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总体均值的区间估计

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吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计

吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计

x
s
n

15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和

正态总体均值的区间估计

正态总体均值的区间估计
标准差为σ，那么X的取值范围可以通过 μ±Zα/2σ来估计，其中Zα/2是标准正态分布
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
THANKS
感谢观看
理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。

区间估计的原理

区间估计的原理

区间估计的原理
区间估计是统计学中常用的一种方法，它可以用来估计总体参数的范围。

区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。

区间估计的原理可以通过以下步骤来说明：
1. 确定总体参数
首先，需要确定要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例等。

2. 采样
从总体中随机抽取一定数量的样本，样本的数量应该足够大，以保证估计的准确性。

3. 计算样本统计量
根据样本数据，计算出相应的样本统计量，例如样本均值、样本比例等。

4. 确定置信水平
置信水平是指在多次重复采样的情况下，估计结果落在区间内的概率。

通常情况下，置信水平取95%或99%。

5. 计算标准误差
标准误差是指样本统计量与总体参数之间的差异，它可以用来衡量估
计的准确性。

6. 计算置信区间
根据样本统计量、标准误差和置信水平，可以计算出置信区间。

置信
区间是一个范围，它包含了总体参数的真实值的可能范围。

7. 解释结果
最后，需要解释计算出的置信区间。

例如，如果计算出的置信区间为[10,20]，则可以说在95%的置信水平下，总体参数的真实值有可能在10到20之间。

总之，区间估计是一种常用的统计方法，它可以用来估计总体参数的
范围。

区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出
一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。

在实际应用中，需要注意样本的大小、置信水平的选择以及标准误差的计算等问题，以保证估计的准确性。

总体参数的区间估计

总体参数的区间估计

三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。

区间估计法估测总体平均值

区间估计法估测总体平均值

区间估计法估测总体平均值
区间估计是一种统计方法，可以用来估计总体参数的值，其中之一是总体平均值。

区间估计法估测总体平均值的过程如下：
首先，我们需要收集一个来自总体的简单随机样本，并计算样本平均值$\bar{x}$ 和样本标准差$s$。

然后，我们可以使用以下公式来计算总体平均值$\mu$ 的区间估计：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
其中，$n$ 是样本容量，$t_{\alpha/2}$ 是自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中$\alpha/2$ 处的t 值。

$\alpha$ 是置信水平，通常取0.95 或0.99。

上述公式表示，我们可以通过样本平均值$\bar{x}$ 加减一个误差范围来估计总体平均值$\mu$。

误差范围的计算方法是：$t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$。

其中，$t_{\alpha/2}$ 表示在给定置信水平下，自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中的t 值，$s$ 是样本标准差，$\sqrt{n}$ 是样本容量的平方根。

最后，我们可以得到置信水平为$\alpha$ 的总体平均值的区间估计为：
$$ (\bar{x} - t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\alpha/2}
\frac{s}{\sqrt{n}}) $$
这个区间包含了总体平均值$\mu$ 的真实值的可能性为$1-\alpha$，其中$\alpha$ 是在计算过程中预先指定的置信水平。

总体均值的区间估计公式

总体均值的区间估计公式

2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1－α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P（1—p） P±Z（1－α）
n
这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据

假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.

总体参数的区间估计公式

总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。

然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。

设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。

置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。

参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。

常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。

2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。

3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。

以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。

在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。

2.2正态总体均值的区间估计

已知查正态分布表得的置信区间为的置信度为的置信区间为的置信度为的置信区间为的置信度为522115的置信区间为的置信度为52311652215195
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)

Z
1

n
2
Z
1

若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1


n
Z1 , X 2


n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X

7.4单个正态总体均值与方差的区间估计


2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1,
P
(n 1)S 2
2
/
2
(n
1)
(n
2 1
/2
1)S 2 (n
1)
1
,
即标准差 的置信水平为1 α 的一个置信区间为
n 1S ,
2 / 2(n 1)
n
2 1 /
1S 2(n
1)
.
11
概率论与数理统计
例2 (续例1) 求例1中总体标准差 的置信度为0.95 的置信区间.
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的质量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为 0.95 的置信区间.
(1) 2 38.44; (2) 2未知. 解： 1 0.95, 0.05
6
概率论与数理统计
b
3
概率论与数理统计
由P
z
/
2
X
/
n
z /2
1,
P X
n
z / 2
X
n
z
/
2
1
.
即的一个置信水平为1 的置信区间为
X
n
z / 2 , X
n
z / 2 .
置信区间的长度为
2
n
z / 2 .
4
概率论与数理统计
2 2未知
“枢轴量”
X ~ t(n 1)
1
S/ n
由
P{tα
2(n 1)
X S

