《向量的概念及表示》教案(1)

向量的概念及表示教案设计学习目标:1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念. 重、难点分析：向量概念的引入及表示向量；向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念的理解.学习内容：一、问题情景：阅读下列材料，回答问题战国后期，魏国国力渐衰,可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵。

季梁为了打动魏王，来了个现身说法。

季梁说：”今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国。

’臣说’楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是：‘我的马好，跑得快。

’‘我的路费多着呢。

’‘我的马夫最会赶车。

’问题①你觉得故事中的这个人最终得到的结果是什么？问题②是什么原因导致了这个结果？问题③我们在物理课中学过哪些与方向有关的量？问题④它们有什么共同特点？如何表示？二、新课讲授学生本节课要弄清楚的问题：1.什么是向量；2.如何表示向量，什么是向量的模？3.有哪些特殊的向量？4.向量间有什么特殊的关系？（一）向量的概念及表示向量的定义：既有大小又有方向的量。

双向活动：请同学们指出哪些量是有大小有方向的量，哪些是只有大小没有方向的量。

（二）平面向量及基本概念的学习1.数量与向量有何区别？2.向量的表示：（1）几何法表示（2）字母表示（3）向量的模：4.零向量和单位向量（1）长度为零的向量为量向量。

记作：0；0的方向是任意的。

0与0有何区别？注意1：（2）长度为1个单位长的向量称为单位向量。

注意2：零向量和单位向量都只限制了长度。

动动手：右图中线段AB长度为1，请以点O为起点，作一个单位向量，把你作出来的结果跟旁边的同学进行比较，你有何发现？A探究：同一个平面上同一起点的所有单位向量的终点可以构成一个什么图形？问题⑤：在平行四边形ABCD中，向量AB 与CD，AB与DC有什么关系？6.两向量间的关系：平行向量：把方向相同或相反的向量叫做平行向量.符号：ba//规定：0与任意一个向量平行.7.相等向量：把方向相同且大小相等的向量称为相等向量.符号：ba8.共线向量与平行向量的关系注意：平行向量与两直线平行有何区别？9.相反向量：把与a大小相等且方向相反的向量称为a相反向量.符号：a-三、例题精讲例1．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC向量相等吗？它们是什么关系? 例2. 下列结论中，正确的是___________ . A BCDEO（1）00= （2）若b a =，则||||b a = （3）若||||b a =，则b a = （4）若||||b a >，则b a > (5)若CD AB //，则CD AB //例3.如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）四、课堂总结（学生回答）五、课堂练习（1）单位向量都是相等向量； （ ） （2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； （ ） （3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；（ ） （4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量。

2.1《向量的概念及表示》教学设计一、教学目标：1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示．2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．二、教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示．三、教学难点：向量概念的理解．四、教学方法: 自主探究式．五、教学过程：一、问题情境情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B．从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移．二、学生活动1．问题（1）在图中标出两个位移．（2）请说出位移和距离的异同．（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？2．思考：阅读课本55～56页，回答下列问题．（1）什么是向量？（2）怎么表示向量？（3）什么是向量的模？BOA（4）有哪些特殊向量？三、建构数学1．向量的概念及表示．（1）向量的定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（2）向量的表示：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.【思考1】要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（3）向量的大小及表示:（4）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别；（5）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

【思考2】平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？2．向量的关系．（1）平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。

2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。

2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。

（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。

3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。

（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。

4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。

三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。

2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。

2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。

3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。

3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。

5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。

教学设计2。

1 向量的概念及表示错误!教学分析1．本节是本章的入门课,概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数"和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示-—用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等"，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量"呢?由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量,只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪,多媒体课件．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

向量的概念教案教案1：向量的概念与表示教学目标：1. 了解向量的概念及其在几何和物理中的应用；2. 掌握向量的表示方法，能够将向量在坐标系中表示出来；3. 理解向量的相等、相反与零向量的概念。

