2018年高考数学(理)复习练习：第2部分 数学思想专项练1 函数与方程思想含答案

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果．一、函数与方程思想典例1 椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，求r的取值范围．分析 由两个曲线方程联立消去一个未知数，分别用函数的观点或方程的观点来研究这个等式即可解决．解 方法一 用函数思想来思考从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①由方程①变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10.把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作y 的函数．由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下， 求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域．由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545， 可得f (y )的值域是⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，545， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫r ⎪⎪0<r <1或r >545. 方法二 用方程思想来思考从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①由C 1的方程可知，y ∈[－2,2]．两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0或者没有实数根，或者两个根y 1，y 2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫－54(10－r 2)<0， 解得r >545或r <－545. ⎝⎛⎭⎫由r >0，r <－545舍去 若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，解得0<r <1. 因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫r ⎪⎪0<r <1或r >545. 点评 本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．典例2 已知集合M ＝{(x ，y )|(x ＋x 2＋1)(y ＋y 2＋1)＝1}，则集合M 表示的图形是________．分析 本题关键是找到变量x ，y 的关系，直接化简会很复杂，如果移项变形，化为x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1，构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )会轻易解决． 解析 方法一 把式子中的字母x ，y 看作变量，把等式中出现的代数式看作函数． 等式化为x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1. 构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )， 则上式就是f (x )＝f (－y )，由于函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )为R 上的增函数， 则x ＝－y ，即x ＋y ＝0， 所以集合M 表示的图形是直线．方法二 构造一个常见的函数g (x )＝lg(x ＋x 2＋1)(x ∈R )，则g (x )为R 上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g (x )＋g (y )＝lg(x ＋x 2＋1)＋lg(y ＋y 2＋1)＝lg 1＝0，于是有g (x )＝－g (y )＝g (－y )，因此x ＝－y ，即x ＋y ＝0. 所以集合M 表示的图形是直线． 方法三 以方程的知识为切入点， 设s ＝x ＋x 2＋1，t ＝y ＋y 2＋1，于是s ，t 分别是方程s 2－2xs －1＝0，t 2－2yt －1＝0的正根． 由此可得s －2x －1s ＝0，t －2y －1t ＝0，相加并注意到st ＝1，s ＋t －2(x ＋y )－s ＋tst ＝0，即x ＋y ＝0，所以集合M 表示的图形是直线． 答案 直线点评 本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x ，y ，如果把所给等式进行整理x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1，不难发现能构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究，蛮干是不行的．本题方法三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．典例3 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12 f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12，求证：a <c <b . 分析 根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，利用函数g (x )的奇偶性和单调性来帮助证明． 证明 构造函数g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 由已知得g (x )为偶函数， 所以12 f ⎝⎛⎭⎫12＝－12f ⎝⎛⎭⎫－12，又f ′(x )＋f (x )x >0，即xf ′(x )＋f (x )x >0，所以当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，即g ′(x )<0， 所以函数g (x )在(－∞，0)上单调递减． 又－2<ln 12<－12，所以－2f (－2)>⎝⎛⎭⎫ln 12 f ⎝⎛⎭⎫ln 12>－12 f ⎝⎛⎭⎫－12， 即a <c <b .点评 本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些貌似不是函数的问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解． 从上面的例题可以看出函数方程思想解题思路如下： 1．能否想到构造函数从而利用函数的性质解题：能想到把一个代数式看成一个函数；把方程化作函数；把字母看作变量．从而构造一个函数来帮助解题．2．能否想到利用方程思想去解决较复杂变量等式的问题：对于一个含变量的等式想到把这个等式看作为一个含未知数的方程，通过对这个方程的根与系数的观察与研究进而获得问题的解决． 跟踪演练1．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 因为f (x )为偶函数， 所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， 所以x ln a ＝0恒成立， 所以ln a ＝0，即a ＝1.2．(2017·江苏兴化中学质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________． 答案 －9解析 由已知得a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3， 因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1. 又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n (n －1)2＝n 2－5n2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (x )＝x 3－5x 22(x >0)，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )>0，得x >103，令f ′(x )<0，得0<x <103.又n 为正整数，所以当n ＝3时，nS n ＝n 3－5n 22取得最小值，即nS n 的最小值为－9.3．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的长轴的左、右端点，点F 是右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由题意可知，A (－6,0)，F (4,0)，由P A ⊥PF ， 设P (x ，y )(y >0)，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋6)2＋y 2＋(x －4)2＋y 2＝100，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝532，所以P ⎝⎛⎭⎫32，532.(2)设M (x,0)，－6≤x ≤6，k AP ＝33，AP ：y ＝33x ＋23， 即x －3y ＋6＝0，则|x ＋6|1＋3＝6－x ，即x 2－20x ＋36＝0，所以x ＝18(舍)或x ＝2，所以M (2,0)．设Q (x ，y )是椭圆上任意一点，则 QM ＝(x －2)2＋y 2＝ x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49x 2－4x ＋24＝ 49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 所以当x ＝92时，d min ＝15.4．(2017·江苏徐州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 解 (1)由(1，c )为公共切点，可得f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，则g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b ， ∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.∵a >0，∴－a 2<－a6，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞上单调递增． ①当－1≤－a 2，即0<a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a6，即a ≥6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1.。

②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥
曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解. ③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论.
