切线长定理_九年级数学教案_模板

初三数学切线长定理教案•引言•知识链接•探究学习•课堂练习目录•归纳小结•拓展延伸01引言使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。

030201切线长定理的概念和性质切线长定理的证明方法切线长定理的应用举例教学重点与难点教学重点切线长定理的证明方法和应用技巧。

教学难点如何引导学生理解切线长定理的本质和应用，以及如何培养学生的数学思维和解决问题的能力。

02知识链接圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的定义及基本性质C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。

圆的周长与面积公式在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆心角、弧、弦之间的关系垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理及其推论圆的性质与定理直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。

切线的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的判定定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的性质定理切线的性质与定理相似三角形的性质与判定•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法两角对应相等，两三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

三边对应成比例，两三角形相似。

相似三角形的性质对应角相等。

对应边成比例。

面积比等于相似比的平方。

03探究学习利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。

通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。

通过回顾圆的性质，引出切线长定理的概念。

通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。

利用相似三角形或全等三角形的性质，推导切线长与半径之间的等式关系。

切线长定理 _九年级数学教课方案 _模板1、教材分析（1）知识结构（ 2）要点、难点分析要点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次表现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等供给了理论依照，它属于工具知识，常常应用，所以它是本节的要点．难点：与切线长定理相关的证明和计算问题．如 120 页练习题中第 3 题，它不单应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生常常不可以很好的把知识连接起来．2、教法建议本节内容需要一个课时．（1）在教课中，组织学生自主察看、猜想、证明，并深刻分析切线长定理的基本图形；对重要的结论实时总结；（2）在教课中，以“察看——猜想——证明——分析——应用——概括”为主线，展开在教师组织下，以学生为主体，活动式教课．教课目的1．理解切线长的观点，掌握切线长定理；2．经过对例题的分析，培育学生分析总结问题的习惯，提升学生综合运用知识解题的能力，培育数形联合的思想．3．经过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习踊跃性，建立科学的学习态度．教课要点 :切线长定理是教课要点教课难点 :切线长定理的灵巧运用是教课难点教课过程设计:（一）察看、猜想、证明，形成定理1、切线长的观点．如图， P 是⊙ O 外一点， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，我们把线段 PA， PB 叫做点 P 到⊙O 的切线长．指引学生理解：切线和切线长是两个不一样的观点，切线是直线，不可以胸怀；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，能够胸怀.2、察看利用电脑改动点P 的地点，察看图形的特点和各量之间的关系．3、猜想指引学生直观判断，猜想图中PA 能否等于PB．PA＝ PB．4、证明猜想，形成定理．猜想能否正确。

