吉林省长春市2020届高三(四模)数学(理)试题-含答案

绝密★启用前吉林省长春市普通高中2020届高三毕业班下学期质量监测(四)(四模)数学(理)试题2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|1},{|0},A x x B x x =≤=<则()U C A B =U .{||1}A x x … .{|1}B x x >.{|101}C x x x <-≤≤或 D.{|101}x x x ≤-<≤或2．在等比数列{}n a 中36,3,6,a a ==则a 9=A 19B ． 112C ．9D ．12 3．设复数(),,,R z x yi x y =+∈下列说法正确的是A ．z 的虚部是yi ；B ．22||z z =C ．若x=0,则复数z 为纯虚数;D ．若z 满足||1z i -=,则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要,某实践小组共有4名男生,2名女生,现从中选出4人参加校园植树活动,其中至少有一名女生的选法共有A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种5．sin ,sin 28341ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则 A ．29-B ．29C ．79-D ．796．田径比赛跳高项目中,在横杆高度设定后,运动员有三次试跳机会,只要有一次试跳成功即完成本轮比赛。

在某学校运动会跳高决赛中,某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军,结合平时训练数据,每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响),则本次比赛他获得冠军的概率是A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.9927．已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2,a b c ===则a,b,c 的大小关系是A ．a b c <<B . a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．已知直线a 和平面α、β有如下关系：,αβ⊥①②α∥β,③α⊥β,④α∥a,则下列命题为真的是A ．①③④ B.①④ ③ C ．③④ ① D.②③ ④9．如图,为测量某公园内湖岸边A,B 两处的距离,一无人机在空中P 点处测得A,B 的俯角分别为α,β,此时无人机的高度为h,则AB 的距离为()222cos 11.sin sin sin sin A h αβαβαβ-+-()22\si 2cos 11.s n n in si sin B h αβαββα-++()22co 2cos 11c s s os co cos Ch αβαββα-+- ()22co 2cos 1o s 1.cos c s cos D h αβαββα-++ 10．过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A,B 两点,若3|AF|=|BF|,O。

2020届吉林省重点中学高三四模理科数学试题一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1<=x x A ，{}02<-=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．{}1<=x x B A ID ．{}0>=x x B A Y 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若i iia +++12为实数，a 则的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．18 D ． 214.已知3131⎪⎭⎫⎝⎛=a ，21ln =b ，4131log =c 则（ ）A ．c b a >>B ．c a b << C. a c b << D ．c a b >> 5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．π34 B ．π25 C. π41 D ．π506. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M 为（ ）A ．16≥kB ．8<k C. 16<k D ．8≥k7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是1:6C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份8.学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说:“B 作品获得一等奖”； 丙说:“A ,D 两项作品未获得一等奖”； 丁说:“C 作品获得一等奖”. 若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．A 作品 B ．B 作品 C. C 作品 D ．D 作品9.设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，过点()0,p M 且倾斜角为︒45的直线与抛物线交于B A ,两点，若10=+BF AF ,则抛物线的准线方程为（ ）A ．01=+xB ． 02=+x C. 012=+x D ．032=+x 10.若函数()()+-=x x f ϖπsin ⎪⎭⎫⎝⎛+x ϖπ2sin 3()0>ϖ 满足(),21-=x f ()02=x f 且21x x -的最小值为4π，则函数()x f 的单调递增区间为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-62,652ππππk k ()Z k ∈ B ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-122,1252ππππ C. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ D ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππ11．已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 在左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，以O F 1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y 轴左侧交于B A ,两点，且AB F 2∆是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C. 13+ D ．23+ 12.已知函数()=x f ()x e x ax 1212--，若对区间[]1,0内的任意实数1x ，2x ，3x ，都有()()21x f x f +()3x f ≥则实数a 的取值范围是（ ）A ． []2,1B ．[]4,e C. []4,1 D ．[][]4,2,1e Y二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13.二项式6212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为 ．14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥02030y x y x x ，则y x z 2+=的取值范围是 ．15.已知向量AB 与AC 的夹角为︒120，且2=AB ，3=AC 若AC AB AP +=λ，且BC AP ⊥,则实数λ的值为 ．16. 已知在数列{}n a 中，211=a ，()n n n n a n a n a 211++=+则数列{}na 的通项公式为 ． 三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B c B a cos cos 2-C b cos =. (1)求角B 的大小:(2)若点D 为的BC 中点，且b AD =,求的值CAsin sin 的值 18.如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且BC BF 41=.若将AED ∆, CFD ∆分别沿FD ED ,折起，使C A ,两点重合于点M ,如图2.(1)求证: ⊥EF 平面MED ;(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: mm ) 组成一个样本，且将纤维长度超过315mm 的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:20. 已知椭圆=+2222:by a x C ()01>>b a 的焦点坐标分別为()0,11-F ,()0,12F ,P 为椭圆C 上一点，满足2153PF PF ==且53cos 21=∠PF F(1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于B A ,两点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41Q ，若BQ AQ =，求k 的取值范围. 21. 已知函数()b ax x xe x f x+++=2，曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为0324=--y x(1) 求b a ,的值； (2) 证明: ()x x f ln >.(二) 选做题: 共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=θρ2cos ()0sin 2>a a θ，过点()2,1--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221（t 为参数），l 与C 交于B A ,两点(1) 求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2) 若PA ,AB ,PB 成等比数列，求a 的值. 23.[选修4-5: 不等式选讲]已知定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.•∈N k .存在实数0x 使()20<x f 成立，(1) 求实数k 的值: (2)若21>m ，21>n 且求证()()10=+n f m f ，求证31619≥+n m2020届吉林省重点中学高三四模理科数学试题参考答案一、选择题1-5: BACBA 6-10: ADBAD 11、12：AC二、填空题13. 60 14. [)+∞,4 15.712 16. n n 2三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，C b B c B a cos cos cos 2=-Θ∴由正弦定理得=B A cos sin 2C B B C cos sin cos sin +()A C B sin sin =+=，()π,0∈A Θ，0sin ≠∴A ，则21cos =B ，()π,0∈B Θ，3π=∴B 在ABD ∆中，由余弦定理得22221c a AD +⎪⎭⎫⎝⎛=B ac cos 22⨯-ac c a 214122-+=，在ABC ∆中，由余弦定理得222c a b +=B ac cos 2-ac c a -+=22，b AD =Θ，ac c a -+∴22ac c a 214122-+=，整理得ac a 21432=，32=∴c a ，由正弦定理得32sin sin ==c a C A18.（1）证明：设正方形ABCD 的边长为4，由图1知,2==BE AE ,3,1==CF BF22AE AD DE +=∴52=,22BF BE EF +=5=,22CD CF DF +=5=222DF EF DE =+∴,︒=∠∴90DEF ,即ED EF ⊥由题意知，在图2中，ME MD ⊥,MF MD ⊥,⊂ME 平面MEF ,⊂MF 平面MEF ,且M MF ME =I ,⊥∴MD 平面MEF ,⊂EF Θ平面MEF ,EF MD ⊥∴.又⊂ED 平面MED ,⊂MD 平面MED ,且D MD ED =I ,⊥∴EF 平面MED（2）解：由（1）知⊥EF 平面MED ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M 作ED MN ⊥，垂足为N在DME Rt ∆中，554=⋅=ED MD ME MN ,22MN EM EN -=552=,从而()0,0,0E⎪⎪⎭⎫⎝⎛554,552,0M ,()00,5F ,()0,52,0D , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴554,552,0EM ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=554,552,5FM ,()0,52,5-=FD . 设平面MFD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-052505545525y x z y x ， 令2=x ，则1=y ，4=z ，()2,1,2=∴.