典例3
已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点
P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为
√
①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大
概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题. ②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象. ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化. ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论.
典例1 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)
思维升华 解析 答案
跟踪演练3
已知抛物线的方程为x2＝8y ，F是其焦点，点A(－2,4)，在此
1 － 2 ， 2 抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
解析
答案
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时 光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。 有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一

(1)求椭圆E的方程；
(2)问：是不是存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且知足 · ＝ ？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由.
[解](1)由e＝ ＝ 且 ＋ ＝1，c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为 ＋y2＝1．6分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
令φ(x)＝x－lnx－1，那么φ(1)＝0且φ′(x)＝1－ ＝ ，8分
因此x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，
因此φ(x)＞φ(1)＝0.
又因为a≥0，因此h′(x)＞0，h(x)单调递增，因此h(x)＞h(1)＝0，
因此x＞1时， x2＋ax－xlnx－a－ ＞0恒成立，11分
即x＞1时，f(x)＋ ＜g(x)恒成立．12分
[解](1)证明：∵λ＝1，∴D，E别离为AB和BB′的中点．1分
又AA′＝AB，且三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，
∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B．2分
∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.3分
∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，4分
又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE.
∴S8＝ ＝4×(1＋15)＝64.]
2．假设2x＋5y≤2－y＋5－x，那么有( )
A．x＋y≥0B．x＋y≤0
C．x－y≤0D．x－y≥0
B[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，因此有x≤－y，即x＋y≤0.]
3．假设关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2知足－1≤x1＜0＜x2＜2，那么k的取值范围是( )
由 ⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒
5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)

数学思想专项练(三)分类讨论思想(对应学生用书第125页)题组1由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n}的前n项和S n＝P n－1(P是常数)，则数列{a n}是()A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对D[∵S n＝P n－1，∴a1＝P－1，a n＝S n－S n－1＝(P－1)P n－1(n≥2)．当P≠1且P≠0时，{a n}是等比数列；当P＝1时，{a n}是等差数列；当P＝0时，a1＝－1，a n＝0(n≥2)，此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列．]y22．已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x2－＝1的离心率为()mA. 2 B．3 2C. 5 D．5或3 2D[由题意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4.y2(1)当m＝4时，曲线为双曲线x2－＝1.4此时离心率e＝ 5.y2(2)当m＝－4时，曲线为椭圆x2＋＝1.43此时离心率e＝.]23．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于()【导学号：07804150】3A．－3 B．－83C．3 D．或－38D[当a＞0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x＝2时，3f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝.当a＜0时，易知f(x)在x＝－1处取得最8大，即－a＋1＝4，∴a＝－3.3 综上可知，a＝或－3.故选D.]84．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．1(－1,0)∪(0，＋∞)[因为{a n}是等比数列，S n>0，可得a1＝S1>0，q≠0.当q＝1时，S n＝na1>0；a11－q n当q≠1时，S n＝>0，1－q1－q n即>0(n∈N*)，则有Error!①1－q或Error!②由①得－1<q<1，由②得q>1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]5．若x＞0且x≠1，则函数y＝lg x＋log x10的值域为________．1 1(－∞，－2]∪[2，＋∞)[当x＞1时，y＝lg x＋≥2lg x·＝2，当且仅当lg x lg x1 lg x＝1，即x＝10时等号成立；当0＜x＜1时，y＝lg x＋＝－lg x1 1 1[－lg x＋(－lg x)] －lg x·≤－2 ＝－2，当且仅当lg x＝，－lg x lg x 1即x＝时等号成立．∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]106．