交集并集的概念及性质

集合的交集与并集集合是数学中一个重要的概念，用于描述具有共同特征的对象的集合。

在集合论中，我们经常会用到两个基本的运算，即交集和并集。

交集是指由两个或多个集合中具有相同元素的元素组成的新的集合，而并集则是由两个或多个集合中所有的元素组成的新的集合。

本文将着重介绍集合的交集与并集，并探讨它们在数学中的应用。

1. 交集的定义与性质交集是指由两个或多个集合中共同元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的交集表示为A∩B。

交集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x同时属于集合A和集合B，则x属于A∩B。

交集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

即交换交集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

即交集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

即交集与并集满足分配律。

2. 并集的定义与性质并集是指由两个或多个集合中所有元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的并集表示为A∪B。

并集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x属于集合A或属于集合B，则x属于A∪B。

并集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

即交换并集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。

即并集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

即并集与交集满足分配律。

3. 交集与并集的应用交集和并集在数学中有广泛的应用，特别是在集合论、逻辑学、概率论等领域。

在集合论中，交集和并集是集合运算的基础。

通过交集和并集的组合运算，可以构建更复杂的集合关系，如补集、差集等。

在逻辑学中，交集和并集可以用来表示命题之间的联系。

集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。

在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。

这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。

本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。

一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。

记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。

如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。

交集的定义可以扩展到多个集合之间。

对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。

交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。

假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。

因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。

二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。

记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。

如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。

并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。

对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。

并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。

A．{0} B．{1,2} C．{1} D．{2}
【解析】 因为 N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1} 【答案】 C
4．设 A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若 A∩B＝∅，则实 数 t 的取值范围是( )
A．t<－3 B．t≤－3 C．t>3 D．t≥3
根据数轴可得k＋1≤2k－1，
解得 2≤k≤52.
－3<k＋1，
综合①②可得kk≤52
.
2k－1≤4，
(2)∵A∩B}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知 B≠∅.
由数轴可知 k＋1≤－3，
2k－1≥4， 解得 k∈∅，
即当 A∩B＝A 时，k 的取值范围为∅.
【解析】 (1)P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－ 1,3}，所以 P∩M＝{－1}，P∪M＝{－1,1,3}．
(2)借助数轴可知：
M∪N＝{x|x>－5}， M∩N＝{x|－3<x<－2}． (3)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，x∈Z， ∴M＝{－1,0,3,8,15，…}． 又∵y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，x∈Z， ∴N＝{0，－3，－8，－15，…}， ∴M∩N＝{0}．
【思路点拨】 利用 A∩B＝B 得 B⊆A，然后就 B 是否为空集讨 论，列出关于 a 的不等式(组)求解即可．
【解析】 ①当 B＝∅时，只需 2a>a＋3，即 a>3； ②当 B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得a＋3≥2a， a＋3<－1 或a＋3≥2a， 2a>4，
解得 a<－4 或 2<a≤3.
2．已知集合 P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么 P∪Q＝( )

【数学知识点】交集并集补集相关概念
交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组
成的集合，叫做集合A与集合B的交集。

并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集。

补集：在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。

交换律：A∩B=B∩A;A∪B=B∪A。

结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C;(A∩B)^C=A^C∪B^C。

(1)确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二
者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

