《信号与系统A（2）》课程自学报告
实施报告
题目：带通采样定理与软件无线电
带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。如果抽样频率f
，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。为了避免混叠，延
） 3.1-11）
综合式（
3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是m 有一个上限，因为m
f f L
s 2≤
，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。 因此
3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数
为1-N ，故有10-≤≤N m
综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足
m
f
f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） f
f
L
f H
f H f -L
f -L
f H
f H f -L
f -图
3-3 带通采样信号的频谱
带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化
中有重要的应用。
作为一个特例，我们考虑NB f H =（1>N ）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。若按低通抽样定理，则要求抽样频率NB f s 2≥，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样，若将抽样频率取为B f s 2=（m 值取为
1-N ）
，抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理NB f s 2=的要求。图3-4所示为B f H 3=，B f s 2=时抽样信号的频谱。
f
f
f
f
图3-4 B
f H3
=，
B
f s2
=时的抽样频谱
在带通抽样定理中，由于1
0<
≤M，带通抽样信号的抽样频率在B2到B4
之间变化，如图3-5所示。
f
H
f
B
2
3
5
图3-5 带通抽样定理
由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要
简单。通常，当带通信号的带宽B大于信号的最低频率
L
f时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz～3400Hz，在抽样时按低通抽样
定理，抽样频率至少为6800Hz。由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz。这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。
软件无线电所覆盖的频率范围一般都比较宽,
只有宽频段才能具有广泛的适应性,这样宽的频段号的频谱Xs(ω) 可表示为: + ∞
X s(ω) =1
T s n = -∑∞X(ω- nωs)
用Nyquist 低通采样[1 ] 是不现实的,而实际上软件无
线电中的各种无线电信号的瞬时信号带宽都比较
窄,这样采用带通采样将使采样速率大大降低。本
文重点是通过对带通采样定理进行严格的数学推导
和论证,利用一系列不等式组提出了带通采样理论
上能达到的最小采样速率。
西安邮电大学 《通信原理》软件仿真实验报告 实验名称：低通型采样定理 院系：通信与信息工程学院 专业班级：通工 学生姓名： 学号： （班内序号） 指导教师：张明远 报告日期：2013年10月8日
●实验目的： 1、掌握低通型采样定理； 2、掌握理想采样、自然采样和瞬时采样的特点； 3*、掌握混叠失真和孔径失真。 ●知识要点： 1、低通型采样定理； 2、理想采样及其特点； 3、自然采样及其特点； 4、瞬时采样及其特点； 5*、混叠失真及孔径失真。 ●仿真要求： 建议时间参数：No. of Samples =4096；Sample Rate = 20000Hz 1、记录理想采样时信源、样值序列和恢复信号的波形和频谱； 信源为截止频率200Hz的低通型信号； 系统框图： δ，偏移量为0.05）； 其中图符8为信号源（单位冲激信号即()t 图符9为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器； 图符0为采样器，采样频率2000Hz； 图符1为保持电路，Hold Value = Zero，Gain = 1； 图符2为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器； 频谱选择|FFT|； ●仿真波形及实验分析： 1.理想采样 信源的波形和频谱
样值序列的波形和频谱 恢复信号的波形和频谱 分析：从图可知：理想采样原始信号和恢复信号波形相同，在样值序列中各次谐波与原始信号频谱相同。 2、记录平顶采样时的波形和频谱，并分析不同占空比时其特点： 系统框图
信源波形和频谱 样值序列 恢复序列的波形和频谱：
从图可以看出理想采样时输出波形信号和原始信号相同，而样值序列个次谐波出现衰落。 （2）50%占空比平顶采样 图符31为保持电路，Hold Value = Last Sample； 图符42为截止频率200Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器； 图符17为截止频率250Hz，极点个数为6的模拟低通滤波器； 图符18为频率为2000Hz，Pulse Width =1/2000*50%=0.00025的信号；样值序列波形和频谱： 恢复信号波形和频谱：
