经济数学第7章 多元函数微分学

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个重要分支，它研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

在这个领域中，我们主要关注多元函数的变化率和方向导数，以及求解相关的极值和最优化问题。

在一元函数微分学中，我们研究的是只有一个自变量的函数。

而在多元函数微分学中，我们研究的是有多个自变量的函数。

多元函数可以表示为f(x1, x2, ... , xn)，其中x1,x2, ..., xn分别为自变量。

用微分学的语言来描述，我们要研究的是这个函数在一个点p上的切平面的性质。

首先，我们来看一下多元函数的导数。

多元函数的导数分为偏导数和全导数两种。

偏导数表示的是函数在某一变量上的变化率，而全导数则表示的是函数在所有变量上的综合变化率。

用数学符号来表示，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数为∂f/∂xi，也可以记为f'xi。

全导数可以用向量∇f表示。

接下来，我们来看一下多元函数的微分。

微分是导数的线性逼近，可以看作是函数在某一点上的局部线性近似。

多元函数的微分可以表示为df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2+ ... + ∂f/∂xn*dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为自变量的微小变化量。

在多元函数微分学中，我们还需要研究方向导数和梯度。

方向导数表示的是函数在某一方向上的变化率，可以用向量的点积来表示。

梯度是一个向量，它的方向指向函数变化最快的方向，大小表示变化率最大的值。

方向导数和梯度在求解优化问题中具有重要应用。

最后，我们来看一下多元函数微分学的应用。

在实际问题中，多元函数微分学可以应用于求解极值、最小二乘法、约束优化等各种问题。

例如，在工程领域中，我们可以用多元函数微分学来求解最优设计、最优控制等问题。

总结起来，多元函数微分学是微积分的一个重要分支，研究的是多变量函数的导数、微分以及相关的性质和应用。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代科学和技术发展中不可或缺的工具。

第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。

在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。

（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。

在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。

（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。

2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[]ρyy x z x y x z z y x y x ∆+∆-∆→∆→∆),(),(lim 0是否为0。

3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。

（四） 复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ϕ=，)(x v ϕ=从中让学生理解口诀的含义。

