人教版数学九年级上册 24.1.3 弧 弦 圆心角 练习题

磁县朝阳学校初三数学限时测试卷 命题人：颜廷光 供题人：赵国华张朝树付爱芳颜廷光赵振明初三数学限时测试卷 第 1页 初三数学限时测试卷 第 2页B O 24.1.3弧、弦、圆心角质限时练班级 姓名 小组 1、如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对 2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ．AB ︵=2CD ︵B ．AB ︵>CD ︵C ．AB ︵AB <2CD ︵D ．不能确定 3、如图1，⊙O 中，如果AB ︵=2CD ︵，那么（ ）．A ．AB=2ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC(1) (2)4、交通工具上的轮子都是做成圆的，这是运用了圆的性质中的_________．5、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．6、如图2，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.8.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 9.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.10、如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、 OD 于点E 、F ， 求证：AE=BF=CD ．11.如图24-1-3-9，已知在⊙O 中，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，AD ⊥BC ，E 为垂足，由 这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)12.如图24-1-3-10，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB=10 cm ，OP=5 cm ，PA=4 cm ， 求⊙O 的半径.13.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB和CD之间的 14.距离.。

弧、弦、圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径,BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°三、解答题:11.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.BA12、如图，已知五边形ABCDE的各顶点都在⊙O上，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E 是弧AD的中点，求△ADE的面积是多少？13、如图，已知AB为⊙O的直径，四边形BCDO为平行四边形，⊙O交BC于E，连接DE、AD。

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

24.1.3 弧、弦、圆心角一、课内练习：1．下列命题中，正确的有（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（）A．23B．3C．5D．256．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．169．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对10．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．11．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．12．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．14．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．O。

24.1.3 弧、弦、圆心角课后作业：方案（A）一、教材题目：P89-P90 T3、T4、T13,∠C=75°.求∠A的度数.1．如图，⊙O中，AB AC与的长度，并证明你的结论.2．如图，AD=BC,比较AB CD3.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.求证：四边形OACB 是菱形.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，且∠AOB＝∠COD，连接AC，BD，有下列结论：①AB ＝CD ；②∠AOC ＝∠BOD ；③AC ︵＝BC ︵；④△AOC ≌△BOD .其中正确的结论是________(写序号即可)．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .7．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ， F ，延长BA 交⊙A 于点G . (1)求证：GE ︵＝EF ︵；(2)若BF ︵的度数为50°，求∠C 的度数．8．(1)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，且C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交 OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .[第16(1)题](2)在(1)题中，如果∠AOB ＝120°，其他条件不变，如图所示，那么(1)中 的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．[第16(2)题]答案一、教材1．解：AB ︵＝AC ︵⇒AB ＝AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠B ＝∠C ∠C ＝75°⇒∠A ＝180°－2×75°＝30°.点拨：等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等．2．解：AB ︵＝CD ︵.证明：AD ＝BC ⇒AD ︵＝BC ︵⇒AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵⇒CD ︵＝AB ︵.点拨：在⊙O 中，由AD ＝BC ，得AD ︵＝BC ︵，进而可知AB ︵＝CD ︵. 3．证明：连接OC .⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB ＝120°C 为AB ︵的中点⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧∠AOC ＝60°∠BOC ＝60°OA ＝OC ＝OB ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫OA ＝OC ＝AC OB ＝OC ＝BC ⇒AO ＝OB ＝BC ＝AC ⇒四边形OACB 是菱形． 点拨：四条边都相等的四边形是菱形．二、典中点4. ①②④ 点拨：由∠AOB ＝∠COD 可得 ∠AOC ＝∠BOD ，而OA ＝OC ＝OB ＝OD ，故可得①②④均正确，与弧AC 一定相等的是弧BD ，故③错误． 5．10 点拨：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′，∵ BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵C 与C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC .∴∠BOC ′＝60°.∴D ，O ，C ′在同一条直线上．∴ DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10，此时P 与O 重合． 6．(1)解：△AOC 是等边三角形．理由如下：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠BOD ＝180°－∠AOC －∠COD ，∴∠BOD ＝180°－60°－60°＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠D ＝60°，∴∠D ＝∠COD ，∴OC ∥BD .解题策略：本题利用了转化思想，通过利用在同圆中等弧所对的圆心角相等， 求得角的度数，然后通过∠BOD 实现了角之间的转化，从而使问题得以解 决．7．(1)证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝ EF ︵.(2)解：∵BF ︵的度数为50°，∴∠BAF ＝50°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝65°.又 ∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABF ＝115°.解题策略：在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线 段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题最贴近，就应构造这一 组量，再证明相等． 8．(1)证明：连接AC ， BD .∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵， ∴AC ＝CD ＝BD .∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝30°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝30°，∴∠ACE ＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC .∴AE ＝AC .同理可得BF ＝BD . ∴AE ＝BF ＝CD . (2)解：成立．证明略．。

