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第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
第7章二阶电路本章主要内容：1.二阶电路的零输入响应；2.二阶电路的零状态响应和阶跃响应；3.二阶电路的阶跃响应与冲激响应；4.卷积积分；5.状态方程。
本章学习要求：1.理解二阶电路、二阶电路零输入、零状态、全响应、阶跃响应、冲激响应等概念；2.掌握二阶电路各种响应的特点及其分析计算方法；3.了解卷积的含义，掌握卷积在求解电路响应中的应用；4.了解网络状态方程在分析电路响应中的作用，掌握电路状态方程和电路输出方程的列写方法。
本章重点：1.二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；2.二阶电路的阶跃响应概念及求解。
本章难点：1.二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；2.二阶电路的阶跃响应概念及求解。
计划课时：7.1 二阶电路的零输入响应二阶(线性)电路：能用二阶线性常系数微分方程描述的动态电路。
在二阶电路中，一般既有电容又有电感。
分析其动态过程时也一般需要给定两个由储能元件初值决定的初始值。
在右图所示的RLC 串联二阶电路中，若给定如下两个初始条件：0(0)C U u +=，0(0)0C t i C du dt+=+=-=(或00C t du dt+==)。
电路方程为：22()()1()0C C C d u t du t R u t L dt LC dt++=。
电路特征方程为：210R p p L LC ++=，解得两个特征根：1,22R pL=-±电路方程的解具有以下形式：1212p tp t C u A eA e =+。
其中1A 、2A 根据初始条件确定：12011220 0C t A A U p A p A du dt ，解之得：2010122121U p U A A p p p p p -==--从而有：1021212()t t C p p U up e p e p p =--讨论：1.R >过阻尼(非振荡过程)由于特征根1p 、2p 均为实数，且可设21p p >，故此时有如图C u 、C i C du dt =-、22L C u L di dt LC d u dt ==-的表达式及波形。
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du CI i i C L C ，0≠∴dt duC ），电路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。
之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。
上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。
可以想象，当存在耗能元件时的情况。
一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。
7.1.2 二阶电路的微分方程二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为0)0()0(==-+L L i i 。
图8-2 R 、L 、C 串联的二阶电路根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u 其电路电流为：dt du Ci C -=因此：dt du RC Ri u C R -==，22dt u d LCdt diL u C R -== 所以，电路方程为：022=++C C C u dt du RC dt u d LC7.1.3 二阶电路微分方程的求解方程022=++C CC u dt du RC dt u d LC 的特征方程为012=++RCp LCp 。
特征根为： LC L R L R p 1222-⎪⎭⎫⎝⎛±-= 其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。
再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。
7.1.4 二阶电路特征根的讨论分别讨论特征根的情况。
一、过阻尼情况——非振荡放电过程 1．过阻尼的条件当LC L R 122>⎪⎭⎫ ⎝⎛，即C L R 2>（C LR 42>）时，特征根1p 、2p 为不相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为 t p t p C e A e A t u 2121)(+= 其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 而dt du Ci C=，CI dt du t C0-=+=，且电路的初始条件，0)0(I i L =+，有而0)0(U u C =+，0)0()0(==+-L L i i同时dt du Ci C=，0000=-=-=+=CC I dtdu t C因此，初始条件为：0)0(U u C =+，0=+=t C dtdu代入电路方程tp tp C eA eA t u 2121)(+=中，就可以解出其中的待定系数，得出 )()(1221210t p t p C e p e p p p U t u --=)()()()(212121021210t p t p t p t p C L e e p p L U e e p p p p CU dt du C t i --=--=-=由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。
其中当电流的变化率为零的时刻m t 时电流达到最大值。
02121=-=t p t p Le p e p dt di而：1221ln 1p p p p t m -=3图8-3 非振荡放电过程的响应曲线二、临界阻尼情况 1．临界阻尼的条件当LC L R 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛，即C L R 2=（C LR 42=）时，特征根1p 、2p 为相等的负实数p ；此时固有频率为相等的负实数，2．临界阻尼时的响应当方程的特征根相同时，ptC e t A A t u )()(21+=，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令α-=-==→L Rp p p 221，取极限得出。
非振荡放电过程的解为：)()(*1221210t p t p C e p e p p p U t u --=，令α-=-==→L Rp p p 221，取极限，根据罗必塔法则：)1()()()(lim )(0102122210111212t e U te p e U dp p p d dp e p e p d U t u t t p t p t p t p p p C α+=-=--=α-→tC L te L Udt du C t i α-=-=0)(由此可见，)(t u C 和)(t i L 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。
其中α=1m t3．临界阻尼时的响应曲线临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。
t三、欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件当LC L R 122<⎪⎭⎫ ⎝⎛，即C L R 2<（C LR 42<）时，特征根1p 、2p 为一对共轭复数，其实部为负数。
2．欠阻尼时的响应令L R 2=α，2221⎪⎭⎫⎝⎛-=ωL R LC ，则微分方程的特征根ω+α-=j p 1，ω-α-=j p 2。
如图所示，设ω与α及0ω之间存在三角关系即220ω+δ=ω，αω=βarctg则 βω=αcos 0，βω=ωsin 0。
根据欧拉公式：β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t可将特征根写为：β-ω-=j e p 01，βω-=j e p 02因此：[]tj j t j j t p t p C e e e e j U e p e p p p U t u )(0)(00212102)()(12ω-α-β-ω+α-βω+ω-ω-=--=)sin(200)()(00β+ωωω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωω=α-β+ω-β+ωα-t e U j e e e U tt j t j tte L Udt t du C t i t i t c C L ωω=-==α-sin )()()(0由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。
3．欠阻尼时的响应曲线4．无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
当0=R 时，0=α，LC 10=ω=ω，2π=β，此时的响应为)2sin()(00π+ω=t U t u CtL CU t L U t i L 00000sin sin )(ω=ωω=由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。
7.2 二阶电路的阶跃响应与冲激响应7.2.1 二阶电路的阶跃响应一、定义二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，称为阶跃响应。
(t )L 图8-7 RLC 串联的二阶电路的阶跃响应电路二、求解的步骤二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。
其步骤为 1．计算电路的初始值)0(+L i 、+0dt di L)0(+C u 、+0dtdu C2．列写电路微分方程根据KCL 或KVL 定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。
3．计算电路方程的特解因为是阶跃响应，所以电路方程的特解为常数A ，且A 可以根据初始值最后确定为阶跃激励的强度。
4．计算电路方程的通解而电路方程的通解为齐次方程的解，因此根据其特征方程求得电路方程得特征根为s当s 为两个不相等的实数1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+=当s 为两个相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当s 为两个共轭的复根1p 、2p 时，ω±α-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==α-ω+α。