2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号1f '，12f ''等之涵义。

第七章 多元函数的微分学本章知识结构导图§7.1 数学家的故事：笛卡尔 勒奈·笛卡尔（Rene Descartes ）,1596年3月31日生于法国都兰城．笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”．笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”．笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向．他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触．解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折．而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础．直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了．轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来．一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点．他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，x y可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序用一组数(,)的数来表示，这就是坐标系的雏形．§7.2 空间直角坐标系与向量的概念一、空间直角坐标系1.坐标系和坐标坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则．我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴. xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面．三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图7-2-1）点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图7-2-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z . 空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z .2. 两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，可以证明:这两点间的距离为12M M =特别地,点),,(z y x M 与原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++=.不难看出,上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广.图7.1),z (3x 图7.2二、向量的基本概念及坐标表示1． 向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线段的长度表示向量的大小．若向量起点为A ，终点为B ，则记为AB .也可以用黑体字母表示向量，如a 、b 等．向量的大小又叫做向量的模，向量AB 的模用AB 来表示，而向量a 的模为a ．模为1的向量称为单位向量．模为0的向量称为零向量,记作0．0的方向是任意的．与向量a 的模相等、方向相反的向量叫做a 的反向量(负向量),记作-a ．如果两个向量长度相等且方向也相同，就说这两个向量相等．于是一向量平行移动后仍与原向量相等． 注意，两个向量不能比较大小．在坐标系中，以坐标原点O 为起点，向已知点M 引向量OM ，称之为点M 对于点O 的向径．2．向量的坐标表示取坐标轴,,Ox Oy Oz 上以O 为起点的三个单位向量，分别记为,,i j k ，叫做基本单位向量．设向量OM 的起点是坐标原点，而终点M 的坐标为(,,)x y z ，则OM x y z =++i j k , ,,x y z 是OM 在坐标轴上的投影.一般地，如果向量a 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为,,x y z ，则其在x 轴，y 轴，z 轴上的分向量为,,x y z i j k ，故有 x y z =++a i j k ，,,x y z 叫做a 的坐标，记为{},,x y z =a ．此时要注意向量与点的坐标区别．习题7.21.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限(1,1,2)- (1,1,2)-- (1,1,2)- (1,1,2)- (1,1,2)--2.求两点1(2,1,3)M -和2(3,2,1)M -之间的距离.§7.3 多元函数的概念函数()y f x =，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数．但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量．例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个．要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念．一、二元函数的概念【定义1】设D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点D y x ∈),( ，变量z 按照一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称z 是变量y x ,的二元函数，记为(,)z f x y =,其中变量y x ,称为自变量，z 称为因变量,集合D 称为函数),(y x f 的定义域，对应函数值的集合}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数(,,)u f x y z =以及三元以上的函数. 二元以及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素.一元函数的自变量只有一个，因而函数的定义域比较简单，是一个或几个区间.二元函数有两个自变量，定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性的部分平面.即二元函数的定义域在几何上通常为一个或几个平面区域.【例1】 求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)z =ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =- 【解】 (1)要使函数z =必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图7.3.(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图7.4.(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠. 故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图7.5.(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图7.6.图7.3 图7.4图7.5 图7.6设函数),(y x f z =的定义域为D ，对于任意取定的D y x P ∈),( ，对应的函数值为),(y x f z = ，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点),,(z y x M ，当),(y x P 取遍D 上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈= ，这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形. 