(2)互异性：：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现
一次。

有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许
出现多次。

(3)无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

(4)纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。

集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。

(5)完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

交集和并集的运算法则交集和并集是集合论中常用的运算法则，它们在数学和计算机科学中具有重要的应用。

本文将分别介绍交集和并集的概念、性质以及运算法则，并举例说明其应用。

一、交集的定义和性质交集是指两个或多个集合中共同存在的元素所组成的集合。

设A和B为两个集合，则它们的交集记作A∩B，即A与B的交集。

交集的性质如下：1. 交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

这意味着交集运算不受顺序影响。

2. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

这意味着交集运算在多个集合之间可以进行结合。

3. 吸收律：对于任意集合A和B，有A∩(A∪B) = A。

这意味着交集运算对于并集运算具有吸收性。

4. 恒等律：对于任意集合A，有A∩A = A。

这意味着集合与自身的交集等于原集合。

5. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

这意味着交集运算对于并集运算具有分配性。

二、并集的定义和性质并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。

设A和B为两个集合，则它们的并集记作A∪B，即A和B的并集。

并集的性质如下：1. 交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

这意味着并集运算不受顺序影响。

2. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

这意味着并集运算在多个集合之间可以进行结合。

3. 吸收律：对于任意集合A和B，有A∪(A∩B) = A。

这意味着并集运算对于交集运算具有吸收性。

4. 恒等律：对于任意集合A，有A∪A = A。

这意味着集合与自身的并集等于原集合。

5. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

这意味着并集运算对于交集运算具有分配性。

根据交集和并集的定义和性质，可以得出以下运算法则：1. 对于任意集合A，有A∩∅ = ∅和A∪∅ = A。

其中，∅表示空集，即不包含任何元素的集合。

集合论中的交集并集运算与应用案例集合论是数学中的一个重要分支，研究集合的结构、性质和运算规律。

其中，交集和并集是集合论中最基本的运算之一，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。

本文将介绍交集和并集的定义、性质以及几个典型的应用案例。

一、交集的定义和性质在集合论中，交集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有同时属于这些集合的元素所组成的集合。

用符号∩表示交集运算。

交集的定义可以表示为：A∩B={x|x∈A且x∈B}。

交集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

二、并集的定义和性质在集合论中，并集是指给定若干个集合A、B、C……，由所有属于这些集合的元素所组成的集合。

用符号∪表示并集运算。

并集的定义可以表示为：A∪B={x|x∈A或x∈B}。

并集运算具有以下几个性质：1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

三、交集和并集的应用案例1. 数学中的集合运算：在数学中，交集和并集的概念被广泛应用于集合的运算。

例如，在解方程或不等式的过程中，常常需要用到集合的交集和并集来求解。

2. 数据库查询：在数据库中，交集和并集运算可以用来进行数据查询和筛选。

例如，可以通过对两个表进行交集运算，获取其中共有的数据；或者通过对两个表进行并集运算，合并两个表中的数据。

3. 网络安全：在网络安全领域，交集和并集运算可以用来进行IP地址过滤和访问控制。

通过对已知的恶意IP地址集合取交集，可以快速判断网络流量中是否存在威胁；通过对不同的访问控制策略取并集，可以实现更加灵活的网络安全防护。

数的交集与并集数学中，交集和并集是常见且重要的概念。

它们用于描述不同集合间的关系，对于解决各类问题具有重要作用。

本文将详细介绍数的交集与并集的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、交集的定义与性质交集是指两个或多个集合中共同包含的元素组成的集合。

用符号∩表示。

例如，设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5}，则A与B的交集为A∩B={3, 4}。

即两个集合或多个集合中共同存在的元素。

交集的性质如下：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

通过利用交集的定义和性质，我们可以解决各类问题。

例如，当需要找出两个集合中共同存在的元素时，可以使用交集的概念和运算。

二、并集的定义与性质并集是指两个或多个集合中所有元素组成的集合。

用符号∪表示。

例如，设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5}，则A与B的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

即将两个集合或多个集合中的元素合并在一起。

并集的性质如下：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∪B=B∪A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

并集的概念和运算也广泛应用于各个领域。

例如，在概率论中，我们计算事件的并集来确定概率。

在数据库中，我们使用并集操作来合并表格或查询结果。

三、交集与并集的应用交集和并集在实际问题中具有广泛的应用。

下面以几个例子来说明：例1. 某班级有A、B、C三个学生集合，其中A={学生甲, 学生乙,学生丙}，B={学生丙, 学生丁, 学生戊}，C={学生甲, 学生丙, 学生戊}，求该班级有哪些学生？答：班级的学生集合为A∪B∪C，即并集。

集合的交集与并集在数学中，集合是由一组元素组成的，而集合的交集和并集是集合运算中常用的概念。

本文将详细介绍集合的交集和并集的含义、性质以及在实际问题中的应用。

一、集合的交集在集合论中，给定两个集合A和B，它们的交集指的是同时属于集合A和B的所有元素所构成的集合，用符号表示为A∩B。

换句话说，A∩B中的元素必须同时满足属于A和B。

例如，假设有两个集合A={1, 2, 3}和B={2, 3, 4}，它们的交集为A∩B={2, 3}。

因为集合A和集合B都包含元素2和元素3，所以它们的交集就是这两个共有的元素。

集合的交集有以下几个基本性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∩B=A。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∩A=A。