教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以表示为有向线段。

向量可以用来表示力、速度、位移等物理量。

2. 向量的表示方法：用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，线段的方向与向量的方向相同。

3. 坐标系中的向量表示：使用坐标系中的点表示向量，起点为坐标原点，终点位置的坐标表示向量。

4. 向量的相等：若两个向量的大小和方向相同，则它们相等。

5. 向量的相反：若一个向量的大小为a，方向与另一个向量相反，则它们互为相反向量，即一个为-a。

教学步骤：1. 引入向量的概念，介绍向量在几何和物理中的应用。

2. 通过实例引导学生理解向量的表示方法，绘制有向线段，让学生观察和描述向量的大小和方向。

3. 引入坐标系中的向量表示方法，让学生通过绘制坐标系和线段来表示向量。

4. 给出几个向量，让学生根据给定的坐标系计算并表示出这些向量。

5. 阐述向量的相等、相反和零向量的概念，通过实例让学生理解并判断相等、相反的向量以及零向量。

6. 练习：给出一些向量的大小和方向，让学生判断并表示出相应的向量。

教学资源：1. 向量的概念和表示的PPT；2. 坐标系的绘图纸和直尺；3. 练习题目。

教学评估：1. 在课堂上进行口头提问，让学生回答向量的概念、表示方法以及向量的相等、相反和零向量的判断；2. 练习题目的完成情况和正确率。

教案2：向量的基本运算教学目标：1. 掌握向量的加法和减法运算方法；2. 理解向量加法与减法的几何意义；3. 理解向量的数乘运算。

教学内容：1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加。

在坐标系中，将两个向量的起点放在一起，终点与终点相连，所得的向量为两个向量的和向量。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减。

高一数学向量的概念及表示教案江苏省西亭高级中教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模；3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

教具：多媒体投影仪，三角板。

教学过程：一、问题情境：请大家看这样一个问题，湖面上有O、A、B三个景点。

景点O与景点A相距1500米，景点A与景点B相距2000米。

一游艇将游客从景点O送至景点A,从景点O到景点A有一个位移，半小时后游艇又将游客从景点A送至景点B,从景点A到景点B也有一个位移。

想一想：位移与距离这两个量有什么不同？位移既有大小又有方向距离只有大小没有方向提问：现实生活中还有那些既有大小又有方向的量？（力、速度、加速度等）数学中把既有大小又有方向的量叫做向量。

向量与实际生活密切联系，在测量学、航海、军事等方面有着广泛的应用。

这一节课我们就一起来学习向量。

（板书）二、学生活动：阅读课本 P57－58完成下列问题:1.什么是向量?2.怎么表示向量?3.向量的大小是什么?4.有哪些特殊向量?5.向量间有什么特殊关系?三、建构数学：1、向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量。

2、向量的表示：有向线段：具有方向的线段.记作: AB(注：起点写在终点前).有向线段的三要素：起点、方向、长度.向量的几何表示法：用一条有向线段AB来表示.有向线段的长度表示向量的大小箭头所指的方向表示向量的方向向量的字母表示法：用字母a、b、c(黑体字)或来表示.手写时写成:a3、向量的模：向量AB的大小称为向量AB的长度（模），记作|AB|。

3、两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0。

注意：0与0的含义与书写区别。

②单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

向量的概念及表示教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 能够运用向量表示物体在空间中的位置和运动。

3. 掌握向量的加法、减法和数乘运算。

教学内容：第一章：向量的概念1.1 向量的定义1.2 向量的性质1.3 向量的表示方法第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法的定义和性质2.2 向量减法的定义和性质2.3 三角形法则和平行四边形法则第三章：向量的数乘3.1 向量数乘的定义和性质3.2 向量数乘的意义和应用3.3 向量的长度和方向第四章：向量的几何应用4.1 向量在直角坐标系中的应用4.2 向量在几何图形中的应用4.3 向量在物体运动中的应用第五章：向量的线性组合5.1 向量的线性组合定义和性质5.2 向量线性组合的意义和应用5.3 向量空间和基底的概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解向量的概念和表示方法。

2. 利用图形和实物模型，直观地展示向量的几何意义和应用。

3. 通过例题和练习题，让学生掌握向量的运算规则和应用技巧。

教学评价：1. 课堂讲解和讨论的参与度。

2. 作业和练习题的正确率和完成情况。

3. 期末考试的成绩和表现。

教学资源：1. 教学PPT和幻灯片。

2. 图形和实物模型。

3. 练习题和测试题。

教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时教学步骤：1. 引入向量的概念，引导学生思考向量的定义和性质。

2. 讲解向量的表示方法，如箭头表示法和坐标表示法。

3. 通过图形和实物模型，展示向量的几何意义和应用。

4. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握三角形法则和平行四边形法则。

5. 讲解向量的数乘运算，引导学生理解向量数乘的意义和应用。

6. 通过例题和练习题，让学生巩固向量的运算规则和应用技巧。

7. 引导学生思考向量的线性组合的概念和性质。

8. 讲解向量的线性组合的意义和应用，如基底的概念。

§2.1 向量的概念及表示教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分3.平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：（1）向量概念的引入，会表示向量.（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，教学难点：（1）“数”与“形”的结合思想（2）平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体，尺规一、问题情景：（1）湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。

思考：位移和距离这两个量有什么不同？（位移既有大小又有方向，距离只有大小没有方向）（2）据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力约为2万牛,每个航天员的质量约为65kg，火箭进入轨道后的速度约为708km/s。