如图7.7，二元函数的图形通常为空间中的一张曲面．图7.7具体地，如函数sin z xy =的图形为图7.8；函数2222x y z a ++=的图形为一个球面，如图7.9.图7.8 图7.9xyzo二、二元函数的极限与连续在一元函数中，我们研究了当自变量趋于某一数值时函数的极限，而这时动点趋于定点的各种方式总是沿着坐标轴进行的.对于二元函数),(y x f z =，同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于0x 和0y 时，函数z 的变化状态.也就是说，研究当点),(y x 趋向),(00y x 时，函数),(y x f z =的变化趋势.但是，二元函数的情况要比一元函数复杂得多.因为在坐标平面xOy 上，),(y x 趋向),(00y x 的方式是多种多样的.首先介绍领域的概念，邻域：设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，),(0δP U {}δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x 【定义2】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义（0P ),(00y x 点可除外），如果当点),(y x P 沿任何路径无限趋于),(000y x P 时，对应的函数值),(y x f z =都无限趋近于一个常数A ，则称当点),(y x P 趋向于),(000y x P 时，函数),(y x f z =以A 为极限.记为()()()00,,,lim x y x y f x y A →=二元函数极限也叫二重极限，可记为00lim (,)x x y y f x y →→．在极限的计算中不是先0x x →，再0y y →，而是),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P ，比一元函数的极限要复杂很多．【定义3】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义，并且),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.否则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断，点),(000y x P 称为该函数的间断点．如果),(y x f 在平面区域D 内的每一点都连续，则称该函数在区域D 内连续.二元函数的连续性的概念与一元函数是类似的，并且具有类似的性质：在区域D 内连续的二元函数的图形是空间中的一个连续曲面；二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数；定义在有界闭区域D 上的连续函数()y x f ,一定可以在D 上取得最大值和最小值.习题7.31.求下列函数的表达式：（1）已知2(,)f x y x y =，求(,)f x y x y +-.（2）已知22(,)xy f x y x y =+，求(,)x y f y x . 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形：（1）1422-+=y x z （2）xy z ln =（3）y x y x z -++=11 （4）z = §7.4 多元函数的偏导数与全微分在研究一元函数的变化率时曾引入导数的概念，对于多元函数同样需要研究函数关于自变量的变化率问题．但多元函数的自变量不只一个，函数关系也比较复杂，通常的方法是只让一个变量变化，固定其他的变量（即视为常数），研究函数关于这个变量的变化率．我们把这种变化率称为偏导数．一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义【定义4】设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数),(y x f 有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+，如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为00y y x x x z =='，),(00y x f x '，00y y x x x f ==∂∂或00y y x x x z ==∂∂.类似地，当x 固定在0x ，而y 在0y 有增量y ∆，如果极限yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记为00y y x x y z =='，),(00y x f y '，00y y x x y f ==∂∂或00y y x x y z ==∂∂. 如果函数),(y x f z =在平面区域D 内任一点),(y x 处都存在对x (或y )的偏导数，则称函数),(y x f z =在D 内存在对x (或y )的偏导函数,简称函数),(y x f 在D 内有偏导数,记为x z '，),(y x f x '，x f ∂∂或xz ∂∂, y z '，),(y x f y '，y f ∂∂或yz ∂∂. 从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个变量固定，而将二元函数),(y x f z =看成另一个变量的一元函数的导数.因此求二元函数的偏导数，不需要引进新的方法，只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行求导即可. 即求x z ∂∂时，把y 视为常数而对x 求导数；即求yz ∂∂时，把x 视为常数而对y 求导数． ),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数),(00y x f x '、),(00y x f y '，就是偏导函数),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 处的函数值.【例2】设32423z x x y y =-+，求z x ∂∂，z y ∂∂，()1,1z x ∂∂和()1,1z y -∂∂【解】对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数，234z x xy x ∂=-∂； 对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数，23212z x y y∂=-+∂； ()1,1z x ∂∂＝211341x y x xy ==-=-；()23111,121214x y z x y y ==--∂=-+=-∂．【例3】设yx z =，求x z ∂∂，yz ∂∂. 【解】x z ∂∂=1-y yx , yz ∂∂=x x yln . 【例4】设二元函数xy z ln =，求x z ∂∂，yz∂∂. 【解】x z ∂∂=x y xy xy xy x 11)'(1=⋅=⋅, y z ∂∂=y x xy xy xyy 11)'(1=⋅=⋅ 【例5】sin x z e xy =, 求,u ux y∂∂∂∂. 【解】sin cos (sin cos )x x x ze xy e xy y e xy y xy x∂=+⋅=+∂, cos x ze xy x y∂=⋅∂, 【例6】 设)1ln()1(),(22y x xy y x f y +++=，求)0,1(/x f .【解】 如果先求偏导数),(y x f x '，再求)0,1(x f '显然比较繁杂，可以先求一元函数)0,(x f ，再求导数)0,(x f x '.因)1ln()0,(2x x f +=，所以212)0,(x xx f x +='. 故1)0,1(='x f .2. 偏导数的几何意义设)),(,,(00000y x f y x M 是曲面),(y x f z =上一点，过0M 作平面0y y =，与曲面相截得一条曲线（如图7.10），其方程为⎩⎨⎧==),(00y x f z y y . 偏导数),(00y x f x '，就是导数),(0x x y x f dx d=在几何上，它是该曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.