切线长定理教案

初中数学切线长定理教案教学目标：1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理。

2. 通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。

3. 通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。

教学重点：理解并掌握切线长定理。

教学难点：应用切线长定理解决问题。

教学准备：多媒体计算机、黑板、粉笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，如圆的轴对称性、圆的切线与半径的关系等。

2. 提问：从圆外一点可以引几条切线？它们的性质是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍切线长的概念：圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。

2. 引导学生观察图形，猜想切线长定理。

3. 引导学生通过几何画图和度量，验证猜想。

4. 引导学生运用代数方法证明切线长定理。

三、例题分析（15分钟）1. 给出一个应用切线长定理的例题，引导学生分析解题思路。

2. 引导学生一起解答例题，注意引导学生运用切线长定理。

3. 总结解题方法，强调切线长定理在解题中的应用。

四、课堂练习（15分钟）1. 给出几道练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生相互讨论，解答练习题。

3. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确解题思路。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结切线长定理的性质和应用。

2. 强调切线长定理在几何解题中的重要性。

六、课后作业（课后自主完成）1. 深化理解切线长定理，尝试解决更复杂的几何问题。

2. 撰写一篇关于切线长定理的学习心得，分享自己的学习体会。

教学反思：本节课通过引导学生观察、猜想、证明和应用，使学生掌握了切线长定理。

在教学过程中，注意调动学生的学习积极性，培养学生的几何思维和代数解题能力。

通过例题分析和课堂练习，让学生更好地理解和运用切线长定理。

在今后的教学中，要继续关注学生的学习情况，针对不同学生制定合适的教学策略，提高教学效果。

切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

相等等，加深对定理的理解。
示范解题步骤
03
通过具体例题，示范切线长定理在解题中的应用，让学生明确
解题步骤和方法。
课堂练习环节
基础练习题
安排适量的基础练习题，让学生 运用切线长定理解决简单的几何
问题。
提高练习题
增加一定难度的提高练习题，引导 学生综合运用切线长定理和其他几 何知识解决问题。
小组讨论与展示
的几何意义。
教学挂图
展示切线长定理的相关 知识点和典型例题，便
于学生观看和学习。
多媒体资源准备
投影仪
用于展示切线长定理的课件、动 画和视频等教学资源。
电脑
播放教学资源，同时可用于实时 编辑和展示教学内容。
教学软件
如几何画板等，用于动态演示切 线长定理的几何图形和变化过程， 帮助学生形成直观印象。
网络资源
能够运用切线长定理解决与圆 有关的切线问题，包括切线的 判定、切线长的计算等。
了解切线长定理在实际问题中 的应用，如建筑设计、工程绘 图等领域。
过程与方法目标
通过观察、实验、归纳等过程，探究切线长定理的形成过程，培养学生的探究精神 和创新能力。
通过讲解、讨论、练习等方法，使学生掌握切线长切线概念
简要介绍切线的定义及性 质，引导学生思考切线与 圆的关系。
明确教学目标
阐述本节课的教学目标和 要求，让学生明确学习方 向。
新课学习环节
讲解切线长定理
01
详细讲解切线长定理的内容，包括定理的表述、证明及应用等。
探究切线长定理的推论
02
引导学生探究切线长定理的推论，如切线与半径垂直、切线长
PART 06
评价与反馈
REPORTING

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

教案《切线长定理》教案《切线长定理》教案《切线长定理》1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．2、教法建议本节内容需要一个课时．（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．教学目标1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点:切线长定理是教学重点教学难点:切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:（一）观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．4、证明猜想，形成定理．猜想是否正确，数学教案－切线长定理。

需要证明．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA ＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA＝∠OPB(如图)等．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．5、归纳：把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质6、切线长定理的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O 于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的相似三角形；(4)写出图中所有的等腰三角形．说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．（二）应用、归纳、反思例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的.定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．证法一．如图．连结AB．PA，PB分别切⊙O于A，B∴PA＝PB∠APO＝∠BPO∴ OP ⊥AB又∵BC为⊙O直径∴AC⊥AB∴AC∥OP (学生板书)证法二．连结AB，交OP于DPA，PB分别切⊙O于A、B∴PA＝PB∠APO＝∠BPO∴AD＝BD又∵BO=DO∴OD是△ABC的中位线∴AC∥OP证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点EPA，PB分别切⊙O于A、B∴PA＝PB∴ OP ⊥AB∴ =∴∠C＝∠POB∴AC∥OP反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力．例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．（分析和解题略）反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．P120练习：练习1 填空如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O 于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________练习2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD 和CE的长．分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果．（解略）反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力．（三）小结1、提出问题学生归纳（1）这节课学习的具体内容；（2）学习用的数学思想方法；（3）应注意哪些概念之间的区别?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．（四）作业教材P131习题7．4A组1．(1)，2，3，4．B组1题．探究活动图中找错你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线．提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上．在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，则有a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③将②代人①式得a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，∴a-b=P1P3+P2P3由③得a-b=P1P2得∴P1P2=P2P3+ P1P3∴P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的．数学教案－切线长定理。

