最新届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法汇总

《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。

1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。

2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。

2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。

3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。

3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。

第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。

4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。

4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。

第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。

6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。

6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。

第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。

向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。

1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。

向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。

2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。

几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。

第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。

如果两个向量平行，它们的坐标成比例。

3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。

如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。

第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。

4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。

高中数学向量的加法教案教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则。

2. 掌握向量的加法法则和减法法则。

3. 能够通过例题熟练运用向量的加法和减法。

教学重点：1. 向量的加法法则和减法法则的理解与应用。

2. 解题方法的掌握与灵活运用。

教学难点：1. 多个向量的加法和减法。

2. 向量的坐标表示和分解。

教学准备：1. 教学课件、教学板书。

2. 向量的范例题目和练习题。

3. 制作向量的几何图形展示。

教学过程：一、引入：通过一个生活中的例子引出向量的概念，引导学生了解向量的意义和性质。

二、向量的定义与表示：1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

2. 向量的表示：以有向线段表示，常表示为AB（→），A和B分别为向量的起点和终点。

3. 向量的性质：平移、长度和方向都相同的向量相等。

三、向量的加法法则：1. 平行四边形法则：两个向量相加，结果向量的始点为第一个向量的始点，终点为第二个向量的终点，即C = A + B。

2. 共点法则：两个向量相加，结果向量为他们的和向量，即C = A + B。

四、向量的减法法则：向量的减法等价于加上对应向量的相反向量，即A - B = A + (-B)。

五、例题练习：1. 讲解范例题目，带领学生理解向量的加法和减法法则。

2. 练习学生独立解题，加深对向量运算的掌握和应用。

六、课堂小结：复习向量的加法和减法法则，梳理思路和方法。

七、作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

教学反思：通过向量的加法教学，让学生掌握向量的基本运算法则，提高学生的运算能力和解题思维。

扩充应用向量知识，拓展学生的问题解决能力。

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

向量运算复习课教案一、教学目标- 复向量的基本概念和性质- 掌握向量的加法和减法运算法则- 理解向量的数量积和向量积的定义和计算方法- 运用向量进行简单的几何运算和问题求解二、教学内容1. 向量的基本概念和性质的复- 向量和标量的区别- 向量的表示方法和性质- 向量的模长和方向角的计算2. 向量的加法和减法运算法则- 向量的平移和平移向量的性质- 向量加法和减法的几何意义和运算法则- 练向量的加法和减法题目3. 向量的数量积- 向量的数量积的定义和性质- 数量积的计算方法- 判断向量的垂直和平行关系4. 向量的向量积- 向量的向量积的定义和性质- 向量积的计算方法- 判断向量的共面和垂直关系三、教学活动和方法- 上课讲解向量的基本概念和性质- 利用示意图和实例演示向量的加法和减法运算- 进行小组练和互动讨论，巩固向量运算法则的理解和掌握- 学生独立完成向量的数量积和向量积的计算题目- 小组合作完成一些与真实生活相关的向量运算问题，培养应用能力四、教学评价方式- 针对每个知识点进行课堂练，及时纠正和指导- 学生个人和小组完成的练题作为评价依据- 考察学生对向量运算的应用能力，提问和解答问题五、教学资源- 黑板、彩色粉笔、投影仪- 相关教材和练册- 小组合作练题目和真实生活案例六、教学反思- 对于不理解的知识点，通过增加示意图的数量和实例的解析来帮助学生更好地理解- 加强练环节的设置，增加学生的参与度和实践能力- 引导学生与教师合作，共同解决一些真实生活中与向量运算相关的问题- 鼓励学生提问和解答问题，促进互动与讨论。

向量的基本运算及应用教案引言：向量是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。

本教案旨在通过教授向量的基本运算和应用，让学生们深入理解向量的概念和运算法则，培养他们对向量运算的应用能力。

一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，在平面上可以表示为带有起点和终点的有向线段。

2. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法和分量表示法进行表示。

3. 向量的运算法则（1）向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。

（2）向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。

（3）向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个标量，得到新的向量。

二、向量的基本运算实例1. 向量的加法实例假设有向量 A(2, 3) 和向量 B(4, -1)，则它们的向量和为：A +B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)2. 向量的减法实例假设有向量 A(5, 7) 和向量 B(3, 2)，则它们的向量差为：A -B = (5-3, 7-2) = (2, 5)3. 向量的数量乘法实例假设有向量 A(3, 4)，要将其乘以 2，则结果为：2A = (2*3, 2*4) = (6, 8)三、向量的应用1. 向量的平移通过向量的加法运算，可以实现对向量的平移操作。

