. e 217．读右图所示程序 则最终输出结果为（ ）A ．1920B ．1920-C ．920 D ．920- 8.某四面体三对对棱（对棱即不相邻的两条棱）长度分别相等，依次为3,4,5.则此四面体外接球体积为 （ ） A ．25πB ．1256π C ．100π D ．5003π UAB1题图yBINPUT i ＝20S ＝0DO 1(1)S S i i -＝＋i ＝i 一1LOOPUNTILi ＜2 PRINTS END9. 函数tan()42x y ππ=-(04)x <<的图象如图所示， A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数图象交于,B C 两点．则()OB OC OA +⋅=A ．23B ．4C ．163D ．810. 身高互不相同的6名同学，排队照相，站成2排3列，要求每一列前面的同学比其后的矮，则共有排法（ ）种. A ．15 B ．36C ．90D ． 54011．设当x θ＝时，函数23f x cosx sinx （）＝－取得最小值，则tan θ等于( )A ．23 B ．－23 C ．－32 D ．3212.已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，()()1g x f x =+，即16n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前15项和为A. 13B. 14C. 15D. 16第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
甘肃省2016 年初中毕业暨高中招生考试数学·猜押卷（考试时间：120 分卷面分值：120 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分.每小题只有一个正确选项，将正确选项填入题后的括号内.4 1. -54 A. -5的倒数是（）4B.55 5C. -D.4 42. 2015 年春运期间，全国有23.2 亿人次进行东西南北大流动，用科学记数法表示23.2 亿是（）A．23.2×108 B．2.32×109 C．232×107 D．2.32×1083. 已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°，则∠β的度数为（）A．20°B．160°C．20°或160°D．70°4.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）第4 题图A. B ．C ．D ．5.下列计算正确的是（）A. 4 - 2 =2B. 20= 102C. 2 ⋅ 3 =6D. （- 3）2 = -36.倡导节约，进入绿色，节约型社会，在食品包装、街道、宣传标语上随处可见节能、回收、绿色食品、节水的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7. 为执行“均衡教育”政策，某县2014 年投入教育经费2500 万元，预计到2016 年底三年累计投入1.2 亿元．若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2=1.2B．2500（1+x）2=12000 C．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=1.2 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=120008. 如图，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的中点，AC、BE 相交于点F，则S△AEF：S△CBF= （）第8 题图A．1 ：4 B．1 ：2 C．1 ：9 D．4 ：19. 已知抛物线y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＞1；④b＞1．其中正确的结论是（）2第9 题图A．①②B．②③C．③④D．②④10. 如图，P 是⊙O 外一动点，PA、PB、CD 是⊙O 的三条切线，C、D 分别在PA、PB 上，连接OC、OD．设∠P 为x°，∠COD 为y°，则y 随x 变化的函数关系图象为（）第10 题图A.B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分.将答案写在题中横线上.11.分解因式：6x3y-12xy2+3xy=.12.化简x +x - 222 - x的结果是.13.已知一个等腰三角形两边长分别是6 和5，那么它的周长为.14.若x=2 是一元二次方程x2+2x+a=0 的一个根，那么a = .15.如图，△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，边AC 与DB 相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是．（写出一种情况即可）第15 题图16. 若x，y 为实数，且x - 2 + ( y +1)2 = 0 ，则x - y 的值是.17.如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S△PAB=5，S△P AD=2，则阴影部分的面积为..第17 题图18. 有一组等式：12＋22＋22＝3222＋32＋62＝7232＋42＋122＝13242＋52＋202＝212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8 个等式为.三、解答题（一）：本大题共5 小题，共26 分.解答应写出必要的文字证明过程或演算步骤.19（4 分）.计算：（-1）2015 +（1）-3 +（cos76︒ -5）0 + 3 - 2sin60︒ .2 π20. （4 分）对x，y 定义一种新运算T，规定：T（x，y）= ax + by2x + y（其中a、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==-2，T（4，2）=1．（1）求a，b 的值；（2）若T（m，m+3）=-1，求m 的值．a ⨯ 0 + b ⨯12 ⨯ 0 +1=b．已知T（1，-1）21.（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°．（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线交AB 于D，交AC 于E；（2）求证：BE 平分∠ABC.第21 题图22.（6 分）如图1 所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB 与CD 交于点O（点O 固定），灯罩连杆CE 始终保持与AB 平行，灯罩下方FG 处于水平位置，测得OC=20 cm，∠COB=70°，∠F=40°，EF=EG，点G 到OB 的距离为12 cm．（1）求∠CEG 的度数．（2）求灯罩宽度FG 的长（结果精确到0.1 cm，可用科学计算器）．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin70°≈0.940，cos70°≈0.342）第22 题图23.（6 分）有A、B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1 和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-2，-3 和-4．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q 的一个坐标为（x，y）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标；（2）求点Q 落在直线y=-x-2 上的概率.四、解答题（二）：本大题共5 小题，共40 分.解答应写出必要的文字证明过程或演算步骤.24.（7 分）对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩按A、B、C、D 四个等级进行了评定．现将抽取学生的成绩评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：根据上述信息完成下列问题：（1）这次抽取的样本的容量为；图①中“D 级”对应的扇形圆心角度数为. （2）请在图②中把条形统计图补充完整；（3）已知该校九年级共有学生750 名，请你估计体能达到A 级和B 级的共约有多少人．第24 题图k 25.（7 分）已知双曲线y=xk 和直线AB 的图象交于点A（-3，4），AC⊥x 轴于点C．（1）求双曲线y= 的解析式；xk（2）当直线AB 绕着点A 转动时，与x 轴的交点为B（a，0），并与双曲线y= 另一支还x有一个交点的情形下，求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式，并指出a 的取值范围．第25 题图26.（8 分）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AD=10 cm，BC=30 cm，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F．第26 题图（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积.27.（10 分）如图，以AB 为直径作半圆O，点C 为半圆上与A，B 不重合的一动点，过点C 作CD⊥AB 于点D，点E 与点D 关于BC 对称，BE 与半圆交于点F，连接CE．（1）判断CE 与半圆O 的位置关系，并给予证明．（2）点C 在运动时，四边形OCFB 的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC 的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．第27 题图28.（10 分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=- 3x+6 与x 轴、y 轴的交分4别为A、B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C．