图7.10同样，偏导数),(00y x f y '表示曲面),(y x f z =被平面0x x =所截得的曲线⎩⎨⎧==),(00y x f z x x 在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率.二、高阶偏导数由上面的例子可以看出：函数),(y x f z =对于x 、y 的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂仍是x 、y 的二元函数，自然地可以考虑x z ∂∂和yz ∂∂能不能再求偏导数．如果x z ∂∂、y z ∂∂对自变量x 、y 的偏导数也存在，则他们的偏导数称为()y x f ,的二阶偏导数按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数.xx xx z y x f xzx z x ''=''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(22；xy xy z y x f yx zx z y ''=''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(2；yx yx z y x f xy zy z x ''=''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(2； yy yy z y x f yzy z y ''=''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂),(22. 其中),(y x f xy''，),(y x f yx ''称为二阶混合偏导数.类似地，有三阶、四阶和更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.【例7】求函数13323+--=xy xy y x z 的二阶偏导数． 【解】 因为函数的一阶偏导数为x z ∂∂,33322y y y x --=yz∂∂3229x y xy x =--， 所以所求二阶偏导数为222322(33)6z z x y y y xy x x x x∂∂∂∂⎛⎫==--= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，222322(33)691z z x y y y x y y x y y x y∂∂∂∂⎛⎫==--=-- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭，23222(29)691z z x y xy x x y y y x x y x⎛⎫∂∂∂∂==--=-- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 23232(29)218z z x y xy x x xy y y y y⎛⎫∂∂∂∂==--=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 此例中的两个二阶混合偏导数相等，但这个结论并非对于任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，我们不加证明地指出下列定理.【定理1】 若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数在点),(y x 处连续，则在该点处有=∂∂∂y x z 2xy z∂∂∂2. 对于三元以上的函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关.三、全微分在一元函数微分学中,函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=,并且当自变量x 的改变量0→∆x 时,函数相应的改变量y ∆与dy 的差是比x ∆高阶的无穷小量.这一结论可以推广到二元函数的情形.【定义5】如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆.几点说明：(1)当函数可微分时，z A x ∂=∂、zB y∂=∂，又x dx ∆=、y dy ∆=，从而二元函数的全微分通常写为=dz dy y x f dx y x f y x ),(),('+'或=dz z z dx dy x y∂∂+∂∂ z dx x ∂∂，zdy y∂∂分别称为函数关于x ，y 的偏微分，全微分是偏微分之和． (2)二元函数),(y x f z =在点),(y x 处有全微分，又称为),(y x f 在点),(y x 处可微. 函数若在某区域D 内处处可微，则称这函数在D 内可微.(3)由定义可知),(y x f 在点),(y x 处可微，则),(y x f 在点),(y x 处有偏导数和连续.(4)多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 若偏导数x z ∂∂、yz∂∂在点),(y x 连续，则该函数在点),(y x 可微．(5)如果),(y x f 在点),(y x 处可微，那么)(ρο+=∆dz z （22)()(y x ∆+∆=ρ）.利用它可求二元函数的近似函数值和二元函数全增量的近似值()()dy yz dx x z y x f y y x x f z ∂∂+∂∂≈-∆+∆+=∆,, ()()dy yz dx x z y x f y y x x f ∂∂+∂∂+≈∆+∆+,,【例8】 求函数2sin()z x y =+的全微分. 【解】 因为2cos()z x y x ∂=+∂，22cos()zy x y y∂=+∂, 所以 22cos()2cos()z zdz dx dy x y dx y x y dy x y∂∂=+=+++∂∂. 【例9】计算函数xye z =在点)1,2(处的全微分. 【解】 由于,xy ye x z =∂∂ ,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂因此 .222dy e dx e dz +=【例10】求函数)2cos(y x y z -=，当4π=x ，π=y ，4π=dx ，π=dy 时的全微分. 【解】),2sin(y x y x z --=∂∂ ),2sin(2)2cos(y x y y x yz -+-=∂∂ 故 dy y z dx x z dz ),4(),4(),4(ππππππ∂∂+∂∂=).74(82ππ-=习题7.41.求下列函数的偏导数：（1）225sin 2y x xy z +-= （2）yx xyz +=（3）xz yz xy u ++= （4）2yzx u =2.求下列各函数在指定点处的偏导数： （1）)2sin(),(y x y x f +=，)0,2(π（2）)1ln(),(22y x y x f ++=，（1，2） （3）y xy ey x f yx 3)cos(),(+=+，（0，1） （4）)tan(),(2xy y x f =，（0，1） 3.求下列函数的二阶偏导数：（1）ye x z 8= （2）)sin (cos y x y e z x+=4.求下列函数的全微分：（1）xy y x z 22+= （2）yx e z xy+=5.设xyz =，当2.0,1.0,1,2-=∆=∆==y x y x 时，求dz z ,∆. 6.利用全微分计算99.2)01.1(的近似值.§7.5 多元函数的复合函数的偏导数在一元函数中，复合函数的求导法则是求导的灵魂，起到了非常重要的作用，对于多元函数也是如此.本节讨论多元复合函数求导法则.一、中间变量是一元函数的情况【定理2】 如果函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有：dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=． ------ 全导数 证明：有条件知,当0→∆t 时,0→∆u ,0→∆v ,dt du t u →∆∆,dtdv t v →∆∆. 