例如，将向量A(2, 3) 平移到点 (5, 7)，可以得到平移后的向量为：A' = A + (5-2, 7-3) = (3, 4)2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将多个向量按照一定比例相加的操作。

例如，向量 A(2, 3) 和向量 B(4, 1) 的线性组合可以表示为：cA + dB = (c*2, c*3) + (d*4, d*1) = (2c+4d, 3c+d)，其中 c 和 d 为标量。

3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是向量运算中的两个重要概念。

（1）向量的内积：也称为点积，可以用来计算两个向量间的夹角。

高中数学教案：向量的运算向量的运算一、引言向量是高中数学中的重要内容之一，它具有方向和大小，并且可以进行各种运算。

向量的运算包括向量的加法、向量的减法、数量与向量的乘法等。

本教案将详细介绍向量的运算方法和相关性质。

二、向量的加法1. 定义向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作。

具体来说，设有向量A和向量B，它们的和记作A＋B，可以通过以下方法进行计算：A＋B＝(Ax＋Bx, Ay＋By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx 表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。

2. 性质向量的加法具有以下性质：(1) 交换律：A＋B＝B＋A(2) 结合律：(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，其中C为另一个向量三、向量的减法1. 定义向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

具体来说，设有向量A和向量B，它们的差记作A－B，可以通过以下方法进行计算：A－B＝(Ax－Bx, Ay－By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。

2. 性质向量的减法具有以下性质：(1) 减法的定义：A－B＝A＋(－B)(2) 减法的运算规则：A－B＝A＋（－B）＝A＋（－1）B＝A－B四、数量与向量的乘法1. 向量的数量乘法给定一个向量A和一个实数k，向量A与实数k的乘积记作kA，它是一个新的向量，计算方法为：kA＝(kAx, kAy)其中，kAx表示向量A在x轴上的分量乘以实数k，kAy表示向量A在y轴上的分量乘以实数k。

2. 向量的点乘向量的点乘又称为数量积，给定两个向量A和B，它们的点乘记作A·B或者AB，计算方法为：A·B＝|A||B|cosθ其中，|A|表示向量A的模长，|B|表示向量B的模长，θ表示A和B的夹角。

3. 向量的叉乘向量的叉乘又称为向量积，给定两个向量A和B，它们的叉乘记作A×B或者AXB，计算方法为：A×B＝|(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBx－AyBx)k|其中，i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。

第五章 平面向量 复数知识结构网络向量运算几何运算代数运算复数运算复数概念 数系扩充复数平移定比分点坐标表示几何表示向量应用向量表示向量概念平面向量5.1平面向量的概念与运算一.明确复习目标1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件二．建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:c b a,,…或AB …等；向量的长度即向量的模记作|AB |。

(2)零向量： 其方向： (3)单位向量： 单位向量不唯一. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：0与任意向量平行。

(5)相等向量：长度相等且方向相同. 2.向量加法: 设,AB a AD BC b ===，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角形法则”进行。

如图 a +b =AB AD +=。

或 a +b=+规定：a a a=+=+00；(2) 向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法 （1）相反向量：关于相反向量有： ①)(a --=a ； ②a +(a -)=(a -)+a =0； ③若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

（2）向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a -+=-。

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

如上图a b DB -=表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。

(3)温馨提示：①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。

②三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零. 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4.实数与向量的积(1)实数λ与向量a 的积：①是个向量;②模等于||||a λ③方向λ>0时与a同向,λ<0时与a反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