需要证明．组织学生分析证明方法．要点是作出协助线OA ， OB ，要证明PA＝ PB．想想：依据图形，你还能够获取什么结论？∠OPA＝∠ OPB( 如图 )等．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角．5、概括：把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一同概括切线的性质6、切线长定理的基本图形研究如图， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，A， B 为切点．直线OP 交⊙ O 于点 D， E，交 AP于 C(1)写出图中全部的垂直关系；(2)写出图中全部的全等三角形；(3)写出图中全部的相像三角形；(4)写出图中全部的等腰三角形．说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中要点，它是灵巧应用知识的基础．（二）应用、概括、反省例 1、已知：如图， P 为⊙ O 外一点， PA， PB 为⊙ O 的切线，A 和B 是切点， BC 是直径．求证： AC ∥ OP．分析：从条件想，由P 是⊙ O 外一点， PA、PB 为⊙ O 的切线， A ，B 是切点可得PA＝PB，∠APO ＝∠ BPO ，又由条件BC 是直径，可得 OB ＝ OC，由此联想到与直径相关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作协助线AB.从结论想，要证AC ∥ OP，假如连接AB 交 OP 于 O，转变为证CA ⊥ AB ， OP ⊥ AB ，或从OD 为△ABC 的中位线来考虑．也可考虑经过平行线的判断定理来证，可获取多种证法．证法一．如图．连接AB ．PA，PB 分别切⊙ O 于 A ， B∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO∴ OP ⊥AB又∵BC 为⊙O 直径∴ AC⊥ AB∴ AC∥ OP (学生板书 )证法二．连接AB ，交 OP 于 DPA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO∴AD ＝BD又∵ BO=DO∴ OD 是△ABC 的中位线∴ AC∥ OP证法三．连接AB ，设 OP 与 AB 弧交于点 EPA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B∴ PA＝ PB∴ OP ⊥AB∴ =∴∠ C＝∠ POB∴ AC∥ OP反省：教师指引学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培育学生灵巧应用知识的能力．例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．（分析和解题略）反省：（ 1）例 3 事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记着结论．四边形的性质：对角互补．P120 练习：（ 2）圆内接练习1填空如图 ,已知⊙ O 的半径为 3 厘米，PO＝ 6 厘米，PA，PB 分别切⊙ O 于 A，B，则 PA＝ _______，∠APB ＝ ________练习 2已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和 BC ， AC ，AB 切于点 D ，E， F，求 AF ， AD 和 CE 的长．分析：设各切线长AF ， BD 和 CE 分别为 x 厘米， y 厘米， z 厘米．后列出对于x , y， z 的方程组，解方程组即可求出结果．（解略）反省：解这个题时，除了要用三角形内切圆的观点和切线长定理以外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．经过对此题的研究培育学生的综合应用知识的能力．（三）小结1、提出问题学生概括（1）这节课学习的详细内容；（2）学惯用的数学思想方法；（3）应注意哪些观点之间的差别 ?2、概括基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．（四）作业教材 P131 习题 7． 4A 组 1． (1)， 2，3， 4． B 组 1 题．研究活动图中找错你能找出（图1）与（图在图 2 中， P1A 为⊙ O1 ⊙O3 的切线．2）的错误所在吗？和⊙ O3 的切线、 P1B 为⊙ O1 和⊙ O2 的切线、P2C 为⊙ O2 和提示：在图 1 中，连接 PC、PD，则 PC、PD 都是圆的直径，从圆上一点只好作一条直径，所以此图是一张错图，点O 应在圆上．在图 2 中，设 P1A=P1B=a ， P2B=P2C=b ， P3A ＝ P3C＝ c，则有a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c①c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b②a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b③将②代人①式得a= P1P3+（P2P3+ b） = P1P3+P2P3+b，∴ a-b= P1P3+P2P3由③得 a-b= P1P2 得∴P1P2= P2P3+ P1P3∴P1、 P 2 、P3 应重合，故图 2 是错误的．不等式和它的基天性质（1）教课目的： 1．认识不等式的意义，掌握不等式的基天性质，并能正确运用它们将不等式变形；2．提升学生察看、比较、概括的能力，浸透类比的思想方法；重、难点：掌握不等式的基天性质并能正确运用它们将不等式变形。

切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。

2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。

2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。

2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。

3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。

五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。

2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。

3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。

（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。

4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。

（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。

5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。

6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。

（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。

7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

5.注重培养学生的合作交流意识，引导学生学会倾听、尊重他人意见，形成良好的团队合作氛围。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握切线长定理的定义及其证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，如求切线长度、判断点到圆的距离等。
3.掌握切线长定理与其他数学知识（如相似三角形、勾股定理等）的联系与运用。
6.总结反思，提炼方法：在教学结束后，组织学生进行总结反思，提炼切线长定理的学习方法和解题技巧，培养学生的自主学习能力。
7.评价反馈，调整教学：通过课堂提问、课后作业、小组讨论等形式，了解学生的学习情况，给予及时反馈。根据学生的反馈，调整教学策略，以提高教学效果。
8.关注情感，培养态度：在教学过程中，关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，勇于克服困难。培养学生的团队合作意识，形成良好的学习氛围。
3.情感态度：强调数学在现实生活中的应用，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
4.课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。要求学生按时完成，教师及时批改并给予反馈。
五、作业布置
为了巩固学生对切线长定理的理解和应用，布置以下作业：
1.基础巩固题：设计一些基础的切线长定理题目，要求学生熟练掌握定理的基本应用，如求解切线长度、判断点到圆的距离等。此类题目旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高解题速度和准确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生主动探索、积极思考的学习态度，激发学生对数学学科的兴趣。
2.引导学生体会数学的严谨性和逻辑性，培养学生的理性思维和科学精神。
3.通过数学史的了解，让学生感受数学文化的魅力，增强民族自豪感。
4.培养学生的团队协作意识，学会倾听、尊重他人意见，形成良好的人际关系。
教学设计：

