2014年广东省深圳市高考理科数学二模试题及答案解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值 和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示， 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则 下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130小学 初中高中 年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

广东省深圳中学2014届高三第二次模拟测试题理科数学第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．“1>x ”是“ln 0x >”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(1)i z x x =-++是纯虚数，则实数x 的值为A ．1±B ．1-C ．1D ．23. 若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能是A ．∅B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x =>4．sin 2013︒∈A ．32,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．21,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．若函数2(),f x x x ax =+∈R ，常数a ∈R ，则A ．存在,a 使()f x 是奇函数B ．存在,a 使()f x 是偶函数C ．,a f x ∀∈R ()在(0,)+∞上是增函数D ．,a f x ∀∈R ()在(,0)-∞上是减函数 6. 动点P 在函数sin 2y x =的图象上移动，动点(,)Q x y 满足π(,0)8PQ =，则动点Q 的轨迹方程为A ．πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ． πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是A ．8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 设函数(2)ln(3)()4x x f x x --=-，则()f x 的图象A ．在第一象限内B ．在第四象限内C ．与x 轴正半轴有公共点D ．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内2n n =31n n =+开始 n =3，k =0 n 为偶数n =1输出k 结束k =k +1 是否 是否y=cos xy=sin xOyx-2-12-17π83π8y xOODC BA第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 右图中阴影部分区域的面积S = .10. 若命题“x ∀∈R ，220x x m ++≥”的否定为真命题，则实数m 的取值范围是 .11. 如右图，在四边形ABCD 中，13DC AB =，E 为BC 的 中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅，则32x y -= . 12．在ABC 中， 1cos ,33A AC AB ==，则cos B = . 13．已知函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)2()f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.则(8)f = ；方程1()5f x =的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若3,1CD BD ==, 则圆O 的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为,(3.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O ρθ，则曲线l 的极坐标方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ； （2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式； （2）若cos ()+12CC f =，求ABC 的面积S . EDC BA18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ．(1) 若m n ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间.19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，， 其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥； （2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m .参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．21- 10．(),1-∞ 11. 1 12．0 13. 0， 31014. π 15.(sin cos )3ρθθ-=,或π32sin()42ρθ-=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ； （2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1a b ∴⋅=-， ……………………………………………………………………2分则21()(,)=+⋅=-=-c a a b b a b ，……………………………………………4分22215()c =+-=，…………………………………………………………6分另解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1∴⋅=-a b ，2222101,(1)12=+==-+=a b ………………………3分则c a a b b a b =+⋅=-()， ……………………………………………4分222()21225c a b a a b b =-=-⋅+=++=，……………………6分（2）22222()22cos a b a b a b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅θ,……8分又13,a b ==,1a b +=,∴1323cos 1θ++=,3cos 2θ=-. .………………………………………10分[]0,πθ∈,5π.6θ∴=.………………………………………………………………………12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D B B D B ACBAO-2-12-17π83π8y xO另解：（2）假设a 与b 方向相同，那么131a b a b +=+=+>，这与1a b +=矛盾；假设a 与b 方向相反，那么311a b b a +=+-=-<这与1a b +=矛盾. 故a 与b 不共线. .……………………………………………………………8分 如图,在OACB 中,OA =a ,OB =b , 则=OC +a b ,AOB θ∠=.从而在OAC 中,1,3OA OC AC OB ====,22211(3)1cos .2112AOC +-∠==-⨯⨯.……………………………………………10分由(0,π)AOC ∠∈,知2π,3AOC ∠=π,6BOC OCA OAC ∠=∠=∠= 故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式； （2）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S . 解：（1）由图象可知：max min ()21,()21,f x a b f x a b =-=-=--=--得2a =， 1.b =…………………………………………………………2分函数()f x 的最小正周期2π7π3π2()π88T ω==-=，得 2.