第28 题图（1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T，Q 为线段BT 上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围．参考答案：一、1. C2.B3. C4. A5. C6. C7. D8. A9. B 10.B二、11. 3xy （2x 2-4y +1）12. 113. 17 或 1614. -815. ∠ABC =∠DCB （答案不唯一） 16.317. 318. 82＋92＋722＝732三、19. 解：原式=-1+8+1+0=820. 解：（1）根据题中的新定义得：T （1，-1）= 4a + 2ba -b 2 -1=a -b =-2①，T （4，2）=8 + 2=1，即 2a +b =5②，①+②得：3a =3，即 a =1，把 a =1 代入①得：b =3；（2）根据题中的新定义得：T （m ，m +3）=m + 3m + 9 4m + 9-1解得：m =-12，7经检验 m =-12 是分式方程的解.7（1）解：如答图所示：第 21 题答图（2）证明：∵AB =AC ，∠A =36°， ∴∠ABC = 1×（180°-∠A ）=72°，2∵DE 垂直平分 AB ， ∴EA =EB ，∴∠ABE =∠A =36°= 1∠ABC ，22m + m + 3 3m + 3即 BE 平分∠ABC .21. 解：（1）∵EF=EG，∠F=40°，∴∠G=40°，∠FEG=180°-∠F-∠G=100°，∵灯罩连杆CE 始终保持与AB 平行，灯罩下方FG 处于水平位置，360︒ - ∠FEG∴∠CEG=∠CEF= = 130︒ ．2（2）如答图所示，延长FG 交AB 于点N，过点E 作EM⊥AB 于点M，延长CE 交FG 于点H．第22 题答图∵CE∥AB，FG 处于水平位置，EM⊥AB，∴四边形CHNM 为长方形，CH⊥FG，∴CM=HN．在Rt△OMC 中，OC=20 cm，∠COM=70°，∠OMC=90°，∴CM=OC·sin∠COM ≈20×0.940=18.8（cm），∵GN=12 cm，HN=CM，∴HG=CM-GN=6.8（cm）．∵EF=EG，CH⊥FG，1∴FH=HG=FG，2∴FG=2×6.8=13.6（cm）．答：灯罩的宽度为13.6 cm. 23.解：（1）画树状图得（如答图所示）：∴点Q 的所有可能坐标为：（1，-2），（1，-3），（1，-4），（2，-2），（2，-3），（2，-4）；第23 题答图（2）点Q 落在直线y=-x-2 上的有（1，-3）与（2，-4），2 1∴点Q 落在直线y=-x-2 上的概率为：= .6 324. 解：（1）根据题意得： 2420%=120（人），则这次抽取的样本的容量为 120； 48B 所占的百分比是：120×100%=40%，D 所占的百分比是 1-20%-40%-30%=10%， 则图①中“D 级”对应的扇形圆心角度数为：360°×10%=36°； 故答案为：120，36°；（2）C 级的人数是：120×30%=36 人， D 级的人数是：120×10%=12（人）， 补图如答图所示：第 24 题答图（3）根据题意得：750×（20%+40%）=450（人）， 答：估计体能达到 A 级和 B 级的共约有 450 人.k 25. 解：（1）将点 A （-3，4）代入反比例函数的解析式 y = ，xk得 4=3 ，解得 k =-12，12 所以双曲线的解析式为 y =-；x（2）∵AC ⊥x 轴于点 C ，A （-3，4）， ∴C （-3，0），AC =4， ∴BC =a -（-3）=a +3，1 ∴S =2 1BC •AC = 2 （a +3）×4=2a +6，k 即 S =2a +6．∵当直线 AB 绕着点 A 转动时，与 x 轴的交点为 B （a ，0），并与双曲线 y = 另x一支还有一个交点， ∴a ＞-3.26. （1）证明：∵∠A =∠ABC =90°， ∴BC ∥AD ，⎨∠∴∠CBE =∠DFE ，⎧∠CBE = ∠DFE , 在△BEC 与△FED 中， ⎪⎪BEC = ∠FED , ⎩CE = DE ,∴△BEC ≌△FED （AAS ），第 26 题答图 ∴BE =FE ， 又∵E 是边 CD 的中点， ∴CE =DE ， ∴四边形 BDFC 是平行四边形；（2）解：分三种情况：①BC =BD =30 cm 时，由勾股定理得，AB = BD 2 - AD 2 = 302 -102 = 20 2 （cm ），∴四边形 BDFC 的面积=30×20 2 =600 2 （cm 2）； ②BC =CD =30 时，过点 C 作 CG ⊥AF 于 G ，如答图所示： 则四边形 AGCB 是矩形， ∴AG =BC =30，∴DG =AG -AD =30-10=20，由勾股定理得，CG = CD 2 - DG 2 = 302 - 202 = 10 5 ，∴四边形 BDFC 的面积=30×10 5 =300 5 ；③BD =CD 时，BC 边上的中线应该与 BC 垂直，从而得到 BC =2AD =2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形 BDFC 的面积是 600 2 cm2 或 300 5 cm2. 27.（1）解：CE 是圆 O 的切线．理由如下： 连接 OC ，如答图所示，则 OC =OB ，第 27 题答图 ∴∠OCB =∠OBC ． ∵点 E 与点 D 关于 BC 对称， ∴∠BCE =∠BCD ． 又 CD ⊥AB ，∴∠BCD +∠OBC =∠BCE +∠OCB =90°，即∠OCE =90°， 又∵点 C 在半圆 O 上， ∴CE 是圆 O 的切线．（2）解：可以，此时∠AOC =60°．理由如下： 连接 OF ，如答图所示． ∵∠AOC =60°，∴∠OBC =∠OCB =30°． ∵点 E 与点 D 关于 BC 对称， ∴∠CBF =∠OBC =30°， ∴∠COF =60°， ∴∠OBF =60°， ∵OC =OF =OB ，∴△COF 与△BOF 为等边三角形， ∴OC =CF =FB =OB ， ∴四边形 OCFB 是菱形. 28. 解：（1）点 C 的坐标为（3，0）． ∵点 A 、B 的坐标分别为 A （8，0），B （0，6）， ∴可设过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为 y =a （x -3）（x -8）． 将 x =0，y =6 代入抛物线的解析式， 1得 a = ．41 ∴过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为 y = 411 x 2-x +6．411 11 25 （2）可得抛物线的对称轴为直线 x =，顶点 D 的坐标为( 2， - )，216设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G ． 直线 BC 的解析式为 y=-2x+6. 设点 P 的坐标为（x ，-2x +6）．解法一：如答图①，作OP∥AD 交直线BC 于点P，连接AP，作PM⊥x 轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．25∴PM=DG，即OM GA- 2x + 6=x168 -11216，解得x=7 16经检验x=7是原方程的解．16 10此时点P 的坐标为( ，)．7 716 5 但此时OM = ，GA =7 ，OM＜GA．2∵OP =OMcos ∠POM，AD =GAcos ∠GAD，∠POM =∠GAD ，∴OP＜AD，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴直线BC 上不存在符合条件的点P.第28 题答图①解法二：如答图②，取OA 的中点E，作点D 关于点E 的对称点P，作PN⊥x 轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．OA由OE ==4 ，可得E 点的坐标为（4，0）．23 NE=EG=25，ON=OE-NE=225 ，NP=DG= ．16∴点P 的坐标为(5 5 25，)．2 165 25∵x=2时，-2 x+6=-2 ×+6=1 ≠，2 16∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P．第28 题答图②（3）|QA-QO|的取值范围是0 ≤ QA - QO ≤ 4 .如答图③所示，当Q 在OA 的垂直平分线上与直线BC 的交点时，（如点K 处），此时OK=AK，则|QA-QO|=0，当Q 在AH 的延长线与直线BC 交点时，此时|QA-QO|最大，3直线AH 的解析式为：y=- - x+6，直线BC 的解析式为：y=-2x+6，4联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA-QO|=4，∴|QA-QO|的取值范围是：0≤|QA-QO|≤4．第28 题答图③。
2016甘肃高考理科数学试卷及答案（完整版）甘肃高考理科
数学试卷及答案
积极的是你的心情，从容的是你的笔尖，满满的是你的信心，闪亮的是你的成绩，默默的是我的祝福，又是一年高考时，无论如何，祝金榜题名!高考频道第一时间为您提供2016甘肃高考理科数学试卷及答案(完整版)，让各位考生明明白白的面对未来。
届时查看请关注的高考相关信息，建议您收藏本网站(按ctrl D即可)。
更多甘肃高考分数线、甘肃高考成绩查询、甘肃高考志愿填报、甘肃高考录取查询信息等信息请关注我们网站的更新!。