应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真 一． 课程设计的目的 利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。 二． 课程设计的原理 模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号 必需满足两个条件： (1) 必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号 才能适用采样定理。） (2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要 足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于 ， 即 （ 为连续信号 的有限频谱），则采样离散信号 能无失真地恢复到原 来的连续信号 。一个频谱在区间（- ， ）以外为零的频带有限信号 ，可唯一地由 其在均匀间隔 （ ＜ ）上的样点值 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时 域采样定理直接推出频域采样定理。 (a) ) (t f ) ()(t t s S T =) (t f s 连续信号 取样脉冲信号 抽样信号 ) (ωj H ) (0t f 理想低通滤波器 恢复信号
(b) (c) 图2.1抽样定理 a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠） 2.1信号采样 如图1所示，给出了信号采样原理图 信号采样原理图（a ） 由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ?=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为： ∑∞ -∞ =-= n s T nT t t s )()(δδ 其傅立叶变换为∑∞ -∞ =-n s s n )(ωωδω，其中s s T π ω2= 。设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =-= -=n s s n s s s n j F T n j F j F )]([1 )(*)(21)(ω ωωωδωωπω 若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生
实验一抽样定理实验 一、实验目的 1、了解抽样定理在通信系统中的重要性 2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法 3、理解低通采样定理的原理 4、理解实际的抽样系统 5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响 6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响 7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理 8、理解带通采样定理的原理 二、实验内容 1、验证低通采样定理原理 2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响 3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响 4、验证带通抽样定理原理 5、验证孔径失真的原理
三、实验原理 抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f）内的时间连续信号() m t，如 果以T≤H f21 秒的间隔对它进行等间隔抽样，则() m t将被所得到的抽样值完 全确定。（具体可参考《信号与系统》） 我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。抽样定理实验的原理框图如下： 被抽样信号 抽样脉冲 抽样恢复信号 图1抽样定理实验原理框图 被抽样信号抽样恢复信号 图2实际抽样系统 为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。 另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如错误!未找到引用源。所示：
被抽样信号抽样恢复后的信号 图3复杂信号抽样恢复前后对比 你能分辨错误!未找到引用源。中抽样恢复后信号的失真吗因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示： 图1被抽样信号波形及频谱示意图 对抽样脉冲信号的考虑 大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显
综合性、设计性实验报告 姓名贺鹤学号2 专业通信工程班级2013级1班 实验课程名称抽样定理的MATLAB仿真 指导教师及职称李玲香讲师 开课学期2014 至2015 学年第二学期 上课时间2015年6 月17、27日 湖南科技学院教务处编印
(2) 编程步骤（仿真实验） ①确定f(t)的最高频率fm。对于无限带宽信号，确定最高频率fm的方法：设其频谱的模降到10-5左右时的频率为fm。 ②确定Nyquist抽样间隔T N。选定两个抽样时间：T S 信息学院 现代交换实验报告 姓名：刘璐 学号： 2011080331229 专业：通信工程 2014年6月10日 实验一：抽样定理仿真 一、实验目的 1、掌握Systemview 软件的使用 2、熟练使用软件的图符库,能够构建简单系统 二、实验内容 1、熟悉软件的工作界面； 2、用Systemview 软件建立仿真电路 3、进行参数设置 4、观测过程中各关键点波形 5、对仿真结果进行分析 三、实验原理 所谓抽样。就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。 