ω=…………………3分 由3π3π()2sin(2)121,88f θ=⨯+-=-得3πsin()1,4θ+=…………………4分ππ3π5π,2444θθ<<+<， 3πππ,.424θθ∴+==- ……………………………………………………………5分 故π()2sin 2 1.4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ …………………………………………………6分（2）由cos ()+12C C f =得，π2sin sin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，……7分 即1cos 2sin .C C =……………………………………………………………8分 又22sin cos 1C C +=，得2425sin ,sin .55C C ==±…………………………10分 由0πC <<得，25sin 5C =，……………………………………………………11分 故110sin .25S ab C ==……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ． (1) 若mn ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间. 解：（1）m n ,且1y =，2cos 23sin cos ,x x x ∴+=- ………………………2分即3tan .2x =-……………………………………………………………3分 πtan tanπ36tan().π691tan tan 6x x x +∴+==--⨯ ……………………………………5分 （2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, …………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分） 由π()4cos(2)06f x x '=+≥得πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，………11分 即ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分 故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分另解：（2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, ………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分） 函数2sin 1y t =+的单调增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,……………10分 且函数π26t x =+是增函数, 由πππ2π22π,262k t x k k -≤=+≤+∈Z ， 得ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分 故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分 19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，， 其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.(1)解： 214212312a a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭+， ……………………………………………………1分 由函数()f x 的周期为2，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 40, 4.3a a +∴==- ……………………………………………………………4分(2) ①证明：对[21][12]x ∀∈--，，，有[21][12]x -∈--，， 且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，∴()g x 是偶函数. …………………………………………………6分②解：由①知函数()g x 的值域与函数()g x 在[12]，上的值域相等 (1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-(2)(2)(2)2(0)4g f f f =+-==…………………………………………………8分当12x <<时, 21x -<-<-,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分26()20(3)g x x '=+>-,()g x 在()1,2内是增函数, ………………………11分 得6627()2271323g x --<<⨯----,即2() 3.g x -<<…………………13分 综上知,函数()g x 的值域为[){}2,34.-…………14分20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥； （2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.(1)证明:[]12121()()()22x x f x f x f ++-121221(e e )e 2x x x x +=+- 121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x =-≥………………………………5分[]12121()()().22x x f x f x f +∴+≥ ……………………………………………6分(2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )t t ,则直线l 的方程为e e (),t t y x t -=-即e e (1).t t y x t =+-……………………9分 直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根, ………10分即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.tt +-=……………………………………………11分 设()e 1t t t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10t t ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =……………………………………13分所以存在唯一一条直线l 与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为1.y x =+……………………………………………………………………………14分21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m . 解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>……………………………………1分 ① 当2k ≤时，11()220f x x k x k k x x'=+-≥⋅-=-≥， 函数()f x 为增函数. …………………………………………………………………3分 ②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中2212440.22k k k k x x --+-<=<=…………………………………4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分 综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x 的增区间为240,2k k ⎛⎤-- ⎥ ⎥⎝⎦与24,2k k ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭， 减区间为2244,.22k k k k ⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………7分x1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,)x +∞ ()f x '+ 0-+()f x 单调递增 极大值 单调递减极小值 单调递增（2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…………………………………………………8分当2k >时，212420124k k x k k --<==<+-知()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<， 故()f x 在(]20,x 上无零点. ………………………………………………………………10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又22412k k x k +-<=<，故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.