逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理【教学目标】知识与技能使学生理解逆命题与逆定理的意义,会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.过程与方法通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力.情感、态度与价值观教学中渗透着数学的形式美和内涵美,提高学生对数学美的鉴赏能力.【重点难点】重点会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.难点正确有写出一个命题的逆命题.【教学过程】一、创设情景,导入新课观察下列两个命题:(1)“两直线平行,内错角相等”;(2)“内错角相等,两直线平行”.你能分别说出它们的条件与结论吗?两者的条件与结论位置上有什么关系?从而导入新课.二、师生互动,探究新知1.原命题、逆命题、互逆命题教师讲解并板书:在两个命题中,一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论,又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中的一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题.教师启发如何构造一个命题的逆命题,并与同排同学做一个游戏:一个出示命题,一个构造它的逆命题.学生活动、交流,教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的,而不能说×××命题是逆命题.2.互逆命题与逆定理教师选取交流代表中的例子,分析互逆命题的真假.板书:如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理互为逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理,教师强调:不能说×××定理是逆定理.【教师提问】你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗?学生交流、讨论、回答,教师点评.三、随堂练习,巩固新知1.下列说法中正确的是()A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题都是真命题D.假命题的逆命题都是真命题2.“两直线平行,内错角相等”的逆命题是.3.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是.【答案】1.A2.内错角相等,两直线平行3.对角线互相平分的四边形是平行四边形【例】写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假.(1)四边形是多边形;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.【答案】(1)多边形是四边形.原命题是真命题,逆命题是假命题.(2)同旁内角互补,两直线平行.原命题是直命题,逆命题是真命题.(3)如果a=0,b=0,那么ab=0.原命题是假命题,逆命题是真命题.四、典例精析,拓展新知【例】下列命题的逆命题是真命题的是()A.对顶角相等B.若a=b,则|a|=|b|C.两直线平行,同位角相等D.全等三角形的对应角相等【答案】C【教学说明】先写出命题的逆命题,再判断真假,而不是判断原命题的真假.教师强调:假命题的逆命题可能是真命题,真命题的逆命题很有可能是假命题.五、运用新知,深化理解写出下列命题的逆命题,并判断其真假.(1)若x=1,则x2=1;(2)若|a|=|b|,则a=b.【答案】(1)逆命题是:若x2=1,则x=1,是假命题.(2)逆命题是:若a=b,则|a|=|b|,是真命题.下面的命题互为逆定理吗?如是不是,请说明理由.(1)“如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形”与“等腰三角形的两个底角相等”.(2)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”.【答案】(1)中的两个命题是互为逆定理.(2)中的两个命题不互为逆定理,原因是命题“相等的角是对顶角”是假命题.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这两个命题成了互为逆定理.【教学反思】这节课内容较少,学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键,判断逆命题的真假是本节的难点,应在教学中让学生多构造互逆命题,并判断其真假,让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系.2.线段垂直平分线【教学目标】知识与技能掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.过程与方法通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.情感、态度与价值观通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识,使学生发现数学.【重点难点】重点线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.难点灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?如图,l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l上,CA与CB有什么关系?写出你的证明过程.二、师生互动,探究新知在学生交流发言基础上,教师板书:线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.巩固练习材料P96第1、2题.教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题?学生完成并回答.下面我们一起来证明它,见教材P95.教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系?学生回答,教师板书.线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.三、随堂练习,巩固新知1.已知MN是线段AB的垂直平分线,C、D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的关系是()A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,分别交AB、AC于D、E,∠A=50°,是∠DCB 的度数是.【答案】1.B2.15°四、典例精析,拓展新知如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD 交BE于点F.求证:BE垂直平分CD.【答案】∵BD=BC,∴点B在CD的垂直平分线上,∠BCD=∠BDF.又∵∠ACB=90°=∠BDE,∴∠ACB-∠BCD=∠BDE-∠BDC,即∠ECD=∠EDC,∴ED=EC,∴E在CD的垂直平分线上.根据两点确定一条直线可得:BE垂直平分CD.【教学说明】任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点,在后面将学习这一点是三角形的外心,锐角三角形的各边垂直平分线的交点在三角形内,直角三角形各边垂直平分线的交点,在斜边的中点,钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外;要证明某直线是某线段的垂直平分线,可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等.五、运用新知,深化理解如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC与△ABD的周长分别为18cm和12cm,求线段AE的长.【答案】∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,AE=EC.△ABC的周长为AB+AC+BC=18(cm),①△ABD的周长为AB+AD+BD=12(cm),②①-②,得AC=6cm,∴AE=AC=3cm.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.1.引导学生作知识总结:线段垂直平分线的性质、判定定理,三角形三边的垂直平分线交于一点.2.教师扩展:利用两个定理证明线段相等,线段垂直时不用再证明全等,可简化解题过程.【教学反思】本节课在教学过程中,首先提出问题,让学生回答,通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理,接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理,并在习题中运用这两个定理,得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论.在教学过程中,应注意让学生搞清两个定理的条件与结论,并充分调动学生的积极性,体会解决问题成功的乐趣.3.角平分线【教学目标】知识与技能掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.过程与方法让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.情感、态度与价值观通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【重点难点】重点角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.难点灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.【教学过程】一、创设情景,导入新课角是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点,且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折你发现了什么?如何表达,并简述你的证明过程.二、师生互动,探究新知在学生交流发言的基础上,老师板书:角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等.几何推理为:∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,∴PD=PE.教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.巩固练习教材P98第1题.教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?它是不是真命题?学生完成并回答.下面我们一起来证明这个定理,见教材P97.教师指出:角平分线是一条射线,那么这个逆定理应如何表述?学生讨论并发言.在学生发言基础上教师归纳总结,并板书:角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上.巩固练习教材P98第2题.三、随堂练习,巩固新知1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,则PC与PD的大小关系是()A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定2.如图等腰△ABC中,AC=BC,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,则DEDF(填=,>或).【答案】1.B2.=四、典例精析,拓展新知【例1】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且BC=8cm,求△DEC的周长.【答案】因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°,所以DA=DE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),所以DC+DE=DC+DA=AC.在Rt△ABD ≌Rt△EBD,所以AB=BE.又因为AB=AC,所以AC=BE,所以DC+DE+EC=AC+EC=BE+EC=BC,所以△DEC的周长为8cm.【教学说明】作意三角形三个角平分线都交于同一点,在后面将学习这一点叫做三角形的内心,设△ABC的内心为I,则∠BIC=90°+∠A;如图,三条直线l1、l2、l3相交于A、B、C三点,到三条直线距离都相等的点应有4个,即两对角平分线的交点,以及相邻外角平分线的交点.五、运用新知,深化理解【例2】如图,已知BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:点D在∠BAC的平分线上.【答案】因为BF⊥AC,CE⊥AB,所以∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和CDF中,因为∠BED=∠CFD,∠BED=∠CDF,BD=CD,所以△BDE ≌△CDF,所以DE=DF,所以点D在∠BAC的平分线上.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.学生要会证明角平分线性质与判定定理,并会应用这个定理,会证明三角形三条角平分线相交于一点,并会运用这个定理.【教学反思】本节课的教学类比线段垂直平分线的教学,本课时的教学应突出学生的主体性原则,指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证,相互交流或课堂展示,让学生分享学习的收获,从而激发学生参与的热情,体验成功的快乐.。