设直线EM 与平面MFD 所成角为θ, 则EM <=cos sin θ,>n 35==nEM n EM .∴直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值为3519. 解: (1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307mm .乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm .4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件A 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.则()=A P 225225115110210215115110C C C C C C C C +41= (3) 由题意知，X 的可能取值是0,1,2,其相应的概率为()25652530=⨯==X P ,()==1X P 251353535252=⨯+⨯,()25653522=⨯==X P ,所以X 的分布列为X 0 1 2P2562513 256 ()=X E 2522512560⨯+⨯+⨯1=20.解：（1）由题意设11r PF =，22r PF =则2153r r=，又a r r 221=+，a r 451=∴，a r 432= 在21F PF ∆中，由余弦定理得，=∠21cos PF F 2122122212r r F F r r -+=a a a a 4345224345222⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛53=，解得2=a ，1=c Θ，3222=-=∴c a b ，∴所求椭圆方程为13422=+y x （2）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 得()++2243x k 012482=-+m kmx ， 则=+21x x 2438kkm +-，222143124k m x x +-=，且()0434822>-+=∆m k …① 设AB 的中心为()00,y x M ，则=+=2210x x x 2434k km +-，200433kmm kx y +=+=， BQ AQ =Θ,QM AB ⊥∴,即，=⋅QM k k 14143443322-=-+-+⋅k km k mk ，解得kk m 4432+-=…② 把②代入①得22244343⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+k k k ，整理得0381624>-+k k ，即()()0341422>+-k k 解得⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,2121,Y k21.（1）解：()()a x e x x f x+++='21，由题意有()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+='230210b f a f ，解得23,1-==b a （2）证明：（方法一）由（1）知，()232-++=x x xe x f x.设()x x x xe x h x ln 2-++= 则只需证明()23>x h ()()x x e x x h x 1121-+++='()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x e x x 121，设()x e x g x 12-+=则()012>+='x e x g x， ()x g ∴在()+∞,0上单调递增 0424141<-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛e g Θ，0323131>-+=⎪⎭⎫⎝⎛e g Θ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃∴31,410x ，使得()01000=+=x e x g x且当()0,0x x ∈时，()0<x g ，当()+∞∈,0x x 时，()0>x g∴当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，()x h 单调递减当()+∞∈,0x x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增()()==∴0min x h x h 0020ln 0x x x e x x -++，由01200=-+x e x ，得210-=x e x ， ()+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴21000x x x h 0020ln x x x -+0020ln 1x x x -+-=， 设()x x x x ln 12-+-=ϕ，⎪⎭⎫⎝⎛∈31,41x ，()x x x 112--='ϕ()()xx x 112-+= ∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,41x 时，()0<'x ϕ，()x ϕ在⎪⎭⎫⎝⎛31,41单调递减，∴()()>=00x x h ϕ23131⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-31ln 131233ln 97>+=，因此()23>x h（方法二）先证当0≥x 时，()232-++=x x xe x f x232-≥x ，即证02≥-+x x xe x设()x x xe x g x-+=2，0≥x 则()()121-++='x e x x g x，且()00='g()()022>++='x e x x g ，()x g '∴在[)+∞,0单调递增，()()00='≥'g x g()x g '∴在[)+∞,0单调递增，则当0≥x 时，()()002=≥-+=g x x xe x g x（也可直接分析232232-≥-++x x x xe x⇔02≥-+x x xe x ⇔01≥-+x e x 显然成立） 再证x x ln 232≥-设()x x x h ln 232--=，则()x x x x h 1212-=-='，令()0='x h ，得21=x且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增.∴()x x x h ln 232--=02ln 2121>+-=⎪⎭⎫⎝⎛≥h ，即x x ln 232>-又()232232-≥-++=x x x xe x f x，()x x f ln >∴ 22.解：（1）由θθρsin 2cos 2a =，两边同乘ρ，得θρθρsin 2cos 22a = 化为普通方程为)0(22>=a ay x将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221消去参数t ，得直线l的普通方程为01=--y x（2）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221代入ay x 22=，整理得028)1(222=+++-a t a t =+∴21t t )1(22a +，2821+=a t t ，由2)1(8a +=∆0)28(4>+-a ，得2>a 或0<a ，0>a Θ，2<∴a ，02821>+=∴a t tPA Θ,AB ,PB 成等比数列，PB PA AB ⋅=∴2由t 的几何意义得()2121221t t t t t t ==-，即()212215t t t t =+()[]2122a +∴)28(5+=a ，即011242=--a a ，解得2103±=a 又2>a ，2103+=∴a 23.（1）解：Θ存在实数0x 使()20<x f 成立，()2min <∴x f=+-x k x 22Θx k x 22+-x k x 22--≥k =，则()2min <=k x f解得22<<-k ，*∈N k ，1=∴k（2）证明：由（1）知，()x x x f 212+-=，21>m Θ，21>n ， ()=+-=∴m m m f 212m m 212+-14-=m ，同理，()14-=n n f()()10==n f m f ，10244=-+∴n m ，即3=+n m=+∴n m 19()n m n m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+1931⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m m n 91031316921031=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥n m m n 当且仅当n m m n =9，又3=+n m ，得49=m ，43=n 时取等号.。

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1} 2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．19B．112C．9D．123．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）A．z的虚部是yiB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A．8种B．9种C．12种D．14种5．若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)=（）A．−29B．29C．−79D．796．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（）A．0.832B．0.920C．0.960D．0.9927．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）A．①③⇒④B．①④⇒③C．③④⇒①D．②③⇒④9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）A．h√1sin2α+1sin2β−2cos(α−β)sinαsinβB．h√1sin2α+1sin2β+2cos(α−β)sinαsinβC．h√1cos2α+1cos2β−2cos(α−β)cosαcosβD．h√12+12+2cos(α−β)cosαcosβ10．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则|AF||OF|=（）A．43B．34C．4D．5411．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称；②函数f（x）在(−12，−16)上单调递；③圆C的面积为3136π．A．①②B．①③C．②③D．①②③12．函数f （x ）＝e mx +e ﹣mx +x 2﹣mx （m ∈R ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的交点P （x 0，y 0）一定满足（ ） A ．x 0＝0B ．x 0＝mC ．y 0＝0D ．y 0＝m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[﹣1，3]，则输出s 的取值范围是 ．15．已知向量AB →=(0，1)，|AC →|=√7，AB →⋅BC →=1，则△ABC 面积为 ． 16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为 ．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1∥平面AMN ，则线段PA 1的长度范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}是等比数列，且公比q不等于1，数列{b n}满足a n=2b n．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）若a1＝2，3a3＝2a2+a4，求数列{1b n log2a n+1}的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF=13 FC．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．19．已知椭圆C：x22+y2=1与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．（Ⅰ）求过A，B，C三点的圆E的方程；（Ⅱ）若O为坐标原点，直线l与椭圆C和（Ⅰ）中的圆E分别相切于点P和点Q（P，Q不重合），求直线OP与直线EQ的斜率之积．20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．已知函数，f(x)=aln2x −e 2xe ，a ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x =e2处有最大值，求a 的值； （Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |•|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）设点M 的极坐标为(2，3π2)，求△ABM 面积的最小值． [选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣3|+|2x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤8：（Ⅱ）设x ∈R 时，f （x ）的最小值为M ．