………………………………………11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->， 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k<<<<…………………………………………13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0x k的最大整数 1.m = ………………………14分。

绝密★启用前 试卷类型A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+ B . 34i -- C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则学科网下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

绝密*启用前最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x xx i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.z===3 3．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小，解得，，解得，4．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1﹣=1﹣=15．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）解：不妨设向量为．若==，不满足条件．．若==．若=，不满足条件．．若==6．（5分）（2014•广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（），7．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，8．（5分）（2014•广东）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，+二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014•广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．，可得10．（5分）（2014•广东）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．11．（5分）（2014•广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．中任取七个不同的数，有种方法，不同的数即可，有=故答案为：．12．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=2．=213．（5分）（2014•广东）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=50．=（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=9．可得=．∴=∴（三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．），求得sin）﹣x+（+）=A=A=sin）sin+=2sin cos= =）．（=﹣+==．17．（13分）（2014•广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．为事件的概率为=，），的概率为．18．（13分）（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=AF=，，又∴EF=CD=，（，（=，∴，∴=，的一个法向量为（＜＞=19．（14分）（2014•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．，，∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+++21．（14分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．＞x+1＞解得﹣＜，即﹣1+综上函数的定义域为（﹣）x+1+）﹣或﹣1+﹣1+﹣x+1+）1+1+）∈﹣1+1+）﹣1+。

2014年广东高考理科数学参考答案与解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的元素及并集运算问题，要注意正确运用集合的基本运算，认清集合中的元素，避免遗漏元素而出错.【解析】∵{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，∴{1,0,1,2}M N =-，故选B .2.D 【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，关键是正确掌握复数的运算法则与性质.【解析】∵(34)25i z -=，∴2534z i =-=25(34)(34)(34)i i i +-+=34i +，故选D . 3．C 【命题意图】本题主要考查线两直线交点的解法、二元不等式组的解法及性规划问题，关键是作出如图所示的可行域，并正确判断目标函数2z x y =+经过两直线1x y +=与1y =-交点(2,1)B -时，值最大；经过两直线y x =与1y =-交点(1,1)A --时，值最小.【解析】由题画出如图所示的可行域；由图可知当直线2z x y =+经过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+经过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，所以6M N -=，故选C .2246510y = -1x +y -1=0y = x B ACO4. D 【命题意图】本题主要考查了双曲线的几何意义. 【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.5．B 【命题意图】本题主要考查了空间向量坐标运算和夹角求解，关键是正确掌握空间向量坐标运算的法则.【解析】∵(1,0,1)=-a ，设所求向量为(,y,z)x =b ，由题意得：||||cos60⋅=a b a b ，∴(1,1,0)=-b .故选B .6. A 【命题意图】本题主要考查了统计图表中的扇形统计图和条形统计图以及分层抽样的理解.【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.7. D 【命题意图】本题主要考查了立体几何空间中直线位置关系的判定.【解析】如图所示的正方体A B C DA B C D ''''-中，令1l 为AA '，2l 为BC ，当3l 为CC '时， 1334l l l l ⎫⇒⎬⊥⎭∥14l l ⊥，则选项A 成立，当3l 为CD 时，则4l 可以为对角线BC '或BB '或B C ''，1l 与4l 是异面直线或平行或垂直，所以1l 与4l 位置关系不确定.故选D. CC'D'B'A'D A B8. D 【命题意图】本题主要考查了集合中的新定义、计数原理、排列组合及绝对值不等式的性质，旨在考查创新意识和创新能力.【解析】由新定义知：12345,,,,x x x x x 中至少有两个0，至多有4个0，只含2个0时有2352C 个，只含3个0时有3252C 个，只含4个0时有452C 个，共130个，故选D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．{|32}x x x ≤-≥或 【命题意图】本题主要考查了含两个绝对值的不等式的解法.