（4）利用信息技术手段，如几何画板、动画等，使抽象的几何关系形象化、直观化，降低学习难度。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个生活实例，如圆形跑道的修建问题，引出切线长定理，激发学生兴趣。
（2）探究：引导学生观察几何图形，提出猜想，尝试证明切线长定理。
（3）讲解：对切线长定理的证明过程进行详细讲解，强调几何逻辑推理的重要性。
九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质、三角形的基本概念有了一定的了解。在此基础上，学习切线长定理，他们能够更好地理解圆与三角形之间的关系，将所学知识进行拓展和深化。然而，学生对切线长定理的理解和应用可能还存在一定难度，特别是定理的证明过程和在实际问题中的应用。
考虑到学生的认知发展水平，他们对抽象几何关系的理解仍有待提高，因此，在教学过程中，应注重从直观到抽象的过渡，通过丰富的实例、生动的语言和形象的表达，帮助学生建立起切线长定理的直观形象。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考和创新能力，需要教师在教学过程中给予适当的引导和鼓励。
5.写作任务：结合切线长定理的学习，撰写一篇数学小论文，主题为“切线长定理在实际生活中的应用”。
要求：论文内容要具有实际意义，结构清晰，论据充分。通过写作，培养学生的数学表达能力和创新意识。
6.家长参与：鼓励学生与家长一起探讨切线长定理在实际生活中的应用，共同完成一道实践题。
要求：家长参与学生的数学学习，增进家校合作，提高学生的学习兴趣和积极性。
（4）应用：设计不同难度的练习题，让学生运用切线长定理解决问题，巩固所学知识。
（5）拓展：引导学生探索切线长定理在解决实际问题中的应用，如设计最优路线等。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、思考过程等，给予及时的反馈和鼓励。