第一课时 向量的概念及运算【知识与技能】1. 掌握平面直角坐标系中的向量及其运算的坐标表示；会利用坐标讨论两个平行向量或垂直的条件，会求向量的长度以及两个向量的夹角．2. 理解平面向量分解定理．3. 初步懂得运用向量方法进行简单的几何证明和计算． 【过程与方法】把向量的度量计算转化为坐标运算，体会坐标化的过程和意义． 【情感态度与价值观】能用于向量方法解决一些简单的几何问题，提高学习向量的兴趣． 【知识点梳理】一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如,,,a b c等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB ,CD等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA 的坐标,记为OA=(),x y .3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a 与b相等,记为a b =.注:向量不能比较大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量的方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量. 二、向量的运算 (一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量．刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言．主要内容列表如下：加法：①a b b a +=+ (交换律); ②()()a b c a b c ++=++(结合律)实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+ ; ②()a a a λμλμ+=+ ;③()()a a λμλμ=两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a →±b →)2=222a a b b →→→→±⋅+(三)运算性质及重要结论⑴平面向量分解定理:如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+ ，称1122e e λλ+ 为12,e e的线性组合． ①其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+ 且''1122a e e λλ=+ ,那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y )，则→--OA =（x ,y ）；当向量起点不在原点时，向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则→--AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) ⑵两个向量平行的充要条件符号语言：)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==,则a →∥b →⇔(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩,或x 1y 2-x 2y 1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a →与b →同向时,λ>0；当a →与b →异向时,λ<0．|λ|=|b ||a |→→,λ的大小由a →及b →的大小确定．因此,当a →,b →确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义． ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言：⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x⑷两个向量数量积的重要性质： ①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度);②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断);③cos a ba bθ⋅=⋅ (求角度)．以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:①两向量a →,b →的数量积运算结果是一个数cos a b θ⋅ (其中,a b θ=),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.②cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积a b等于a 的模与b 在a方向上的投影的积. ③如果111(,)P x y ,222(,)P x y ,则12PP=2121(,)x x y y --,∴12PP =这就是平面内两点间的距离公式. 三、定比分点：定比分点：设点P 是直线21P P 上一点，且满足)1(21-≠=λλPP P P ，则称点P 分线段21P P 所成的比为λ；设),(),,(),,(222111y x P y x P y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ；特别：①),(),,(222111y x P y x P 的中点),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ； ②在ABC ∆中，),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 的重心),(y x G 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x【基础练习】1.平面内三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --,若→--AB ∥→--BC ，则x 的值为 (C ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)52. 正方形P RS Q 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且→--OP =（0，3），→--OS =（4，0），则→--RM = ( A ) (A)（21,27--） (B)（21,27） (C)（7，4） (D)（27,27） 3.已知()(),3,2,4,a x b a b ==-⊥,则实数x = ___6____.4.已知()()2,8,6,4,a b a b +=--=--则a = ()2,6--_, b = _()4,2-_,a 与b 的夹角的余弦值是5.已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC可用向量,a b 表示为__2433a b +___（答：）； 6．△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；7.已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；8.已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +等于____）；9.已知,a b是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____（答：30 ）10.化简：①AB BC CD ++=_AD __；②AB AD DC --=_CB ___；③()()AB CD AC BD ---=__0 ___11.若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++＝_____（答：；12.已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 13.已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；14.已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））15.设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB = ，3AD AB = ，则C 、D 的坐标分别是__11(1,),(7,9)3-________16.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b + ＝_____；若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为_______（答：73-）【典型例题】例1．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是 （ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅ C ．5121P P P P ⋅ D ．6121P P P P ⋅ 解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P 的长度12PP与1i P P 在12P P 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 方向上的投影最大.所以应选(A).例2.在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于A ．2()a b a a b⋅--B ．2()a a b a b ⋅--C ．()a b a a b ⋅--D ．()a a b a b ⋅--解 (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+又OD 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅= 即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⎡⎤⋅-=∴-+⋅-=⎣⎦ ，整理可得()2(),b aa ab λ-=⋅-即得()2a a b a bλ⋅-=-，故选B ．例 3.已知,A B 两点的坐标为()()2,3,4,1--，点P 在直线AB 上且满足3AP BP =，求点P 的坐标.参考答案 ()1257,3,,02P P ⎛⎫⎪⎝⎭例4.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______ （答：512）例5.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；例6.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y ．（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．（答：（1）2；（2）2210x y xy ++-=）【复习巩固】1.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是____(,)43ππ_____（答：）；2.设a →，b →， c →是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(a →·b →)c →-(c →·a →)b →=0②|a →|-|b →|<|a →b →-|③(b →·c →)a →-(c →·a →)b →不与c →垂直 ④(3a →+2b →)·(3a →-2b →)=9|a →|2- 42b →中，真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ (D)3.已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a 与b之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a 与b的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k+⋅=> ；②最小值为12，60θ=）4.已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。