若实数a ，b ，c 满足a +b +2c ＝M ，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1}【分析】可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴A∪B＝{x|x≤1}；∴∁U（A∪B）＝{x|x＞1}．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．19B．112C．9D．12【分析】根据题意，由等比中项的性质可得（a6）2＝a3×a9，变形计算可得答案．解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则有（a6）2＝a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．3．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）A．z的虚部是yiB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆【分析】利用复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程判断选项的正误即可．解：复数z＝x+yi，（x，y∈R），z的虚部是y，所以A不正确；z2＝|z|2，不正确，因为左侧是复数，右侧是实数，所以B不正确；若x＝0，并且y≠0，则复数z为纯虚数，所以C不正确；若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为1的圆，所以D正确；故选：D ．4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种【分析】分两类，第一类，1名女生3名男生，有∁21⋅∁43=8种，第二类，2名女生2名男生，有∁42=6种，根据分类计数原理可得．解：分两类，第一类，1名女生3名男生，有∁21⋅∁43=8种，第二类，2名女生2名男生，有∁42=6种， 根据分类计数原理得，共有8+6＝14种． 故选：D ．5．若sin(θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)=（ ）A ．−29B ．29C ．−79D ．79【分析】由已知利用二倍角公式可求cos （2θ+π4）的值，利用诱导公式可求sin[π2−（2θ+π4）]＝sin （π4−2θ）＝cos （2θ+π4）=79，根据诱导公式可求sin (2θ−π4)=−sin （π4−2θ）=−79，由此得解．解：∵sin(θ+π8)=13，∴cos （2θ+π4）＝1﹣2sin 2（θ+π8）＝1﹣2×（13）2=79，∴sin[π2−（2θ+π4）]＝sin （π4−2θ）＝cos （2θ+π4）=79，∴sin (2θ−π4)=−sin （π4−2θ）=−79．故选：C ．6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.992【分析】结合题意可知，他能获得概率对应的事件为第一次能通过或第一次没通过，第二次通过，前两次没通过，第三次通过，然后结合独立事件的概率公式可求．解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8+0.2×0.8+0.22×0.8＝0.8+0.16+0.032＝0.992故选：D．7．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】可以得出0＜log52＜1，log0.50.2＞1，ln（ln2）＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，log0.50.2＞log0.50.5＝1，0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，∴c＜a＜b．故选：D．8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）A．①③⇒④B．①④⇒③C．③④⇒①D．②③⇒④【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，由α⊥β，a∥α，可得a⊂β或a∥β或a与β相交，故B错误；对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，∵a⊥β，∴b⊥β，而b⊂α，可得α⊥β，故C正确；对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．故选：C．9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）A．h√1sin2α+1sin2β−2cos(α−β)sinαsinβB ．h √1sin 2α+1sin 2β+2cos(α−β)sinαsinβ C ．h√1cos 2α+1cos 2β−2cos(α−β)cosαcosβD ．h√1cos 2α+1cos 2β+2cos(α−β)cosαcosβ 【分析】利用正弦定理求出AB ，再结合选项化简即可得出答案． 解：如图所示，由题意作PE ∥AB ，可得∠APE ＝α，∠BPE ＝β，∠APO =π2−α，则∠APB ＝α﹣β，∠ABP ＝β，在△AOP 中，PA =ℎcos(π2−α)=ℎsinα，在△PAB 中，∠B ＝β，∠APB ＝α﹣β， 由正弦定理ABsin∠APB=PA sinB，解得AB =sin(α−β)sinβ⋅ℎsinα=h •sin(α−β)sinα⋅sinβ； 又1sin α+1sin β−2cos(α−β)sinαsinβ═sin 2α+sin 2β−2sinαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)sin αsin β=(sin 2α−sin 2αsin 2β)−2sinαsinβcosαcosβ+(sin 2β−sin 2αsin 2β)sin 2αsin 2β =sin 2αcos 2β−2sinαcosβcosαsinβ+cos 2αsin 2βsin 2αsin 2β =sin 2(α−β)sin 2αsin 2β， 又α﹣β∈（0，π2），且α、β∈（0，π2），所以sin(α−β)sinαsinβ＞0，所以AB ＝h •√1sin 2α+1sin 2β−2cos(α−β)sinαsinβ． 故选：A ．10．过抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3|AF |＝|BF |，O为坐标原点，则|AF||OF|=（）A．43B．34C．4D．54【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用AFAB =FCBD，求出x，进而求出比值．解：过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，p2），准线：y=−p2，根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，由图可知：AFAB =FCBD，即x4x=p−x2x，解得x=23p，则AFOF =23P12P=43．故选：A．11．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称；②函数f（x）在(−12，−16)上单调递；③圆C 的面积为3136π．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．解：根据函数的图象与圆C 的关系，得到点C 为点M 和点N 的对称点． 所以点C 的横坐标x =23+02=13，即C （13，0）， 函数的最小正周期为T ＝2（13+16）＝1． 故①函数f （x ）的图象关于点的横坐标为：n •12×1+13，当n ＝2时，点（43，0）成中心对称，故①正确． 由于T4=14，所以−16−x =14，则x =−16−14=−512＞−12，故单调增区间为（−512，−16），故②错误． 由于f （x ）＝sin （2πx +φ），当x =−16时，f （−16）＝0，解得φ=π3． 所以f （x ）＝sin （2πx +π3）．当x ＝0时f （0）=√32．所以|CM |=(13)2+(32)2=√3136．所以圆C 的面积为π×(√3136)2=31π36．故③正确．故选：B ．12．函数f （x ）＝e mx +e ﹣mx +x 2﹣mx （m ∈R ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的交点P （x 0，y 0）一定满足（ ） A ．x 0＝0B ．x 0＝mC ．y 0＝0D ．y 0＝m【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得f （x ）的图象在A ，B 处的切线的方程，联立方程，求得交点的横坐标为0，即可得到结论． 解：f （x ）＝e mx +e﹣mx+x 2﹣mx 的导数为f ′（x ）＝me mx ﹣me ﹣mx +2x ﹣m ，可得f （x ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的斜率分别为k 1＝me mx 1﹣me ﹣mx 1+2x 1﹣m ，k 2＝me ﹣mx 1﹣me mx 1﹣2x 1﹣m ，可得k 1+k 2＝﹣2m ， f （x 1）＝e mx 1+e ﹣mx 1+x 12﹣mx 1，f （﹣x 1）＝e ﹣mx 1+e mx 1+x 12+mx 1，可得f （x ）的图象在A 处的切线的方程为y ﹣（e mx 1+e ﹣mx 1+x 12﹣mx 1）＝（me mx 1﹣me ﹣mx 1+2x 1﹣m ）（x ﹣x 1），①f （x ）的图象在B 处的切线的方程为y ﹣（e ﹣mx 1+e mx 1+x 12+mx 1）＝（me ﹣mx 1﹣me mx 1﹣2x 1﹣m ）（x +x 1），②①﹣②可得，2mx 1＝（2me mx 1﹣2me ﹣mx 1+4x 1）x ﹣x 1（﹣2m ），即（2me mx 1﹣2me ﹣mx 1+4x 1）x ＝0，x 1≠0，解得x 0＝0， 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x ． 【分析】由双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，可以求出a ，b ，从而求出双曲线的渐近线方程． 解：双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e =ca =√2，∴c 2a =a 2+b 2a =2，∴1+b 2a2=2⇒b a=1∴双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线是y ＝±bax ＝±x ．答案：y ＝±x14．执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[﹣1，3]，则输出s 的取值范围是 [0，1] ．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s={e t−1，t＜1 log3t，t≥1的值域，进而得到答案．解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s={e t−1，t＜1log3t，t≥1的值域，当t∈[﹣1，1）时，s＝e t﹣1∈[e﹣2，1），当t∈[1，3]时，s＝log3t∈[0，1]，故输出s的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．15．已知向量AB→=(0，1)，|AC→|=√7，AB→⋅BC→=1，则△ABC面积为√32．【分析】将AB→，AC→看成基底，表示出BC→，代入AB→⋅BC→=1，可求出AB→，AC→的夹角，则面积可求．解：易知|AB→|=1，∴AB→⋅BC→=AB→⋅(AC→−AB→)=AB→⋅AC→−AB→2＝|AB→||AC→|cos A−|AB→|2＝1×√7cosA−1=1，∴cosA=7，∴sin A=√1−cos2A=√37．∴S △ABC=12|AB →||AC →|sinA =12×1×√7×√3√7=√32．故答案为：√32． 16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为23．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1∥平面AMN ，则线段PA 1的长度范围是 [3√22，√5] ．【分析】易知∠NQC 为二面角C ﹣AM ﹣N 的平面角，利用相似的性质可求得CQ ，进而求得NQ ，由此得解二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P 的轨迹为经过BB 1，B 1C 1中点的线段，再根据对称性即可求得线段PA 1长度的最值，进而得到取值范围．