九年级数学上册第 3 课时切线长定理【知识与技术】理解掌握切线长的观点和切线长定理，认识三角形的内切圆和三角形的心里等观点 .【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助研究切线长的特点 .联合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和心里的观点 .【感情态度】经历察看、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教课重点】切线长定理及其应用 .【教课难点】内切圆、心里的观点及运用.一、情境导入，初步认识研究如图，纸上有一⊙ O，PA 为⊙ O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B，回答以下问题：（1）OB 是⊙ O 半径吗？（ 2）PB 是⊙O 的切线吗？（ 3） PA、 PB 是什么关系？（ 4）∠ APO 和∠ BPO 有何关系？学生着手实验，察看剖析，合作沟通后，教师抽取几位学生回答以下问题.剖析： OB 与 OA 重合， OA 是半径，∴ OB 也是半径 .依据折叠前后的角不变，∴∠ PBO=∠PAO=90°（即 PB⊥OB）， PA=PB，∠ POA=∠POB；∠APO= ∠ BPO.而 PB 经过半径 OB 的外端点，∴ PB 是⊙ O 的切线 .二、思虑研究，获得新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 .我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中， PA、PB 是⊙ O 的两条切线，∴ OA ⊥ PA，OB⊥ PB.又 OA=OB ，OP=OP，∴ Rt△ AOP≌ Rt△BOP，∴ PA=PB，∠ AOP=∠BOP，∠ APO=∠BPO.由此我们获得切线长定理:从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线均分两条切线的夹角 .【教课说明】这个定理要让学生疏清题设和结论 .题设：过圆外一点作圆的切线 .结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线 .②两条切线长相等 .③这一点和圆心的连线均分两条切线的夹角 .猜想：在上图中连结AB ，则 OP 与 AB 有如何的关系？剖析：∵ PA、PB 是⊙ O 的切线， A 、B 是切点 .∴PA=PB，∠ OPA=∠OPB，∴OP⊥ AB，且 OP 均分 AB.2.三角形的内切圆思虑如图是一张三角形的铁皮，如安在它上边截下一块圆形的用料，而且使圆的面积尽可能大呢？【教课说明】指引学生剖析作图的重点，假定圆已经作出，圆心应知足什么条件，如何依据这些条件确立圆心？圆心确立后，如何确立半径？教师指引，学生要相互议论来解决这些问题.假定切合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC 的三边都相切，这个圆的圆心到△ ABC 三边的距离都等于半径 .又由于我们在角均分线这节中学过，三角形的三条角均分线交于一点，而且这个点到三条边的距离相等.所以，在△ ABC中，作∠ B，∠ C 的角均分线 BM 和 CN，它们订交于点 I ，则点 I 到 AB 、 BC、AC 的距离相等 .∴以 I 为圆心，点 I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则⊙ I 与△ ABC 三边相切 .内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角均分线的交点，叫做三角形的心里.三角形的心里到三角形三边的距离相等.【教课说明】要让学生比较图形理解三角形的内切圆的观点，并与三角形的外接圆进行比较 .“接”和“切”是说明多边形的极点和边与圆的关系；多边形的极点都在圆上叫“接” ，多边形的边都与圆相切叫“切” .三、典例精析，掌握新知例 1 教材第 100 页，例 2（此题较简单，教师指点，可由学生自主达成）例 2 如图， P 为⊙ O 外一点， PA、PB 分别切⊙ O 于 A 、B 两点，连结 OP，交⊙ O 于 C，若 PA=6.PC=23.求⊙ O 的半径 OA 及两切线 PA、 PB 的夹角 .剖析：连结 OA ，设 AO=x ，在 Rt△AOP 中利用勾股定理求出 x，由切线长定理知∠ APO=12∠ APB.求出∠ APO 便可得∠ APB.解：连结 AO ，∵ PA 是⊙ O 的切线，∴ PA⊥OA ，△ PAO 为直角三角形 .设 OA=x ，则 OC=x，在 Rt△PAO 中， OA 2+PA2=OP2，∴ x2+62=(2 3 +x)2，解得 :x=2 3 .∴OA=2 3 ，OP=4 3 ，∴∠AOP=60°，∠APO=30°.∴∠ APB=2∠APO=2×30° =60°.∴⊙ O 的半径 OA 为 2 3 ，两切线PA、PB 的夹角为 60°.【教课说明】例 1、例 2 是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们经常用方程来解决几何问题 .例 3 如图，在△ ABC 中， I 是心里，∠ BIC=100°，则∠ A=____.剖析：∵ I 是心里 .∴B I， CI 分别是∠ ABC ，∠ ACB 的均分线 .∴∠ ABC+ ∠ACB=2 （∠ IBC+ ∠ICB ） .又∵∠ BIC=100°，∴∠ IBC+ ∠ICB=80° .∴∠ ABC+ ∠ACB=160 °.∴∠ A=180° -160°=20° .【教课说明】指导学生利用三角形心里的性质解决问题.四、运用新知，深入理解课本第 100 页练习 1、 2 题.【教课说明】教师指引学生达成课本练习.五、师生互动，讲堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些迷惑？【教课说明】学生自主沟通并讲话总结，教师予以增补和评论，让学生完好地领悟本堂课的知识重点 .1.部署作业：从教材“习题”中选用 .2.达成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教课是直线与圆的地点关系的持续，从研究切线长定理开始，经过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形心里的观点，经历这些研究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技术，并能解决简单的问题.。

教案一、教学目标1.知识与技能：(1)了解什么是切线以及切线的性质；(2)掌握切线长定理的概念和计算方法；(3)能够运用切线长定理解决实际问题。

2.过程与方法：(1)通过引导学生思考，引出切线的概念；(2)通过数学实例，引导学生了解切线的性质；(3)通过练习题，巩固学生对切线长定理的掌握。

3.情感态度与价值观(1)培养学生具备良好的数学思维能力；(2)培养学生独立思考和解决问题的能力；(3)培养学生对数学的兴趣与好奇心。

二、教学重难点1.教学重点：(1)切线的概念；(2)切线的性质；(3)切线长定理的计算方法。

2.教学难点：(1)引导学生理解切线的性质；(2)能够善于运用切线长定理解决实际问题。

三、教学过程1.引入新知识：(1)通过投影片展示一个圆形，并引导学生观察、思考圆上的点到圆心的连线和切线有什么共同点和区别。

(2)以学生感兴趣的问题为切入点，例如一个人站在操场的跑道上，他站在一个点上，他向前走穿过人行道一直走到跑道外面，这个人行道与跑道的交点与他最初站的地方之间的线段是多长？(3)引导学生讨论圆上的点到圆心的连线和切线的性质，引出切线的概念以及切线长定理。