切线长定理教育教学设计【教学设计】课程名称：数学教学内容：切线长定理教学目标：1.知识目标：了解切线长定理的概念，掌握切线长度的计算方法；2.能力目标：能够灵活运用切线长定理解决相关问题；3.情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生对数学的好奇心和探究欲望。

重点难点：切线长度的计算方法、如何灵活运用切线长定理解决问题。

教学准备：教材、黑板、粉笔、实物模型。

教学过程：Step 1 导入新知（5分钟）1.引入话题：通过提问引入，例如“你知道什么是切线吗？”“切线和弦有什么区别？”2.提出问题：什么是切线长定理？3.小组讨论：让学生在小组内讨论并回答问题。

Step 2 理论探究（30分钟）1.讲解切线长定理的概念和表达方式：使用黑板，让学生用自己的语言解释切线长定理，并将解释内容记录在黑板上。

2.演示切线长度计算方法：在黑板上画出一个圆，并标出切点和切线，然后演示如何根据切线长度计算方法计算切线长度。

3.学生练习：让学生自己动手计算给定的切线长度，并与搭桥的方法进行对比。

Step 3 整合运用（30分钟）1.分组讨论：将学生分为几个小组，每个小组选择一个实际场景，例如自行车轮胎的修理、建筑中的圆台等，并结合切线长定理进行讨论。

2.小组展示：让每个小组展示他们的讨论结果，包括场景描述和切线长度的计算过程。

Step 4 拓展应用（30分钟）1.知识运用：设计一些练习题，让学生运用切线长定理解决相关问题，并给予适当的指导。

2.拓展应用：设计一些拓展题，让学生通过切线长定理解决更复杂的问题，激发学生的思维能力。

Step 5 课堂小结（5分钟）1.总结切线长定理的概念和计算方法；2.强调切线长定理的重要性；3.激发学生对数学的兴趣和好奇心。

Step 6 课后作业（5分钟）1.布置课后作业：让学生完成相关的练习题，巩固所学知识；2.提出思考题：例如“还有哪些几何图形中可以运用切线长定理解决问题？”教学反思：本节课通过引入切线长定理的概念，讲解切线长度的计算方法，并将其应用于实际场景和拓展应用中，旨在提高学生对数学概念的理解和运用能力。

切线长定理的教学设计教学设计：切线长定理一、教学目标：1.理解切线长定理的概念和公式。

2.掌握应用切线长定理计算相关问题的方法。

3.培养学生的思维逻辑能力和数学推理能力。

二、教学准备：1.教师准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。

2.学生准备纸笔等学习工具。

三、教学过程：第一部分：导入新知1. 教师用一道具体问题引入切线长定理的概念，如：请思考，一个半径为5cm的圆，有一条线段与圆相切，线段长度为8cm，那么这条线段是圆的什么部分？学生思考后回答切线。

教师引导学生思考切线与圆的关系。

2.教师用黑板上的图形向学生展示切线的定义，并引导学生回答切线与圆的关系。

然后，教师引入切线长定理，并对定理进行介绍与解释。

3.教师向学生展示定理的证明过程，以加深学生对定理的理解。

第二部分：切线长定理的公式推导1.教师向学生讲解切线长定理的公式推导过程。

教师用黑板或投影仪展示推导过程，并引导学生一起完成。

2.学生逐步推导切线长定理的公式，教师进行指导和纠正。

3.学生站起来，互相核对答案，并与教师进行讨论。

第三部分：切线长定理的应用1. 教师通过实例向学生展示切线长定理的应用。

例如，给出一个半径为6cm的圆，线段与圆相切，线段长为10cm，让学生计算切线长。

2.学生用纸和笔在课本或练习册上计算问题。

教师巡视教室，指导学生解决问题。

3.学生互相核对答案并与教师讨论。

第四部分：练习与拓展1.教师提供一些练习题，学生在纸上进行计算。

2.教师引导学生思考一些拓展问题，如：当线段与圆相交、两个圆相切等情况下，如何应用切线长定理。

3.学生讨论解决拓展问题。

教师对解决方法进行总结和点评，引导学生发现问题的普遍解法。

第五部分：课堂小结1.教师对切线长定理进行小结，强调定理的重要性和应用范围。

2.教师提醒学生预习下一课时的内容。

四、教学反思：切线长定理是中学数学中的一个重要定理，教师在课堂上需要通过一道具体问题引入切线的概念，并引导学生之间的互动与讨论，以培养学生的思维能力和数学推理能力。