一．课题：向量与向量的初等运算二．教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 三．教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 四．教学过程： （一）主要知识：1．向量的概念及向量的表示；2．向量的加法、减法与实数乘向量概念与运算律； 3．两向量共线定理与平面向量基本定理． （二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全．（三）基础训练：1．下列个命题中，真命题的个数为 （ ） ①若||||a b =，则a b =或a b =- ②若AB CD =，则,,,A B C D 是一个平行四边形的四个顶点 ③若,a b b c ==，则a c = ④若//,//a b b c ，则//a c()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 12．在ABC ∆中，已知3BC BD =，则AD = （ ）()A 1(2)3AC AB + ()B 1(2)3AB AC + ()C 1(3)4AC AB + ()D 1(2)4AC AB + 3．化简AB AC BC --= 。

4．边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a AD b AC c ===，则||a b c -+＝ 。

5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量。

其中正确的说法是：（ ） A ．①，②；B ．②，③；C ．①，③；D ．①，②，③。

（四）例题分析：例1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，NAM D CNB分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB == （2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=-例2．（1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果1223AB e e =+,12623BC e e =+1248CD e e =-,求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+,12123,2CB e e CD e e =+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值. （1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=-所以121015BD e e =+,又因为1223AB e e =+,得5BD AB = 即//BD AB ,又因为公共点B ,所以,,A B D 三点共线； （2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+,因为,,A B D 共线,所以//AB DB设DB AB λ=,所以212k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即12k =-； 例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。

向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。

向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。

向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。

二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

高中数学向量归纳总结教案Ⅰ、复习巩固1. 回顾向量的定义和性质：向量是具有大小和方向的有向线段，向量的相等、加法、数乘等性质。

2. 复习向量的坐标表示和平移运算：向量的坐标表示及平移法则。

Ⅱ、向量的基本运算1. 向量的加法和减法：(1) 向量加法的几何意义及几何法则；(2) 向量的减法及性质。

2. 向量的数量乘法：(1) 数与向量相乘的定义及性质；(2) 数乘向量的几何意义。

Ⅲ、向量的线性运算1. 向量的线性运算定义：(1) 向量的线性组合；(2) 向量的线性相关和线性无关性质。

2. 向量组的线性运算：(1) 向量组的加法、数乘及线性组合；(2) 向量组的线性相关和线性无关概念。

Ⅳ、向量的数量积1. 向量的数量积定义及性质：(1) 向量的数量积的定义及运算法则；(2) 向量数量积的几何意义。

2. 向量的数量积运算：(1) 向量数量积的模及与夹角关系；(2) 向量数量积的应用。

Ⅴ、向量的应用1. 向量的点积在空间中的应用：(1) 向量的投影；(2) 向量的夹角和垂直性；(3) 向量的平行和共面性质。

2. 向量的叉积在空间中的应用：(1) 向量的叉积定义及性质；(2) 向量的叉积的模及与夹角关系；(3) 向量的叉积的几何意义及应用。

Ⅵ、综合练习及解析1. 综合练习题目的设置和章节知识点的整合；2. 进行案例分析和问题解析，帮助学生加深对向量知识的理解和掌握。

注：根据教学进度和学生实际情况，可以适当调整课时安排和内容深度，确保向量知识的学习效果。

课题：向量的加法与减法教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做a 与b 的和，记作b a +，即b a =+=+特殊情况：(1)BBAabba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |。