2.学习切线的性质：(1)通过一组具体的数学实例，让学生观察、分析，并总结切线的性质。

(2)引导学生进行合作探究，提出问题和解决问题的方法。

3.掌握切线长定理的计算方法：(1)讲解切线长定理的概念和计算方法。

(2)通过数学实例，引导学生掌握切线长定理的计算方法。

4.运用切线长定理解决实际问题：(1)通过具体实例和练习题，引导学生运用切线长定理解决实际问题。

(2)让学生在小组或个人中解答问题，并进行讨论和分享解决思路。

5.深化与拓展学习：(1)提供一些拓展问题，让学生深化对切线长定理的理解。

(2)讲解一些切线的拓展知识，如相切、切线的性质等。

(3)提供一些挑战性问题，让学生进行探究和解决。

四、课堂练习1.选择题：(1)已知半径为6cm的圆O，切线AB与半径OA的夹角为60°，则AB的长度为（）。

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。

切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。

但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。

三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。

2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。

2.切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。

2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。

3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题和测试题。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。

然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。

每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。

5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

鼓励学生发表自己的观点和想法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

《切线长定理》精品教案系呢？学完本节课都能解决这些问题了，让我们一起来学习一下吧。

讲授新课一、切线长的概念【说一说】如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？（出示课件5）解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得：OA为⊙O半径，PA⊥OA于A，PA即为⊙O的切线。

OB为⊙O半径，PB⊥OA于A，PB 即为⊙O的切线。

【切线长的概念】切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。

（出示课件7）师：上图所示的哪几条线段叫做切线长呢？回答：线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。

师：切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？回答：切线：PA、PB所在的直线；切线长：线段PA、PB的长度。

切线和切线长是两个不同的概念：思考并回答问题思考并回答问题通过具体的练习，让学生理解切线的判定定理通过提问，让学生知道切线和切线长的区别1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

二、切线长定理【探究】在透明纸上画出图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP 将图形对折，你发现了什么？（出示课件10）师：PA、PB有怎样的数量关系？PO与∠APB又有怎样的关系？回答：PA=PBPO平分∠APB，即∠APO=∠BPO师：该如何证明呢？（出示课件12）证明：连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，即△PAO和△PBO 均为直角三角形.又∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△PAO≌Rt△PBO.∴PA=PB，∠APO=∠BPO.【切线长定理】师：我们可以的得到结论，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理教案范文教学目标：1.理解切线长定理的概念和原理；2.能够运用切线长定理解决相关问题；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学准备：1.教师准备黑板、白板或PPT等教学工具；2.准备学生练习的题目和答案；3.预先了解学生对切线长定理的基本知识。

教学步骤：引入（10分钟）1.通过引导学生回顾圆的基本知识，例如：圆心、直径、半径等；2.提问学生在绘制两条切线的过程中遇到的问题或困惑；3.引出本课的主题，切线长定理，并激发学生的学习兴趣。

探究（30分钟）1.通过幻灯片或板书等方式向学生简要介绍切线长定理的概念和原理；2.示意图：绘制一个圆，画出圆上的一条切线，并在切点处引出垂线；3.说明如何推导出切线长定理，即证明切线长度平方等于切点至圆心线段与切点至切线上特定点线段的乘积；4.通过几个基本的习题帮助学生理解和掌握切线长定理的应用，例如求切线长度、求圆心角度数等。

拓展（15分钟）1.利用白板或幻灯片向学生展示一些应用切线长定理解决问题的例子，例如圆与正方形的关系、切线定理与余弦定理的关系等；2.引导学生分析这些例子中如何运用切线长定理，并思考如何将切线长定理应用到其他几何问题中。

讲解（20分钟）1.通过多个几何例子详细讲解切线长定理的应用方法；2.针对学生容易出现的错误和疑惑，进行解答和澄清；3.鼓励学生积极思考，提出问题并与教师和同学进行讨论。

总结（5分钟）1.回顾本课的学习内容，强调切线长定理的重要性和应用价值；2.鼓励学生总结切线长定理的特点和应用方法；3.帮助学生解决最后的疑惑，激发学生对几何学习的兴趣。