5. 空集性质：对于任意集合A，A∩∅=∅。

即任何集合与空集的交集为空集。

可以使用交集操作来查找同时满足多个条件的记录；在概率与统计中，交集可以用来计算事件的联合概率等。

二、集合的并集与交集相反，集合的并集指的是由所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合，用符号表示为A∪B。

换句话说，A∪B中的元素只需属于A或B中的一个即可。

继续以集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}为例，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。

因为集合A和集合B中的元素合并在一起，所以它们的并集就是包含了A和B中所有元素的集合。

集合的并集也具有一些重要的性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∪B=B。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∪A=A。

5. 全集性质：对于任意集合A，A∪U=U。

【数学知识点】交集和并集的例子交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。

并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集。

1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，求B∩A。

2、已知集合A={(x，y)|x+2y=5}，B={(x，y)|5x-2y=1}，求B∩A。

3、已知集合A={x|-24、已知集合A={-1，1，2}，B={0，2，3}，求B∪A。

5、设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则AUB=？6、设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则AB为？7、已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=？8、集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为？9、设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于？10、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AB={3},AUB={9}，则A=？若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。

A和B的并集通常写作"A∪B"，读作“A并B”，用符号语言表示，即：A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

关于并集有如下性质：A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则A∈B，反之也成立;若A∪B=B，则A∈B，反之也成立。

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B;若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B。

集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。

即：A∩B={x|x∈A∧x∈B}。

若两个集合A和B的交集为空，则说他们没有公共元素。

任何集合与空集的交集都是空集，即A∩∅=∅。

三、例题讲解
例1：设A={x|x是等腰三角形}， B= {x|x是直角三角形}，求A∩B . 解： A∩B= {x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角 形} = {x|x是等腰直角三角形} 例2：设A={x|x是锐角三角形}，B= {x|x是钝角三 角形}，求A∪B . 解： A∪B= {x|x是锐角三角形}∪ {x|x是钝角三角 形} = {x|x是斜角三角形}
(2) A A A A A A A A A A (CU A) A (CU A) U
若A B A或A B B, 则A B
(3)若A B, 则A B A
A B B
(4)(CU A) (CU B) CU ( A B) (CU A) (CU B) CU ( A B)
交集、并集
一、交集、并集的定义：
大家观察这两个集Байду номын сангаас：
A {1,2,3,4 }
B {3,4, 5,6}
交集的定义：一般地，由所有属于集合A且属于集 合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集， 记作A∩B（读作“A交B”），即 A∩B={x | x∈A且x∈B} 并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集 合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集， 记作A∪B（读作“A并B”），即 A∪B={x | x∈A或x∈B}
A∩B
A∪B
A
B
A
B
A
B
A
B
A∩B
A∪B
A
B
A
B
A
B
A
B
A (B)
二、交集、并集的性质：
(1) A B A A B A A B B A B B A B A B

并集和交集补集基础知识
并集、交集和补集是集合论中的基本概念，用于描述集合之间的关系和操作。

1. 并集（Union）：两个集合A 和B 的并集表示为A ∪ B，表示为所有属于集合A 或属于集合 B 的元素的集合。

用符号表示为：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。

2. 交集（Intersection）：两个集合A 和B 的交集表示为A ∩ B，表示为所有同时属于集合A 和集合 B 的元素的集合。

用符号表示为：A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}。

3. 补集（Complement）：集合A 的补集表示为Ac，表示为所有属于全集U 但不属于集合
A 的元素的集合。

用符号表示为：Ac = U \ A。

以下是一些基本的集合运算公式：
1. De Morgan's Laws：
- A ∪ B' = (A' ∩ B')'
- A ∩ B' = (A' ∪ B')'
2. Distributive Law：A (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Idempotent Law：A ∪ A = A，A ∩ A = *
***mutative Laws：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A
5. Associative Laws：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
掌握这些基础知识有助于更好地理解和运用集合论在数学、计算机科学等领域的应用。