解：延长AM 至Q ，使得CQ ⊥AQ ，连接NQ ，如图，由于ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，由三垂线定理易知∠NQC 为二面角C ﹣AM ﹣N 的平面角，而sin∠CMQ =sin∠AMB =CQCM =ABAM =2√2+1=25，故CQ =5=5， ∴NQ =√(2√5)2+1=3√5， ∴cos∠NQC =CQNQ =23；以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P （m ，2，n ）（0≤m ，n ≤2），A （2，0，0），M （1，2，0），N （0，2，1），A 1（2，0，2），则AM →=(−1，2，0)，AN →=(−2，2，1)，A 1P →=(m −2，2，n −2)，设平面AMN 的一个法向量为v →=(x ，y ，z)，则{v →⋅AM →=−x +2y =0v →⋅AN →=−2x +2y +z =0，故可取v →=(2，1，2)， 又PA 1∥平面AMN ，∴A 1P →⋅v →=2(m −2)+2+2(n −2)=m +n −3=0， ∴点P 的轨迹为经过BB 1，B 1C 1中点的线段，根据对称性可知，当点P 在两个中点时，|PA 1|max =√22+1=√5，当点P 在两个中点的中点时，|PA 1|min =(√5)2−(22)2=3√22，故选段PA 1的长度范围是[3√22，√5]．故答案为：23，[3√22，√5]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足a n =2b n ． （Ⅰ）求证：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）若a 1＝2，3a 3＝2a 2+a 4，求数列{1b n log 2a n+1}的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）直接利用定义证明数列为等差数列． （Ⅱ）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1， 所以a n+1a n=q ．数列{b n }满足a n =2b n ，则b n ＝log 2a n ，所以b n+1﹣b n＝log2a n+1﹣log2a n=log2a n+1a n=log2q．故数列{b n}是等差数列．解：（Ⅱ）由于a1＝2，3a3＝2a2+a4，可知3×2q2＝2×2q+2q3．解得q＝2或q＝1（舍去）．即a n=2n．设1b n log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=n n+1．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF=13 FC．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形DFEM为平行四边形，进而得到EF∥DM，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量及直线PA的方向向量，再利用向量的夹角公式得解．解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则ME=∥12 AB，又由题意有，DF=∥12AB，故ME=∥DF，∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM，又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PN ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，可知PN ⊥平面ABCD ， 又AD ⊥NH ，故以N 为原点，NA ，NH ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，F(−1，1，0)，BP →=(−1，−2，1)，BF →=(−2，−1，0)，设平面PBF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅BP →=−a −2b +c =0m →⋅BF →=−2a −b +c =0，可取m →=(1，−2，−3)，又PA →=(1，0，−1)，故|cos ＜PA →，m →＞|=|PA →⋅m →|PA →||m →||=2√77，∴直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为2√77．19．已知椭圆C ：x 22+y 2=1与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点．（Ⅰ）求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（Ⅰ）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P ，Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积．【分析】（Ⅰ）由题意可得A ，B ，C 三点的坐标，再由圆的性质可得圆心在圆的弦的中垂线上，可设圆心的坐标，由圆的半径可求出圆心的坐标及半径的值，进而求出圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程由与椭圆相切由判别式为0求出参数的关系，及切点的坐标，再由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的关系，两式联立求出参数的值，进而求出EQ 的斜率及OP 的斜率，求出两个斜率之积．解：（Ⅰ）由题意可得A （√2，0），B （0，1），C （0，﹣1），由圆的性质可得圆心E 在线段BC 的中垂线上，所以设E （m ，0）可得AE ＝BE ，所以1+m 2＝（m −√2）2，解得m =√24，所以圆心E 的坐标（√24，0），半径r ＝|AE |=√1+m 2=√1+18=√98，所以圆E 的方程为：（x −√24）2+y 2=98；（Ⅱ）由题意设直线l 的方程为y ＝kx +m （k 存在且不为0），联立直线l 与椭圆的方程{y =kx +mx 2+2y 2=2，整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0， 设直线l 与椭圆的切点P （x 0，y 0），由△＝0即16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＝0，可得m 2＝1+2k 2，①， 解得x 0=−2km，y 0=1m ，因为直线l 与E 相切，所以圆心E 到直线l 的距离等于半径，可得√98=|√24k+m|√1+k，整理可得4√2km ＝8k 2﹣8m 2+9，② 由①②可得2k 2＝m 2﹣1=124， 直线OP 的斜率为k OP =y 0x 0=−12k ，直线EQ 与直线l 垂直，所以k EQ =−1k，所以k OP •k EQ ＝（−12k ）（−1k ）=12k2=24． 20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验k +1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数E（X），分别求出k＝2、3、4时E（X）的值，比较即可．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p；所以k个人的混合后呈阴性的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k；依题意知X的可能取值为1k ，1+1k；所以X的分布列为；X1k 1+1kP qk1﹣qk（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）=1k•q k+（1+1k）•（1﹣qk）=1k−q k+1；所以当k＝2时，E（X）=12−0.92+1＝0.69，此时1000人需要化验的总次数为690次；当k＝3时，E（X）=13−0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k＝4时，E（X）=14−0.94+1＝0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k ＝4时化验次数最多可以平均减少1000﹣594＝406（次）． 21．已知函数，f(x)=aln2x −e 2xe ，a ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x =e2处有最大值，求a 的值； （Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意得f ′（e2）＝0得，a ＝e ，则f （x ）＝eln （2x ）﹣e2xe ，先求f ′（x ），再令φ（x ）＝f ′（x ），求导得φ′（x ）=−e x 2−4e 2•e 2x e ＜0，则f ′（x ）为减函数，又f ′（e2）＝0，得f （x ）单调性，即函数f （x ）在x =e2处取得最大值，综上，a ＝e ． （Ⅱ）令t =2xe，g （t ）＝a +alnt ﹣e t （t ＞0），则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，分三种情况①当a ＝0时，②当a ＜0时，③当0＜a ≤e 时，分析g （t ）单调性，函数值，零点个数，进而得出答案． 解：（Ⅰ）f （x ）＝aln 2x ﹣e2xe （x ＞0），f ′（x ）=a x−2ee 2xe ，由条件可知，x =e2时，f ′（x ）＝0，即2a e−2e•e ＝0，解得a ＝e ，则f （x ）＝eln （2x ）﹣e2xe ，f ′（x ）=e x −2ee 2x e ， 令φ（x ）＝f ′（x ），则φ′（x ）=−e x 2−4e 2•e 2x e ＜0，则f ′（x ）为减函数， 又f ′（e2）＝0，则f （x ）在（0，e2）上单调递增，在（e2，+∞）上单调递减，即函数f （x ）在x =e2处取得最大值， 综上，a ＝e ． （Ⅱ）令t =2xe，g （t ）＝a +alnt ﹣e t （t ＞0）， 则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，①当a ＝0时，g （t ）＝﹣e t ＜0，即f （x ）＝﹣e2xe ＜0，所以函数f （x ）零点个数为0，②当a ＜0时，g ′（t ）=at −e t ＜0，所以函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数， 即函数g （t ）至多有一个零点，即f （x ）至多有一个零点，当0＜t ＜e e a −1＜1时，a +alnt ＞e ⇒a +alnt ＞e t ⇒g （t ）＞0，所以当0＜t ＜e e a −1时，g （t ）＞0，又g （1）＝a ﹣e ＜0，所以函数g （t ）有且只有一个零点，即函数f （x ）有且只有一个零点，③当0＜a ≤e 时，令g ′（t ）＝0，即a t 0=e t 0， 令h （t ）＝te t （t ＞0），易知h （t ）＝te t 在（0，+∞）为增函数，且h （1）＝e ，故存在t 0∈（0，1]，使得g ′（t 0）＝0，即at 0=e t 0，由以上可知，当0＜t ＜t 0时，g ′（t ）＞0，g （t ）为增函数，当t ＞t 0时，g ′（t ）＜0，g （t ）为减函数，所以g （t ）max ＝g （t 0）＝a +alnt 0﹣et 0=a +alnt 0−at 0，t 0∈（0，1]， 令F （t ）＝a +alnt −a t ，t ∈（0，1]，则F ′（t ）=a t +a t 2＞0，所以F （t ）在（0，1]上为增函数， 则F （t ）≤F （1）＝0，即（g （t ））max ≤0，当且仅当t ＝1，a ＝e 时等号成立， 由以上可知，当a ＝e 时，g （t ）有且只有一个零点，即f （x ）有且只有一个零点， 当0＜a ＜e 时，无零点，综上所述，当0≤a ＜e 时，函数f （x ）无零点，当a ＜0或a ＝e 时，函数f （x ）有且只有一个零点．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |•|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M 的极坐标为(2，3π2)，求△ABM 面积的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可； （Ⅱ）先表示出△ABM 的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C 1化为普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，即x 2+y 2﹣2x ＝0，又ρ=√x2+y2，x=ρcosθ，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知ρ2=4cosθ，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由S△ABM=12|OM|⋅|x B−x A|=12⋅2(ρ2−ρ1)cosθ=(4cosθ−2cosθ)cosθ=4−2cos2θ，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8：（Ⅱ）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若实数a，b，c满足a+b+2c＝M，求a2+b2+c2的最小值．【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；（Ⅱ）由绝对值的三角不等式，求得f（x）的最小值M＝6，再结合柯西不等式，即可求解．解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．当x≤−32时，不等式等价为﹣（2x﹣3）﹣（2x+3）≤8，解得﹣2≤x≤−32；当−32＜x＜32时，不等式等价为﹣2x+3+2x+3≤8，解得−32＜x＜32；当x≥32时，不等式等价为2x﹣3+2x+3≤8，解得32≤x≤2；综上，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）由|2x﹣3|+|2x+3|≥|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6，可得f（x）的最小值为M＝6，∵（a2+b2+c2）（12+12+22）≥（a+b+2c）2＝36，当且仅当“2a＝2b＝c”时取等号，∴a2+b2+c2≥6；即a2+b2+c2的最小值为6．。