作业布置：1.布置一些与切线长定理相关的题目，并要求学生在规定时间内完成，并准备下节课进行讲解和讨论；2.鼓励学生用自己的语言总结切线长定理的应用方法和特点。

教学反思：1.教师应在每个环节中引导学生主动思考和参与讨论，建立学生的自主学习意识；2.注意针对学生的理解程度进行差异化教学，帮助弱势学生理解掌握切线长定理；3.合理利用教学工具和资源，创设合作学习和探究式学习的环境，提高学生的学习兴趣和参与度。

第7节*7切线长定理1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.【重点】了解切线长的概念,掌握切线长定理.【难点】切线长定理的证明及应用.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习三角形内切圆等相关知识.2.直尺和圆规.导入一:在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.【问题】图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.【引入】从☉O外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容——切线长定理.[设计意图]通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.导入二:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?【学生活动】学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.【问题】PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢?[设计意图]通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.[过渡语]前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行探索.想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?【师生活动】学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.【教师点评】过圆外一点能画出两条圆的切线.课件出示:【议一议】如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?【师生活动】学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等”就可以得出PA=PB.【教师点评】图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.[设计意图]通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.[知识拓展]切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线【教师引导】通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.【想一想】除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.【师生活动】要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.求证:PA=PB.证明:连接OA,OB,PO.∵PA,PB是☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△OPA和Rt△OPB中,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OPA≌Rt△OPB.∴PA=PB.符号语言描述:若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.[设计意图]通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.[知识拓展]切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.三、圆外切四边形边的性质[过渡语]上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件出示:【想一想】如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.【教师活动】为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.【学生活动】学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.【问题】但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?【师生活动】学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC,即AB+CD=AD+BC.【教师点评】切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.[设计意图]通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.思路一〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,可以得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.又∵∠C=90°,∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.而AB=26,∴34-2r=26.∴r=4,即☉O的半径为4.思路二〔解析〕由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据“见切点连半径”作出辅助线,利用“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”,列出以☉O半径为未知数的方程.解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,∴AB===26.∵S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO,∴×10×24=×26×r+×24×r+×10×r,解得r=4.即☉O的半径为4.[设计意图]本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.1.切线长概念.2.切线长定理.3.切线长定理的两个推论.1.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是()A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.PA2=PC·PO解析:由切线长定理可判断出A,B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特点,可求出AB⊥OP,故C正确.故选D.2.如图所示,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为()A.B. C.2 D.3解析:在Rt△BCM中,tan60°==,∴BC==2,∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切线,又CD也为☉O的切线,∴CD=BC=2.故选C.3.如图所示,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为.解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.故填7.4.如图所示,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6cm,OP的长为10cm,则△PDE的周长是.解析:连接OA.∵PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C点,∴BD=CD,CE=AE,PA=PB,OA⊥AP.在直角三角形OAP 中,根据勾股定理,得AP=8,∴△PDE的周长为2AP=16.故填16cm.5.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC,求证AC=BC.证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB,∠APC=∠BPC.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC.∴AC=BC.7切线长定理1.切线长概念:过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.一、教材作业【必做题】1.教材第95页随堂练习.2.教材第96页习题3.9第1,2,3题.【选做题】教材第96页习题3.9第4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()A.1B.2C.3D.42.如图所示,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于()A.15cmB.20cmC.30cmD.60cm3.如图所示,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为个.4.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是.