2016年甘肃省白银十中高考数学押题卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数 z1，z2，则=（）A．﹣2iB．2iC．2D．﹣22．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆AC．A∩B={0，1}D．A⊆B3．已知{a n}为正项等比数列，S n是它的前n项和．若a1=16，且a4与a7的等差中项为，则S5的值（）A．29B．31C．33D．354．在△ABC中， =， =， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．﹣5．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A． B． C． D．6．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B． C． D．67．若双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线离心率为（）A． B．3C． D．8．执行如图的程序框图，若输入x=1，则输出的S=（）A．21B．37C．57D．629．已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，则△ABC的面积为（）A．6B．12C．5D．1010．已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．8πB．12πC．16πD．20π11．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为（）A． B． C． D．12．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A （x0，y0）处的切线方程为=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1： =1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点．点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（）A． B． C． D．2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．数列{a n}的通项公式a n=，它的前n项和为S n=9，则n= ．14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人．15．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（5，0）．则sin∠A=．16．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，给出下列五个结论：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．19．今年柴静的《穹顶之下》发布后，各地口罩市场受其影响生意火爆．A市虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25%的市民表示会购买口罩．现将频率视为概率，解决下列问题：（1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取4位，X表示愿意购买口罩的市民人数，求X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G（1）证明：B、C、D、G四点共圆（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=，OH=，求CD•CA的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．[选修4-5不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2016年甘肃省白银十中高考数学押题卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数 z1，z2，则=（）A．﹣2iB．2iC．2D．﹣2【分析】由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆AC．A∩B={0，1}D．A⊆B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知{a n}为正项等比数列，S n是它的前n项和．若a1=16，且a4与a7的等差中项为，则S5的值（）A．29B．31C．33D．35【分析】设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：设正项等比数列的公比为q，则a4=16q3，a7=16q6，a4与a7的等差中项为，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（负值舍去），则有S5===31．故选B．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．4．在△ABC中， =， =， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．﹣【分析】用表示出，则．【解答】解：∵=，∴=，∵=，∴=．∴=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．5．数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A． B． C． D．【分析】根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论．【解答】解：由递推数列可得，a1=，a2=2a1﹣1=2×﹣1=，a3=2a2=2×=，a4=2a3=2×=，a5=2a4﹣1=2×﹣1=，…∴a5=a1，即a n+4=a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2015=a503×4+3=a3=，故选：B【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据递推关系得到数列{a n}是周期为4的周期数列是解决本题的关键．6．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B． C． D．6【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力．7．若双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线离心率为（）A． B．3C． D．【分析】根据双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，求出m，从而可得a，c，利用双曲线离心率为e=，尽快得出结论．【解答】解：∵双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，∴|m|==a，∴=，∴双曲线离心率为e===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．执行如图的程序框图，若输入x=1，则输出的S=（）A．21B．37C．57D．62【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的t，S，x的值，当x=4时，满足条件x＞3，退出循环，输出S的值为37．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1，S=0不满足条件x＞2，t=3，S=3，不满足条件x＞3，x=2不满足条件x＞2，t=9，S=12，不满足条件x＞3，x=3满足条件x＞2，t=9，S=21，不满足条件x＞3，x=4满足条件x＞2，t=16，S=37，满足条件x＞3，退出循环，输出S的值为37．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的t，S，x的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，则△ABC的面积为（）A．6B．12C．5D．10【分析】由已知可求A，B为锐角，sinA，sinB的值，从而可求sinC=sin（A+B）=1，角C 为直角，即可求得AC的值，由三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵cosA=＜cosB=，∴A，B为锐角，则sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==1，角C为直角，∵BC=4，∴AB===5，AC=ABsinB=5×=3，∴△ABC的面积===6．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式及三角形面积公式的应用，属于基础题．10．已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．8πB．12πC．16πD．20π【分析】设球心为O，如图．由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，推出OP=OB=R，设OE=x，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图．由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2在矩形ABCD中，可求得对角线BD=4，故BE=2由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，∴OP=OB=R设OE=x，在直角三角形BOE中，OB2=BE2+OE2=4+x2过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD 的距离相等，故OH=1∴在直角三角形POH中，PO2=OH2+PH2=1+（1+x）2∴4+x2=1+（1+x）2，解得x=1，∴球的半径R=OB=则此球的表面积等于=4πR2=20π．故选：D．【点评】本题是中档题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．11．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为（）A． B． C． D．