吉林省长春市2020届高三数学质量监测（四模）试题 文一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x …=-，{1,0,1,2,3}B =- ，则A B =I A. {0,1,2} B. {1,3}- C. {1,2} D. {0,1,2,3}2. 若1+(1)i (R),||2z a a z =-∈=，则 a =A. 0或 2B. 0C. 1或 2D. 1 3. 下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是 A. 2log 2xy = B. 21log ()2x y = C. 21log y x= D. 14y x =4. 已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是 A. 1a B. 3a C. 8a D. 10a5. 若单位向量12,e e 夹角为60︒，122-=a e e ，则||=aA. 4B. 2C. 3D. 16. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲7. 命题:p 存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立；:q 0a ∀>，()lna xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧8. 已知函数{|ln |,0()2(2),0x x f x x x x >=-+≤，则函数()3y f x =-的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知α为锐角，且sin()3tan()3sin()3παπαπα+=+-，则角α=A. 12πB. 6πC. 4πD. 3π10. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.22 D. 2311. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12(N )n n n a S n n++=∈，则n S = A. 121n -+ B. 2nn ⋅ C. 31n- D. 123n n -⋅12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F,G 分别为棱11111,,A D DD A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④ EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y ………+⎧⎪-⎨-⎪⎩，则z x y =+的最大值为___________.14.曲线()2sin f x x =在3x π=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =_________.15. 在半径为2的圆上有,A B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为______.16. 三棱锥-A BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥-A BCD 体积的最大值为__________；三棱锥-A BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 __________.（本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知在△ABC 的三个内角分别为,,A B C ，2sin sin 2cos B AA =，1cos 3B =. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2AC =，求AB 长.18.（本小题满分 12 分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：3050100擅长不擅长合计男性女性合计（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P k kK ≥（2(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d K -==+++++++其中）19. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，,M N 分别为11,CC BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥NG .（Ⅰ）求证：1A B GM ⊥； （Ⅱ）求点1A 到平面MNG 的距离. 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于,A B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试证明2||||||AP AQ OM ⋅为定值，并求出该定值.21.（本小题满分 12 分）已知函数321()3f x x x mx m =+++. （Ⅰ）若1x 为()f x 的极值点，且1212()()()f x f x x x =≠，求122x x +的值； （Ⅱ）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为{22cos 2sin x y αα=+=（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|1||1|f x ax x =++- .（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x < ；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.长春市2020届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.【答案】A 【解析】{|02}A x x =…≤所以选A2.【答案】A 【解析】22||1+(1)=202z a a =-=∴或故选A 3．【答案】C 【解析】y x=的定义域为(0,)+∞，单调递减；2log 2xy x ==大豆油不符；21log ()2x y x ==-定义域不符；21log y x=符合；14y x =定义域为[0,)+∞，定义域不符.故选C.4.【答案】A 【解析】由5732a a =得1113(4)2(6)0a d a d a +=+∴=故选A5.【答案】C 【解析】由12λ-=a e e 得22222121122(2)2=3--4==⋅a e e e e e +e ,故选C6.【答案】D 【解析】甲的数据分析素养低于乙; 甲的数学建模素养与数学抽象素养相当；乙的六大素养中逻辑推理是最优之一；乙的六大素养整体平均水平优于甲。

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2020年吉林省吉林市高考数学四调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (−1,0)2.已知复数z满足z+z⋅i=2(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cong)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？’’意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈=10尺，取π=3)()A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺4.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为()A. 4B. 8C. 10D. 125.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=3，b=2，则sinB=()A. √33B. 13C. 12D. √326.曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为()A. y=2x+2B. y=2x−2C. y=x−1D. y=x+17.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为()A. 3√3B. 6√2C. √32D. √29.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=()A. 4B. 6C. 8D. 1010.函数f(x)=sin(x−π3)的图象的一条对称轴方程为()A. π3B. −π3C. π2D. 5π611.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP=3，AB=2√3，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()A. 45πB. 57πC. 63πD. 84π12.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID−19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)最大，则p0=()A. 1−√63B. √63C. 12D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X<0)=0.1，则P(2<X<4)=______ ．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n−1，则a6=______ ．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=2√3，则双曲线的离心率e=________．16.若函数f(x)=mx2−e x+1(e为自然对数的底数)在x=x1和x=x2，两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥E−ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求二面角A−CD−E的余弦值．18.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1−3a n=3n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n3n．(1)证明数列{b n}是等差数列并求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．19. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60]分． (1)写出张先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式；(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；(3)若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)20. 已知椭圆E ：：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为C ，点D(−2b,0)，Q 是E 上且不在y 轴上的点．若E 的离心率为2√23，△QCD 的最大面积等于92．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)若直线l ：y =kx +m 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段中点为M ．