由于函数),(v u f z =在点),(v u 有连续偏导数,有,21v u v vzu u z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆αα tv t u t v v z t u u z t z ∆∆+∆∆+∆∆⋅∂∂+∆∆⋅∂∂=∆∆21αα 当0→∆u ，0→∆v 时，01→α，02→α,∴.lim 0dtdvv z dt du u z t z dt dz t ⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆=→∆ 全导数的公式可用图7.11清楚地表示出来．(,)z f u v =，z 有两个直接变量u 和v ，画两个箭头，u 和v 都有变量t ，画两个箭头．箭头表示求偏导数，两个箭头连起来是相乘关系，z 关于t 图7.11 的导数就是的两条路径之和．【例11】 设z uv =，而te u =，t v cos =，求全导数dtdz . 【解】:sin t dz z du z dv ve u t dt u dt v dt∂∂=+=-∂∂cos sin t t e t e t =- 对两个以上中间变量的全导数类似可求， 例如有三个中间变量，(,,)z f u v w =，,,u v w 都是t 的函数，则dz z du z dv z dwdt u dt v dt w dt∂∂∂=++∂∂∂ 图7.12zu v wtzu vt二、中间变量是多元函数的情况【定理3】 设),(y x u ϕ=、),(y x v ψ=都在点),(y x 有偏导数，而),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在对应点),(y x 的两个偏导数均存在，且有xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 图7.13 z x ∂∂，z y∂∂这两个计算公式可由图7.13可以清楚的表示出来． 【例12】 设v e z usin =，而xy u =，y x v +=，求x z ∂∂和yz ∂∂. 【解】xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u += yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u += 【例13】 设2ln z u v =，期中 xu y=，2v x y =-，求 z x ∂∂和z y ∂∂．【解】212ln 2z z u z v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂=22222ln (2)(2)x x x y y y x y -+-， z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂=222ln ()(1)x u u v y v ⋅-+⋅-=22322ln (2)(2)x x x y y y x y ----.两个以上中间变量情况有类似的公式和图形表示， 例如三个中间变量xww z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 图7.14多元复合函数的复合关系是多种多样的，不可能把所有的公式都写出来，也没有必要这样做，只要我们把握住函数间的复合关系就可以了,并且牢记:复合函数对某自变量的偏导数zu vxyzu v wxy等于通向这个自变量的各条路径上函数对中间变量的导数与中间变量对这个自变量导数乘积之和.【例14】 设222),,(z y xe z y xf u ++==,y x z sin 2=,求xu ∂∂和yu ∂∂. 【解】224222sin 222sin 2(12sin )x y x yu u u z xu zu x y x x y e x x z x++∂∂∂∂=+=+⋅=+∂∂∂∂, y x y x e y y x y y x zu yu yzz u y u y u 2422sin 42)cos sin (2cos 22+++=⋅+=∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂.【例15】 设(,)w f x yz xyz =+，求x w ∂∂和w y∂∂. 【解】 令u x yz =+，xyz v =， 则(,)w f u v =，于是=∂∂x w x v v f x u u f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂f fyz u v∂∂=+⋅∂∂, w y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂ff z xz uv ∂∂=⋅+⋅∂∂．习题7.51.求下列复合函数的偏导数和导数： （1）设y x v xy u v u z 23,,ln 2-===，求yzx z ∂∂∂∂,. （2）设t z t y t x eu z y x sin ,2,3,322====+-，求dtdu . （3）设,)(ln xyx z =求yz x z ∂∂∂∂,. （4）设),(22xye y xf z -=，求yz x z ∂∂∂∂,. 2.设)(xyx xy z ϕ+=，其中)(u ϕ是可微函数，证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂.§7.6 多元函数的极值在一元函数中，我们利用函数的导数求得函数的极值，进一步解决了有关实际问题的最优化问题.但在工程技术、管理技术、经济分析等实际问题中，往往涉及到多元函数的极值和最值问题.本节就来重点讨论二元函数的极值问题，进而可以类推到更多元函数的极值问题.一、多元函数的极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x 元，外地牌子的每瓶卖y 元，则每天可卖出y x 4570+-瓶本地牌子的果汁，y x 7680-+瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天收益的目标函数为)7680)(2.1()4570)(1(),(y x y y x x y x f -+-++--=. 求最大收益问题就是求此二元函数的最大值问题.要解决此问题，必须首先来讨论二元函数的极值问题.【定义6】 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，对于该邻域内的任意异于),(000y x P 的点),(y x P ，都有不等式),(),(00y x f y x f <则称函数在),(000y x P 有极大值),(00y x f ；如果都有不等式),(),(00y x f y x f >则称函数在),(000y x P 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点统称为极值点. 【例16】 讨论下列函数在原点（0，0）处是否取得极值．（1）2243y x z += （2）22y x z +-= （3）xy z =【解】 （1）从函数2243y x z +=的特点看出：在（0，0）的去心邻域内，函数值均大于0，即)0,0(),(f y x f >.故在（0，0）处此函数取得极小值0)0,0(=f .（2）从函数22y x z +-=的特点看出：在（0，0）的去心邻域内，函数值均小于0，即)0,0(),(f y x f <.故在（0，0）处此函数取得极大值0)0,0(=f .（3）函数xy z =在（0，0）的去心邻域内，显然，有大于0)0,0(=f 的函数值，也有小于0)0,0(=f 的函数值.故0)0,0(=f 不是函数的极值.求极值关键在于求出极值点，类似于一元函数的极值我们有下列定理．【定理4】（极值存在的必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零.即0),(,0),(0000='='y x f y x f y x .【证明】 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数，且在点0x x =处取得极值.由一元函数极值的必要条件知0),(00'=y x f ，即0),(00='y x f x ，同理可得0),(00='y x f y .使0),(,0),(='='y x f y x f y x 同时成立的点),(y x ，称为函数),(y x f z =的驻点. 