上述力、质量、速度这些在生产生活中常见的量我们如何用数学模型来刻画呢？思考：上述的力、质量、速度三个量有什么区别？AB 二、建构数学： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 （例：位移、力、速度、加速度等） 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；（例： 距离、身高、时间、质量等）而向量有方向与大小双重性，不能比较大小。

2.向量的表示方法： ①几何表示法：有向线段．有向线段------具有确定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度 ②代数表示法：字母i)用有向线段的起点与终点字母来表示 ii)用小写的字母来表示 3.两种特殊向量零向量：长度为 0 的向量。

a 第 1 课时：§2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。

3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维. 【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念 难点：向量概念的理解及向量的几何表示. 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法： 采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功； （2）物体所受重力； （3）物体的质量为a 千克； （4）1月1日的4级偏南风的风速。

一、教学目标1. 知识目标：使学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 能力目标：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对向量学习的兴趣，培养学生的数学思维。

二、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、向量的表示方法。

2. 教学难点：向量的几何表示和向量的运算。

三、教学过程一、导入1. 提问：同学们在生活中有哪些现象可以用向量来描述？2. 学生回答，教师总结：向量在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，如力、速度、加速度等。

二、新课讲解1. 向量的概念（1）向量的定义：向量是既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（3）向量的性质：向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

2. 向量的几何表示（1）有向线段表示：向量的几何表示就是用一条有向线段来表示向量，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（2）向量坐标表示：在直角坐标系中，向量可以用一对有序实数（坐标）来表示。

3. 向量的运算（1）向量加法：两个向量的和等于它们的终点与起点的连线。

（2）向量减法：两个向量的差等于它们的终点与起点的连线，但方向相反。

（3）向量数乘：一个向量乘以一个实数，相当于向量的大小乘以实数的大小，方向不变。

三、课堂练习1. 根据向量的定义和表示方法，写出下列向量的表示：（1）一个向东的向量，大小为5；（2）一个向北的向量，大小为3；2. 计算下列向量的和与差：（1）向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)；（2）向量a = (4, -2)，向量b = (-3, 5)。

四、总结1. 向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段或坐标表示。

2. 向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

3. 向量的运算包括加法、减法和数乘。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 思考向量在实际生活中的应用，如力、速度、加速度等。