点是如何聚集在一起的。
在概率论中的应用
概率空间的定义
在概率论中，交集和并集被用来定义概率空间，它们是概率空间 的基本元素。
事件的运算
事件的交和并是概率论中的基本运算，它们可以帮助我们理解事件 的组合和事件的概率。
随机变量的定义
在定义随机变量时，交集和并集也被广泛应用，它们可以帮助我们 理解随机变量的取值范围和概率分布。
感谢您的观看
THANKS
05
交集与并集的应用
在集合论中的应用
集合的运算
交集和并集是集合的基本运算之 一，它们在集合论中有着广泛的 应用，如集合的分解、集合的表
示等。
集合的性质
通过交集和并集的运算，可以研 究集合的性质，如集合的连通性、
集合的紧致性等。
集合的拓扑结构
在研究集合的拓扑结构时，交集 和并集的运算也是非常重要的， 它们可以帮助我们理解空间中的
两个或两个以上的集合中 所有的元素组成的集合称 为并集。
教学目标
理解交集与并集的概 念。
能够运用交集与并集 的概念解决实际问题。
掌握交集与并集的运 算方法。
02
交集的概念与性质
交集的定义
交集的定义
交集的描述性表示
两个集合A和B的交集是指同时属于A 和B的所有元素的集合，记作A∩B。
描述性表示方法通常用"A和B的公共 部分"或"A和B共有的元素"来描述。
03
并集的概念与性质
并集的定义
并集的定义
对于任意两个集合A和B，它们的并集A∪B是由所有属于A或属于B的元素组成 的集合。
并集的数学符号表示
记作A∪B，读作A并B。
并集的表示方法
列举法

解 : 根据三角形的分类可知 A B , CU A B {x | x直角三角形}. A B {x | x是锐角三角形或钝角三 角形},
判断正误:
1.若U={四边形}，A={梯形}，则CUA={平行四边形}。 2.若U是全集，且AB，则CUACUB。 3.若U={1，2，3}，A=U，则CUA=。
记号 简而 言之 图 示
(读作“A交B”）
A B
A B
(读作“A并B”）
A B x x A且x B A B x x A或x B
A B A B
[例]设全集U={x|x是三角形},
A={x|x是锐角三角形},
B={x|x是钝角三角形}。 求A∩B,CU(A∪B).
小结
交集的定义:A∩B={x|x∈A，且x∈B}
并集的定义: A∪B = {x|x∈A，或x∈B}
注意运用数形结合的思想方法:
U A B
(CUA)∩B (CUB)∩A
(CUA)∩( CUB)
再见！
[例] 设U={x|x是小于9的正整数}, A={1,2,3}，B={3,4,5,6}, 求C UA ；C UB .
解:根据题意可知, U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 CUA={4,5,6,7,8} CUB={1,2,7,8} .
小结
名称 定 义 交集 并集 由所有属于A且属于B 由所有属于A或属于B 的元素所组成的集合 的元素所组成的集合 叫做A与B的交集。 叫做A与B的并集。
D={直角三角形}，则下列关系正确的是（ B ） （A）A∪D=D （C）C∪B=C （B）C∪B=B （D）B∪D=B
若A={1,3,x}，B={ x 2 ,1}，且A∪B={1，3，x}， 则这样不同的x有（ C ）个. （ A） 1 （ B） 2

高一数学交集与并集知识点在高一数学学习中，交集与并集是两个非常重要的概念，它们在解决集合相关的问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍高一数学中关于交集与并集的基本知识点。