【解析】当2x <-时，125x x -+--≥，解得3x ≤-，又2x <-，∴3x ≤-；当21x -≤<时，125x x -+++≥，原不等式无解；当1x ≥时，125x x -++≥，解得2x ≥，又1x ≥，∴2x ≥；10.530x y +-=【命题意图】本题主要考查了导数的几何意义、曲线切线方程的求解及点斜式直线方程的应用.【解析】由题知：55x y e -'=-，∴(0)5k f '==-，由点斜式直线方程的曲线切线方程为：35y x -=-，即530x y +-=.11．16【命题意图】本题主要考查了利用排列组合知识处理古典概型概率的计算以及中位数概念的理解. 【解析】由题意得：所有的基本事件有731010120C C ==个，其中中位数是6的事件有3620C =个，所求概率为20120P ==1612．2【命题意图】本题主要考查了【解析】∵b B c C b 2cos cos =+，由余弦定理化角为边得：222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，即2a b =，故2a b =. 13．50【命题意图】本题主要考查了等比数列的性质与自然对数的运算性质.【解析】由题意得，51011912120a a a a a a e ===，又∵0n a >，∴1220ln ln ln a a a +++=1220ln()a a a =10120ln()a a =510ln e ⨯=50.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (1,1)【命题意图】本题主要考查了极坐方程与直角坐标方程相互转化及曲线交点直角坐标的求解.【解析】 由2sin cos ρθθ=得sin sin 1cos θρθθ⨯=，将sin y ρθ=，tan y xθ=代入上式，得2y x =，由sin 1ρθ=得1y =，解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩得曲线1C 和2C 交点的直角坐标为(1,1). 15.9【命题意图】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的运用.【解析】∵2EB AE =，∴1133AE AB CD ==，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CDF AEF ∆∆，∴2()9CDF CD AEF AE∆==∆的面的面积积.积 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. 【命题意图】本题主要考查了三角函数的相关知识，即给角求值、诱导公式、两角和差公式及平方关系，重点考查知识的应用与计算能力以及传化思想.【解析】（1）∵()sin()3f x A x π=+，x R ∈，532()122f π=. ∴532sin()=1232A ππ+,即332sin =42A π，∴3A =； （2）由（1）知()3sin()3f x x π=+，又∵()()3f f θθ--=，(0,)2πθ∈， ∴3sin()3sin()333ππθθ+--+=，∴3sin()3sin()333ππθθ++-=， ∴13133sin cos sin cos 22223θθθθ++-=，所以3sin 3θ=，又∵(0,)2πθ∈， ∴2cos 1sin θθ=-=231()3-=63， ∴()6f πθ-=3sin()63ππθ-+=3cos θ=6. 【点评】本题综合了三角函数的相关知识，涉及了振幅的求解，特殊三角函数值，诱导公式，两角和差公式以及同角三角函数关系，特别要注意三角函数值的符号是由角所在象限来决定的.17. 【命题意图】本题主要考查了概率统计中的相关知识，即频率分布表和频率分布直方图，以及互斥事件和对立事件概率的求解，重点考查概率统计知识的应用能力和统计学的基本思想，即分析样本数据和处理样本数据的能力，从而估计总体数据特征的思想.【解析】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查,本题是概率统计知识的交汇题，涉及样本数据的收集，处理和分析的整个过程，如频率分布表和频率分布直方图，互斥事件和对立事件概率的求解.18. 【命题意图】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与空间角，即空间几何体中二面角的体积计算，旨在考查逻辑推理能力、空间想象能力和化归思想.【解析】【点评】本题通过矩形ABCD 与三角形PCD 为载体，以折叠为手段，把立体几何的相关知识交汇在一起，折叠问题是立几常考知识，特别注意折叠前后变化量和未变化量是解题的关键，利用空间向量为工具求解二面角是理数区别文数的一个重要特征.19. 【命题意图】本题主要考查了数列的通项n a 及其前n 项和n S 的关系，因式分解的应用、解方程组，重点考查逻辑思维、运算和化归能力.【解析】【点评】数列高考六大主考知识点之一，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的热点为利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，但要注意验证首项是否成立，否则出错.20. 【命题意图】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量垂直平行的性质、点的轨迹以及数形结合思想和化归思想，重在考查逻辑推理能力和计算能力.【解析】【点评】解析几何是必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,并借助根的判别式及韦达定理进行转化.21. 【命题意图】本题主要考查了函数的定义域求解，恒成立问题，导数的运算、利用导数法研究函数的单调性与最值，分类讨论思想和根式不等式的解法，重点考查知识的综合应用能力和换元、化归思想.【解析】【点评】（1）求()f x 的定义域等价于222(2)2(2)30x x k x x k +++++->的解集，注意要把2(2)x x k ++看成一个整体，即换元思想；（2）求()f x 的单调性应转化为求222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-的单调性；（3）解不等式()(1)f x f >应利用函数的单调性穿脱函数符号，可以起到事半功倍的效果.切忌直接求解.。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -=( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x xi =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）{1,0,1,2}M N =-在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【解析】09k <<(9)34k -=-【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及221)(1,1,0)(1)1--+22221)(1,1,0)1(1)0-=+-+221)(0,1,1)1(1)-+-221)(1,0,1)1(1)-+-【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论2000)2%200=20002%50%20=可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.3)(2,)+∞式|1|x-+3)(2,)+∞.【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求20ln a++=220)a=ln(直接由等比数列的性质结合已知得到数学试卷第7页（共16页）数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）32A32=，3A =.