在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h 时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。 四、实验结果 参数设置：1V500HZ 1V8000HZ 16000HZ 正弦波Sinusoid 参数: 1.幅度 2.频率 3.相位 功能: 产生一个正弦波：y(t)=Asin(2PIfct+*) 脉冲串Pulse Train 参数: 1.幅度 2.频率(HZ) 3.脉冲宽度(秒) 4.偏置 5.相位 功能: 产生具有设定幅度和频率的周期性脉冲串，脉宽由设置决定。 y(t)=+-A*PT(t)+Bias 有方波选项。 实时显示 Real Time 功能: 能在系统仿真运行同时，实时地在系统窗口显示接收到的波形。 加法器 Adder 参数: 1.寄存器大小N 2.分数大小F 3.指数大小K 4.输出类型T 5.整型数转换选择 功能: 将输入的一个或多个值求和，并给出适当的标志。 线性系统滤波器 Linear Sys Filters 结论：由此证明了证明了抽样定理的正确性，抽样信号在fs>=fm时可以还原，抽样频率越高效果越好。 通信原理实验报告 一、实验名称 MATLAB验证低通抽样定理 二、实验目的 1、掌握抽样定理的工作原理。 2、通过MATLAB编程实现对抽样定理的验证，加深抽样定理的理解。同时训练应用计算机分析问题的能力。 3、了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。 4、计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。 三、实验步骤及原理 1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。 2、设连续信号的的最高频率为Fmax，如果采样频率Fs>2Fmax，那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则Fs<=2Fmax会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。 四、实验内容 1、画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为 x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t) 2、对信号进行采样，得到采样序列，画出采样频率分别为10Hz，20 Hz，50 Hz时的采样序列波形； 3、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。 4、对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。 5、由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。 五、实验仿真图 (1) x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t)的时域波形及幅频特性曲线。clear; close all; dt=0.05; t=-2:dt:2 x=cos(4*pi*t)+1.5*sin(6*pi*t)+0.5*cos(20*pi*t); N=length(t); Y=fft(x)/N*2; fs=1/dt; df=fs/(N-1); f=(0:N-1)*df; 实验1 抽样定理及其应用实验 一、实验目的 1．通过对模拟信号抽样的实验,加深对抽样定理的理解； 2．通过PAM 调制实验，使学生能加深理解脉冲幅度调制的特点； 3．学习PAM 调制硬件实现电路，掌握调整测试方法。 二、实验仪器 1．PAM 脉冲调幅模块，位号：H （实物图片如下） 2．时钟与基带数据发生模块，位号：G （实物图片见第3页） 3．20M 双踪示波器1台 4．频率计1台 5．小平口螺丝刀1只 6．信号连接线3根 三、实验原理 抽样定理告诉我们：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且抽 样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地还原原信号。这就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可以只传输按抽样定理得到的抽样值。 PAM 实验原理：它采用模拟开关CD4066实现脉冲幅度调制。抽样脉冲序列为高电平时， 模拟开关导通，有调制信号输出；抽样脉冲序列为低电平，模拟开关断开， 无信号输出 图1-2 PAM 信道仿真电路示意图 32W01 C1 C2 32P03 R2 32TP0 四、可调元件及测量点的作用 32P01：模拟信号输入连接铆孔。 32P02：抽样脉冲信号输入连接铆孔。 32TP01：输出的抽样后信号测试点。 32P03：经仿真信道传输后信号的输出连接铆孔。 32W01：仿真信道的特性调节电位器。 五、实验内容及步骤 1．插入有关实验模块： 在关闭系统电源的条件下，将“时钟与基带数据发生模块”、“PAM脉冲幅度调制模块”，插到底板“G、H”号的位置插座上（具体位置可见底板右下角的“实验模块位置分布表”）。注意模块插头与底板插座的防呆口一致，模块位号与底板位号的一致。 2．信号线连接： 用专用铆孔导线将P03、32P01；P09、32P02；32P03、P14连接（注意连接铆孔的箭头指向，将输出铆孔连接输入铆孔）。 3．加电： 打开系统电源开关，底板的电源指示灯正常显示。若电源指示灯显示不正常，请立即关闭电源，查找异常原因。 上海大学2012～2013学年冬季学期本科生 课程研讨报告 课程名称：《通信原理B（1）》课程编号： 07275128 题目: 应用 MATLAB实现抽样定理探讨及仿真 学生姓名: 李秀凤（组长）学号: 10123889 学生姓名: 肖勖学号: 10120787 学生姓名: 洪文琍学号: 10123043 学生姓名: 周润萍学号: 学生姓名: 李航学号: 评语: 成绩: 任课教师: 评阅日期: 应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真 一． 