【定理5】 (极值存在的充分条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内具有连续的二阶偏导数，且点),(00y x 是函数的驻点，即0),(00='y x f x ，0),(00='y x f y .若记A y x f xx=''),(00，B y x f xy =''),(00，C y x f yy =''),(00，则 （1）当02<-AC B 时，点),(00y x 是极值点，且若0<A ，点),(00y x 是极大值点；若0>A ，点),(00y x 是极小值点.（2）当02>-AC B 时，点),(00y x 是非极值点.（3）当02=-AC B 时，不能确定点),(00y x 是否为极值点，需另作讨论． 【例17】 求函数 x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.【解】 令 223690360 x yf x x f y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点: )0,1(,)2,1(,)0,3(-,)2,3(-． 66+==x f A xx ,0==xy f B ,66+-==y f C yy ,得236(1)(1)B AC x y -=+-.列表如下：故在点（1，0）处函数取得极小值5)0,1(-=f ；在点（-3，2）处函数取得极大值31)2,3(=-f .由上面解题过程可以归纳出求函数),(y x f z =极值的一般步骤：（1）求一阶偏导数，并解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(//y x f y x f y x 得驻点； （2）对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值C B A ,,，然后确定出AC B -2的符号（驻点较多时，可列表显示）；（3）由定理5确定驻点是否为极值点，若是极值点求出极值.二、多元函数的最值与一元函数相类似，对于有界闭区域D 上连续的二元函数),(y x f ，一定能在该区域上取得最大值和最小值.使函数取得最值的点既可能在D 的内部，也可能在D 的边界上.若函数的最值在区域D 的内部取得，这个最值也是函数的极值，它必在函数的驻点或偏导数不存在的点处取得.若函数的最值在区域D 的边界上取得，往往比较复杂，在实际应用中可根据问题的具体性质来判断．综上所述，求有界闭区域D 上的连续函数),(y x f 的最值的方法和步骤为：（1）求出在D 的内部的可能的极值点，并计算出在这些点处的函数值；（2）求出),(y x f 在D 的边界上的最值；（3）比较上述函数值的大小，最大者就是函数的最大值；最小值就是函数的最小值.【例18】 有盖长方体水箱长、宽、高分别为z y x ,,.若2==V xyz ,怎样用料最省?【解】用料 )22(2)(2yx xy zx yz xy S ++=++=, 0,>y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-= .0)2(2,0)2(222y x S x x S y x ⇒⎩⎨⎧==3322y x 同时 322==xy z . 据实际情况可知, 长、宽、高均为32时, 用料最省.【例19】 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？【解】 ),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx ，解得唯一驻点（120，80）. 又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.* 三、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有约束条件的极值问题，称为条件极值问题；而对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件的极值问题称为无条件极值问题.对于条件极值问题，如果能从条件中表示出一个变量，代入目标函数，就把有条件的极值问题转化为为无条件极值问题了.但在许多情形,我们不能由条件解得这样的表达式,因此需研究其它的求解条件极值问题的方法----拉格朗日乘数法.求函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下求极值的步骤为：（1）构造辅助函数（称为拉格朗日函数）(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为待定常数，称为拉格朗日乘数；（2）求解方程组////(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y F x y x y λλλϕλλϕλϕ'⎧=+=⎪'=+=⎨⎪'==⎩，消去λ，得出所有可能的极值点),(y x ；（3）判别求出的点),(y x 是否为极值点，通常可以根据问题的实际意义直接判定.【例20】 某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本.【解】 约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-， 解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.【例21】求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.【解】设z y x ,,分别为长方体三棱长, 求xyz V = (,,0)x y z >的最大值，约束条件为2(,,)2220x y z xy yz zx a ϕ=++-=．构造格朗日函数2(,,,)(222)F x y z xyz xy yz zx a λλ=+++-,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=,0222 ,0)(2 ,0)(2 ,0)(22a xz yz xy F x y xy F z x xz F z y yz F zy x λλλλ 得: a z y x 66===, 此时 3366a V =．由题意知, V 的最大值为3366a ．习题7.61.求下列函数的极值：（1）181839623++--+=y x xy y x z （2）)4)(6(22y y x x z --=（3）)sin(2122y x z +-= （4）)2(22y y x e z x ++= 2.求函数y x z +=，在条件122=+y x 约束下的极值.3.某工厂生产甲种产品x （百个）和乙种产品y （百个）的总成本函数222),(y xy x y x C ++=+100（万元）；甲、乙两种产品的需求函数为甲P x -=26，乙P y 4110-=，其中甲P ，乙P 分别为产品甲、乙相应的售价（万元/百个），求两种产品产量x ，y 各为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？§7.7 数学建模案例 本节介绍与本章有关的两个数学模型案例，一个是与向量有关的状态转移问题，一个是二元函数的无差别曲线．一、人、狗、鸡、米问题人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题．1. 允许状态集合我们用(,,,)w x y z ，,,,0w x y z =或1，表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量，(1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1)我们将上述10个可取状态向量组成的集合记为S ，称S 为允许状态集合．2. 状态转移方程对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例（1，0，0，1）表示人，米过河．令D 为允许决策集合，D {(1,,,)|0x y z x y z =++=或1}，另外，我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，k k k k d S S )1(1-+=+),,,(k k k k k z y x w S =表示第k 次状态，D d k ∈ 为决策向量．。