（Ⅰ）PD ⊥平面PD CD D =，，数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）m AF m EF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，又330AE EF ⎧⎛=⎪ ⎪⎝⎨⎪⎛= ⎪⎩,3434m AF x m EF y ⎧=⎪⎪⎨⎪==（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量(3,1,0)PC =-，设二面角|m PCm PC m PC <>==419（Ⅰ）324a S =(21k +++数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）)(12,12)(12,)k k k -----+---+--+∞,12)k ---和(1,12)k --+-,1)k --和(12,)k -+-+∞)(12,3)(1,12)(12,1k k k ------+---+--+3]2[(2x x +3或22x x +(20)k k -->)(12,12)(12,)k k k -----+---+--+∞.232222)(22)2(22)2)2(2)3x x k x x x x k x x k +++++⎤+++++-⎦)(12,3)(1,12)(12,1k k k ------+---+--+数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）.【提示】（Ⅰ）由题意可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，又2k <-，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用。

绝密★启用前 试卷类型：A2014年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2014.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P = 如果柱体的底面积为S ，高为h ，那么柱体体积Sh V =．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．函数)1ln(+=x y 的定义域是A ．)0,1(-B ．),0(∞+C ．),1(∞+-D ．R 2．方程014=-z 在复数范围内的根共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．两条异面直线在同一个平面上的正投影不．可能是 A ．两条相交直线 B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点 4．在下列直线中，与非零向量),(B A =n 垂直的直线是A ．0=+By AxB ．0=-By AxC ．0=+Ay BxD ．0=-Ay Bx5．已知函数)(x f y =的图象与函数11+=x y 的图象关于原点对称，则)(x f 等于 A ．11+x B ．11-x C ．11+-x D ．11--x6．已知△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222++=，则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．3π2 D ．6π5 7．已知不等式x x ay y 22|||4|+≤-+对任意的实数x ，y 成立，则常数a 的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图1，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积2π2)()(π22rR r R r R S +⨯⨯-=-=． 所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π2rR +⨯为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域})(|),{(222r y d x y x M ≤+-=（其中d r <<0）绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A ．d r 2π2B ．d r 22π2C ．2π2rd D ．22π2rd1图二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．如图2，在独立性检验中，根据二维条形图回答： 吸烟与患肺病 关系（填“有”或“没有”）．10．在4)32(+x 的二项展开式中，含3x 项的系数是 ．11．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程为 ．12．设变量x ，y 满足⎩⎨⎧≤+≤≤110y y x ，则y x +的取值范围是 ．13．在程序中，RND =x 表示将计算机产生的]1,0[区间上的均匀随机数赋给变量x ．利用图3所示的程序框图进行随机模拟，我们发现：随着输入N 值的增加，输出的S 值稳定在某个常数上．这个常数是 ．（要求给出具体数值） 注：框图中的“＝”，即为“←”或为“：＝”．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，A ，B 分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，△OAB是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且3=PO ，4=⋅PB PA ，则腰长=OA ．2图4图OA BP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6πcos sin )(x x x f ωω，其中R ∈x ，ω为正常数．（1）当2=ω时，求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值；（2）记)(x f 的最小正周期为T ，若13π=⎪⎭⎫⎝⎛f ，求T 的最大值．17．（本小题满分12分）某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p （5.0>p ），且掷完3支飞镖就中止 投掷的概率为31． （1）求p 的值；（2）记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． 18．（本小题满分14分）如图5，已知△ABC 为直角三角形，ACB ∠为直角．以AC 为直径作半圆O ，使半圆O 所在平面⊥平面ABC ，P 为半圆周异于A ，C 的任意一点．（1）证明：⊥AP 平面PBC ；（2）若1=PA ，2==BC AC ，半圆O 的弦AC PQ //，求平面PAB 与平面QCB 所成锐二面角的余弦值．5图O∙ACPQ19．（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差为d ，n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和，即11a S =，322a a S +=，76543a a a a S +++=，…1212211-++++=--n n n a a a S n ，…（1）若1S ，2S ，3S 成等比数列，问：数列}{n S 是否成等比数列？请说明你的理由； （2）若04151>=d a ，证明：≤++++n S S S S 1111321 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1412198n d ，*N ∈n ．20．（本小题满分14分）已知a 为正常数，点A ，B 的坐标分别是)0,(a -，)0,(a ，直线AM ，BM 相交于 点M ，且它们的斜率之积是21a -． （1）求动点M 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）当2=a 时，过点)0,1(F 作直线AM l //，记l 与（1）中轨迹相交于两点P ，Q ，动直线AM 与y 轴交于点N ，证明：||||||AN AM PQ ⋅为定值．21．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，若存在),(b a c ∈，使得)(x f 在],[c a 上单调递增，在],[b c 上单调递减，则称)(x f 为],[b a 上的单峰函数，c 为峰点．