课程设计的目的 利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。 二． 课程设计的原理 模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号 必需满足两个条件： (1) 必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号 才能适用采样定理。） (2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要 足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于 ， 即 （ 为连续信号 的有限频谱），则采样离散信号 能无失真地恢复到原 来的连续信号 。一个频谱在区间（- ， ）以外为零的频带有限信号 ，可唯一地由 其在均匀间隔 （ ＜ ）上的样点值 所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时 域采样定理直接推出频域采样定理。 (a) ) (t f ) ()(t t s S T δ=) (t f s 连续信号 取样脉冲信号 抽样信号 ) (ωj H ) (0t f 理想低通滤波器 恢复信号 第一章信源编码技术 实验一抽样定理实验 一、实验目的 1、了解抽样定理在通信系统中的重要性。 2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法。 3、理解低通采样定理的原理。 4、理解实际的抽样系统。 5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响。 6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响。 7、理解带通采样定理的原理。 二、实验器材 1、主控&信号源、3号模块各一块 2、双踪示波器一台 3、连接线若干 三、实验原理 1、实验原理框图 图1- 1 抽样定理实验框图 2、实验框图说明 抽样信号由抽样电路产生。将输入的被抽样信号与抽样脉冲相乘就可以得到自然抽样信号，自然抽样的信号经过保持电路得到平顶抽样信号。平顶抽样和自然抽样信号是通过开关S1切换输出的。 抽样信号的恢复是将抽样信号经过低通滤波器，即可得到恢复的信号。这里滤波器可以选用抗混叠滤波器（8阶3.4kHz的巴特沃斯低通滤波器）或FPGA数字滤波器（有FIR、IIR两种）。反sinc滤波器不是用来恢复抽样信号的，而是用来应对孔径失真现象。 要注意，这里的数字滤波器是借用的信源编译码部分的端口。在做本实验时与信源编译码的内容没有联系。 四、实验步骤 实验项目一抽样信号观测及抽样定理验证 概述：通过不同频率的抽样时钟，从时域和频域两方面观测自然抽样和平顶抽样的输出波形，以及信号恢复的混叠情况，从而了解不同抽样方式的输出差异和联系，验证抽样定理。 1、关电，按表格所示进行连线。 2、开电，设置主控菜单，选择【主菜单】→【通信原理】→【抽样定理】。调节主控模块的W1使A-out输出峰峰值为3V。 3、此时实验系统初始状态为：被抽样信号MUSIC为幅度4V、频率3K+1K正弦合成波。抽样脉冲A-OUT为幅度3V、频率9KHz、占空比20%的方波。 4、实验操作及波形观测。 （1）观测并记录自然抽样前后的信号波形：设置开关S13#为“自然抽样”档位，用示波器分别观测MUSIC主控&信号源和抽样输出3#。 实验一：低通采样定理和内插与抽取实现 一．实验目的 1. 连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。 2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法， 3. 采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。 4. 用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。 5. 用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。二．原理 1 、时域抽样定理 令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(jΩ),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为Ωs=2πfs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为： 故可以推得p(t)的傅里叶变换为: 其中: 根据卷积定理可知: 得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为: 其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(jΩ)是连续信号频谱X(jΩ)的形状以抽样频率Ω为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn 加权。因为Pn只是n的函数,所以X(jΩ)在重复的过程中不会使其形状发生变化。 假定信号x(t)的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(jΩ)是以Ωs为周期重复。显然,若在抽样的过程中Ωs<2Ωm,则X^(jΩ)将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足Ωs>=2Ωm条件,X^(jΩ)才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。 