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

多元函数微分学
多元函数微分学是研究多元函数多变量之间关系及其变化性质的
数学分支。

它不仅仅是研究函数的变化性质，而且它还为数学分析奠
定了坚实的基础。

利用多元函数微分学，我们能够描述和分析函数多
变量之间的关系，从而有效地定义和研究函数的变化性质。

多元函数微分学的基本原理是求导原理或微分原理，即对多元方
程求导，使用梯度来描述其变化性质，以及如何利用线性算法解决系
统的微分方程。

多元函数微分学的实际应用可以概括为数学物理学中
的各种多元函数场解和最优化问题，数学统计学中的概率分布估计，
模式识别和控制中的数学建模以及机器学习算法等等。

多元函数微分学是一门应用广泛，理论深入的数学学科，在解决
实际问题中发挥着重要作用，是工程数学中不可或缺的重要组成部分。

它不仅用于理解函数的变化性质，而且用于分析系统运行特征，找出
系统内因素的影响，并在做出有效的决策及其实现方式中发挥关键作用。

多元函数微分学简介多元函数微分学是微积分的重要分支之一，研究的对象是多元函数的导数和微分。

与一元函数微分学相比，多元函数微分学涉及到多个自变量的情况，因此需要对每个自变量进行偏导数的求解。

在多元函数微分学中，我们首先要了解多元函数的概念。

多元函数是指具有多个自变量的函数，常用的表示方法为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为函数值。

多元函数可以用来描述现实世界中的各种现象和问题，如经济学中的供求关系、物理学中的场和力等等。

与一元函数中的导数类似，多元函数的导数是描述函数在某一点附近的变化率的概念。

在多元函数中，我们需要求解偏导数来描述函数在每个自变量方向上的变化率。

偏导数的求解方法与一元函数中的导数求解方法类似，只需将其他自变量视为常数进行求解即可。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数的定义如下：∂f/∂x1 = lim(h→0) [f(x1+h, x2, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h∂f/∂x2 = lim(h→0) [f(x1, x2+h, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h...∂f/∂xn = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xn+h) - f(x1, x2, ..., xn)] / h其中，∂f/∂x1表示对x1的偏导数，h表示自变量的微小增量。