（1）已知)22)(2(41)(222t x x x x x f +--=为],[b a 上的单峰函数，求t 的取值范围及a b -的最大值；（2）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+=++41322014)(43132n x p n x x x x px x f n n n ，其中*N ∈n ，2>p ． ①证明：对任意*N ∈n ，)(x f n 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上的单峰函数；②记函数)(x f n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上的峰点为n c ，*N ∈n ，证明：1+<n n c c ．2014年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准 2014.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．有 10．332 11．1322=-y x 12．]3,1[- 13．32（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）5315．（几何证明选讲选做题）5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6πcos sin )(x x x f ωω，其中R ∈x ，ω为正常数．（1）当2=ω时，求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值；（2）记)(x f 的最小正周期为T ，若13π=⎪⎭⎫⎝⎛f ，求T 的最大值．解：（1）当2=ω时，023236π5cos 3π2sin3π=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛f ．…………………………………4分 （2）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6πcos sin )(x x x f ωωx x x ωωωsin 21cos 23sin -+= ……………………6分 x x ωωcos 23sin 21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3πsin x ω． ………………………………………8分 ∴由13π=⎪⎭⎫⎝⎛f ，得π22π3π3πk +=+ω，Z ∈k ，即k 621+=ω，Z ∈k ．又0>ω，∴ω的最小值21min =ω．…………………………………………………………10分所以，T 的最大值π4π2minmax ==ωT ．………………………………………………………12分某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p （5.0>p ），且掷完3支飞镖就中止投掷的概 率为31． （1）求p 的值；（2）记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：（1）由已知31)1()3(33=-+==p p X P ，………………………………………………………2分 解之，得31=p 或32=p ． ………………………………………………………………………4分 ∵5.0>p ，∴32=p ．……………………………………………………………………………5分（2）X 的所有可能取值为3，4，5． …………………………………………………………6分31)3(==X P ，==)4(X P 2710313231323132223223=⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C ，…………………………………8分2783132)5(2224=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P （或278)4()3(1)5(==-=-==X P X P X P ）．…………10分X 的分布列为：∴X 的数学期望为27107278527104313=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………………12分如图5，已知△ABC 为直角三角形，ACB ∠为直角．以AC 为直径作半圆O ，使半圆O 所在平面⊥平面ABC ，P 为半圆周异于A ，C 的任意一点．（1）证明：⊥AP 平面PBC ；（2）若1=PA ，2==BC AC ，半圆O 的弦AC PQ //，求平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的余弦值．证明：（1）∵P 为半圆周上一点，AC 为直径，∴PC AP ⊥．…………………………………2分 ∵ACB ∠为直角，∴AC BC ⊥， 又⊂BC 平面ABC ，半圆O 所在平面PAC ⊥平面ABC ， 平面 PAC 平面AC ABC =，∴⊥BC 平面PAC ． …………………………4分 又⊂AP 平面PAC ，∴BC AP ⊥．…………5分 而PC ，⊂BC 平面PBC ，C BC PC = ，∴⊥AP 平面PBC ．………………………………………………………………………………7分 解：（2）（法1）取AB 中点D ，PQ 中点E ，连接OD ，OE ．∵O ，D 分别为AC ，AB 中点，∴BC OD //，又根据（1）可知：⊥BC 平面PAC ，∴⊥OD 平面PAC ．∵半圆O 的弦AC PQ //，根据垂径定理可得PQ OE ⊥，∴AC OE ⊥．以O 为原点，OD 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．………………………………………………………………………………………8分∵2==BC AC ，1=PA ，根据题意，求得以下点的坐标：)0,0,0(O ，)0,1,0(-A ，)0,1,2(B ，)0,1,0(C ，)0,0,1(D ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,0P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,21,0Q ． 与（1）同理可证：⊥AQ 平面QBC ，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,23,0AQ 为平面QBC 的一个法向量． …………………………………………10分 设平面PAB 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n AP ．而)0,2,2(=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,21,0，A∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02321022z y y x ，取1=z ，得)1,3,3(-=n ．………………………………………12分 设平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的大小为α，则cos =α777323233=⨯+-=．∴平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的余弦值为77． …………………………………14分 （法2）延长AP ，CQ 相交于点D ，连接BD ， 则BD 是平面PAB 与平面QBC 所成二面角的棱．∵1=PA ，半圆O 的弦AC PQ //，2==BC AC ， ∴△ACD 是边长为2的正三角形，△BCD 是等腰直角三角形，2==CD BC ．………………………………………………9分 与（1）同理可证：⊥AQ 平面QBC ．取等腰直角三角形BCD 的斜边BD 的四等分点E ，DB DE 41=． 连接EQ ，AE ，则BD EQ ⊥，BD AE ⊥． ∴AEQ ∠是平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的一个平面角． …………………………………………………11分在等腰直角三角形BCD 中，2222==DQ EQ ． 在正三角形ACD 中，323==AC AQ ． 在直角三角形AEQ 中，21421322=+=+=EQ AQ AE ． ∴7721422cos ===∠QE EQ AEQ ， 即平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的余弦值为77．…………………………………14分5图O∙EDACPQ19．