2、信号的重建 从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率: Xa(jΩ)=Xa(jΩ) |Ω|<Ωs/2 Xa(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2 则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有: 让取样信号x^(t)通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器: H(jΩ)=T |Ω|<Ωs/2 H(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2 滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故: Y(jΩ)=X^(jΩ)H(jΩ)=Xa(jΩ) 因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号: y(t)=xa(t) 从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为: 根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为: 由上式显然可得: 抽样定理的仿真与分析 一 .仿真目的 1)熟悉抽样定理、信号的抽样过程； 2)通过实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象； 3)掌握抽样前后信号的频谱的变化，加深对抽样定理的理解； 4)掌握抽样频率的确定方法。 二 .仿真原理说明及设计内容 抽样原理框图 低通抽样定理：一个频带限制在（0，H f ）赫内的时间连续信号()m t ，如果以()1/2s H T f <秒的时间间隔对它进行等间隔（均匀抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。 此定理告诉我们：若()m t 的频谱在某一角频率上h w 以上为零，则()m t 中的全部信息完全包含在其间隔不大于()1/2H f 秒的均匀抽样序列里。抽样速率s f （每秒钟的抽样点数）应不小于2H f ，否则，若抽样速率2s H f f <，则会产生失真，这种失真叫混叠失真。 三 设计内容 （1）产生一个连续的时间连续信号，并对其进行频谱分析，绘制时域波形图和频域波形图。 （2）对产生的连续信号进行抽样，并绘制抽样后的时域波形图，和频域波形图。 （3）改变抽样频率，分别对原始连续信号抽样，绘制抽样后的时域和频域波形，最后对得到的波形进行分析。从而验证抽样定理。 四仿真设计实现：信号的产生和频域分析 用MATLAB产生一个连续的信号，2 t t m=；根据抽样定理， ) (t 200 /) 200 (sin( )^ 在MATLAB中编写源程序代码，画出原信号时域波形和频域波形，再分别用不同的频率的抽样脉冲对其进行抽样，在MATLAB中实现不同频率抽样时，时域和频域波形的效果对比，验证抽样定理。 （1）原始信号2 ) (t t m=的时域波形和频域波形的源程序代 t 200 )^ 200 /) (sin( 码如下： t0=10;%定义时间长度 ts=0.001; % 抽样周期 fs=1/ts; df=0.5;% 频率的分辨率 t=[-t0/2:ts:t0/2];%定义时间序列 x=sin(200*t);m=x./(200*t); w=t0/(2*ts)+1; m(w)=1;%定义在t=0时刻的值为1 m=m.*m; m=50.*m;%定义函数sinc（200t） subplot(2,1,1); plot(t,m); xlabel('时间'); title('原信号的时域波形') axis([-0.15,0.15,-1,50]); [M,mn,dfy]=fftseq(m,ts,df);%傅里叶变换，程序在后面 M=M/fs; f=[0:dfy:dfy*length(mn)-dfy]-fs/2;%定义频率序列 subplot(2,1,2); plot(f,abs(fftshift(M))); xlabel('频率'); 实验一 抽样定理实验 一、实验目的 1、了解抽样定理在通信系统中的重要性 2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法 3、理解低通采样定理的原理 4、理解实际的抽样系统 5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响 6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响 7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理 8、理解带通采样定理的原理 二、实验内容 1、验证低通采样定理原理 2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响 3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响 4、验证带通抽样定理原理 5、验证孔径失真的原理 三、实验原理 抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤ H f 21 秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。（具体可参考《信号与系统》） 我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路 输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。