总体均值的区间估计

E( X 2 ) D( X ) E( X )2

(b a)2 12

(a b)2 4

1 A1, 2 A2 ,
a

b 2

A1

1 n
n i 1
Xi

X,


(b

a)
2
12

(a b)2 4

A2

1 n
n i 1
X
2 i
,
a b 2A1,
b a
12( A2 A12 ) .
于是得到 a、b 的矩估计量为 aˆ A1 3( A2 A12 ) X
bˆ A1 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi

X )2
,
3
n
n i 1
(Xi

X)2 .
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其
概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X1, X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量．
解
由于1

E(X )
1

,
令
，1 A1
即
1 1 n
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
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例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其
概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X1, X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量．
解
由于1

E(X )
1

,
令
，1 A1
即
1 1 n
各阶原点矩 E( X l ) (l 1,2,, k)存在, 则E (X l )是
1, 2 ,, k 的函数，记作μl=μl( 1, 2 ,,)k 即
l (1 , 2 ,, k ) E( X ，l ) l=1,2,…，k．
对于总体 X 的样本（ X1, X2, …,Xn ），样本的 l 阶原点矩为
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ ˆ ( X1, X2, …,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1, x2, …,xn ），得到ˆ 的观察值 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ), 以此
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1, 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 (x1, x2 ,, xn ), ˆ2 ˆ2 (x1, x2 ,, xn ),

ˆk ˆk (x1, x2 ,, xn ).
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．
ˆ A1 X ,
ˆ 2

A2
A12
1 n
n i1
X
2 i

X
2

1 n
n i1
(Xi

X
)2.
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分
布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计
量．
例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：
13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.48 13.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50
设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，试求 与 2 的矩估计
值．
解 由例4可得
ˆ x 1 ( 13.30 13.38 13.50 ) 13.41, 12
b a
12( A2 A12 ) .
于是得到 a、b 的矩估计量为 aˆ A1 3( A2 A12 ) X
bˆ A1 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi

X )2
,
3
n
n i 1
(Xi

X)2 .
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估
例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量．
解 X ~ (), E(X ) , 即1 E(X ) ,
令 1 A1 ，即


1 n
n i 1
Xi

X,
得 的矩估计量为 ˆ X ．
来估计未知参数θ ．称统计量 ˆ （ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法
设总体 X 的分布函数为F (x,1, 2 ,, k ) , 其中1, 2 ,, k 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的
n i1 X i X ,
因此得到 的矩估计量为 ˆ 1 ．
X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ，，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．
解 令 即
整理得
1 2

E(X ) a b , 2


1 n
n i 1
X
k i

从上述方程组中解出1, 2 ,, k ，分别记作
ˆ1 ˆ1 ( X1, X 2 ,, X n ), ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 ,, X n ),

ˆk ˆk ( X1, X 2 ,, X n ).
以此作为未知参数 1, 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
E( X 2 ) D( X ) E( X )2

(b a)2 12

(a b)2 4

1 A1, 2 A2 ,
a

b 2

A1

1 n
n i 1
Xi

X,


(b

a)
2
12

(a b)2 4

A2

1 n
n i 1
X
2 i
,
a b 2A1,
Al
1 nຫໍສະໝຸດ n i 1X，il l = 1, 2, …，k．
令
μl = Al , l=1,2,…，k，
即
1 (1, 2 ,, k )


1 n
n i 1
Xi,


2
(
1
,
2
,,
k
)

1 n
n i 1
X
2 i
,

k (1, 2 ,, k )
计量．
解 1 E( X ) ,
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2
令
12

A1, A 2,
即



A1
2

2
1 n

n i 1
A2
X
i
1 n
X,
n
X
i 1
2 i
.
解此方程组得到 与 2 的矩估计量为
ˆ
2

1 12
12 i1
( xi

x
)2

1 [(13.3113.41)2 12

(13.38 13.41)2