【分析】先求出满足条件5是取出的五个不同数的中位数的种数，再求出所有的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：由于抽取五个不同的数字，且数字5是这五个数的中位数，故数字5必在抽取的数中，因此抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P==．故选：B．【点评】本题考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．12．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A （x0，y0）处的切线方程为=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1： =1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点．点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（）A． B． C． D．2【分析】依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），可得c=1，代入点，计算即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；设B（x2，y2），求得椭圆C1在点B处的切线方程，分别令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面积公式，再结合基本不等式，即可求△OCD 面积的最小值．【解答】解：由题意可得2c=2，即c=1，a2﹣b2=1，代入点，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1，设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1令x=0，y D=，令y=0，可得x C=，所以S△OCD=••=，又点B在椭圆的第一象限上，所以x2，y2＞0， +y22=1，即有==+≥2=，S△OCD≥，当且仅当=y22=，所以当B（1，）时，三角形OCD的面积的最小值为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的最值的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．数列{a n}的通项公式a n=，它的前n项和为S n=9，则n= 99 ．【分析】由题意知a n=，通过S n=9，求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式a n==．S n=（）+（）+…+（）==9，解得n=99．故答案为：99．【点评】本题考查数列的性质和应用，数列求和的方法，解题时要认真审题，仔细解答．14．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N，已知P=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有8 人．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故答案为：8．【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．15．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（5，0）．则sin∠A=．【分析】利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，即可确定出sinA的值．【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（5，0），∴|AB|=c=5，|AC|=b=2，|BC|=a=5，∴cosA===，∵∠A为三角形的内角，∴sinA==．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，给出下列五个结论：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确的结论是①⑤（写出所有正确结论的序号）【分析】由条件利用三角函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=|sinx|•cosx，可得：①f（）=|sin|•cos=•（﹣）=﹣，故①正确；②当x1 =0，x2=时，满足|f（x1）|=|f（x2）|，∴x1﹣x2 =，显然不满足x1=x2+kπ（k∈Z），故②错误；③由于f（﹣）=f（），故f（x）在区间[﹣，]上不单调，故③错误；④函数f（x）=|sinx|•cosx的周期即 y=cosx的周期，为2π，故④错误；⑤由于f（+x）=|sin（x+）|•cos（x+）=﹣|cosx|•sinx，f（﹣x）=|sin（﹣x）|•cos（﹣x）=|cosx|•sinx，故有f（+x）=﹣f（﹣x），即f（+x）+f（﹣x）=0，故f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，故⑤正确，故答案为：①⑤．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）由已知和余弦定理可得cosA=，可得；（Ⅱ）由题意和三角函数公式可得，由三角函数的最值可得，可判△ABC是直角三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得，∵A∈（0，π），∴；（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，∵B∈（0，π），∴当，即时，f（B）取最大值，∴此时易知道△ABC是直角三角形．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形形状的判断，属中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据线面线面垂直的判定定理即可证明AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）建立坐标系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理建立方程关系即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C是边长为4的正方形，所以AA1⊥AC，…因为平面ABC⊥平面AA1C1C且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，…所以AA1⊥平面ABC…（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略）则A，B，C，A1，B1，C1点坐标分别为：A（0，0，0）；B（0，3，0）；C（4，0，0）；A1（0，0，4）；B1（0，3，4）；C1（4，0，4）…则设平面CA1B1的法向量所以，所以…令x′=1，所以，又易知平面A1B1C1的法向量为…所以所以二面角C﹣A1B1﹣C1的大小为45°…（Ⅲ）设E（x1，y1，z1）；平面AA1C1C的法向量．因为点E在线段AB1上，所以假设AE=λAB1，所以（0＜λ≤1）即E（0，3λ，4λ），所以．…又因为平面AA1C1C的法向量易知．而DE∥面AA1C1C，所以，所以…所以点E是线段AB1的中点．…若采用常规方法并且准确，也给分．【点评】本题主要考查线面垂直，线面平行的判定以及二面角的计算，根据相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．19．今年柴静的《穹顶之下》发布后，各地口罩市场受其影响生意火爆．A市虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25%的市民表示会购买口罩．现将频率视为概率，解决下列问题：（1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取4位，X表示愿意购买口罩的市民人数，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）设“某市民还会购买口罩”为事件A，则P（A）=0.25．设X表示“该市市民中随机抽取3位中还会购买口罩的人数”．由P（X≥1）=1﹣P（X=0）即可得出．（2）由题意可知：X=0，1，2，3，4．求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设“某市民还会购买口罩”为事件A，则P（A）=0.25．设X表示“该市市民中随机抽取3位中会购买口罩的人数”．P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣0.25）3=．（2）由题意可知：X=0，1，2，3，4．P（X=0）=（1﹣0.25）4=，P（X=1）=×0.25×（1﹣0.25）3=P（X=2）=×0.252×（1﹣0.25）2=，P（X=3）=×0.253×（1﹣0.25）=，P（X=4）=0.254=．X的分布列X 0 1 2 3 4P故E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=1．【点评】本题考查了独立事件和互斥事件的概率计算公式、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，考查分布列及数学期望，属于难题．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积的最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G （1）证明：B、C、D、G四点共圆（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=，OH=，求CD•CA的值．【分析】（1）证明∠AGD=∠BCA=90°，可得B、C、D、G四点共圆（2）利用切割线定理、射影定理，求出CP，即可求CD•CA的值．【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠AGD=90°，∵∠BCA=90°，∴∠AGD=∠BCA，∴B、C、D、G四点共圆（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，∴CP2=CD•CA，∵∠CPO=90°，PH⊥AD，∴CP2=CH•CO，∵CH=，OH=，∴CO=5，∴CP2=CH•CO=16，∴CD•CA=16．【点评】本题考查四点共圆、切割线定理、射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【分析】（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得即可得到曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，），可得，解得即可得到圆C2的极坐标方程．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，把A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入曲线C1即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程与参数方程及其直角坐标方程的互化和应用，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