抽样定理实验的原理框图如下： 抽样/ 保持 被抽样信号 抽样脉冲 低通滤波器抽样恢复信号 图1抽样定理实验原理框图 抽样/保持 被抽样信号 抽样脉冲 低通滤波器抽样恢复信号低通滤波器 图2实际抽样系统 为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。 另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示： 被抽样信号抽样恢复后的信号 图3复杂信号抽样恢复前后对比 你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？ 因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示： 分类号编号 烟台大学文经学院毕业论文（设计） 基于MATLAB信号与系统中抽样定理的仿 真 Signal and System Based on MATLAB simulation sampling theorem 系别：电子信息与计算机科学系 专业：通信技术 班级： 姓名： 学号： 指导老师：（讲师） 2013年 6 月 1 日 烟台大学文经学院 基于MATLAB信号与系统中抽样定理的仿 真 姓名： 导师： 2013年 6 月 1 日烟台大学文经学院 烟台大学文经学院毕业论文（设计）任务书系（部）：电子信息与计算机科学系 姓名学号毕业届 别 专业通信技术 毕业论文（设计）题目基于MATLAB的信号与系统中抽样定理的仿真 指导教师学历硕士 研究 生 职称讲师所学专业物理电子学 具体要求(主要内容、基本要求、主要参考资料等)： 主要内容：基于MATLAB的信号与系统中抽样定理的仿真，利用MATLAB在数字信号处理中的基本应用，并会对结果用所学知识进行分析。 基本要求：掌握MATLAB的基本操作，掌握基于MATLAB的通信系统的设计与实现的基本工作原理，理解系统中各信号抽样仿真的原理。 主要参考资料： [1] 楼顺天.基于MATLAB的系统分析与设计——信号处理[M].西安:西安电子科 技大学出版社 [2] 邹理和.数字信号处理[M].北京:国防工业出版社,1988.39~41滞后，这就是离 散系统最常用零阶保持器的主要原因之一。 进度安排： 2013年3月5日前，确定选题及指导教师 2013年3月5日至3月31日，进行毕业设计调研，完成大概设计 2013年4月1日至4月20日，进行毕业设计，写论文 2013年4月20日至4月25日，对内容和机构进行第一遍修改 2013年5月1日前，进行第二遍修改 3.1.3 带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 [定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件 ， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。 对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足 （3.1-10） （3.1-11） 综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到 （3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。如果取零，则上述条件化为 （3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。 因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有 综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足 ， （3.1-15）H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(m f f m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m m f f L s 2≤B f s 2≥B f B f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m 实验四：抽样定理 实验二低通抽样定理验证实验 一、实验目的 1、熟悉使用System View软件，了解各部分功能模块的操作和使用方法。 2、通过实验进一步掌握低通抽样定理的原理。 二、实验内容 } 用System View建立一个低通抽样定理仿真电路，通过观察各个模块输出波形变化，理解低通抽样定理原理。 三、电路构成 图1 低通抽样定理验证实验原理图 参数设置：Token3：产生模拟信号（参数设置：Source――Periodic――Sinusoid，幅度1V，频率50HZ，相位0度） 《 Token4：Multiplier Token5：产生抽样信号（参数设置：Source——Periodic——Pulse Train，幅度1V，频率100Hz，脉冲宽度，偏移0V，相位0度，抽样速率可调） Token6：产生一个模拟低通滤波器，滤除高频信号，保留低频信号（参数设置：Operator——Filters/Systems——Linear Sys Filters，选择：Analog——Lowpass——Butterworth，Lowcuttoff＝50Hz，No of Poles＝3，截止频率＝模拟信号最高频率） 四、实验结果 (1)原始的输入信号波形图 ） 图2 原始的输入信号波形图(2)原始的输入信号的频谱图 图3 原始的输入信号频谱图 。 (3)被抽样以后的图形 图4 被抽样以后的图形 > (4)被抽样以后的频谱图 图5 被抽样以后的频谱图 分析：由于原始输入波形的离散化，使得输出频谱周期化。输出频谱如图5所示。 \ (5)经过低通滤波器后，还原出波形如图6 】 图6 还原出的波形 (6)经过低通滤波器后，还原后的频谱图 ! 