2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用课件文新人教A版

3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线 经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有 多条.
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������

第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
本节主要包括 2 个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.
突破点(一) 导数的运算
突破点(二) 导数的几何意义
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 导数的运算
抓牢双基·自学区 完成情况
[基本知识]
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
法二：f(x)＝(x＋1)2(x－3)＝x3－x2－5x－3，则 f′(x)＝3x2 －2x－5.
(2)因为 f′(x)＝ln x＋1，所以 f′(1)＝0＋1＝1，所以 f′(1)
＋f(4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选 B.
(3)因为 f(x)＝sin xcos φ－cos xsin φ－10<φ<π2，所以 f′(x)
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导
含待定系数 如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数 看成常数，再求导
复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
f′(x)＝ _c_o_s__x__
基本初等函数 f(x)＝xα (α∈Q *)
f(x)＝cos x
导函数
f′(x)＝ _α_x_α_－_1 _
f′(x)＝ _－__s_i_n_x_
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax (a>0，a≠1)
1 f′(x)＝ x
f(x)＝logax (a>0，a≠1)
f′(x)＝ __a_xl_n__a_ f′(x)＝

• 3.3 导数的应用(二)
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
1
1．函数的极值与导数
(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当 f′(x0)＝0 时， ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是 极大值；
②如果在 x0 附近的左侧_______，右侧_______，那么 f(x0)是
值，_______为函数在[a，b]上的最小值．
(3)设函数 f(x)在[a，b]上图象连续不断，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求 f(x)在(a，b)内的极值； ②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比
较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
17
(2)(2016·郑州模拟)设 x1，x2 是函数 f(x)＝x3 －2ax2＋a2x 的两个极值点，若 x1<2<x2，则实数 a
的取值范围是________．
解：由 f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0 得 x1＝a3，x2＝a.
a>2， 又因为 x1<2<x2，所以a3＜2. 所以 2<a<6.故填(2，6)．
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解：f′(x)＝3x2－12，所以 x<－2 时，f′(x)>0，－2<x<2 时，f′(x)<0，x>2 时，f′(x)>0，所以 x＝2 是 f(x)的极小
值点．故选 D.
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
8
(2016·岳阳模拟)函数 f(x)＝lnx－x 在区间(0，e]

lnx (2016· 湛江模拟)函数 f(x)＝ 的单调递减区间是( x A．(e，＋∞) C．(0，e) B．(1，＋∞) D．(0，1)
)
1－lnx 解：f′(x)＝ 2 ，由 x＞0 及 f′(x)＜0 解得 x＞e.故选 A. x
(2017· 浙江)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象 如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
解：f′(x)＝1－cosx＞0 在(0，2π)上恒 成立，所以 f(x)在 R 上递增，在(0，2π) 上为增函数．故选 A.
1 3 (2)设函数 f(x)＝ x －(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数 a＞1， 3 则 f(x)的单调减区间为________．
解：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)， 由 a＞1 知，当 x＜2 时，f′(x)＞0，故 f(x)在区间(－∞，2) 上是增函数； 当 2＜x＜2a 时， f′(x)＜0， 故 f(x)在区间(2， 2a)上是减函数； 当 x＞2a 时， f′(x)＞0， 故 f(x)在区间(2a， ＋∞)上是增函数． 综上，当 a＞1 时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增 函数，在区间(2，2a)上是减函数．故填(2，2a)．
自查自纠
①单调递增 单调递减 ②常数函数
(2016· 宁夏模拟)函数 f(x)＝x＋elnx 的单调递增区 间为( ) B．(e，＋∞) D．R A．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞)
e 解：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ >0，故 x 单调递增区间是(0，＋∞)．故选 A.
【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的 符号．不含参数的问题直接解导数大于 (或小于)零的不等式， 其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨 论导数大于(或小于)零的不等式的解，其解集即为函数的单调 区间．(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义 域的范围．确定函数单调区间的步骤：①确定函数 f(x)的定义 域；②求 f′(x)；③解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为 单调递增区间；④解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分 为单调递减区间．应注意的是，个别导数为 0 的点不影响所在 区间的单调性，如函数 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0 时，f′(x) ＝0)，但 f(x)＝x3 在 R 上是增函数．

撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1 利用导数证明不等式的常用技巧 (1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式． (2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证． (3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具 体问题，平时要多积累． 其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论． 2 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面， 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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[解] (1)函数 f(x)＝x2＋bln (x＋1)的定义域为(－1，＋∞)①，
f′(x)＝2x＋x＋b 1＝2x2＋x＋2x1＋b，
令 g(x)＝2x2＋2x＋b，则 Δ＝22－8b，由 b>12，得 Δ<0，
即 g(x)＝2x2＋2x＋b>0 在(－1，＋∞)上恒成立，所以 f′(x)>0.
解析 构造函数 f(x)＝sinx－x，则 f′(x)＝cosx－1≤0 且不恒等于 0，故函数 f(x)在(0，π)上单调递减， 所以 f(x)<f(0)＝0，故 sinx<x.

1
(1)解 由题设,知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= -1,

令f'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明 由(1)知 f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0.
则当 x≠1 时,ln x<x-1.
求实数λ的取值范围.
e
1
1
解 同例题过程,得 +x+>λ 在区间 2 ,6 上有解,
e
1
令 g(x)= +x+,则需 λ<g(x)max.
1
由例题解答过程可知,g(x)在区间 2 ,1 上单调递减,
1
1
5
e6 37
1
在区间[1,6]上单调递增,且 g 2 =2e2 + 2,g(6)= 6 + 6 >g 2
1
当

1
0,
1
0<x< ;令

f'(x)>0,得
上单调递减,在区间
1
x> ,

1
,+∞

上单调递增.
≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数 f(x)在区间[1,2]上
的最小值为 f(1)=1;
1
当

≥2,即 0<a≤
1
时,函数
2
上的最小值为 f(2)=aln
f(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数 f(x)在区间[1,2]

讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
利用导数研究生活中装的年固定成本为10 万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该
品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x)万元，
且R (x)＝191x.40－－3410x3x222x0><1x0≤.10，
比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函 第三步
数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 第四步 回归实际问题，给出优化问题的答案
[全练题点]
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以
利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁
所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为
()
A．32米，16米
B．30米，15米
C．40米，20米
D．36米，18米
解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料
厂的宽为x米，则长为
512 x
米，因此新墙总长为L＝2x＋
512 x
(x>0)，则L′＝2－
512 x2
，令L′＝0，得x＝±16.又x>0，∴x＝
16.则当x＝16时，L取得极小值，也是最小值，即用料最省，
B．2.4%
C．4% D．3.6%
解析：依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银
行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y＝0.048kx2－
kx3，故y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍
去)．因为k>0，所以当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048
x3 30
－

相加得:
1 ln(������+1)
+
ln(���1���+2)+…+ln(������+12
015)
>
1 ������
-
1 ������+1
+
1 ������+1
-
1 ������+2
+…+
1 ������+2 014
-
1 ������+2 015
=
1 ������
−
������+21015=������(������2+0210515).
2 3
= 247.
(2)∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,
∴a(ln x-x)≥2x-x2.
由 y=x-ln x 的导数 y'=1-1������,可得函数 y 在(1,+∞)内单调递增, 在(0,1)内单调递减.
考点1
考点2
考点3
-13-
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤������������2-l-n2������������. 设 φ(x)=������������2-l-n2������������,
考点1
考点2
考点3
-15-
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利 用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不 等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问 题转化为函数的最值问题.
考点1