《平面向量》教学案第1课时向量的概念及表示教学过程一、问题情境1.情境:湖面上有三个景点O，A，B(如图1)，一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.(图1)2.问题:(1) 位移和距离这两个量有什么不同？(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都是矢量，不同于路程、质量等，它们具有什么样的共同特征？你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？二、数学建构(一) 生成概念引导学生思考、讨论上面的问题，从而引出以下概念.(1) 定义:既有大小又有方向的量叫向量，如位移、力、速度、加速度等.(2) 向量的表示方法1°几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段，如；2°字母表示法:如a.(3) 模的概念:向量的大小称为向量的模，记作||，模是可以比较大小的.(4) 两个特殊的向量1°零向量:长度(模)为0的向量，记作0.0的方向是任意的.2°单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.引导学生思考下面的问题:观察图2，在中心为O的正六边形ABCDEF中，(图2)向量AB与向量FC，OF有什么关系？向量AB与向量OC有什么关系？向量OA与向量OD有什么关系？向量AB，FC，CF，OC，ED有什么关系？(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定:0与任一向量平行.(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a，b相等，记作a=b.规定:0=0.(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量.如图3，OA =a，OB=b，OC=c，且a∥b∥c，则向量a，b，c可以平移到一条直线上.(图3)(二) 理解概念(1) 数量与向量的区别:数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又有大小，不能比较大小(强调).(2) 0与0的区别:0是向量，是有方向的(虽然方向是任意的)；0是数量，没有方向.(3) 任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，与起点无关.(三) 巩固概念桌面上，质量相同的两个物体A和B，它们所受的重力是否相等？它们所受的重力对应的向量是否相等？解因为它们所受的重力的作用点不同，所以它们所受的重力不相等.因为它们所受的重力对应的向量大小相等，方向相同，所以它们所受的重力对应的向量相等.这说明数学中研究的向量是自由向量，只有两个要素:大小和方向.三、数学运用【例1】下列命题中正确的是(填序号).①向量a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行.[3][规范板书]解对于①，考虑到b可能是零向量，所以①错；对于②，考虑到两个向量可能在同一条直线上，所以②错；对于④，向量平行不同于直线平行，所以④错.显然③正确，故填③.[题后反思]向量平行不同于直线平行:若两直线重合，则它们不平行；若两向量在一条直线上，则它们必平行，共线向量即为平行向量.【例2】已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中:(例2)(1) 试找出与FE共线的向量；(2) 确定与相等的向量；(3)OA与BC相等吗？[4][处理建议]在学生充分了解正六边形的几何性质的基础上，让其自主解题；再充分利用图形，多问几个问题，全面覆盖本节课的内容.[规范板书]解(1)与FE共线的向量有BC和OA.(2) 与长度相等且方向相同，故BC=FE.(3) 虽然OA∥BC，且|OA|=|BC|，但它们方向相反，故这两个向量并不相等.变式1在图中标出的向量中，与向量OA模相等的向量有多少个？[规范板书]解3个.[题后反思]向量相等要看两个要素(大小，方向)，若有一个要素不同，则两向量不等.向量共线不同于几个点共线，也不同于几个线段共线.变式2如图，在以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，请写出以A 为起点的不同向量，并求其大小.[5](变式2)[处理建议]写出向量的关键是找出起点和终点，而求其大小就是求向量的模，也即求起点、终点两点间的距离.[规范板书]解由图可知，以A为起点的向量有AB，AC，AD，AE，，，，且||=1，||=2，||=3，||=，||=，||=，||=1.[题后反思]在求向量模的过程中，可借助勾股定理求解.(例3)【例3】如图，在四边形ABCD中，=，N，M分别是AD，BC上的点，且=，求证:四边形DNBM是平行四边形.[6][处理建议]由=可得到四边形ABCD为平行四边形，则AD BC.又由=可得到四边形CNAM为平行四边形，则AN CM，可得DN MB，从而可证明四边形DNBM为平行四边形.[规范板书]证明∵=，∴AB DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴A D BC.又∵=，∴CN MA，∴四边形CNAM为平行四边形，∴AN CM，∴DN MB，∴四边形DNBM为平行四边形.[题后反思]向量相等包括两方面的含义:长度相等和方向相同(即平行).(例4)*【例4】如图，已知半径为1的圆O上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，那么(1) 有多少个单位向量？(2) 有多少个模为的向量？(3) 与平行的向量有哪些？[7][规范板书]解(1) 共有16个单位向量.(2) 圆周上，只隔一个点的两点所连的向量的模为，共有2×8=16个.(3) 与平行的向量有，，，，.[题后反思]相反向量与原向量平行，且长度相等.向量平行(共线)只要关注:方向相同或相反，不要忘了方向相反的向量.四、课堂练习1.有下列命题:①向量的模是一个正实数；②两个相等向量必是两个平行向量；③坐标平面上的x轴和y轴都是向量；④温度有零上温度和零下温度，所以温度是向量.其中真命题的个数是1.2.设点O为正方形ABCD的中心，在以正方形的顶点及点O为起点或终点的向量中，分别与，相等的向量是，.3.某人从A点出发向东走了5m到达B点，然后改变方向往东北方向走了10m到达C 点，到达C点后又改变方向向西走了10m到达D点，求的模.(第3题)解根据题意，画出图形如图所示，∠ABD=90°，AB=5，BD=10，所以AD==5，故||=5.五、课堂小结1.向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量.(三个定义，两种表示)2.向量的关系:平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量.(三个关系)3.两种思想:数形结合思想、分类讨论思想.第2课时向量的加法教学过程一、问题情境利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为，从景点A到景点B的位移为，那么经过这两次位移后游艇的合位移是，如图1所示.(图1)问题1向量，，三者之间有什么关系？经过两次位移后游艇的合位移是，两个连续位移的效果可用一个位移表示.问题2如何用数学语言来刻画三者之间的关系？+=.问题3还有哪些量的运算具有类似的性质？和数的运算有什么不同？物理学中，力、位移、速度、加速度等都有类似的运算，它们是向量的运算.二、数学建构问题4一般地，如何定义向量的加法运算？1.向量的加法的含义如图2，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b.