(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(1,3)，延长线段OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21. 求函数f (x )=(x 2−x −1a )·e ax (a >0)的极值．22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√32t +my =12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ=0(ρ≥0)． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB|=16，求实数m 的值．23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x−1|(a>0)，(1)当a=−1时，求不等式f(x)>4的解集；(2)若不等式f(x)>4−2x对任意的x∈[−3,−1]恒成立，求a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1,+∞)．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题，直接利用复数代数形式的运算化简得答案．解：因为z+z⋅i=2，所以z=21+i =2(1−i)2，故z的虚部为−1，故选A．3.答案：B解析：解：设圆柱形城堡的底面半径为r尺，高为ℎ=11尺，则2πr=48尺，∴r≈8，∴城堡的体积V=πr2ℎ=3×64×11=2112立方尺．故选：B．根据底面周长计算底面半径，代入体积公式计算即可．本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：当i=2时，满足进行循环的条件，故S=2，i=4，k=2；当i=4时，满足进行循环的条件，故S=4，i=6，k=3；当i=6时，满足进行循环的条件，故S=8，i=8，k=4；当i=8时，不满足进行循环的条件，故S输出的S值为8，故选B．5.答案：A解析：根据正弦定理计算即可．本题考查了正弦定理，属基础题．解：由正弦定理得，asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa =2×√323=√33，故选：A．6.答案：C解析：解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x−1即y=x−1．故选：C．求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．7.答案：A。

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理科数学
本试卷共8页．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合{}260,{21,}A x x x B x x k k Z =--≤==-∈，则A
B =（ ） A. {1,1}-
B. {1,3}
C. {1,1,3}-
D. {1,3}- 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合一元二次不等式的解法可得{}23A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.
【详解】由题意{}()(){}{}
26032023A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， 所以{}{}{}2321,1,1,3A B x x x x k k Z ⋂=-≤≤⋂=-∈=-.
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合交集的运算与运算求解能力，属于。

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. 或D. 或2.在等比数列中，，，则A. B. C. 9 D. 123.设复数，，下列说法正确的是A. z的虚部是yiB.C. 若，则复数z为纯虚数D. 若z满足，则z在复平面内对应点的轨迹是圆4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种5.若，则A. B. C. D.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为每次试跳之间互不影响，则本次比赛他获得冠军的概率是A. B. C. D.7.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.已知直线a和平面、有如下关系：，，，，则下列命题为真的是A. B. C. D.9.如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为，，此时无人机的高度为h，则AB的距离为A. B.C. D.10.过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则A. B. C. 4 D.11.函数的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是函数的图象关于点成中心对称；函数在上单调递；圆C的面积为A. B. C. D.12.函数的图象在点处两条切线的交点一定满足A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的离心率为，则渐近线方程是______．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的取值范围是______．15.已知向量，则面积为______．16.已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC，的中点，则二面角的余弦值为______若动点P在正方形包括边界内运动，且平面AMN，则线段的长度范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是等比数列，且公比q不等于1，数列满足．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ若，，求数列的前n项和．18.如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，点E为PB的中点，且，点F在CD上，且．Ⅰ求证：平面PAD；Ⅱ若平面平面ABCD，且，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．19.已知椭圆C：与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．Ⅰ求过A，B，C三点的圆E的方程；Ⅱ若O为坐标原点，直线l与椭圆C和Ⅰ中的圆E分别相切于点P和点Q不重合，求直线OP与直线EQ的斜率之积．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．设方案中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；设，试比较方案中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？最后结果四舍五入保留整数21.已知函数．Ⅰ若函数在处有最大值，求a的值；Ⅱ当时，判断的零点个数，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ设点M的极坐标为，求面积的最小值．23.已知函数．Ⅰ解不等式：Ⅱ设时，的最小值为若实数a，b，c满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：；；．故选：B．可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．本题主要考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集、补集的运算．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列中，，，则有，变形可得；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：D解析：解：复数，，z的虚部是y，所以A不正确；，不正确，因为左侧是复数，右侧是实数，所以B不正确；若，并且，则复数z为纯虚数，所以C不正确；若z满足，则z在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以D 正确；故选：D．利用复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程的判断，是基本知识的考查．4.答案：D解析：解：分两类，第一类，1名女生3名男生，有种，第二类，2名女生2名男生，有种，根据分类计数原理得，共有种．故选：D．分两类，第一类，1名女生3名男生，有种，第二类，2名女生2名男生，有种，根据分类计数原理可得．本题考查分类计数原理，考查分类讨论，属于基础题目．5.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由已知利用二倍角公式可求的值，利用诱导公式可求，根据诱导公式可求，由此得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.答案：D解析：解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为，则本次比赛他获得冠军的概率故选：D．结合题意可知，他能获得概率对应的事件为第一次能通过或第一次没通过，第二次通过，前两次没通过，第三次通过，然后结合独立事件的概率公式可求．本题主要考查了n次独立事件恰好发生k次的概率公式，属于基础试题．7.答案：D解析：解：，，，，．故选：D．可以得出，，，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：对于A，由，，可得或，故A错误；对于B，由，，可得或或a与相交，故B错误；对于C，由，过a作平面与相交，交线为b，则，，，而，可得，故C正确；对于D，由，，可得，故D错误．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：A解析：解：如图所示，由题意作，可得，，，则，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故选：A．利用正弦定理求出AB，再结合选项化简即可得出答案．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．10.答案：A解析：解：过A作准线，过B作准线，过A作交BG于点D，交y轴于点C设，则，，准线：，根据抛物线性质得：，，，，，由图可知：，即，解得，则．故选：A．根据条件画出示意图，设，则，利用，求出x，进而求出比值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.答案：B解析：解：根据函数的图象与圆C的关系，得到点C为点M和点N的对称点．所以点C的横坐标，即，函数的最小正周期为．故函数的图象关于点的横坐标为：，当时，点成中心对称，故正确．由于，所以，则，故单调增区间为，故错误．由于，当时，，解得．所以当时．所以．所以圆C的面积为故正确．故选：B．首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：A解析：解：的导数为，可得的图象在点处两条切线的斜率分别为，，可得，，，可得的图象在A处的切线的方程为，的图象在B处的切线的方程为，可得，，即，，解得，故选：A．求得的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得的图象在A，B处的切线的方程，联立方程，求得交点的横坐标为0，即可得到结论．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：双曲线的离心率为，，双曲线的渐近线是．答案：由双曲线的离心率为，可以求出a，b，从而求出双曲线的渐近线方程．本题比较简单，根据离心率求出a，b即可求出双曲线的渐近线方程．14.答案：解析：解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出的值域，当时，，当时，，故输出s的取值范围是．故答案为：．模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值域，进而得到答案．本题以程序框图为载体，考查了函数的值域，属于基础题．15.答案：解析：解：易知，，，．．故答案为：．将看成基底，表示出，代入，可求出的夹角，则面积可求．本题考查平面向量数量积的运算和三角形的面积公式，同时考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：延长AM至Q，使得，连接NQ，如图，由于为正方体，由三垂线定理易知为二面角的平面角，而，故，，；以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2，，，0，，2，，2，，0，，则，，设平面AMN的一个法向量为，则，故可取，又平面AMN，，点P的轨迹为经过，中点的线段，根据对称性可知，当点P在两个中点时，，当点P在两个中点的中点时，，故选段的长度范围是．