2016年甘肃省高考数学押题卷（理科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]2．已知a，b∈R，则a＞b得一个必要非充分条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．a2＞b2D．＜3．已知命题p：∂x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③4．给定一组数据x1，x2，…，x20，若这组数据期望为3，方差为3，则2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的期望和方差分别为（）A．，3，6 B．6，3 C．9，6 D．9，125．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．116．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为（）A．B．5 C．D．27．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若=6，且||=2．则||=（）A．B．C．4 D．29．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）10．已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．11．设函数f（x）=a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．己知向量，满足||=||=2，且（+2）•（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=，则a n=．15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=．16．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则给出以下四个命题：①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能是奇函数；③函数y=f（x）在（1，+∞）单调递增；④若y=f（x）是偶函数，其值域为（0，+∞）其中正确的序号为．（把所有正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=3．求a的最小值．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角H﹣BD﹣C的大小．19．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T 点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=xsinx+cosx（x＞0）．（1）当x∈（0，2π）时，求f（x）的极值；（2）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：++…+＜（n≥2，n∈N）请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[﹣，） 时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．高考数学押题卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解答】解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C2．已知a，b∈R，则a＞b得一个必要非充分条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．a2＞b2D．＜【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵a＞b，b＞b﹣1，∴a＞b﹣1，即a＞b⇒a＞b﹣1但反过来不成立，故选：A．3．已知命题p：∂x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】考察命题真假判断，涉及三角函数值的范围和二次不等式．【解答】解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，∴q为真命题，故￢p是真命题，￢q是假命题；所以①p∧q是假命题，①错误；p∧￢q是假命题，②正确，③错误；命题“p∨￢q”是假命题，④正确；故答案为：②④故选：B．4．给定一组数据x1，x2，…，x20，若这组数据期望为3，方差为3，则2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的期望和方差分别为（）A．，3，6 B．6，3 C．9，6 D．9，12【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X），代入求出即可．【解答】解：设数据x1，x2，…，x20的平均数是，由题意可知，这组数据的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x20﹣）2]=3．数据2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的平均数为2+3．所以其方差为s2=[（2x1+3﹣2﹣3）2+（2x2+3﹣2﹣3）2+…+（2x20+3﹣2﹣3）2]=4s2=4×3=12．所以数据2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的方差为12．E（aX+b）=aE（X）+b=2×3+3=9，故选：D．5．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．6．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为（）A．B．5 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．7．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．8．在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若=6，且||=2．则||=（）A．B．C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，并连接AD，，再根据DM⊥BC即可得到，而，，再根据即可求出||．【解答】解：如图，DM⊥BC，∴；∴==；∵；∴．故选：C．9．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx ，则原函数化为y=﹣2t 2+at+1．∵x ∈（，）时f （x ）为减函数，则y=﹣2t 2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t 2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴≤，解得：a ≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B ．10．已知正数x 、y 满足，则z=的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ． 【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线段规划和指数的运算性质，由指数的运算性质，我们可以将目标函数转化为：z==的形式，由正数x 、y 满足不难画出满足约束条件的可行域，根据图象不难求出目标函数的最优解．【解答】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y 的最大值为4， 又∵z=4﹣x •=的最小值为，故选C ．11．设函数f （x ）=a ﹣x ﹣ka x （a ＞0且a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数f（x）=a﹣x﹣ka x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0＜a＜1，由此不难判断函数的图象．【解答】解∵f（x）=a﹣x﹣ka x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=1﹣k=0，∴k=1，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，∴0＜a＜1，∴g（x）=log a（x+1），定义域为{x|x＞﹣1}，且是减函数，故选D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．