即a+b=+=.(图2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.说明三角形法则使用时应该“首尾相连”，即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连，若不“首尾相连”可通过平移使之“首尾相连”.问题5数的加法法则是什么？向量的加法满足吗？3.向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量a，有a+0=0+a=a.对于相反向量，有a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律:a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律.如图3，作▱OABC，使=a，=b，则==a，==b.因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a.(图3)4.向量加法的平行四边形法则图3还表明，对于两个不共线的非零向量a，b，我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别记作=a，=b，以OA，OB为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.说明平行四边形法则使用时应该“共起点”，即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同，若不“共起点”可通过平移使之“共起点”.同样，根据图4可以验证，向量的加法满足结合律.(图4)思考如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么？(零向量)三、数学运用【例1】如图，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上分别取点F，E，使BE=DF，用向量的方法证明:四边形AECF是平行四边形.[2](例1)[处理建议]由上一课时的例3知，要证明四边形AECF是平行四边形，只需证明=或=.[规范板书]解=+，=+，又∵=，=，∴=，即AE，FC平行且相等，∴四边形AECF也是平行四边形.[题后反思]在运用向量方法进行证明时，常常运用向量加法法则(平行四边形法则、三角形法则)将向量进行转化.【例2】如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证:++=0.[3](例2)[处理建议]引导学生复习三角形边的中点具有的性质，构造平行四边形，联系向量的加法法则，使运算自然展开.[规范板书]证明连接DE，EF，FD.因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得+=.①同理在▱BEFD中，+=，②在▱CFDE在中，+=.③将①②③式相加，得++=+++++=(+)+(+)+(+)=0.[题后反思]此题有一定的难度，对于培养学生综合运用已有的知识解决问题的能力有促进作用.深化学生对向量加法法则的理解和运用.【例3】在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/ h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？[4][处理建议]此题利用向量方法解决实际问题，关键是问题的转化.即渡船的实际速度，船速与水速应满足+=.数学问题解决后一定要回到实际问题.[规范板书]解如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船的实际垂直过江的速度.(例3)因为+=，所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，||=||=12.5，||=25，所以∠CAD=30°.答:渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.[题后反思]明确解题的基本策略，先作出图示来认识活动过程，在直观感受的基础上，运用向量知识求解.四、课堂练习1.在矩形ABCD中，||=，||=1，则向量的模等于2.2.化简:(1) ++=；(2) ++++=0.提示++++=++++=0.3.在正六边形ABCDEF中，=a，=b，则=a+b(用a，b表示).提示==+=a+b.4.在Rt△ABC中，∠A=90°，若||=3，||=4，则|+|=5.提示在Rt△ABC中，|+|=||=5.五、课堂小结1.由物理学中的合位移推广得到向量的加法运算，类比数的运算得到向量的运算律.2.向量加法的三角形法则强调向量“首尾相连”，平行四边形法则强调向量“共起点”.第3课时向量的减法教学过程一、问题情境实数的加法与减法是什么关系？[2]二、数学建构问题1类似于实数的减法，你能定义向量的减法吗？向量的减法是向量的加法的逆运算.若b+x=a，则向量x叫做a与b的差，记为a-b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.问题2类似于向量的加法，你能作出向量减法的几何表示吗？作法:如图1、图2，在平面内任取一点O，作=a，=b.(图1)(图2)因为+=，即b+=a，所以=a-b.这就是说，当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.由向量加法结合律可知，[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a，所以a-b=a+(-b).这表明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.三、数学运用【例1】如图，已知向量a，b，求作a-b.[3](例1)[处理建议]先让学生自主尝试作图，再进行抽象的理论概括.[规范板书]略.[题后反思]不同情形的作图方法归纳:当向量a，b起点相同时，a-b由b的终点指向a 的终点；当向量a，b终点相同时，a-b由a的起点指向b的起点；当向量a，b起点和终点都不同时，可以通过平移使之共起点或者共终点.(例2)【例2】如图，O是▱ABCD对角线的交点，若=a，=b，=c，试证明:b+c-a=.[处理建议]要证b+c-a=，只要证b+c=+a.[规范板书]证明因为b+c=+=+=，+a=+=，所以b+c=+a，即b+c-a=.[题后反思]解决这类问题的核心是应用向量加法或减法法则进行相互转化.本题还可以通过=+=++来证明，或者从c-a=-=-==+来证明.【例3】证明:对于任意两个向量a，b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.[4][处理建议]引导学生从不等式本身的几何意义出发，结合向量a，b是否为零向量、是否共线等情况分类讨论.[规范板书]证明若a，b中至少有一个为零向量，则不等式显然成立.若a，b都不是零向量，记=a，=b，则=a+b.(1) 当a，b不共线时，如图甲所示，则在△OAB中，有|||-|||<||<|| +||，即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(例3)(2) 当a，b共线时，若a，b同向，如图乙所示，||=||+||，即|a+b|=|a|+|b |；若a，b反向，如图丙所示|||-|||=||，即||a|-|b||=|a+b|.综上可知，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.[题后反思]此题要求学生学会多角度分析问题，确定解题的立足点，讨论问题的全面性，培养学生的分类讨论的能力.