一、交集（∩）的定义与性质所谓交集，指的是两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

交集的符号表示为∩。

1. 定义：设A、B为两个集合，A与B的交集为A∩B，即A∩B={x | x∈A 且 x∈B}。

2. 性质：a. 交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

b. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C =A∩(B∩C)。

c. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

二、并集（∪）的定义与性质并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的一个新集合。

并集的符号表示为∪。

1. 定义：设A、B为两个集合，A与B的并集为A∪B，即A∪B={x | x∈A 或 x∈B}。

2. 性质：a. 交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

b. 结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。

c. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

三、交集和并集的应用交集和并集在数学问题中有着广泛的应用，特别是在集合论、概率论以及逻辑推理等领域。

1. 集合论：交集和并集在集合论中被广泛研究和应用。

通过交集和并集的运算，我们可以推导出集合的包含关系、相等关系、差集等概念。

2. 概率论：在概率论中，交集和并集是计算事件概率的重要工具。

通过交集和并集的概念，我们可以计算同时发生两个事件的概率（交集），或者至少发生一个事件的概率（并集）。

3. 逻辑推理：交集和并集也在逻辑推理中起着重要的作用。

通过交集和并集的运算，我们可以进行命题的合取、析取运算，以及条件语句的推理。

四、交集和并集的解题技巧在解题过程中，我们可以运用交集和并集的性质和定义来简化问题，提高解题效率。

第四讲交集、并集一、定义（1）交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．（2）并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．二、性质(1)交集的性质①A A=A ②A Φ=ΦA B=B A ③A B⊆A, A B⊆B．(2)并集的性质①(1)A A=A ②A Φ=A ③(3)A B=B A ④A B⊇Ａ,A B⊇B⊆A B⊆A⊆A B．联系交集的性质有结论：Φ三、德摩根律：(C u A) (C u B)= C u (A B),(C u A) (C u B)= C u(A B)(可以用韦恩图来理解)．结合补集，还有①A (C u A)=U, ②A (C u A)= Φ．容斥原理:一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．四、讲解范例：例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A B.例3 设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例4 已知A是奇数集,B是偶数集，Z为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.例5 设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求C u A, C u B, (C u A) (C u B), (C u A)(C u B), C u (A B) , C u (A B)．例6 已知集合A={y|y=x 2-4x+5},B={x|y=x -5}求A∩B,A ∪B ．例7 已知A={x|x 2≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a 的取值范围．例8 集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M ∪N ．例9 已知全集U={x|x 2-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--021x x x， 求C U A ，C U B ，A ∩B ，A ∩（C U B ），（C U A ）∩B课堂检测卷建议用时40分钟 满分100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．下列表述中错误的是（ ）A ．若,AB A B A ⊆=则B ．若A B B A B =⊆，则C ．()A B ÜA Ü()A BD ．∁U (A ∩B )= (∁U A )∪(∁U B )2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(∁U A )∩B ＝( )A.{0}B.{2}C. {0,1}D.{－1,1}3．若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝( )A. {x |x <0}B.{x |－2≤x <0}C.{x |x >3}D.{x |－2≤x <3}4．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝（ ）A ．{－1} B.{0}C. {－1,0}D. {－1,0,1}5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A .m B.m ＋nC.m －nD.n －m6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，∁U (A ∪B ) ＝（ ）A. {2,4}B. {2,4,8}C. {3,8}D. {1,3,5,7}二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）7.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的有 人.8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.9．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围是 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共3小题，共46分）10.（14分）集合{}22|190A x x ax a =-+-={}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=，满足AB ≠∅，,AC =∅求实数a 的值.11．（15分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A.12．（17分）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围四、作业1.设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.2.A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.3.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.4．集合P= ，Q= ，则A∩B=5．不等式|x-1|>-3的解集是 6．已知集合A=,612⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈N x N x 用列举法表示集合A= 7 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()B A C U ⋂{}6,2=()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A=8．P=｛a 2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a 2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．9．已知集合A={y|y=x 2-4x+5},B={x|y=x -5}求A B,A B ．10．已知A={x|x 2≤4}, B={x|x>a},若A B=φ,求实数a 的取值范围．(){}0,=+y x y x (){}2,=-y x y x11．集合M=｛(x,y) |∣xy ∣=1,x ＞0｝,N=｛(x,y) |xy=-1｝,求M N ．12．已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (C U B)=｛3,7｝, (C U A) B=｛5,9｝.则A B=____．13. 已知A ＝{x | x 2－ax ＋a 2－19=0}, B ={x | x 2－5x ＋8=2},C ={x | x 2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值14. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x , y )| mx －y 2＋n =0},B ={(x , y )| x 2－my －n =0},求m , n 的值15. 已知集合A={x|x 2+4x-12=0}、B={x|x 2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围16. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.P N M )( B ．P N M )(C ．P C N M S )(D ．P C N M S )(M N P 第9题课堂检测卷答案一、选择题1.C 解析：当A B =时，A B A A B ==.2.A 解析：∁U A ＝{0,1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．3.B 解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．4. C 解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．5.C 解析：∵U ＝A ∪B 中有m 个元素， (ðU A )∪(ðU B )＝ðU (A ∩B )中有n 个元素， ∴A ∩B 中有m －n 个元素．6.B 解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 则ðU (A ∪B )＝{2,4,8}．二、填空题7.26 解析：全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的有x 人；仅爱好体育 的有（43x ）人；仅爱好音乐的有（34x ）人；既不爱好体育又不爱好音乐的 有4人 ,∴43x 34xx 4=55，∴x =26.8.2 解析：由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9. 9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解析：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->.三、解答题10. 解：{}2,3B =，{}4,2C =-，而A B ≠∅，则2,3至少有一个元素在A 中. 又A C =∅，∴2A ∉，3A ∈，即293190a a -+-=，得52a a ==-或，而5a A B ==时，，与AC =∅矛盾， ∴2a =-.11.解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要使方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98. 综上可知，若A ＝，则a 的取值范围应为a >98. (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． 12.解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件.综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴BA . ①当Δ<0，即a <－3时，B ＝满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾. 综上，a 的取值范围是a ≤－3.。