（4）利用信息技术手段，如几何画板、动画等，使抽象的几何关系形象化、直观化，降低学习难度。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个生活实例，如圆形跑道的修建问题，引出切线长定理，激发学生兴趣。
（2）探究：引导学生观察几何图形，提出猜想，尝试证明切线长定理。
（3）讲解：对切线长定理的证明过程进行详细讲解，强调几何逻辑推理的重要性。
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质、三角形的基本概念有了一定的了解。在此基础上，学习切线长定理，他们能够更好地理解圆与三角形之间的关系，将所学知识进行拓展和深化。然而，学生对切线长定理的理解和应用可能还存在一定难度，特别是定理的证明过程和在实际问题中的应用。
考虑到学生的认知发展水平，他们对抽象几何关系的理解仍有待提高，因此，在教学过程中，应注重从直观到抽象的过渡，通过丰富的实例、生动的语言和形象的表达，帮助学生建立起切线长定理的直观形象。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考和创新能力，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
5.写作任务：结合切线长定理的学习，撰写一篇数学小论文，主题为“切线长定理在实际生活中的应用”。
要求：论文内容要具有实际意义，结构清晰，论据充分。通过写作，培养学生的数学表达能力和创新意识。
6.家长参与：鼓励学生与家长一起探讨切线长定理在实际生活中的应用，共同完成一道实践题。
要求：家长参与学生的数学学习，增进家校合作，提高学生的学习兴趣和积极性。
（4）应用：设计不同难度的练习题，让学生运用切线长定理解决问题，巩固所学知识。
（5）拓展：引导学生探索切线长定理在解决实际问题中的应用，如设计最优路线等。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、思考过程等，给予及时的反馈和鼓励。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

《切线长定理》教案一、教学目标：知识目标：进一步理解切线的性质和判定，了解切线长的定义，掌握切线长定理；能力目标：培养学生从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、教学重难点教学重点：理解切线长定理。

教学难点：应用切线长定理解决问题。

三、教学过程（1）复习提问：切线的性质，切线的判定方法。

（2）观察、猜想、证明，形成定理1、提出问题过圆外的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（学生独立思考，动手去画）2、切线长的定义如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。

注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.3、观察变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．4、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA ＝PB)．5、证明猜想，形成定理．学生大胆猜想是否正确．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA＝∠OPB(如图)等．选一名学生板演证明过程切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

6、若连结两切点A 、B ，AB 交OP 于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP 垂直平分AB 。

组织学生分析证明方法，选一名学生板演证明过程（二） 应用、归纳、反思例1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10， BC=24， ⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ， F ，求⊙O 的半径.学生大胆的猜想，用切线长定理来解决这个问题。

例2.四边形ABCD 的各边分别与⊙O 相切于点 E ，F ，G ，H ，由切线长定理大家能得到哪些结论？A FB C EF C圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等。