也可证明:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.四、课堂练习1.在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD的形状为平行四边形.2.下列各式中，能化简为的是①②④(填序号).①+(-)；② (-)+(-)；③--；④-+.3.在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则-=或.4.设D是正三角形ABC的BC边中点，若|-|=1，则|-|=.提示由条件可得||=2，从而可得||=2×=.五、课堂小结1.充分认识向量加减法的内在一致性.2.牢固掌握向量减法的运算法则，并能运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差.第4课时向量的数乘教学过程一、问题情境一艘船上午8点从某港口出发，以vkm/h的速度向南偏东45°的方向航行，下午1点半该船到达何处？若设该船每小时的位移为a，则该船5.5小时的位移应如何表示？答该船到达此港口南偏东45°的方向且距港口5.5vkm处；该船5.5小时的位移应为5.5a.二、数学建构问题1位移为5.5a，它是向量吗，有什么特点？问题2向量5.5a可以看成什么运算的结果？问题3一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，叫做向量的数乘，那它的方向、大小与向量a有什么关系？(1) |λa|=|λ‖a|；(2) 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ=0或a=0时，λa=0.问题4类比于实数的运算，向量的数乘有哪些运算律？根据向量数乘的定义，可以验证向量的数乘满足下列运算律:(1) λ (μa)=(λμ)a；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.三、数学运用【例1】如图(1)，已知向量a，b，c，求作向量3a-2b+c.[2](例1(1))[处理建议]指导学生量化长度，辨析方向，动手操作，使学生在实际操作中增强对知识的理解、掌握程度.[规范板书]作法一用三角形法则，如图(2).(例1(2))此时，由向量的加法可知向量=3a-2b+c为所求作的向量.作法二用平行四边形法则，如图(3).(例1(3))作=3a，=-2b，=c，分别以AB，AC为邻边作▱ABDC，以▱ABDC的对角线AD，AE为邻边作▱AEFD，则向量=3a-2b+c为所求作的向量.[题后反思]向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算法则，更应理解其几何意义.另外，在作向量的差时，一般把“差”转换成“和”来作；λa的几何意义也要十分清晰.【例2】计算:(1) 3(a-b)-2(a+2b)；(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).[3][处理建议]本题类似于实数运算中的合并同类项，引导学生用此思想方法自主解题.[规范板书]解(1)3(a-b)-2(a+2b)=3a-3b-2a-4b=a-7b.(2) 2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a.[题后反思]通过运算，更好地掌握向量的加、减和数乘运算，熟练运用向量的运算律.(例3)【例3】如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，N在BD上且BN=BD，求证: M，N，C三点共线.[4][处理建议]欲证M，N，C三点共线，只需证∥即可.[规范板书]证明=-，∵=，==(+)，∴=+-=-，①=-=-. ②由①②可得=3，即∥.又∵，有公共点M，∴M，N，C三点共线.[题后反思](1) 证明点共线问题往往转化为证明有公共端点的向量共线问题；(2) 如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个(非零)向量的数乘来表示，即线性表示.自然得到向量共线定理.一般地，对于两个向量a(a≠0)和b，有如下的向量共线定理:如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b与a(a≠0)是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b=λa.[5][规范板书]证明根据向量数乘的定义可知，对于两个向量a(a≠0)和b，如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b与a(a≠0)是共线向量.反过来，如果向量b与a是共线向量，当b与a同方向时，令λ=；当b与a反方向时，令λ=-；若b=0，则令λ=0.从而有一个实数λ，使b=λa.假设有两个实数λ，λ'，使b=λa，b=λ'a，则b-b=(λ-λ')a=0，即|λ-λ'‖a|=0.因为|a|≠0，所以λ-λ'=0，即λ=λ'.从而有且只有一个实数λ，使b=λa.[题后反思](1) λ的符号决定着两个向量同向还是反向，λ的绝对值决定着两个向量的长度之间的倍数关系.(2) 向量共线定理的一般形式:如果存在不全为0的两个实数s，t，使ta+sb=0，则向量a，b共线；若a，b不共线，且ta+sb=0，则必有s=t=0.四、课堂练习1.计算:-3(4a-5b)=-12a+15b，2(2a-3b)-4(3a-2b)=-8a+2b.2.若向量a，b，c满足(4a-3c)+3(5c-4b)=0，则c=-a+b.3.已知点R在线段PQ上，且=，设=λ，则λ=-.提示由=，可知5=3(-)，故=-，即λ=-.4.已知向量a=e1-e2，b=-3(e2-2e1)，求证:a与b是共线向量.证明因为a=(2e1-e2)，b=3(2e1-e2)，所以b=6a，由向量共线定理知a与b是共线向量.五、课堂小结1.理解并掌握向量数乘的定义及运算律.2.理解向量共线定理，并能运用它判断两个向量是否共线.第5课时向量线性运算习题课教学过程一、问题情境梳理知识结构二、数学建构问题1向量的线性运算与数的运算有什么不同？问题2向量线性运算的法则是什么？三、数学运用【例1】设e是非零向量，若a+b=2e，2a-b=-3e，向量a与b是否平行？[处理建议]要证明a与b平行，只要证明存在实数λ，使得a=λb(b≠0)即可.[规范板书]因为a+b=2e，所以e=(a+b).代入2a-b=-3e，得2a-b=-3·(a+b)，化简得a=-b.又若b=0，得a=2e且a=-e.因为e是非零向量，所以a=2e与a=-e不可能同时成立，故b≠0.所以向量a与b平行.[题后反思]证明两向量a和b平行或共线，需要找出向量a和b之间存在的数量关系，因此在解题的过程中，消去向量e，问题得以解决.【例2】如图，设P，Q是线段AB的三等分点，若=a，=b，试用a，b表示向量，.(例2)[处理建议]本题主要从两个方面入手:图形分析和向量运算.通过回忆向量加法的三角形法则，强调首尾相连，使学生在自主练习中巩固向量线性运算法则.[规范板书]解因为=a-b，所以=+=a+b，=+=a+b.[题后反思]灵活运用向量加法法则是求解本题的关键，培养学生读图、识图的能力，使学生领悟数形结合的思想.【例3】如图，在△OAB中，C为直线AB上一点，=λ(λ≠-1)，求证:=.(例3)[处理建议]引导学生将已知条件中的，用结论式中的，，表示，进而解出.[规范板书]证明因为=-，=-，又=λ，所以-=λ(-)，即(1+λ)=+λ.又因为λ≠-1，即1+λ≠0，所以=.[题后反思](1) 结合图形分析，明确解题思路，重点是向量加、减法的三角形法则的灵活运用；本题中，当λ=1，即C是AB中点时，有=(+).(2) 本题所证明的结论=表明:起点为O，终点为直线AB上一点C的向量可以用，表示.