己知向量，满足||=||=2，且（+2）•（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将（+2）•（﹣）=﹣2展开，得出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵（+2）•（﹣）=﹣2，∴+﹣2=﹣2．∴=2，∴cos＜＞==．∴向量与的夹角为．故答案为：．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】把已知的数列递推式变形，得到即，然后利用累加法求得数列通项公式．【解答】解：由a n﹣a n+1=，得，即，∴（n≥2）===（n≥2）．∴（n≥2）．当n=1时，上式成立．∴．故答案为：．15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】将x写成1+（x﹣1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x﹣1的指数为7，求出a7．【解答】解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，∴其展开式的通项为T r+1=C8r（x﹣1）r，令r=7得a7=C87=8．故答案为：8．16．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则给出以下四个命题：①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能是奇函数；③函数y=f（x）在（1，+∞）单调递增；④若y=f（x）是偶函数，其值域为（0，+∞）其中正确的序号为②．（把所有正确的序号都填上）【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件作出满足条件的函数图象，利用函数奇偶性的性质和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：满足x2﹣y2=1的图象为双曲线如图：①若函数y=f（x）对应的图象为2，4象限部分的图象，则此时f（x）为奇函数，∴①错误；②由①知函数y=f（x）可能是奇函数，∴②正确；③如图：函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴③错误；④若y=f（x）是偶函数，则当y=﹣满足条件，但此时y＜0，∴其值域为（0，+∞）错误．故正确的是②，故答案为：②．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f （x ）=sinx •cos （x ﹣）+cos 2x ﹣（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值，并写出f （x ）取最大值x 时的取值集合；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=3．求a 的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时x 的集合．（Ⅱ）利用f （A ）求得A ，进而根据余弦定理构建b ，c 和a 的关系，利用基本不等式的知识求得a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）解：f （x ）=sinx （cosx+sinx ）+cos 2x ﹣=sinxcosx+cos 2x=（sin2x+cos2x ）+=sin （2x+）+∴函数f （x ）的最大值为．当f （x ）取最大值时sin （2x+）=1，∴2x+=2k π+（k ∈Z ），解得x=k π+（k ∈Z ），．故x 的取值集合为{x|x=x=k π+，k ∈Z}．（Ⅱ）由题意f （A ）=sin （2A+）+=，化简得 sin （2A+）=∵A ∈（0，π），∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccos =（b+c ）2﹣3bc ，∵b+c=3．∴bc ≤（）2=，∴a 2≥，当且仅当b=c=时取最小值．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角H﹣BD﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；（2）以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H﹣BD﹣C的大小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴B（1，0，0），D（﹣1，0，0），H（，，）∴=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞=﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°19．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，根据独立事件的概率公式，可求甲同学能进入下一轮的概率；（2）确定甲同学本轮答题结束时累计分数的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A：“甲同学回答1正确”；B：“甲同学回答2正确”；C：“甲同学回答3正确”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则P（D）==；（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．则P（X=6）==；P（X=7）==；P（X=8）=P （）==；P（X=12）==；P（X=13）==．数学期望EX=6×+7×+8×+12×+13×=．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T 点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TR Q是否有最大值，再求求．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；∵e==①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，a2﹣b2=c2③；解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1=（x﹣x1）；令y=0，得x===，将①②代人上式得x=1；…9分又S△TR Q=|ST|•|y1﹣y2|==18×=18×=18×≤，当3=，即m2=时取得“=”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．21．已知函数f（x）=xsinx+cosx（x＞0）．（1）当x∈（0，2π）时，求f（x）的极值；（2）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：++…+＜（n≥2，n∈N）【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）确定x i=，可得=＜，利用裂项法，即可证明结论．【解答】解：（1）∵f（x）=xsinx+cosx，∴f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，x∈（0，2π），f′（x）=0，∴x=或∴f（x）在（0，），（，2π）递增，（，）递减，…∴f（x）极小值=﹣，f（x）极大值=；…（Ⅱ）∵f′（x）=0，x＞0，∴x i=，…∴=＜，…∴（++…+）＜++…+＜++…+=（1﹣）=﹣＜，∴++…+＜（n≥2，n∈N）．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O 交AB于F，点D是BC的中点，连接OD交圆O于点E．（1）求证：O，C，D，F四点共圆；（2）求证：2DF2=DE•AB+DE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接CF，OF，由直径所对的圆周角为直角，得到CF⊥AB，从而△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O，C，D，F四点共圆；（2）利用FD是圆的切线，可得DF2=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r，化简即可得到等式2DF2=DE•AB+DE•AC．【解答】证明：（Ⅰ）连接CF，OF，因为AC为直径，所以CF⊥AB，因为O，D分别为AC，BC的中点，所以OD∥AB，所以CF⊥OD．因为OF=OC，则∠EOF=∠EOC，且OD=OD，所以△OCD≌△OFD．所以∠OCD=∠OFD=90°．所以O，C，D，F四点共圆．…（Ⅱ）设圆的半径为r，因为OF⊥FD，所以FD是圆的切线，所以DF2=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r=DE AB+DE•．故2DF2=DE•AB+DE•AC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），把代入即可得出．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=．利用==即可得出．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t 1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t﹣t2|===2．1∴====．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．（Ⅱ）当x ∈[﹣，）时，f （x ）=1+a ，不等式f （x ）≤g （x ）化为1+a ≤x+3，化简利用a 的取值范围、函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|2x ﹣1|+|2x+1|＜x+3，得：①或②或③由①得：；由②得：；由③得：，综上，原不等式的解集为{x|}．（Ⅱ）当x ∈[﹣，）时，f （x ）=1+a ，不等式f （x ）≤g （x ）化为1+a ≤x+3，∴x ≥a ﹣2对x ∈[﹣，）都成立，故≥a ﹣2，即a ，又由已知a ＞﹣1，∴a 的取值范围为（﹣1，]．2016年7月2日。