抽样定理 定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的 时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。或者说，如果一 个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后 的信号就包含原连续的全部信息。抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号 进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。这是抽样中必不可少的步骤。 07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时 间间隔为T<=1/2f m 的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。 什么是A/D转换和D/A转换？ 什么是A/D转换和D/A转换？ 一。什么是a/d.d/a转换： 随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。压力。位移。图像等),要使计算机或数字仪表能识别。处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。 将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。随着集成技术的发展，现已研制和生产出许多单片的和混合集成型的a/d和d/a转换器，它们具有愈来愈先进的技术指标。 二。d/a和a/d转换器的相关性能参数： d/a转换器是把数字量转换成模拟量的线性电路器件，已做成集成芯片。由于实现这种转换的原理和电路结构及工艺技术有所不同，因而出现各种各样的d/a转换器。目前，国外市场已有上百种产品出售，他们在转换速度。转换精度。分辨率以及使用价值上都各具特色。 d/a转换器的主要参数： 衡量一个d/a转换器的性能的主要参数有： 大学电子信息工程学院 通信原理课程设计报告 设计题目低通抽样定理仿真 学生专业年级2012级通信工程 学生（学号）宋景怡P0******* 季琴P0******* 王慧娟P0******* 指导教师常静 完成时间2015 年6 月27 日 2015年6月 低通抽样定理仿真 一、课程设计目的 本次课程设计主要利用MATLAB和SIMULINKL 两个部分。首先利用SIMULINKL 实现了连续信号的采样及重构，通过改变抽样频率来实现过采样、等采样、欠采样三种情况来验证低通抽样定理，绘出原始信号、采样信号、重构信号的时域波形图。本次课程设计加深理解和巩固通信原理、数字信号处理课上所学的有关基本概念、基本理论和基本方法，并锻炼分析问题和解决问题的能力。 二、课程设计容 利用MATLAB软件自带的SIMULINK模块（或MATLAB程序）模拟低通抽样定理。设输入信号为一频率为10Hz的正弦波，用不同频率的抽样信号对其进行抽样，得到恢复信号波形，并与原信号进行比较。 （1）当抽样频率大于（或等于）信号频率的两倍； （2）当抽样频率小于信号频率的两倍； 关键词：抽样定理、低通滤波器、SIMULINK 三、实验原理 1、抽样定理 抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样；根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。 2、信号的采样 所谓“取样”就是利用从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号（如图1所示）。采样信号f(t)可以看成连续信号f(t)和取样脉冲序列s(t)的乘积。其中取样脉冲序列s(t)也称为开关函数。如果其各脉冲间隔时间相同，均为Ts，就称为均匀取样。Ts称为取样周期，fs=1/Ts称为取样频率或取样率，ωs=2πfs=2π/Ts称为取样角频率。 实验4 时间抽样定理 1、实验内容 给定连续时间信号 1. 以足够小的时间间隔，在足够长的时间内画出信号时域图形。 2. 用公式计算信号的频谱 。以足够小的频率间隔，在足够大的频率范围内，画出其频谱图，估计信号的带宽。 3. 以抽样频率3000Hz 对x(t)抽样，得到离散时间信号x(n)，画出其图形，标明坐标轴。 1) 用DTFT 计算x(n)的频谱 ，画出频谱图形，标明坐标轴。 2) 由 1）得到原信号x(t)的频谱的估计 ，在模拟频域上考察对原信号频谱的逼近程度，计算均方误差。 3) x(n)理想内插后得到原信号的估计，从连续时间域上考察信号的恢复程度，计算均方误差。 4. 抽样频率为800 samples/second ，重做3。 5. 对比和分析，验证时域抽样定理。 2、编程原理、思路和公式 对x （t ）进行等间隔采样，得到x （n ），T=1/fs 。采样信号的频谱函数是原模拟信号频谱的周期延拓，延拓周期是2*pi*fs 。对频带限于fc 的模拟信号，只有当fs>2fc 时，采样后频谱才不会发生频谱混叠失真。 Matlab 中无法计算连续函数。但是可以让fs 足够大，频谱混叠可以忽略不计，从而可以对采样序列进行傅里叶变换，这里使用之前编好的子程序dtft 。 程序分别设定了3种采样频谱，10000Hz 、3000Hz 、800Hz 分别对应题目1、3、4。采样时间区间均为0.1s 。同时，画的是幅度归一化的频谱图，便于比较。 在网上查到一种内插函数的算法：理想内插运用内插公式xa （t ）=x （n ）g （t-nT ）求和。其中g （t ）=sinc （Fs*t ），编程时，设定一个ti 值求xa （ti ），一个行向量x （n ）和一个等长的由n ’构1000()t x t e -=()X j Ω()j X e ω?() X j Ω 实验八抽样定理 一实验目的 1 了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。 2 验证抽样定理。 