【能力提升】5.(2014·内江中考)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为()A.2.5B.1.6C.1.5D.16.(2014·宜宾中考)如图所示,已知AB为☉O的直径,AB=2,AD和BE是☉O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作☉O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若∠ABC=30°,则AM=.7.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点D,C.若PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.8.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.☉O分别内切Rt△ABC的三边AB,BC,CA于D,E,F,半径r=2.求△ABC的周长.【拓展探究】9.(2014·聊城中考)如图所示,AB,AC分别是半圆O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P.连接PC并延长,与AB的延长线交于点F.(1)求证PC是半圆O的切线;(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.【答案与解析】1.B(解析:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=2.故选B.)2.D(解析:根据梯形的中位线等于两底和的一半,得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍,即30cm.根据圆外切四边形的两组对边和相等,得梯形的两腰的和等于两底和,即30cm.则梯形的周长等于30+30=60(cm).故选D.)3.4(解析:①连接OC,OD,利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠PCO=∠PDO=90°,得出答案正确;②利用①所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案正确;③利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO=PO=AB,即可得出答案正确;④利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,且DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,即可得出答案正确.)4.2(解析:如图所示,设切点分别为D,E,F,连接OD,OE,∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,设OD=r,则CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,r=2,则☉O 的半径是2.)5.B(解析:连接OD,OE,设AD=x,∵半圆分别与AC,BC相切,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∴OD=CE,OE=CD,∴CD=CE=OE=OD=4-x,BE=6-(4-x)=x+2,∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°,∴∠A=∠BOE,∴△AOD∽△OBE,∴=,∴=,解得x=1.6.故选B.)6.(解析:连接OM,OC,∵OB=OC,且∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°,∵∠AOC为△BOC的外角,∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵MA,MC分别为☉O的切线,∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90°,在Rt△AOM和Rt△COM中,MA=MC,OM=OM,∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°,在Rt△AOM中,OA=AB=1,∠AOM=30°,∴tan30°=,即=,∴AM=.)7.解:∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA·PB=m-1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴PA=PB=,即·=m-1,即m2-4m+4=0,解得m=2,∴PA=PB=1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.8.解:根据切线长定理,得BD=BE,CE=CF,AD=AF.如图所示,连接OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF 是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF是正方形,∴CE=CF=r=2.又∵BC=5,∴BE=BD=3.设AF=AD=x,根据勾股定理,得(x+2)2+25=(x+3)2,解得x=10.则AC=12,AB=13.即△ABC的周长是5+12+13=30.9.(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,又在Rt△PAD和Rt△PCD中,PD=PD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,OA=OC,PA=PC,OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半圆O的切线,AB=10,∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5,∴OF===10.∴BF=OF-OB=5.本课依然采用自主探究与小组合作结合的学习方式,对课程内容提出问题后先让学生独立完成,然后在小组内交流并整理所获得的信息内容,最后在课堂上展示组内成果,从而调动学生学习的积极性.在探究过程中要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动,鼓励学生动手、动脑和动口,使学生经历知识的探索过程,并让他们在学习活动中体会到成功的喜悦,从而使教学目标落实到位.讲解例题时,增加了一种解题思路,所以只注意了优等生的课堂反映情况,对后进生的关注不够,造成了有的学生掌握得不好.在教学中不要只强调结论,要特别关注学生的动手操作过程,关注他们互相交流的过程,看学生是否能积极地投入到数学活动中去,要多加鼓励,提高他们学习数学的兴趣.随堂练习(教材第95页)解:如图所示,连接OA,OB.因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,即∠OAP=90°.因为OA=3,PO=6,所以PA==3.同理可得PB=3.习题3.9(教材第96页)1.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,DE切☉O于C,∴PA=PB=5cm,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长=PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10cm.2.解:设AF=x,∵△ABC的内切圆☉O与三边分别相切于D,E,F三点,AB=9,BC=14,CA=13,∴AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=9-x,CE=CD=AC-AE=13-x,∵BD+CD=BC,∴9-x+13-x=14,解得x=4,∴AF=4,BD=5,CE=9.3.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=70°.∵AD=BE,BD=AF,∴△FAD≌△DBE.∴∠ADF=∠BED.∵∠BED+∠BDE=180°-70°=110°,∴∠ADF+∠BDE=110°.∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=70°.4.解:存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O,点O即为四边形ABCD的内切圆的圆心.过点O分别作BC,AB的垂线,垂足分别为E,F.可得四边形OEBF为正方形,OE即为☉O的半径.由△OEC∽△ABC得=,即=,解得OE=,即内切圆的半径为.1.让学生通过动手操作逐步感知切线长的概念、定理、定理的证明、定理的应用的过程,再次体会探究新知的一般过程.2.由于本节课的知识点比较少,所以通过自主探究和合作交流学生基本上可以掌握本节课的重点内容.3.对于圆的外切四边形的性质的探究则可以利用切线长定理进行类比延伸.4.切线长定理的辅助线作法——“见切点连半径”,也要求学生要重点掌握.如图所示,若△ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O分别切AB,BC,AC于D,E,F,求AF的长.〔解析〕由切线长定理可知AF=AD,CF=CE,BE=BD,设AF=x,然后表示出BD,CF的长,即可表示出BE,CE的长,根据BE+CE=5,可求出AF的长.解:设AF=x,根据切线长定理得AD=x,BD=BE=9-x,CE=CF=6-x,则有9-x+6-x=5,解得x=5,即AF的长为5.[解题策略]此题主要是运用了切线长定理,用已知数和未知数表示所有的切线长,再进一步列方程求解.。