（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差为d ，n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的连续12-n 项的和，即11a S =，322a a S +=，76543a a a a S +++=，…1212211-++++=--n n n a a a S n ，…（1）若1S ，2S ，3S 成等比数列，问：数列}{n S 是否成等比数列？请说明你的理由； （2）若04151>=d a ，证明：≤++++n S S S S 1111321 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1412198n d ，*N ∈n ．解：（1）∵1S ，2S ，3S 成等比数列，∴011≠=a S ，且2231S S S =⋅，…………………………2分由2231S S S =⋅，得23276541)()(a a a a a a a +=+++，即2111)32()184(d a d a a +=+，2132d d a =． ∴0=d 或d a 231=．……………………………………………………………………………4分 当0=d 时，0211≠=-a S n n ，2221111==-+a a S S n n n n （常数），*N ∈n ，}{n S 成等比数列；……………………5分 当d a 231=时，d a a a a S n n n n n n n n 2)12(22112112122111-+=+++=----+--- d d a n n n n 2)12(2])12([211111-+-+=----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=--d a d n n 23223211104231≠⋅=-n d ， 442342311=⋅⋅=-+n nn n d d S S （常数），*N ∈n ，}{n S 成等比数列． 综上所述，若1S ，2S ，3S 成等比数列，则}{n S 成等比数列．……………………………7分 （2）∵04151>=d a ，∴由（1），得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=----d d d a d S n n n n n 49223212322321111111d 234398⨯+⨯=． ……………8分（法1）∵1121423443981---⨯⨯+⨯⨯=n n n n n d S 145444981121+⨯+-⨯≤---n n n n d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=14114198d ，*N ∈n ．………………12分 ∴n S S S S 1111321++++ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≤-1411411411411411419812110n n d ⎪⎭⎫⎝⎛+-=1412198n d ．………………………………………………14分 （法2）要证≤++++n S S S S 1111321 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1412198n d ，*N ∈n ， 只需证14121234323432343+-≤⨯+++⨯++⨯+ ，*N ∈n ． 以下用数学归纳法证明： ①当1=n 时，左边1032343=⨯+==+-=14121右边，不等式成立．…………………10分②假设k n =（1≥k ）时，不等式成立，即1412123432343234322+-≤⨯+++⨯++⨯+kk k ， 那么1+=k n 时，1111222343141212343234323432343++++⨯+++-≤⨯++⨯+++⨯++⨯+k k k k k k k ． 以下证明：14121234314121111+-≤⨯+++-+++k k k k ， 即证明1411412343111+-+≤⨯++++k k k k ， 而kk k k k k k k k k k 41543145443)14)(14(44141141112111++=+⨯+⨯=++-=+-++++++ 112343++⨯+≥k k ．∴1+=k n 时，不等式也成立． 由①②，根据数学归纳法原理，不等式对任意的*N ∈n 成立．……………………………14分20．（本小题满分14分）已知a 为正常数，点A ，B 的坐标分别是)0,(a -，)0,(a ，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21a-．（1）求动点M 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线的形状；（2）当2=a 时，过点)0,1(F 作直线AM l //，记l 与（1）中轨迹相交于两点P ，Q ，动直 线AM 与y 轴交于点N ，证明：||||||AN AM PQ ⋅为定值．解：（1）设动点M 的坐标为),(y x （其中a x ±≠），由已知直线AM ，BN 的斜率分别为a x y k AM +=，ax yk BM -=．…………………………2分 ∴21a a x y a x y -=-⋅+，整理得动点M 的轨迹方程为1222=+y ax （a x ±≠）．……………4分 当10<<a 时，方程所表示的曲线是中心在原点，焦点在y 轴上，半长轴为1，半短轴为a 的椭圆（不包括短轴的两个端点）；当1=a 时，方程所表示的曲线是圆心在原点，半径为1的圆（不包括与x 轴的两个交点）； 当1>a 时，方程所表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上，半长轴为a ，半短轴1为的椭圆（不包括长轴的两个端点）．…………………………………………………………………………7分（2）当2=a 时，)0,2(-A ，动点M 的轨迹方程为1222=+y x （2±≠x ）． 设直线AM 的方程为)2(+=x k y ，R ∈k ，且0≠k ．令0=x ，得k y 2=，∴)2,0(k N ． ………………………………………………………8分（法1）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)2(22y x x k y ，得02424)21(2222=-+++k x k x k ，即0]222)21)[(2(22=-+++k x k x ，解得2-=x 或221222k k x +-=．又2221222k k x +-=时，2222122221222k k k k k y +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=， ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-2222122,21222k k k k M ．…………………………………………………………………9分 从而2222221)1(41221122||||k k k k k AN AM ++=+⋅++=⋅．……………………………………11分又由已知，得直线PQ 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，得0224)21(2222=-+-+k x k x k ． 设),(11y x P ，),(22y x Q ，则1x ，2x 是上述方程的两个根，∴2222222212112221)22()21(4)4(||kk k k k k x x ++=+-⋅+--=-， ||1||212x x k PQ -+=221)1(22kk ++=．………………………………………………………13分 ∴2221)1(421)1(22||||||222=++++=⋅k k k k AN AM PQ （定值）．………………………………………………14分 （法2）221222||k k AN +⋅=+=，……………………………………………………9分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)2(22y x x k y ，得02424)21(2222=-+++k x k x k ，∴2222222222112221)24)(21(4)24(1||1||kk k k k k k x x k AM M A ++=+-+-⋅+=-+＝．……11分 （余同法1）21．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，若存在),(b a c ∈，使得)(x f 在],[c a 上单调递增，在],[b c 上单调递减，则称)(x f 为],[b a 上的单峰函数，c 为峰点．