那么两个不共线的向量，可以表示平面内任一向量吗？(可以表示，为后续学习平面向量基本定理做铺垫)*【例4】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y，求+的值.[处理建议]引导学生根据已知条件构造向量，运用向量共线定理建立方程组求解.[规范板书]解因为G为△ABC的重心，故=(+)，所以=-=(+)-x=-x+，=-=y-=y-(+)=y--.由于与共线，根据共线向量基本定理知存在实数λ，使=λ，即-x+=λ-，从而得即=，化简得x+y-3xy=0，两边同除以xy得+=3.[题后反思]本题应抓住重心的性质表示出，熟练掌握向量的线性运算及共线定理，通过对式的合理变形，体会化归的思想，也培养学生的运算能力.四、课堂练习1.下列命题中真命题的个数为1.①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；②若=，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b，b=c，则a=c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.提示只有③正确.2.在△ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN，AM交于点P，则可用a，b表示为-a+b.3.设=x+y，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x+y=1.4.已知x，y∈R，向量a，b不共线，若(x+y-2)a+(x-y)b=0，则x=1，y=1.提示由已知条件得解得五、课堂小结1.平面向量线性运算法则的巩固、强化，线性运算几何意义的理解.2.通过向量线性运算进一步体会“向量是既有大小又有方向的量”，同时感受向量在求解平面几何问题中的灵活应用.第6课时平面向量基本定理教学过程一、问题情境[3]1.情境:火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度(如下图所示).在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.(图1)2.问题:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？二、数学建构设e1，e2是平面内两个不共线的向量.活动1请同学们作出向量=2.5e1+1.5e2.[4]活动2a是平面内的任一向量，能否通过作图用e1，e2表示呢？[5]如图2，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a.过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交直线OB于N，则有且只有一对实数λ1，λ2，使得=λ1e1，=λ2e2.因为=+，所以a=λ1e1+λ2e2.(图2)问题1是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量？这样的分解是否唯一？问题2对于平面上两个不共线的向量e1，e2，是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示？[6]平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解.当e，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解.1定理理解(1)基底e1，e2必须不共线；(2)λ1，λ2是被e1，e2，a唯一确定的实数对.思考平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？(平面向量基本定理是向量共线定理的推广)三、数学运用【例1】如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点M，=a，=b，试用基底a，b表示，，和.[7](例1)[处理建议]引导学生利用关系式=+和=-，以及平行四边形的对角线互相平分来求解.[规范板书]解=+=a+b，=-=a-b.∵平行四边形的对角线互相平分，∴==a+b，=-=-a-b，∴==a-b，=-=b-a.[题后反思]根据平面向量基本定理，选择适当的基底，将有关向量用基底线性表示，这样可通过向量运算来解决有关问题.变式在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=.[8][处理建议]引导学生选择适当的基底解决问题；并讨论不同基底的解法，激发学生的创新意识.[规范板书]解设=b，=a，则=b-a，=b-a，=b-a.∵=λ+μ，∴解得λ=μ=，∴λ+μ=.【例2】设e1，e2是平面内的一组基底，如果=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，求证:A，B，D三点共线.[9][处理建议]引导学生分析:欲证A，B，D共线，只需证明共起点的两个向量共线，让学生讨论“共起点”的必要性，提高学生思维的活跃性.[规范板书]证明∵=++=(3e1-2e2)+(4e1+e2)+(8e1-9e2)=15e1-10e2=5(3e1-2e2)=5，∴与共线.又∵与有公共的起点A，∴A，B，D三点共线.[题后反思]当出现三点共线时，转化为共起点的两个向量共线问题求解；选择适当的基底是寻求两向量共线的基础，即将共起点的两向量化归到一组基底线性表示，共线问题就很容易解决了.变式设两个非零向量e1和e2不共线.(1) 如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证:A，C，D三点共线；(2) 如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A，C，D三点共线，求k的值.[规范板书]解(1)=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-，∴与共线.又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线.(2) =+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2.∵A，C，D三点共线，∴与共线，从而存在实数λ，使得=λ，即3e1-2e2=λ(2e1-ke2)，∴解得λ=，k=.【例3】如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.[10](例3)[处理建议]分析题设中的条件，A，P，M三点共线，B，P，N三点共线，可得向量共线，从而可由向量共线定理和平面向量基本定理建立方程组求解.[规范板书]解法一设=e1，=e2，则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数μ，λ，使得=λ=-3λe2-λe1，=μ=2μe1+μe2，∴=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=+=2e1+3e2，∴解得∴=，=，∴AP∶PM=4∶1.解法二设=λ.∵=(+)=+.∴=+λ.∵B，P，N三点共线，∴存在实数t，使得=t，即-=t(-)，∴=(1+t)-t，∴解得λ=，∴AP∶PM=4∶1.[题后反思]解题的关键是由点共线转化为向量共线，体现了转化的数学思想.(例4)【例4】如图，在△OAB中，=，=，AD与BC交于点M，设=a，=b.(1) 用a，b表示；(2) 在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设=p，=q，求证:+=1.[规范板书]解(1) 设=ma+nb，则=+=(m-1)a+nb，=+=-a+b.