教学设计切线长定理教材分析：这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。

数学核心素养：主要体现在对学生直观想象、逻辑推理方面的培养数学思想或能力：转化思想、方程思想、数形结合思想、用代数方法解决几何问题的思想，合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

教学目标：1、知识与技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

2、过程与方法目标：经历添线、猜想、证明等数学活动过程，让学生体验到知识的生成、联系及转化过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

3、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

教学重点：理解切线长定理教学难点：应用切线长定理解决问题教法：教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。

利用“大胆添线—提出猜想—推理验证—应用拓展”的模式进行教学。

本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要把概念教学、定理教学、解题教学有机组合，完成本节课的教学。

学法：研究性学习，学生在教师引导下，去思考、猜想、探索、讨论。

教学流程：复习回顾总结方法，二、大胆添线猜想验证，三、学以致用自我检验，四、总结反思自我升华，五、完成作业自我巩固教学过程：。

-举例：给定圆的半径和圆外一点，求解该点到圆的切线长度。
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)

3.7切线长定理【教学内容】切线长定理 【教学目标】知识与技能 理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；过程与方法 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理的对比，培养学生分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学中相关定义的区别与联系。

从而发现事物之间的相互联系。

【教学重难点】重点：切线长定理及其应用。

难点：切线长定理及其应用 【导学过程】【知识回顾】1.什么是切线？切线的判定和性质是什么？2.什么是三角形的内切圆？什么是内心？它是什么的交点？ 【情景导入】过圆上一点作圆的切线如何做？如果我们过圆外一点画圆的切线，能画几条？试试看？ 【新知探究】 探究一、经过圆外一点可作圆的 ，这点和切点之间的 ，叫做这点到圆的 . 如图1，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，点A ，B 为切点，把线段 PA ，PB 的长叫做点P 到⊙O 的（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）找出图形中相等的线段，并说明理由。

注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.探究二：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分_______________． 几何语言：PA PB 、是⊙O 的两条切线_____________,________________ .（2）如何证明切线长定理呢？已知：如图2，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB． 证明：（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.（图2）AB OA BO探究二、四边形的四边都与⊙O 相切，则它相对的两边有何关系？与同伴进行交流。

索切线长定理，让学生在实际操作中形成对圆与直线关系的直观认识，提高空间想象力和几何直观能力。
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明和应用切线长定理的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，学会用几何语言表达几何关系，提高几何证明能力。
3.增强学生的数学建模意识：引导学生将切线长定理应用于解决实际问题，培养数学建模意识，提高解决实际问题的能力。
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们在讨论中积极思考，互相交流，展示环节也能看出他们对于切线长定理的理解和应用。但我也注意到，有些小组在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入定式思维。因此，我需要在今后的教学中，多设计一些开放性问题，引导学生从多角度思考问题。
学生小组讨论环节，大家围绕切线长定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。在这个过程中，我发现有些学生能够提出很有见地的观点，但也有一些同学发言不够积极。为了提高全体同学的参与度，我考虑在下次课中采用一些激励措施，如表扬积极发言的学生，以提高他们的积极性。
-与相似三角形知识的综合应用：如何将切线长定理与相似三角形的性质相结合，解决更复杂的几何问题，是学生学习的难点。
举例解释：
-在讲解切线长定理的证明时，引导学生从圆的半径、弦、切线等基本概念出发，运用几何图形和逻辑推理进行证明。
-在解决实际问题时，教师应引导学生分析问题，找出关键信息，并运用切线长定理进行求解。
3.1《切线长定理》教案
一、教学内容
本节课选自教材九年级下册第3章第1节《切线长定理》。教学内容主要包括以下几部分：
1.探索并理解切线长定理：通过直观演示和实际操作，引导学生发现并理解切线长定理，即从圆外一点引两条切线，切线长相等。
2.掌握切线长定理的应用：学会运用切线长定理解决相关问题，如求线段长度、证明线段相等等。