已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.3－[当a＞1时，函数f(x)＝a x＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得Error!无解．当20＜a＜1时，函数f(x)＝a x＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得Error!解得Error!所以a3＋b＝－.]217.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝Error!则满足f(x)＋f(x－2 )>1的x的取值范围是________．1 1 1(－，＋∞)[由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤，x> 三段讨论．4 2 21 1当x≤0时，原不等式为x＋1＋x－＋1>1，解得x>－，2 41 ∴－＜x≤0.41 1当0<x≤时，原不等式为2x＋x＋>1，显然成立．2 21 x－当x> 时，原不等式为2x＋2 >1，显然成立．21综上可知，x>－.]4题组2由参数变化引起的分类讨论28．已知集合 A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若 C ∩A ＝C ，则 a 的取值范围为( )3 3A.(－ ，－1]B ．(－∞，－2]23C ．(－∞，－1]D ．(－ ，＋∞)2C [因为 C ∩A ＝C ，所以 C ⊆A .3①当 C ＝∅时，满足 C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得 a ≤－ ；2 ②当 C ≠∅时，要使 C ⊆A ，则Error!3 解得－ ＜a ≤－1.2 由①②得 a ≤－1.]9．已知函数 f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数 f (x )的单调性.【导学号：07804151】[解] 由题意知 f (x )的定义域为(0，＋∞)，a ＋1 2ax 2＋a ＋1 f ′(x )＝ ＋2ax ＝ .x x①当 a ≥0 时，f ′(x )>0，故 f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当 a ≤－1时，f ′(x )<0，故 f (x )在(0，＋∞)上单调递减． a ＋1③当－1<a <0时，令 f ′(x )＝0，解得 x ＝ － ，2aa ＋1则当 x ∈(0， － 2a)时，f ′(x )>0； a ＋1当 x ∈(－，＋∞)时，f ′(x )<0.2aa ＋1故 f (x )在(0， － 2a )上单调递增，a ＋1在(－，＋∞)上单调递减．2a综上，当 a ≥0 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当 a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；a ＋1a ＋1当－1<a <0时，f (x )在(0， － 2a )上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．2a题组 3 根据图形位置或形状分类讨论310．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，则双曲线的离4心率为()35 5A. B．4 35 5 3 4C. 或D．或4 35 5b 3c b 2 51＋(a)C[若双曲线的焦点在x轴上，则＝，e＝＝＝；若双曲线的焦点在ya 4 a 4b 4c b 2 51＋(a)轴上，则＝，e＝＝＝，故选C.]a 3 a 311．已知变量x，y满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝()1 1A．－B．2 21C．0 D．－或02D[不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若不等式组Error!表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．1结合图形可知斜率k的值为0或－.]212．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．8343或[若侧面矩形的长为6，宽为4，则31V＝S底×h＝×2×2×sin60°×4＝4 .32若侧面矩形的长为4，宽为6，则1 4 4 8 3 V＝S底×h＝×××sin60°×6＝.]2 3 3 3x2 y213．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角9 4|PF1|形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________．|PF2|7或2[若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，2又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5，14 4 |PF1| 7解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.3 3 |PF2| 2若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，4所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，|PF1|所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.|PF2||PF1| 7综上知，＝或2.]|PF2| 214．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t＞0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P3 2外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值.2【导学号：07804152】x2 y2[解](1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，a2 b2|1－9|依题意可得2b＝＝4，所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，2x2 y2所以椭圆C的方程为＋＝1.5 4x2 y2(其中，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1，(2)设Q(x，y)＋＝1)5 4连接PM(图略)，因为QM为圆P的切线，所以PM⊥QM，1所以|QM|＝|PQ|2－t2－1＝x2＋y－t2－t2－1＝－y＋4t2＋4＋4t2.41①若－4t≤－2，即t≥，2当y＝－2时，|QM|取得最大值，3 2 3 1且|QM|max＝4t＋3＝，解得t＝＜(舍去)．2 8 2②若－4t＞－2，1即0＜t＜，当y＝－4t时，|QM|取得最大值，23 2 1 1 2且|QM|max＝4＋4t2＝，解得t2＝，又0＜t＜，所以t＝.2 8 2 42 3 2综上，当t＝时，|QM| 的最大值为.4 25。