弧、弦、圆心角1．若AB ︵，CD ︵是同一圆上的两段弧，且AB ︵＝CD ︵，则弦AB 与弦CD 之间的关系是( C )A ．AB ＜CD B ．AB ＞CDC ．AB ＝CD D ．不能确定【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．2．如图24－1－27所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 为( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°【解析】 易知∠EOB ＝180°－60°＝120°.∵C ，D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ，∴∠COE ＝23∠EOB ，∴∠COE ＝23×120°＝80°.故选C.图24－1－27图24－1－28图24－1－293．如图24－1－28，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，延长OD 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( D )A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE【解析】 由垂径定理得A ，C 正确．又由AE ︵＝BE ︵得∠AOE ＝∠BOE ，故B 正确，故选D.4．如图24－1－29，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝( D )A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【解析】 ∠AOC ＝180°－∠BOC ＝180°－110°＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠A －∠D ＝180°－70°×2＝40°.故选D.5．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为( B )A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CDC ．AB ＞2CD D ．不能确定【解析】 如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，则有AB ︵＝CE ︵，∴AB ＝CE .∵CD ＋DE ＝2CD ＞CE ＝AB ，∴AB ＜2CD .6．如图24－1－30，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝( B )A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°图24－1－30图24－1－317．如图24－1－31所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB __；与AC ︵相等的弧有__CD ︵和DB ︵__．8．如图24－1－32，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B ＝__69°__．【解析】 ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12×(180°－42°)＝69°.图24－1－32图24－1－339．如图24－1－33，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥AB ，OD 平分∠BOC ，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则∠AEO 的度数是__67.5°__．【解析】 因为OD 平分∠BOC ，所以∠BOD ＝12∠BOC ＝12×90°＝45°.因为OA ＝OD ，所以∠A ＝∠D .又因为∠BOD ＝∠A ＋∠D ＝2∠A ，所以∠A ＝12∠BOD ＝12×45°＝22.5°，所以∠AEO ＝90°－22.5°＝67.5°.10．如图24－1－34所示，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 的大小关系是__AC ＝CB __．图24－1－34图24－1－3511．如图24－1－35，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，以C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于D 点，则弧AD 为__70__度．【解析】 连接CD ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，∴∠A ＝90°－∠B ＝55°.∵CA ＝CD ，∴∠A ＝∠CDA ＝55°，∴∠ACD ＝180°－2∠A ＝70°.12．如图24－1－36，AB ，BC ，AC 都是⊙O 的弦，且∠AOB ＝∠BOC .求证：(1)∠BAC ＝∠BCA ；(2)∠ABO ＝∠CBO .图24－1－36【解析】 (1)在⊙O 中，有圆心角∠AOB ＝∠BOC ，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB＝BC ，在△ABC 中，AB ＝BC ，则∠BAC ＝∠BCA .(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．证明：(1)∵∠AOB ＝∠BOC ，∴AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA .(2)∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ，同理得∠CBO ＝∠BCO ，∠CAO ＝∠ACO .又∵∠BAC ＝∠BCA ，∴∠BAO ＝∠BCO ，∴∠ABO ＝∠CBO .13．如图24－1－37所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－37第13题答图【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明． 证明：如图所示，连接OC ，O D ，则OC ＝OD .又OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ， ∴OM ＝ON ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠COA ＝∠DOB ，∴AC ︵＝BD ︵.14．如图24－1－38所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，连接AB ，BC ，CA .(1)试确定△ABC 的形状；(2)若AB ＝a ，求⊙O 的半径．图24－1－38第14题答图解： (1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴AB ＝BC ＝CA (在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC 为等边三角形．(2)如图，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，垂足为E .∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA (在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COA ＝360°(周角的定义)，∴∠BOC ＝120°.又∵OB ＝OC ，OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，BE ＝EC ＝12BC ＝12AB ＝12a (等腰三角形三线合一)． ∴∠OBE ＝90°－∠BOE ＝30°.∴OE ＝12OB . 根据勾股定理得BE 2＋OE 2＝O B 2，∴⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12OB 2＝OB 2，解得OB ＝33a (负值已舍)，即⊙O 的半径为33a . 15．如图24－1－39，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点．连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD .【解析】 连接OB ，OF ，得到等边△AOB ，△AOF ，据此并结合圆的性质，即可推理出AB ＝AF ＝AO ＝OD ，从而得到AB ＋AF ＝AD .图24－1－39解：连接OB ，OF .∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB ＝∠AOF ＝60°，又∵OA ＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AO ＋OD ＝AD .16．已知如图24－1－40，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？图24－1－40第16题答图【解析】 利用圆的对称性，找到AP ＋BP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．解：作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接P A ，则P A ＋PB 最小，此时P A ＋PB ＝P A ′＋PB ＝A ′B ，连接OA ，OA ′，OB .∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°. ∵AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°， ∴∠A ′OB ＝90°，∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.。