向量的加减法教案第一章：向量简介1.1 向量的定义向量的概念：具有大小和方向的量向量的表示方法：用箭头表示，例如→a 或<a, b>1.2 向量的性质向量的大小：向量的长度或模向量的方向：向量的起点到终点的线段单位向量：大小为1的向量1.3 向量的坐标表示二维空间中的向量：用(x, y) 表示三维空间中的向量：用(x, y, z) 表示第二章：向量的加法2.1 向量加法的定义向量加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量2.2 向量加法的几何意义向量加法：起点相同的两个向量，终点相加得到一个新的向量2.3 向量加法的坐标表示二维空间中的向量加法：(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)三维空间中的向量加法：(a, b, c) + (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) 第三章：向量的减法3.1 向量减法的定义向量减法：将两个向量的对应分量相减得到新的向量3.2 向量减法的几何意义向量减法：起点相同的两个向量，终点相减得到一个新的向量3.3 向量减法的坐标表示二维空间中的向量减法：(a, b) (c, d) = (a-c, b-d)三维空间中的向量减法：(a, b, c) (d, e, f) = (a-d, b-e, c-f)第四章：向量的数乘4.1 向量数乘的定义向量数乘：将一个向量与一个实数相乘得到新的向量4.2 向量数乘的几何意义向量数乘：将向量的大小乘以实数，方向不变4.3 向量数乘的坐标表示二维空间中的向量数乘：(a, b) c = (ac, bc)三维空间中的向量数乘：(a, b, c) c = (ac, bc, cc)第五章：向量加减法的应用5.1 向量加减法的几何应用向量加减法在几何图形中的应用，例如计算向量位移、速度等5.2 向量加减法的物理应用向量加减法在物理学中的应用，例如计算力的合成和分解5.3 向量加减法的实际应用向量加减法在计算机图形学中的应用，例如计算图像的位移和旋转第六章：向量加减法的运算律6.1 向量加法的运算律交换律：向量a + 向量b = 向量b + 向量a结合律：(向量a + 向量b) + 向量c = 向量a + (向量b + 向量c)6.2 向量减法的运算律减法与加法的关联：向量a 向量b = 向量a + (-向量b)结合律：(向量a 向量b) 向量c = 向量a (向量b + 向量c)第七章：向量的数乘运算7.1 向量数乘的运算律分配律：向量a (向量b + 向量c) = (向量a 向量b) + (向量a 向量c) 结合律：向量a (向量b 向量c) = (向量a 向量b) 向量c7.2 标量与向量的运算标量与向量相乘：标量向量= 向量标量第八章：向量加减法的应用举例8.1 二维空间中的向量加减法应用例题：计算物体在两个力的作用下的位移8.2 三维空间中的向量加减法应用例题：计算飞机在两个推力的作用下的位移第九章：向量的数乘应用举例9.1 二维空间中的向量数乘应用例题：计算物体在力的大小变化后的加速度9.2 三维空间中的向量数乘应用例题：计算飞机在推力大小变化后的加速度向量加减法的基本概念、运算律及应用10.2 向量加减法的拓展向量加减法在其他领域的应用，例如生物学、经济学等10.3 向量加减法的练习题及解答提供一些向量加减法的练习题，帮助学生巩固所学知识重点和难点解析一、向量简介1.1 向量的定义与表示方法：理解向量的基本概念，以及向量的大小和方向。

1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。

大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。

高中数学教案：向量的运算一、引言在高中数学课程中，向量是一个非常重要的概念。

向量不仅能够用来描述物理运动和力的作用方向，同时也在代数运算、几何图形等领域起着至关重要的作用。

本教案旨在介绍向量的基本概念以及向量的运算方法，帮助学生掌握向量的相关知识。

二、向量的定义和表示方式1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

它可以由起点和终点唯一确定。

2. 向量的表示方式：通常使用字母加箭头来表示，如A B⃗表示从点A到点B 所确定的向量。

或使用坐标表示法，将向量等效为一个有序数组(a, b)，其中a和b 分别代表该向量在x轴和y轴上的分量。

三、向量加法与减法1. 向量加法：设有两个向量A B⃗和 C D⃗，则其相加结果记作E F⃗，即E F⃗= A B⃗ + C D⃗。

根据平行四边形法则，可以得到E F⃗的坐标表示为(E_x , E_y) = (A_x + C_x, A_y + C_y)。

2. 向量减法：如果有两个向量A B⃗和 C D⃗，则其相减结果记作E F⃗，即E F⃗ = A B⃗ - C D⃗。

根据相反向量的性质，可以将E F⃗的坐标表示为(E_x , E_y) = (A_x - C_x, A_y - C_y)。

四、数量积和夹角余弦1. 数量积：向量的数量积也被称为点乘。

设有两个向量A B⃗和 C D⃗，它们的数量积记为AB ⋅ CD，计算方式为AB ⋅ CD = |AB| * |CD| * cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。

2. 夹角余弦：夹角余弦是指两个非零向量的夹角的余弦值。

根据求解数量积公式中的cos θ，可以得到cosθ = AB ⋅ CD / (|AB| * |CD|)。

五、向量的数量运算1. 向量与数的乘法：将一个向量与一个实数k相乘，其结果是每个分量都被k 倍扩大。

例如，对于向量u=(x,y)，当k为正实数时，则ku=(kx, ky)；当k为负实数时，则ku=(-kx, -ky)。