拉氏变换练习题(14级)

第四章 习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。

（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t t e e βα--- （11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s e L at +=+-=-- （2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++ （8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs ss t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222s i n c o s s i n c o s ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。

积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。

22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。

(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。

拉普拉斯变换1. 当系统函数)(s H 的极点位于 时，)(t h 绝对可积，系统稳定。

A 、左半平面 B 、右半平面C 、虚轴D 、实轴2011-2012期末卷B2、当系统函数为()()231KH s s K s =+-+时，K 满足 系统稳定。

A 、1K < B 、3K > C 、03K << D 、3K < 2012-2013期末卷A3. 一个连续LTI 因果系统稳定（不包括临界稳定）的条件不包括（ ） A ．有界输入产生有界输出 B ．()h t dt M∞-∞≤⎰，M 为有界正值C ．s 平面的右半平面没有极点D ．lim ()0t h t →∞=4．某系统的系统函数21()32H s s s K=++-，则常数K 取值范围为（ ）时系统稳定。

A ．2K < B ．2K >- C ．2K <- D ．2K > 5. 如图1所示，电路中()s e t 、()s i t 表示激励源，()u t 、()i t 表示电路的响应，图中a 的网络函数为（ ），图中b 的网络函数为（ ）。

()s e t 1Ω()s i t 1Ω图1A. 211s s s +++B.211s s s +++ C. 2211s ss s ++++D. 221s s s s+++6．象函数()()2211+=+s F s s 的初值()0+f 为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、37．如果一个因果线性时不变系统的系统函数()H s 的所有极点的实部都小于零，则（ ） A 、系统为非稳定系统 B 、()h t <∞ C 、系统为稳定系统D 、()00h t dt ∞=⎰8．象函数()()2211+=+s F s s 的终值()f ∞为（ ） A 、0B 、1C 、2D 、39．因果系统的系统函数为()2232H s s s =++，则该系统是（ ）A 、稳定的B 、不稳定的C 、临界稳定的D 、不确定10. 函数()1t t e e αββα----的拉氏变换为（ ）A 、11s s αβ+++ B 、s s βα++ C 、s s αβ++D 、()()1s s αβ++11. 象函数()22125s s s s +++的终值为（ ）A 、0B 、1C 、15D 、1212. 函数sin 2cos t t +的拉氏变换为（ ） A 、2211s s ++ B 、()2211s s ++ C 、21s s ++ D 、211s s ++ 13. 象函数231056s s s +++的初值为（ ） A 、0B 、3C 、53D 、8514．0cos ()t t ωε的拉氏变换为（ ）。

B2.1 求下列函数的拉氏变换：B2.2 求下列函数的拉氏反变换：B2.3 求下列矩阵的逆矩阵：B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。

图B2.4 电路原理图B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。

图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。

当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。

设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。

(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。

)图B2.5 地震仪原理图图B2.6 机械系统原理图B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。

试分别列写各系统的微分方程。

B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h　0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。

B2.8 设系统的微分方程为试用拉氏变换法进行求解。

B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。

　试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节?B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。

B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u•+u=e•+3e和0.5y¨+y•=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。

第五章 拉普拉氏变换习题参考答案5.1 求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。

（1）(1)u t + （2）22(e e )()t t u t -+ （3）(1)()t u t - （4）(1e )()t t u t -+ 解：（1）1(1):Re[]0S u t e ROC S S+↔> （2）2211(e e)():Re[]222ttu t ROC S S S -+↔+>-+（3）()()()()22R 1111 :e[]0St u t tu t u t ROC S S S S↔--=--=> (4)()()()()2111R 1(1) :e[]tt teu t u t te u t S S ROC S --+=+↔+-+>5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。

（1）0sin (1)(1)t U t ω-- （2）212e ett---+（3）2()e t t δ-- （4）3sin 2cos t t + （5）2e tt -（6）e sin(2)t t -解：（1）[]0022sin (1)(1)st U t e S ωωω---↔+ （2）()()()212112e e12t tSS S ---+↔-+++ （3）12()e21tt S δ--↔-+ （4）22232323sin 2cos 111S St t S S S ++↔+=+++ （5）221e(2)tt S -↔+（6）22e sin(2)(2)4tt S -↔++ 5.3 利用常用函数（如(),e (),sin()(),cos()()at u t u t t u t t u t ββ-等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。

（1）[]e ()(2)t u t u t --- （2）[]sin()()sin (1)(1)t u t t u t ππ--- （3）(42)t δ- （4）sin(2)(2)44t u t ππ-- （5）0sin()tx dx π⎰ （6）22sin()()d t u t dtπ （7）22e ()t t u t - （8）e cos()()t t t u t αβ- 解：（1）[]222211e ()(2)(1e )111s ts e u t u t S S S -------↔-=-+++ （2）[]()()2221sin()()sin (1)(1)111SSt u t t u t e e SS ππππππ-----↔-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）121(42)4S t e δ--↔（4）822sin(2)(2)444S t u t e S πππ---↔+ （5）()2222111sin()tS x dx S S S S ππππππ↔-+=++⎰（6）2223322222222sin()()d t S S u t S dt S S S ππππππππππ--↔-==-+++ （7）2232e ()(2)tt u t S -↔+（8）()()2222222()ecos()()(())tS dS S t t u t dsS αααβαββαβ-++++-↔-=++ 5.4一个冲激响应为()h t 的因果LTI 系统具有下列特性：（1）t -∞<<+∞时，系统的输出为21()()e 6ty t =。