2019届高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第1讲函数图象与性质学案理99

第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x－e －xx2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x－e －xx 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足. 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50B.0C.2D.50解析 法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________. 解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数. ③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数. ④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]， 由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1). (2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1.答案 (1)D (2)1热点二 函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1， 若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2018·贵阳质检)已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 解析 (1)法一 易知g (x )＝x ＋sin xx 为奇函数，其图象关于原点对称.所以y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，选项D 满足. 法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C.又当x →＋∞时，y →＋∞，B 项不满足，D 满足.(2)画出y ＝|f (x )|＝|2x－1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点.由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x ).综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 (1)D (2)C 热点三 函数的性质与应用考法1 函数的奇偶性、周期性【例3－1】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析 (1)设g (x )＝f (x )－1＝ln(1＋x 2－x )，则g (x )为奇函数.由f (a )＝4，知g (a )＝f (a )－1＝3.∴g (－a )＝－3，则f (－a )＝1＋g (－a )＝－2.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )，则T ＝6是f (x )的周期.∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.答案 (1)－2 (2)6 考法2 函数的单调性与最值【例3－2】 (1)(2018·湖北名校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( )A.1B.12C.14D.34(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <b <a C.b <a <cD.b <c <a解析 (1)f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.(2)法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b . 答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0 为奇函数，则f (g (－3))＝( )A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2.(2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－xe x ＋e－x 的图象是( )解析 f (x )＝x 3－xe x ＋e －x 为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足. 答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ). 法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝2|log0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( )A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解析 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2.答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A.7B.8C.9D.10解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9. 答案 C 二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________.解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1.答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析 ∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，又2>0，∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 3 9.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________.解析 在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案 (－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围.解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1(或用f (0)＝0去解).∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2.11.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x， 令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值k (2)＝2－2ln 2－a .因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。