二原理说明 1 离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号经抽样而获得。抽样信号f S（t）可以看成是连续信号f（t）和一组开关函数s（t）的乘积。即： f S（t）= f（t）×s（t） 如图8-1所示。T S为抽样周期，其倒数f S =1/T S称为抽样频率。 图8-1 对连续时间信号进行的抽样 对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频谱包含了原连续信号以及无限多个经过平移的原信号频谱。平移后的频率等于抽样频率f S及其各次谐波频率2 f S、3f S、4f S、5f S ……。 当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频谱幅度按sinx/x规律衰减。抽样信号的频谱是原信号频谱周期性的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。 2 正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连接起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f max的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器的输出可以得到恢复后的原信号。 (a)连续信号的频谱 (b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） (c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠） 图8-2冲激抽样信号的频谱图 3 信号得以恢复的条件是f S>2B,其中f S为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。而f min =2B为最低的抽样频率，又称为“奈奎斯特抽样率”。当f S <2B时，抽样信号的频谱会了生混叠，从发生混迭后的频谱中，我们无法用低通滤波器获胜者得原信号频谱的全部内容。在实际使用中，仅包含有限频谱的信号是极少的，因此即使f S=2B，恢复后的信号失真还是难免的。图8-2画出了当抽样频率f S>2B（不混迭时）及f S<2B（混迭时）两种情况下冲激抽样信号的频谱图。 实验中选用f S <2B、f S =2B、f S >2B三种情况抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f S必须大于信号频率中最高频率的两倍即f S >2 f max。 4 为了实现对连续信号的抽样和抽样信号的复原，可用实验原理框图8-3的方案。除systemview抽样定理PCM实验报告
通信原理MATLAB验证低通抽样定理实验报告
通信原理抽样定理及其应用实验报告
应用MATLAB实现抽样定理探讨及仿真
抽样定理
实验一：低通采样定理和内插与抽取实现a
抽样定理的真与分析
抽样定理
基于MATLAB信号与系统中抽样定理的仿真 (最终版)
带通采样定理
实验四抽样定理
一、实验目的
1、理解信号的抽样及抽样定理以及抽样信号的频谱分析。 2、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理。
二、实验原理
1、信号的抽样及抽样定理
抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离 散时间序列（Discrete-time sequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的 数字信号（Digital Signal）。今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digital system）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信 号（Analog signal）。为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字 信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时 间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号， 为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑 滤波（Smoothing）。图 4.1 展示了信号抽样与信号重建的整个过程。
Antialiasing
xa (t) filter
Sampler/ Holder
p(t)
A/D convertor
Digital Processor
图 4.1 模拟信号的数字处理过程
图 4.2 给出了信号理想抽样的原理图：
x(t)
×
xs (t)
D/A convertor
X( jω)
Antialiasing
filter y(t)
p(t)
ω
?ωm ωm
(a)
(b)
图 4.2 (a) 抽样原理图，(b) 带限信号的频谱
上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（Bandlimited Signal），其频率范围为
? ωm ~ ωm ，抽样脉冲为理想单位冲激串（Unit Impulse Train），其数学表达式为：
∞
p(t) = ∑δ (t ? nTs )
4.1
?∞
由图可见，模拟信号 x(t)经抽样后，得到已抽样信号（Sampled Signal）xs(t)，且：
xs (t) = x(t) p(t)
4.2低通抽样定理验证实验
抽样定理
低通滤波器抽样定理的仿真
时间抽样定理实验
试验八抽样定理
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