故答案为：，．易知为二面角的平面角，利用相似的性质可求得CQ，进而求得NQ，由此得解二面角的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P的轨迹为经过，中点的线段，再根据对称性即可求得线段长度的最值，进而得到取值范围．本题考查二面角的求法以及空间中线段长度取值范围的求解，考查利用空间向量解决立体几何中的动态问题，也考查了转化思想，运算求解能力，逻辑推理能力等，是中档题．17.答案：证明：Ⅰ数列是等比数列，且公比q不等于1，所以．数列满足，则，所以．故数列是等差数列．解：Ⅱ由于，，可知．解得或舍去．即．设，所以．解析：Ⅰ直接利用定义证明数列为等差数列．Ⅱ利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ证明：取PA的中点，连接DM，EM，在中，ME为一条中位线，则，又由题意有，，故，四边形DFEM为平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面平面ABCD，且，平面平面，可知平面ABCD，又，故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PBF的一个法向量为，则，可取，又，故，直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．解析：Ⅰ先证明四边形DFEM为平行四边形，进而得到，由此得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量及直线PA的方向向量，再利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得，，，由圆的性质可得圆心E在线段BC的中垂线上，所以设可得，所以，解得，所以圆心E的坐标，半径，所以圆E的方程为：；Ⅱ由题意设直线l的方程为存在且不为，联立直线l与椭圆的方程，整理可得：，设直线l与椭圆的切点，由即，可得，，解得，，因为直线l与E相切，所以圆心E到直线l的距离等于半径，可得，整理可得，由可得，直线OP的斜率为，直线EQ与直线l垂直，所以，所以．解析：Ⅰ由题意可得A，B，C三点的坐标，再由圆的性质可得圆心在圆的弦的中垂线上，可设圆心的坐标，由圆的半径可求出圆心的坐标及半径的值，进而求出圆的方程；Ⅱ设直线l的方程由与椭圆相切由判别式为0求出参数的关系，及切点的坐标，再由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的关系，两式联立求出参数的值，进而求出EQ的斜率及OP 的斜率，求出两个斜率之积．本题考查求圆的方程及直线与椭圆相切和直线与圆相切的性质，属于中档题．20.答案：解：设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则；所以k个人的混合后呈阴性的概率为，呈阳性反应的概率为；依题意知X的可能取值为，；所以X的分布列为；XP q1-q方案中，结合知每个人的平均化验次数为：；所以当时，，此时1000人需要化验的总次数为690次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为604次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为594次；即时化验次数最多，时化验次数居中，时化验次数最少；而采用方案需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案，时化验次数最多可以平均减少次．解析：设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；方案中计算每个人的平均化验次数，分别求出、3、4时的值，比较即可．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由条件可知，时，，即，解得，则，，令，则，则为减函数，又，则在上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得最大值，综上，．Ⅱ令，，则与的零点个数相等，当时，，即，所以函数零点个数为0，当时，，所以函数在上为减函数，即函数至多有一个零点，即至多有一个零点，当时，，所以当时，，又，所以函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点，当时，令，即，令，易知在为增函数，且，故存在，使得，即，由以上可知，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，，令，，则，所以在上为增函数，则，即，当且仅当，时等号成立，由以上可知，当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点，当时，无零点，综上所述，当时，函数无零点，当或时，函数有且只有一个零点．解析：Ⅰ由题意得得，，则，先求，再令，求导得，则为减函数，又，得单调性，即函数在处取得最大值，综上，．Ⅱ令，，则与的零点个数相等，分三种情况当时，当时，当时，分析单调性，函数值，零点个数，进而得出答案．本题考查导数的综合应用，零点的个数，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ将曲线化为普通方程为，即，又，则曲线的极坐标方程为；又根据题意有，可知，即为曲线的极坐标方程；Ⅱ由，而，故面积的最小值为2．解析：Ⅰ利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；Ⅱ先表示出的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．本题主要考查简单曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形的面积公式，属于基础题．23.答案：解：Ⅰ因为函数．当时，不等式等价为，解得；当时，不等式等价为，解得；当时，不等式等价为，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ由，可得的最小值为，，当且仅当“”时取等号，；即的最小值为6．解析：Ⅰ分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；Ⅱ由绝对值的三角不等式，求得的最小值，再结合柯西不等式，即可求解．本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。

2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合2{|1}A x x =„，{|0}B x x =<，则()(U A B =U ð ) A ．{||1}x x „ B ．{|1}x x > C ．{|1x x <-或01}x 剟 D ．{|1x x -„或01}x <„2．（5分）在等比数列{}n a 中，33a =，66a =，则9(a = ) A ．19B ．112C ．9D ．123．（5分）设复数z x yi =+，(,)x y R ∈，下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部是yi B ．22||z z =C ．若0x =，则复数z 为纯虚数D ．若z 满足||1z i -=，则z 在复平面内对应点(,)x y 的轨迹是圆4．（5分）树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有( ) A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种5．（5分）若1sin()83πθ+=，则sin(2)(4πθ-= )A ．29-B ．29 C ．79-D ．796．（5分）田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是( ) A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.9927．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，(2)c ln ln =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．（5分）已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥，②//αβ，③a β⊥，④//a α，则下列命题为真的是( ) A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④9．（5分）如图，为测量某公园内湖岸边A ，B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得A ，B 的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为( )A ．22112cos()sin sin sin sin αβαβαβ-+- B ．22112cos()sin sin sin sin αβαβαβ-++C ．22112cos()cos cos cos cos αβαβαβ-+- D ．22112cos()cos cos cos cos αβαβαβ-++ 10．（5分）过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||(||AF OF = ) A ．43B ．34C ．4D ．5411．（5分）函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是( ) ①函数()f x 的图象关于点4(3，0)成中心对称；②函数()f x 在11(,)26--上单调递；③圆C 的面积为3136π．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．（5分）函数2()()mx mx f x e e x mx m R -=++-∈的图象在点1(A x ，1()f x ，1(B x -，1())f x -处两条切线的交点0(P x ，0)y 一定满足( ) A ．00x =B ．0x m =C ．00y =D ．0y m =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入[1t ∈-，3]，则输出s 的取值范围是 ．15．（5分）已知向量(0,1),||7,1AB AC AB BC ===u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则ABC ∆面积为 ．16．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为 ．若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n b n a =． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）若12a =，32432a a a =+，求数列211lognn b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值．19．（12分）已知椭圆22:12xC y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点． （Ⅰ）求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（Ⅰ）中的圆E 分别相切于点P 和点(Q P ，Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，。

吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）1 设集合，则（）A. B.C. 或D. 或【答案解析】 B【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再求A与B的并集，然后再求补集即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2 在等比数列{an}中，，则（）A. B. C. 9 D. 12【答案解析】 D【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，成等比数列，即，所以.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.3 设复数，下列说法正确的是（）A. 的虚部是;B. ；C. 若，则复数为纯虚数;D. 若满足，则在复平面内对应点的轨迹是圆.【答案解析】 D【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：的实部为，虚部为所以故A错；，，所以B错；当时，为实数，所以C错；由得，，，所以D对.故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种【答案解析】 D【分析】采用采用间接法，任意选有种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目.5 若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】. 故选：.【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6 田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（）A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案解析】 D【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为，所以他获得冠军的概率是.故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7 已知，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用对数函数的单调性比较、、与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】，则，，，即，.因此，.故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8 已知直线和平面、有如下关系：①；②；③；④.则下列命题为真的是（）A. ①③④B. ①④③C. ③④①D. ②③④【答案解析】 C【分析】利用面面垂直的性质可判断A选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C选项的正误；利用面面平行的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由①③可知，或，A错；对于B选项，由①④可知，与的位置关系不确定，B错；对于C选项，过直线作平面，使得，，则，，，，，C对；对于D选项，由②③可知，，D错.故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9 如图，为测量某公园内湖岸边A、B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A、B的俯角分别为，此时无人机的高度为，则AB的距离为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，得到答案.【详解】如图所示，设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，由正弦定理得，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则（）A. B. C. 4 D.【答案解析】 A【分析】画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可. 【详解】如图,作分别作关于准线垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有. 设,,故,,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11 函数的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与的图象交于M、N两点，且M在轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f(x)的图象关于点成中心对称;②函数f(x)在上单调递增;③圆C的面积为.A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B【分析】先求出函数的解析式，验证可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆的对称性，正弦函数的对称性得为函数的一个对称中心，所以周期，，又函数的图象过点，则，且函数在附近单调递增，所以，，可取. 所以，.成立，所以①对；当时，，所以，函数在区间上不单调，所以②错；当时，得点的坐标为，所以圆的半径为，则圆的面积为，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12 函数的图象在点处两条切线的交点，一定满足（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据函数，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数，所以，所以所以，又因为在点处的切线方程分别为：，联立消去y得：，.解得.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质14 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的取值范围是____________.【答案解析】 [0,1]【分析】分别在和两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当时，，在上单调递增，；当时，，在上单调递增，；综上所述：输出的.故答案为：.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15 已知向量则△ABC面积为____________.【答案解析】【分析】根据，，可得，再由，利用余弦定理可解得，，进而得到，然后代入求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，由余弦定理得，所以，则，因为，所以，，所以面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M、N分别是棱的中点，则二面角的余弦值为_________；若动点P在正方形(包括边界)内运动，且平面，则线段的长度范围是_________.【答案解析】；【分析】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算可得结果；取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围．【详解】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算得，，所以取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，，，，，平面平面，动点在正方形（包括边界）内运动，且面，点的轨迹是线段，，，，当与重合时，的长度取最小值，当与（或重合时，的长度取最大值为．的长度范围为．故答案为：；【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17 已知数列{an}是等比数列，且公比不等于1，数列{bn}满足.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）若，，求数列的前n项和Sn.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得，由此证得结论；（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，进而整理得到，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列满足，则，，数列为等差数列.（2）由，可得：，解得：或（舍），，则，，.【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，，点E为的中点，且，点F在CD上，且.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取中点，中点，连结、，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，找到平面的一个法向量，求出直线向量所成夹角的余弦值，即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取的中点，连结、，因为点为的中点，且，所以且，因为，所以，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以∥平面；（2）取中点，中点，连结、，因为，所以，又平面平面，所以平面，又，所以，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，所以，，，，在平面中，，,设在平面的法向量为，所以，，令，则法向量，又，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19 已知椭圆与轴正半轴交于点A，与轴交于B、D两点.（1）求过A、B、D三点的圆E的方程；（2）若O为坐标原点，直线与椭圆C和（1）中的圆E分别相切于点P和点Q（P、Q不重合），求直线与直线的斜率之积.【答案解析】（1）；（2）24.【分析】（1）求出、、三点的坐标，求得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由此可求得圆的方程；（2）设直线的方程为（存在且），将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得，由直线与圆相切可得出，进而可得出，求出直线与直线的斜率，进而可求得结果.【详解】（1）由题意可得、、，则圆心在轴上，设点，由，可得，解得，圆的半径为.因此，圆E的方程为；（2）由题意：可设的方程为（存在且），与椭圆联立消去可得，由直线与椭圆相切，可设切点为，由，可得，解得，，由圆与直线相切，即，可得.因此由，可得，直线的斜率为，直线的斜率，综上：.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设. 试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案解析】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意可知，所以的分布列为：（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:所以当时, ，此时1000人需要化验的总次数为690次，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时, ，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.21 已知函数（1）若函数f(x)在处有最大值，求a的值；（2）当时，判断f(x)的零点个数，并说明理由.【答案解析】（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【分析】（1）根据函数最值点可确定，从而求得；代入的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令，将问题转化为零点个数的求解问题；分别在、和三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：定义域为，，在处取得最大值，，解得：.当时，，，，在上单调递减，又，则时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，满足题意；综上所述：.（2）令，，则与的零点个数相等，①当时即，函数的零点个数为；②当时, ，在上为减函数，即函数至多有一个零点，即至多有一个零点.当时，，，即，又，函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点；③当时，令，即，令，则在上为增函数，又，故存在，使得，即.由以上可知：当时，，为增函数；当时，，为减函数；，，令，，则，在上为增函数，则，即，当且仅当，时等号成立，由以上可知：当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点；当时，无零点，即无零点；综上所述：当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.22 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段的延长线上且满足点B的轨迹为C2.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为，求面积的最小值.【答案解析】（1）：，：；（2）2.（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，消去参数，可得普通方程为，即，又由，代入可得曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点点的极坐标为，则，因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意，可得,则，即，当，可得的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23 已知函数（1）解不等式；（2）设时，的最小值为M.若实数a、b、c满足，求的最小值.【答案解析】（1）；（2）6（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）或或∴，（2）∵当且仅当时“=”成立，所以所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。