（1）已知)22)(2(41)(222t x x x x x f +--=为],[b a 上的单峰函数，求t 的取值范围及a b -的最大值；（2）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+=++41322014)(43132n x p n x x x x px x f n n n ，其中*N ∈n ，2>p ．①证明：对任意*N ∈n ，)(x f n 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上的单峰函数；②记函数)(x f n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上的峰点为n c ，*N ∈n ，证明：1+<n n c c ．解：（1）)2)(1()(22t x x x x f +--='．………………………………………………………………1分方程022=+-t x x 的判别式为△)1)(1(4t t -+=． 当△0≤，即1-≤t 或1≥t 时，0222≥+-t x x 恒成立，此时1≤x 时，0)(≤'x f ，)(x f 单调递减；1≥x 时，0)(≥'x f ，)(x f 单调递增．∴)(x f 不是单峰函数．…………………………………………………………………………2分 当△0<，即11<<-t 时，方程022=+-t x x 的两根分别为2111t x --=，2211t x -+=． 显然211x x <<，且))(1)(()(21x x x x x x f ---='．列表如下：∴)(x f 为],[21x x 上的单峰函数，1为峰点．…………………………………………………4分212212≤-=-=-t x x a b ，当且仅当0=t 时取等号．综上所述，若)(x f 为],[b a 上的单峰函数，则t 的取值范围为)1,1(-；当且仅当0=t 时，a b -取到最大值2．…………………………………………………………………………………………5分证明：（2）①∵⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+=++41322014)(43132n x p n x x x x px x f n n n ，∴)1()(332++++++-='n n n x p x x x p x f ．记)()(x f x g n n '=，则[]2312)3(321)(+-++++++-='n n nx n p nx x x x g ．∵2>p ，*N ∈n ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈p x 11,0时，0≥x ，01)(<-≤'x g n． ∴)()(x f x g n n '=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上单调递减．……………………………………………………7分又01)00001()0(332>-=+++++-='+p p p f n n n ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+33211111111111n n n p p p p p p p f⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++33111111111n n p p p p p 1211)2(+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n p p p 0<． ∴函数)(x f n '在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p 11,0内存在零点，记为n c ．……………………………………………9分 ∴),0(n c x ∈时，0)(>'x f n ，)(x f n 在],0[n c 上单调递增；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈p c x n 11,时，0)(<'x f n ，)(x f n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p c n 11,上单调递减． ∴对任意*N ∈n ，)(x f n 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上的单峰函数． ……………………………………10分②∵)1()(332++++++-='n n n x p x x x p x f ，∴)1()(43121+++++++++-='n n n n x p x x x x p x f )1(1332++++++--=n n x p x x x x p[])(1x f p x p n '---=1)(-+-'=p px x f x n ．故1)()(1-+-'='+p pc c f c c f n n n n n ．而n c 为)(x f n 的峰点，∴0)(='n n c f ，∴1)(1-+-='+p pc c f n n n ．…………………………12分又⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈p c n 11,0，∴01111)(1=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-+-='+p p p p pc c f n n n ， 而0)(11='++n n c f ，∴)()(111+++'>'n n n n c f c f ，由①知)(1x f n +'在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p 11,0上单调递减，∴1+<n n c c ． ……………………………………14分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，10小学初中高中年级O7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年高考理科数学试题广东卷【word版-含答案】D（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36。

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率[25,30 ] 30.12(30,35 ] 50.20(35,40 ] 80.32(40,45 ] n 1f 1(45,50 ] n 2f 2（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ， A BC D EFP//FE CD，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面（2）求二面角D AF E --的余弦值。

19．（本小题满分14分）设数列{}na 的前n 和为nS ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =， (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}na 的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xy C a b a b+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点0(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。

21．（本小题满分14分） 设函数222()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-， （1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论函数()f x 在D 上的单调性； （3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学 初中高中 年级 O8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i - B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。