切线长定理教案一、教学目标1. 让学生掌握切线长定理，并能利用该定理进行简单的证明和计算。

2. 通过教学，让学生感受数学之美，培养学生对数学的兴趣。

3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。

二、教学重难点重点：切线长定理的推导和应用。

难点：切线长定理的理解和应用。

三、教具准备黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体课件等。

四、教学过程1. 导入新课（1）回顾旧知：复习圆的切线性质，为引入切线长定理打下基础。

（2）创设情境：通过生活中的实例，引出切线长定理。

2. 探究新知（1）让学生观察、思考，尝试自己推导切线长定理。

（2）教师引导学生进行逻辑推理，得出结论。

（3）教师讲解切线长定理的证明过程，强调定理的适用条件。

（4）学生思考：切线长定理与圆的切线性质有什么联系和区别？（5）教师总结：切线长定理是圆的切线性质的延伸和拓展，为说明线段相等提供了新的方法。

3. 巩固练习（1）判断题：检验学生对切线长定理的理解情况。

（2）填空题：运用切线长定理进行计算。

（3) 解答题：运用切线长定理进行证明。

4. 课堂小结（1）回顾本节课的主要内容，强调切线长定理的重要性和应用方法。

（2）鼓励学生提出问题和疑惑，进行互动交流。

（3）布置课后作业：运用切线长定理进行证明和计算。

五、教学反思本节课通过创设情境、引导探究、讲解证明和运用巩固等环节，让学生掌握了切线长定理，并能利用该定理进行简单的证明和计算。

在教学过程中，注重培养学生的逻辑推理能力和解决问题的能力，让学生通过思考、探究和交流来掌握知识，提高能力。

同时，也注重培养学生的数学兴趣和审美能力，让学生感受数学之美，培养学生对数学的热爱之情。

《切线长定理》教案一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五单元《几何图形》的第97页。

教材主要介绍了切线长定理的内容，并通过实例让学生理解并掌握切线长定理及其应用。

内容包括：1. 定义：圆的切线与半径垂直，且切点到圆心的距离等于切线长。

2. 切线长定理：圆的切线长等于半径的长度。

3. 应用：利用切线长定理解决实际问题，如计算切线长、求解几何图形面积等。

二、教学目标1. 学生能够理解并掌握切线长定理的内容及其应用。

2. 学生能够通过实例运用切线长定理解决问题，提高解决问题的能力。

3. 学生能够培养观察、思考、交流的能力，提高团队协作意识。

三、教学难点与重点重点：切线长定理的理解和应用。

难点：如何引导学生运用切线长定理解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、直尺、圆规、剪刀、彩纸。

学具：每人一份教材、一份练习纸、一把剪刀、一些彩纸。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师展示一个圆形物体，如圆形蛋糕，提问：“如果你要切这个蛋糕，你会怎么切？”学生回答后，教师引导学生思考：切线与圆的关系是什么？2. 讲解切线长定理：教师利用黑板、粉笔演示切线长定理的证明过程，引导学生观察、思考。

讲解切线与半径垂直、切点到圆心的距离等于切线长的概念。

3. 实例讲解：教师出示一个实例，如计算一个圆的切线长，引导学生运用切线长定理解决问题。

讲解步骤，让学生跟随教师一起动手操作。

4. 随堂练习：教师给出几道练习题，让学生独立完成。

题目包括计算切线长、求解几何图形面积等。

教师挑选几份答案进行讲解、评价。

5. 小组讨论：教师引导学生分组讨论，分享各自解决问题的方法。

让学生互相学习、交流，提高团队协作意识。

6. 作业布置：教师布置作业，包括课后练习题和实际问题解决。

要求学生在课后巩固所学知识，并能应用于实际问题。

六、板书设计切线长定理：1. 圆的切线与半径垂直。

2. 切点到圆心的距离等于切线长。

七、作业设计1. 课后练习题：（1）判断题：圆的切线与半径垂直。

索切线长定理，让学生在实际操作中形成对圆与直线关系的直观认识，提高空间想象力和几何直观能力。
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明和应用切线长定理的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，学会用几何语言表达几何关系，提高几何证明能力。
3.增强学生的数学建模意识：引导学生将切线长定理应用于解决实际问题，培养数学建模意识，提高解决实际问题的能力。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们在讨论中积极思考，互相交流，展示环节也能看出他们对于切线长定理的理解和应用。但我也注意到，有些小组在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入定式思维。因此，我需要在今后的教学中，多设计一些开放性问题，引导学生从多角度思考问题。
学生小组讨论环节，大家围绕切线长定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。在这个过程中，我发现有些学生能够提出很有见地的观点，但也有一些同学发言不够积极。为了提高全体同学的参与度，我考虑在下次课中采用一些激励措施，如表扬积极发言的学生，以提高他们的积极性。
-与相似三角形知识的综合应用：如何将切线长定理与相似三角形的性质相结合，解决更复杂的几何问题，是学生学习的难点。
举例解释：
-在讲解切线长定理的证明时，引导学生从圆的半径、弦、切线等基本概念出发，运用几何图形和逻辑推理进行证明。
-在解决实际问题时，教师应引导学生分析问题，找出关键信息，并运用切线长定理进行求解。
3.1《切线长定理》教案
一、教学内容
本节课选自教材九年级下册第3章第1节《切线长定理》。教学内容主要包括以下几部分：
1.探索并理解切线长定理：通过直观演示和实际操作，引导学生发现并理解切线长定理，即从圆外一点引两条切线，切线长相等。
2.掌握切线长定理的应用：学会运用切线长定理解决相关问题，如求线段长度、证明线段相等等。