2016年甘肃省白银十中高考数学押题卷（理科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]2．已知a，b∈R，则a＞b得一个必要非充分条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．a2＞b2D．＜3．已知命题p：∂x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③4．给定一组数据x1，x2，…，x20，若这组数据期望为3，方差为3，则2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的期望和方差分别为（）A．，3，6 B．6，3 C．9，6 D．9，125．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．116．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为（）A．B．5 C．D．27．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若=6，且||=2．则||=（）A．B．C．4 D．29．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）10．已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．11．设函数f（x）=a﹣x﹣ka x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．己知向量，满足||=||=2，且（+2）•（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=，则a n=．15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=．16．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P （x，y）满足x2﹣y2=1，则给出以下四个命题：①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能是奇函数；③函数y=f（x）在（1，+∞）单调递增；④若y=f（x）是偶函数，其值域为（0，+∞）其中正确的序号为．（把所有正确的序号都填上）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=3．求a的最小值．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角H﹣BD﹣C的大小．19．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q 关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=xsinx+cosx（x＞0）．（1）当x∈（0，2π）时，求f（x）的极值；（2）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：++…+＜（n≥2，n∈N）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O交AB于F，点D是BC的中点，连接OD交圆O于点E．（1）求证：O，C，D，F四点共圆；（2）求证：2DF2=DE•AB+DE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2016年甘肃省白银十中高考数学押题卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解答】解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x ﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C2．已知a，b∈R，则a＞b得一个必要非充分条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．a2＞b2D．＜【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵a＞b，b＞b﹣1，∴a＞b﹣1，即a＞b⇒a＞b﹣1但反过来不成立，故选：A．3．已知命题p：∂x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】考察命题真假判断，涉及三角函数值的范围和二次不等式．【解答】解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，∴q为真命题，故￢p是真命题，￢q是假命题；所以①p∧q是假命题，①错误；p∧￢q是假命题，②正确，③错误；命题“p∨￢q”是假命题，④正确；故答案为：②④故选：B．4．给定一组数据x1，x2，…，x20，若这组数据期望为3，方差为3，则2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的期望和方差分别为（）A．，3，6 B．6，3 C．9，6 D．9，12【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X），代入求出即可．【解答】解：设数据x1，x2，…，x20的平均数是，由题意可知，这组数据的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x20﹣）2]=3．数据2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的平均数为2+3．所以其方差为s2=[（2x1+3﹣2﹣3）2+（2x2+3﹣2﹣3）2+…+（2x20+3﹣2﹣3）2]=4s2=4×3=12．所以数据2x1+3，2x2+3，…，2x20+3的方差为12．E（aX+b）=aE（X）+b=2×3+3=9，故选：D．5．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．6．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为（）A．B．5 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．7．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．8．在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若=6，且||=2．则||=（）A．B．C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，并连接AD，，再根据DM⊥BC即可得到，而，，再根据即可求出||．【解答】解：如图，DM⊥BC，∴；∴==；∵；∴．故选：C．9．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx ，则原函数化为y=﹣2t 2+at+1．∵x ∈（，）时f （x ）为减函数，则y=﹣2t 2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t 2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴≤，解得：a ≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2]． 故选：B ．10．已知正数x 、y 满足，则z=的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线段规划和指数的运算性质，由指数的运算性质，我们可以将目标函数转化为：z==的形式，由正数x 、y 满足不难画出满足约束条件的可行域，根据图象不难求出目标函数的最优解．【解答】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y 的最大值为4，又∵z=4﹣x •=的最小值为，故选C ．11．设函数f （x ）=a ﹣x ﹣ka x （a ＞0且a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数f（x）=a﹣x﹣ka x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0＜a＜1，由此不难判断函数的图象．【解答】解∵f（x）=a﹣x﹣ka x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=1﹣k=0，∴k=1，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，∴0＜a＜1，∴g（x）=log a（x+1），定义域为{x|x＞﹣1}，且是减函数，故选D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．己知向量，满足||=||=2，且（+2）•（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将（+2）•（﹣）=﹣2展开，得出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵（+2）•（﹣）=﹣2，∴+﹣2=﹣2．∴=2，∴cos＜＞==．∴向量与的夹角为．故答案为：．