交集和并集的运算法则一、交集的定义和性质1. 交集的定义：给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，即A与B共有的元素构成的集合。

2. 交集的性质：（1）交换律：A∩B = B∩A，即交集操作满足元素的交换性质；（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，即交集操作满足元素的结合性质；（3）恒等律：A∩A = A，即一个集合与自身的交集等于该集合本身；（4）空集律：A∩∅ = ∅，即任何集合与空集的交集都是空集；（5）全集律：A∩U = A，即任何集合与全集的交集等于该集合本身。

3. 交集的应用：（1）判断两个集合是否有共同的元素：若A∩B ≠ ∅，则集合A 和B有共同的元素；（2）求解问题的限定条件：将问题中的条件用集合的形式表示，交集即为问题的限定条件；（3）判断两个事件是否同时发生：将事件的样本空间用集合的形式表示，交集即为事件的共同发生的结果。

二、并集的定义和性质1. 并集的定义：给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，即A和B的所有元素构成的集合。

2. 并集的性质：（1）交换律：A∪B = B∪A，即并集操作满足元素的交换性质；（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，即并集操作满足元素的结合性质；（3）恒等律：A∪A = A，即一个集合与自身的并集等于该集合本身；（4）空集律：A∪∅ = A，即任何集合与空集的并集等于该集合本身；（5）全集律：A∪U = U，即任何集合与全集的并集等于全集。

3. 并集的应用：（1）求解问题的所有可能情况：将问题中的各个条件用集合的形式表示，将条件的并集作为问题的所有可能情况；（2）判断两个事件是否至少发生一个：将事件的样本空间用集合的形式表示，并集即为事件至少发生一个的结果；（3）计算集合的元素个数：对于有限集合，可以通过并集操作计算集合中元素的个数。

三、交集和并集的关系1. 交集和并集的关系：对于任意集合A和B，有以下关系：（1）A∩B ⊆ A∪B，即交集是并集的子集；（2）A∩B = A，当且仅当A ⊆ B时成立；（3）A∩B = B，当且仅当B ⊆ A时成立；（4）当A∩B = A∪B时，集合A和B互为补集。

请解释什么是集合运算中的并集和交集集合运算是数学中的一个重要概念，它用于处理不同集合之间的关系和操作。

其中，最常见的两个集合运算是并集和交集。

本文将详细解释什么是集合运算中的并集和交集，以及它们的特点和应用。

一、并集的定义和性质并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合的操作。

如果集合A和集合B的并集记作A∪B，那么A∪B包含了所有属于A或者属于B的元素。

具体地说，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}来说，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

这里，A∪B中包含了A和B中的所有元素，重复元素只计算一次。

并集运算具有以下性质：1. 交换律：即A∪B=B∪A，无论A和B的顺序如何，它们的并集保持不变。

2. 结合律：即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，无论操作的顺序如何，最终的并集结果都是相同的。

3. 恒等律：对于任何集合A来说，A∪∅=A，其中∅表示空集。

即集合与空集的并集仍等于原集合本身。

4. 吸收律：对于任何集合A来说，A∪U=U，其中U表示全集。

即集合与全集的并集为全集本身。

二、交集的定义和性质交集是指取两个或多个集合中同时属于这些集合的元素所组成的集合。

如果集合A和集合B的交集记作A∩B，那么A∩B包含了所有既属于A又属于B的元素。

以集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}为例，它们的交集可以表示为A∩B={3}，因为集合A和集合B中唯一一个既属于A又属于B的元素是3。

交集运算具有以下性质：1. 交换律：即A∩B=B∩A，无论A和B的顺序如何，它们的交集保持不变。

2. 结合律：即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，无论操作的顺序如何，最终的交集结果都是相同的。

3. 恒等律：对于任何集合A来说，A∩U=A，其中U表示全集。

即集合与全集的交集仍等于原集合本身。

4. 吸收律：对于任何集合A来说，A∩∅=∅，其中∅表示空集。

即集合与空集的交集为空集。