通过求解偏导数，我们可以得到多元函数在每个自变量方向上的变化率。

在多元函数微分学中，还有一个重要的概念是全微分。

全微分是描述多元函数在某一点附近的变化量与自变量的关系。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分的定义如下：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中，df表示函数值的微小增量，dx1, dx2, ..., dxn表示自变量的微小增量，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示偏导数。

第4章 多元函数微分学4.2.1 二元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。

多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等．例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域：{}0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数： ),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数．例4 求函数222y x a z --=的定义域．解：0222≥--y x a ，定义域为{}222),(a y x y x D ≤+= 例5 求yy x z )ln(+=的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有⎩⎨⎧>+>00y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D4.3 ——4.4偏导数二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（注意到：y 取值不变，恒为0y ） 记作：),(00y x x z ∂∂或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数： y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000例如：y x z 3sin 2=y x y x f yz y 3cos 3),(2='=∂∂ 33cos 3)0,1()0,1(2)0,1(=='=∂∂y x f y z y求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x 求偏导，一个是对y 求偏导.对x 求偏导时，应把y 看作常数.这样z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y 求偏导也类似.注意：一元函数)(x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续.多元函数),(y x f z =在),(00y x 可导和在),(00y x 连续，二者不能互推.全微分),(y x f z =称y y z x x z y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=∆∂∂+∆∂∂=为函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分.例1: 求y x y x f z 3sin ),(2==在点)0,1(处关于x 的偏导数.解： 将y 看作常数，y x xz 3sin 2=∂∂，03sin 2)0,1()0,1(==∂∂y x x z 例2: 求xy y x z +=2在点)1,1(-处的全微分. 解： 112)2()1,1(2)1,1(-=+-=-=∂∂--x y xy x z ，2)1()1,1(2)1,1(=+=∂∂--x x y z 因此，y x z d 2d d +-=4.5 复合函数与隐函数微分法复合函数求导法设),(v u f z =，而),(y x u u =，),(y x v v =，则xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂例1: )sin(e y x z xy +=.解法1：（利用复合求导公式）设xy u =，y x v +=，则v z u sin e =xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v y v u u )cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= v z u sin e =，xy u =，y x v +=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v x v u u )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++= 解法2：（直接求）xy x y x x x z xyxy ∂+∂++∂∂=∂∂))(sin(e )sin()e ()cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= 同理，=∂∂yz )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++ 例2:),(y x xy f z +=，求yz x z ∂∂∂∂,． 解:设y x v xy u +==,,则),(v u f z =，x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f y f v u f f y '+'= yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f x f v u f f x '+'= 例3 ),(2xy x f z =，求解: 设2,xy v x u ==,则),(v u f z =，xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21y f f v u ⋅'+⋅'= v u f y f '+'=2v f xy '=2例4 )sin ,3(2x x f z =，求dxdz ． 注意：f 是二元函数：),(v u f ， x v x u sin ,32==而z 是关于v u ,的二元函数，最终是关于x 的一元函数．xv v z x u u z x z d d d d d d ∂∂+∂∂=x f x f v u cos 6⋅'+⋅'= 例5 )(32y x f z =，求yz x z ∂∂∂∂,．注意：f 是一元函数，而z 是关于y x ,的二元函数．32),(y x u u f z ==，32xy f xu f x z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂，223y x f y u f y z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂ 例6 方程)0(0),(222≥=-+=y a y x y x F 其图形为上半圆周，相应的函数为22)(x a x y y -==。

第七章 多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.§7.1 多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：例1 任意三角形的面积S 与底x 高y 有下列关系: S=)0,0(21>>y x xy底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。

在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。

例2 从物理学中知道，理想气体的体积V 与绝对温度T 、压强P 之间有下列关系: ),0,0(是常数R P T P RTV >>=T ,P 可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T ,P 的值取定后，体积V 就有一个确定的值与之对应。

以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：定义1 设有三个变量x 、y 、z ，若对于变量x 、y 在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z 按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z 称为x 、y 的二元函数，记作z ＝f （x ，y ）。

称x 、y 为自变量，z 为因变量。

自变量的变化范围称为函数的定义域。

当自变量x 、y 分别取值x 0、y 0时，因变量z 的对应值z 0称为函数z ＝f （x ，y ）的当x =x 0， y =y 0时的函数值，记作z 0= f （x 0、y 0）。

类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。

二元以及二元以上的函数都称为多元函数。

注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。

不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。

如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。