切线长定理的教案教案标题：切线长定理的教案教学目标：1. 理解切线长定理的概念和原理2. 掌握利用切线长定理解决相关数学问题的方法3. 提高学生的数学推理和解决问题的能力教学内容：1. 切线长定理的定义和相关概念2. 切线长定理的证明和推导过程3. 切线长定理在实际问题中的应用教学重点和难点：1. 切线长定理的概念和原理是本节课的重点，需要学生理解和掌握2. 切线长定理的证明和推导过程可能是本节课的难点，需要引导学生进行逻辑推理和思维训练教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题引入切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣2. 讲解：介绍切线长定理的定义、原理和相关性质，引导学生理解和掌握3. 演示：通过具体的数学例题演示如何利用切线长定理解决相关问题，帮助学生掌握解题方法4. 练习：布置一些练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调切线长定理的重要性和应用价值教学手段：1. 板书：清晰地呈现切线长定理的定义、原理和相关性质2. 多媒体：利用多媒体展示相关图形和例题，直观地展示切线长定理的应用3. 互动讨论：通过提问和回答、小组讨论等方式，激发学生的思维，促进学习效果教学评价：1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，及时发现问题并进行指导2. 作业批改：对学生的作业进行批改，及时纠正错误，鼓励正确的解题方法3. 小测验：布置小测验检验学生对切线长定理的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导教学反思：1. 总结本节课的教学效果，分析学生的学习情况，及时调整教学策略2. 探讨教学中存在的问题和不足，寻求改进和提高的方法通过以上教学设计，可以有效地帮助学生理解和掌握切线长定理的相关知识，提高他们的数学推理和解决问题的能力。

《切线长定理》教案教学目标：1 知识目标：理解切线长定义掌握切线长定理。

2 能力目标：运用定理进行简单的证明，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.3 情感目标：通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学学的兴趣，使学生积极参与、体验成功.学教重点：切线长定理教学难点：切线长定理的探索及应用教学过程：一引入新课；动手做一做，拿准备好的图片进行折叠，然后观察，回答问题:这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？概念：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。

切线和切线长：切线是直线，切线长是线段的长二探索新知猜想证明：根据刚才的折叠，猜想图中PA是否等于PB？那么怎样证明呢？同学讨论交流，教师给出证明过程：证明：∵PA、PB是⊙o的两条切线，∴∠PAO= ∠PBO=90,又OA=OB，OP=OP ，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

随堂练习（1)已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P 和⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长．OPB∟∟M ⌒⌒12 （2）李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。

下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。

圆的外切四边形的性质如图，四边形ABCD 的四条边都与圆O 相切，图中的线段之间有哪些相等说出你的发现。

结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.三 例题讲解：例题1：已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径 图9ODCBA A教师分析讲解，学生思考交流，鼓励学生写出证明过程。

变式1：如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA,AB 分别相切于点 D ，E ，F ，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE 的长。

一、教学目标1.理解数学切线长定理的概念以及应用。

2.熟练掌握数学切线长定理的求解方法。

3.能够与其他知识点进行联想，将数学切线长定理融入到实际应用中。

二、教学重点1.数学切线长定理的概念及应用。

2.数学切线长定理的求解方法。

三、教学难点1.如何将数学切线长定理运用到实际生活中。

四、教学过程1.引入（10分钟）本节课将学习数学切线长定理，这是一条很有用的数学公式，它可以解决许多现实生活中的问题。

例如，我们在开车时，经常需要知道车速，但有的时候车速表会坏掉，这时我们就可以用数学切线长定理来求解车速。

2.知识讲解（30分钟）1）概念及公式数学切线长定理是指：在一个圆上，一条与切线相交且途经圆心的弦等于圆的直径。

即：在一个圆上，切线与弦相交，途径圆心的弦等于直径。

公式表示为：2d = AB其中，d为圆的直径，AB为弦长。

2）求解方法在实际应用中，我们经常需要用到数学切线长定理来求解一些问题。

求解方法如下：Step 1：将切点A与圆心O连线，并延长过圆心O，交于弦上点B。

Step 2：根据数学切线长定理公式，2d = AB，求出弦长AB。

Step 3：根据已知条件，代入公式求解。

3.案例分析（30分钟）1）案例一现有一个圆的半径为5 cm，一条切线与该圆相交，交点离圆心距离为3 cm，求切线长。

Step 1：将切点与圆心连线，并延长连线至与弦相交于B点，连接OA，OA = 5 cm，OB = 3 cm。

Step 2：由切线原理得AB = 2 × OA = 10 cm。

Step 3：得切线长为10 cm。

2）案例二一辆车从A处以40 km/h的速度行驶，碰到前方的一街口，在那里停下来了。

由于速度表坏掉了，司机只好用数学切线长定理来求出车速。

这个街口是一个大圆，司机开车的时候正好到达圆周上的一个点B，如下图所示。

切线与圆心O相交于点A，弦BC长为48m，求A点处的车速。

Step 1：AB = 48 m，OB = R。