∵点A，M，D共线，∴与共线，∴=，∴m+2n=1. ①=-=a+nb，=-=-a+b.∵点C，M，B共线，∴与共线，∴=，∴4m+n=1. ②联立①②可得m=，n=，∴=a+b.(2) =a+b，=-pa+qb，∵与共线，∴=，∴q-p·q=-p，即+=1.四、课堂练习1.在▱ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=-a+b(用a，b 表示).提示由=3，得4=3=3(a+b).由M是BC的中点得=a+b，所以=(a+b)-(a+b)=-a+b.2.在△ABC中，D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ=.提示∵=2，∴=+=+=+(-)=+，则λ=.3.设a，b是不共线向量，且a+2b=(x-1)a+yb，则x=2，y=2.提示∵a，b不共线，∴解得4.已知非零向量a，b不共线，若ma+b与a-nb平行，则mn=-1.提示∵ma+b与a-nb平行，∴存在实数λ，使得ma+b=λ(a-nb)，∴解得mn=-1.五、课堂小结1.平面向量基本定理及其意义.2.运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题.第7课时平面向量的坐标运算(1)教学过程一、问题情境我们知道，在平面直角坐标系内，点M可以用坐标(x，y)表示.这种表示在确定点M的同时也确定了的长度及的方向.换句话说，向量也可以用坐标来表示.二、数学建构问题1平面向量基本定理的内容是什么？[2]问题2如图1，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，那么如何用i，j表示呢？(=3i+4j)(图1)。

《2.1向量的概念及表示》教学案()●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．教学方案设计()●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(1)火车向正南方向行驶了50 km ，行驶速度的大小为120 km/h ，方向是正南． (2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？ 【提示】 它们的大小和方向都是确定的． 2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】 可以用有向线段表示，也可以用字母表示． 1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量． 2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.课堂互动探究例1 (1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的． (5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．规律方法1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．变式训练下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②例2 50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)． 规律方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．变式训练在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：图2－1－2例3 如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC . ∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →. 规律方法1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．变式训练图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，F A →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.易错易误辨析对向量的有关概念理解不透彻致误典例 判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 【错解】 以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】 以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．当堂双基达标1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．(2013·江油高一检测)若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确． 【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O . (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：课后知能检测一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b .其中正确的是________．(填序号) 【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确； a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确． 【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →， 又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°. 【答案】 南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．(2013·常州高一检测)如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】 正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形． 【答案】 矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③ 二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】 由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】 如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.教师备课资源()备选例题如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN 綊MA .【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】 由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA .规律方法1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．备选变式在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。