人教版数学九年级上册第二十四章圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步测试一、选择题1. 下面四个图中的角，为圆心角的是( )A B C D2. 在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是( ) A. 圆心到这两条弦的距离相等 B. 这两条弦所对的圆心角相等 C. 这两条弦所对的弧相等D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分 3. 如果两个圆心角相等，那么( ) A. 这两个圆心角所对的弦相等 B. 这两个圆心角所对的弧相等 C. 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D. 以上说法都不对4. 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，则在①AB ＝CD ，②AC ＝BD ，③∠AOC ＝∠BOD ，④AC ︵＝BD ︵说法中，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第4题 第5题5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( ) A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°6. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，若BC ＝CD ＝DA ＝4cm ，则⊙O 的周长为( )A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm第6题 第7题7. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ＞CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M ，N 分别为垂足，那么OM ，ON 的大小关系是( )A. OM ＞ONB. OM ＝ONC. OM ＜OND. 无法确定 8. 在⊙O 中，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，如果OM ＝ON ，那么在结论：①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③∠AOB ＝∠COD 中，正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 9. 在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为2，则弦AB 所对的圆心角的度数为 度.10. 如果⊙O 的半径为R ，则⊙O 中60°的圆心角所对的弦长为 ，120°的圆心角所对的弦长为 .11. 弦AB 分圆为1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角等于 .12. 如图，AC 是⊙O 的直径，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，若∠BAC ＝52°，则∠AOD ＝ .第12题 第13题13. 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则P A ＋PB 的最小值为 .14. 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠AOC ＝100°，求∠BOD 的度数.15. 如图所示，已知在⊙O 中，AC ︵＝BC ︵，D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，你认为CD 和CE 有何关系？为什么？16. 如图所示，⊙O 1和⊙O 2为两个等圆，O 1A ∥O 2D ，O 1O 2与AD 相交于点E ，AD 与⊙O 1和⊙O 2分别交于点B ，C .求证：AB ＝CD .17. 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.18. 如图所示，以等边三角形ABC 的边BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，判断BD ︵，DE ︵，EC ︵之间的大小关系，并说明理由.19. 如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F . 求证：AE ＝BF ＝CD .20. 如图，已知P 是直径AB 上的一点，EF ，CD 是过点P 的两条弦，∠CPB ＝∠EPB ，试说明： (1)弦CD 与EF 相等吗？为什么？ (2)DE ︵与CF ︵相等吗？为什么？1. D2. D3. D4. D5. A6. D7. C8. D9. 60 10. R R 11. 90° 12. 104° 13.14. 解：∵︵AB ＝︵CD ，∴︵AB ＋︵BC ＝︵CD ＋︵BC ，即︵AC ＝︵BD，∴∠BOD ＝∠AOC ＝100°.15. 解：CD ＝CE .理由：连接CO ，∵AO ＝BO ，D ，E 分别为AO ，BO 的中点，∴DO ＝EO .∵︵AC ＝︵BC ，∴∠DOC ＝∠EOC .又OC ＝OC ，∴△DOC ≌△EOC ，∴CD ＝CE .16. 证明：∵O 1A ∥O 2D ，∴∠A ＝∠D .∴∠AO 1B ＝∠DO 2C .又∵⊙O 1和⊙O 2为两个等圆，∴AO 1＝BO 1＝CO 2＝DO 2，∴△AO 1B ≌△CO 2D .∴AB ＝CD .17. 解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB ，且OM ＝21OA ，ON ＝21OB ，∴OM ＝ON .在Rt △CMO 与Rt △DNO 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠COM ＝∠DON ，∴︵AC ＝︵BD. 18. 解：︵BD ＝︵DE ＝︵EC.理由：连接DO ，EO ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴在△DOB 中，OD ＝OB ，∴∠BDO ＝∠DBO ＝60°，∴∠DOB ＝60°.同理在△EOC 中，∠OEC ＝∠OCE ＝60°，∴∠EOC ＝60°，∴∠DOE ＝180°－∠BOD －∠EOC ＝60°，∴︵BD ＝︵DE ＝︵EC .19. 证明：连接AC ，BD .∵C ，D 是︵AB 的三等分点，∠AOB ＝90°，∴︵AC ＝︵CD ＝︵DB ，∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝30°，∴AC ＝CD ＝DB .又∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°.在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝2180°－30°＝75°，∴∠AEC ＝∠ACO ，∴AE ＝AC .同理BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD .20. 解：(1)CD ＝EF .理由：过点O 作OM ⊥EF ，ON ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，∵∠EPB ＝∠CPB ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∴△OPM ≌△OPN (AAS )，∴OM ＝ON ，连接OE ，OC ，∵OE ＝OC ，由勾股定理得EM ＝NC ，∴由垂径定理得EF ＝2EM ，CD ＝2NC ，∴CD ＝EF . (2) ︵DE ＝︵CF .理由：∵CD ＝EF ，∴︵CD ＝︵EF ，∴︵CD －︵DF ＝︵EF －︵DF ，∴︵CF ＝︵DE ，即︵DE ＝︵CF .。