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】把已知的数列递推式变形，得到即，然后利用累加法求得数列通项公式．【解答】解：由a n﹣a n+1=，得，即，∴（n≥2）===（n≥2）．∴（n≥2）．当n=1时，上式成立．∴．故答案为：．15．已知x8=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a8（x﹣1）8，则a7=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】将x写成1+（x﹣1），利用二项展开式的通项公式求出通项，令x ﹣1的指数为7，求出a7．【解答】解：∵x8=[1+（x﹣1）]8，∴其展开式的通项为T r+1=C8r（x﹣1）r，令r=7得a7=C87=8．故答案为：8．16．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P （x，y）满足x2﹣y2=1，则给出以下四个命题：①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能是奇函数；③函数y=f（x）在（1，+∞）单调递增；④若y=f（x）是偶函数，其值域为（0，+∞）其中正确的序号为②．（把所有正确的序号都填上）【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件作出满足条件的函数图象，利用函数奇偶性的性质和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：满足x2﹣y2=1的图象为双曲线如图：①若函数y=f（x）对应的图象为2，4象限部分的图象，则此时f（x）为奇函数，∴①错误；②由①知函数y=f（x）可能是奇函数，∴②正确；③如图：函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴③错误；④若y=f（x）是偶函数，则当y=﹣满足条件，但此时y＜0，∴其值域为（0，+∞）错误．故正确的是②，故答案为：②．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=3．求a 的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时x 的集合．（Ⅱ）利用f （A ）求得A ，进而根据余弦定理构建b ，c 和a 的关系，利用基本不等式的知识求得a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）解：f （x ）=sinx （cosx+sinx ）+cos 2x ﹣=sinxcosx+cos 2x=（sin2x+cos2x ）+=sin （2x+）+∴函数f （x ）的最大值为．当f （x ）取最大值时sin （2x+）=1，∴2x+=2k π+（k ∈Z ），解得x=k π+（k ∈Z ），．故x 的取值集合为{x|x=x=k π+，k ∈Z}．（Ⅱ）由题意f （A ）=sin （2A+）+=，化简得 sin （2A+）=∵A ∈（0，π），∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccos =（b+c ）2﹣3bc ，∵b+c=3．∴bc ≤（）2=，∴a 2≥，当且仅当b=c=时取最小值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求二面角H ﹣BD ﹣C 的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；（2）以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角H﹣BD﹣C的大小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴B（1，0，0），D（﹣1，0，0），H（，，）∴=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞=﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°19．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，根据独立事件的概率公式，可求甲同学能进入下一轮的概率；（2）确定甲同学本轮答题结束时累计分数的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A：“甲同学回答1正确”；B：“甲同学回答2正确”；C：“甲同学回答3正确”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则P（D）==；（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．则P（X=6）==；P（X=7）==；P（X=8）=P（）==；P（X=12）==；P（X=13）==．X数学期望EX=6×+7×+8×+12×+13×=．20．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e=，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q 关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S△TR Q是否有最大值，再求求．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；∵e==①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，a2﹣b2=c2③；解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36=0，∴△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；直线RQ 1的斜率为k==，且Q 1（x 1，y 1），∴直线RQ 1的方程为y+y 1=（x ﹣x 1）；令y=0，得x===，将①②代人上式得x=1；…9分又S △TR Q =|ST|•|y 1﹣y 2|==18×=18×=18×≤，当3=，即m 2=时取得“=”；∴△TRQ 的面积存在最大值，最大值是．…12分．21．已知函数f （x ）=xsinx+cosx （x ＞0）． （1）当x ∈（0，2π）时，求f （x ）的极值；（2）记x i 为f （x ）的从小到大的第i （i ∈N *）个极值点，证明： ++…+＜（n ≥2，n ∈N ）【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f （x ）的极值；（2）确定x i =，可得=＜，利用裂项法，即可证明结论． 【解答】解：（1）∵f （x ）=xsinx+cosx ，∴f ′（x ）=sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx ，x ∈（0，2π），f ′（x ）=0，∴x=或∴f （x ） 在（0，），（，2π）递增，（，）递减，…∴f （x ）极小值=﹣，f （x ）极大值=；…（Ⅱ）∵f ′（x ）=0，x ＞0，∴x i =，…∴=＜，…∴（++…+）＜++…+＜++…+=（1﹣）=﹣＜，∴++…+＜（n ≥2，n ∈N ）．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，以AC 为直径的圆O 交AB 于F ，点D 是BC 的中点，连接OD 交圆O 于点E ． （1）求证：O ，C ，D ，F 四点共圆； （2）求证：2DF 2=DE •AB+DE •AC ．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）连接CF ，OF ，由直径所对的圆周角为直角，得到CF ⊥AB ，从而△ODE ≌△ODB ，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O ，C ，D ，F 四点共圆；（2）利用FD 是圆的切线，可得DF 2=DE •（DE+2r ）=DE •（DO+2r ）=DE •DO+DE •r ，化简即可得到等式2DF 2=DE •AB+DE •AC ． 【解答】证明：（Ⅰ）连接CF ，OF ， 因为AC 为直径，所以CF ⊥AB ，因为O ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以OD ∥AB ， 所以CF ⊥OD ．因为OF=OC ，则∠EOF=∠EOC ，且OD=OD ， 所以△OCD ≌△OFD ．所以∠OCD=∠OFD=90°．所以O，C，D，F四点共圆．…（Ⅱ）设圆的半径为r，因为OF⊥FD，所以FD是圆的切线，所以DF2=DE•（DE+2r）=DE•（DO+2r）=DE•DO+DE•r=DE AB+DE•．故2DF2=DE•AB+DE•AC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），把代入即可得出．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=．利用==即可得出．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴====．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，化简利用a的取值范围、函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|2x﹣1|+|2x+1|＜x+3，得：①或②或③由①得：；由②得：；由③得：，综上，原不等式的解集为{x|}．（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，∴x≥a﹣2对x∈[﹣，）都成立，故≥a﹣2，即a，又由已知a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，]．2016年7月2日。