24.1.3 弧、弦、圆心角测试时间:25分钟一、选择题1.(2017山东滨州期中)下列语句中,正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等;②平分弦的直径垂直于弦;③长度相等的两条弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在☉O中,已知=,则AC与BD的关系是( )A.AC=BDB.AC<BDC.AC>BDD.不确定3.(2016广东广州荔湾期末)如图,AB是☉O的直径,BC、CD、DA是☉O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )A.60°B.90°C.120°D.150°4.如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( )A.32°B.60°C.68°D.64°5.已知是☉O的一条弧,点A是弧的中点,连接AC,CD,则( )A.CD=2ACB.CD>2ACC.CD<2ACD.不能确定二、填空题6.如图,已知AB是☉O的直径,PA=PB,∠P=60°,则所对的圆心角等于度.三、解答题7.如图,∠AOB=90°,C、D是的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=CD.8.如图,在☉O中,弦AD、BC相交于点E,连接OE,已知=.(1)求证:BE=DE;(2)如果☉O的半径为5,AD⊥CB,DE=1,求AE的长.24.1.3 弧、弦、圆心角一、选择题1.答案 A ①同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故本选项错误;②被平分的弦是直径时不成立,故此选项错误;③能重合的弧是等弧,而长度相等的弧不一定能够重合,故此选项错误;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,此选项正确.故正确的有1个,选A.2.答案 A ∵=,∴-=-,∴=,∴AC=BD.故选A.3.答案 C 连接OC、OD,∵BC=CD=DA,∴∠COB=∠COD=∠DOA,∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,∴∠BCD=2××(180°-60°)=120°.故选C.4.答案 D ∵=,∠AOE=32°,∴∠BOD=∠AOE=32°,∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°.故选D.5.答案 C 连接AD.∵点A是的中点,∴=,∴AC=AD,∵在△ACD中,CD<AC+AD,∴CD<2AC.故选C.二、填空题6.答案60解析连接OC,OD,∵PA=PB,∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵OA=OC=OD=OB,∴△COA,△DOB是等边三角形,∴∠COA=∠DOB=60°,∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=60°.故所对的圆心角等于60°.三、解答题7.证明连接AC,∵∠AOB=90°,C、D是的三等分点,∴∠AOC=∠COD=30°,AC=CD,又OA=OC,∴∠ACE=75°,∵∠AOB=90°,OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°,∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=CD.8.解析(1)证明:∵=,∴AB=CD,在△ABE与△CDE中,∴△ABE≌△CDE,∴BE=DE.(2)过O作OF⊥AD于F,OG⊥BC于G,连接OA,OC, 根据垂径定理得AF=FD,BG=CG,∵AD=BC,∴AF=CG,在Rt△AOF与Rt△COG,∴Rt△AOF≌Rt△COG,∴OF=OG,∵AD⊥CB,∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF,设OF=EF=x,则AF=FD=x+1,∵OF2+AF2=OA2,∴x2+(x+1)2=52,解得x=3(x=-4舍去),∴AF=x+1=4,∴AE=7.。

初中数学试卷桑水出品24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 思路解析：作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.答案：C3.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0. 答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 思路解析：41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 答案：90°2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 思路解析：如图，OD ⊥AB ，OD=DB=AD. 设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°3.如图24-1-3-2，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来. （1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］ =π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△BOD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.5.如图24-1-3-4，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决. 解：过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm).又∵OF ⊥CD ， ∴DF=CF.∴CD=2CF=215（ cm ）.6.如图24-1-3-5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂足为F ，我们知道EC 和DF 相等.若直线EF 平移到与直径AB 相交于P(P 不与A 、B 重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF ∥AB 时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.解：当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.快乐时光数到100再说某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE 相等.解：弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA 2－AC 2=OP 2－CP 2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.7.⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD. ∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 cm ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）. 综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.。