解析：选 C.法一：在 x＝4 时的瞬时变化率为 f（4＋Δx）－f（4） Δy lim ＝ lim ＝ lim (Δx＋1)＝1，故选 C. Δ x Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 法二：f′(x)＝2x－7. f′(4)＝2×4－7＝1.故选 C.
函数 y＝f (x )的图象如图，则导函数 f ′(x )的大致图象为 ( )
f（x） f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3) (g(x)≠0)． 2 ′＝ g （ x ） [ g （ x ） ]
将原油精炼为汽油的过程中，需要对原油进行冷却和加 热，已知在第 x 小时，原油的温度 ( ℃ ) 为 f (x ) ＝ x 2 － 7x ＋ 15(0≤x ≤8)，则第 4 小时，原油温度的瞬时变化率为 ( A．－3 C ．1 B． 3 D．－1 )
1－xln x D．y′＝ xex （ln x）′ex－（ex）′ln x 解析：选 D.y′＝ （ ex ） 2
解析：选 B.法一：由原图知可设 y＝f(x)＝kx＋b(k＜0)． f（x＋Δx）－f（x） 则 f′(x)＝ lim Δx Δ x →0 k（x＋Δx）＋b－kx－b ＝ lim ＝k＜0，故选 B. Δx Δx→0 法二：可设 f(x)＝kx＋b(k＜0)． 则 f′(x)＝k＜0.故选 B.
令 x＝2，得 f′(2)＝－12. 再令 x＝5，得 f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
) B．4 D．8
解析：选 C.f′(x)＝6x＋2f′(2)，
ln x 2．y＝ x 的导数为( e 1－ln x A．y′＝ xex x－ln x C．y′＝ xex
) 1－ln x B．y′＝ ex
(2)导数的几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 斜率 处的切线的____________ ． (3)函数 f(x)的导函数

等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问
题转化为函数的最值问题.
12/11/2021
13
考点1
考点2
考点3
对点训练 2 已知函数 f(x)= (1)当 a=0 时,求 f(x)在区间
1
2
1
,e
e
x2+ln x(a∈R).
上的最大值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,
e
所以 y= -k 在(0,+∞)内无变号零点.
e
(-1)e
设 g(x)= ,则 g'(x)= 2 .
当 x∈(0,1)时,g'(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以 g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
所以 g(x)min=g(1)=e.
结合

=
e (-1)
.
2
令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.
所以函数f(x)在区间(0,1)内是减函数,
在区间(1,+∞)内是增函数.
12/11/2021
11
考点1
考点2
考点3
(1)当 m≥1 时,函数 f(x)在区间[m,m+1](m>0)上是增函数,
所以
e
f(x)min=f(m)= .
+
↗
极小值
1
由此看出,当 0<m< 时,
2
1- 1-2
f(x)有极大值点 x1=

第二十六页，编辑于星期四：十一点 二十一分。
角度 2：求切点坐标 曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线 y
＝2x－1，则 P 点的坐标为( )
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
第二十七页，编辑于星期四：十一点 二十一分。
[解析] f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2，解得 x ＝1 或 x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不 在直线 y＝2x－1 上，故选 C.
f ′xgx－fxg′x (3)gfxx′＝________[_g_x__]2_______(g(x)≠0)．
第十一页，编辑于星期四：十一点 二十一分。
[温馨提示] 熟记如下结论：①1x′＝－x12；②奇函数的导 数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期
函
数
；
③
(ln|x|)′
＝
1 x
研一研 练一练 考点通关
第二十页，编辑于星期四：十一点 二十一分。
考点一 导数的运算——基础考点 (1)求下列各函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin2x1－2cos2x4； (3)y＝1－1 x＋1＋1 x ； [思路引导] (1) 展开成多项式 → 按多项式求导 (2)(3) 先化简解析式 → 再求导
第三十页，编辑于星期四：十一点 二十一分。
(1)解决例 2－1 的关键是准确理解导数的几何意义，并正确 区分“在”与“过”的区别．
(2)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究 直线与二次曲线相切时有差别．
(3)切点既在切线上又在曲线上，既切点坐标满足切线方程和 曲线方程．

f(x)=ln x
导函数
f'(x)=0
f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a
f'(x)=ex
1
f'(x)=
ln
1
f'(x)=

4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
由 f'(x)= 2 ,得 f'(2)=
.

4
.
4.函数y=sin 3x的导函数是 y'=3cos 3x .
设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·
ux'=(sin u)'·
(3x)'=cos u·
3=3cos 3x.
5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
y=3x
.
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.

②若 a≤12，则有 2a－1≤0，在(1，＋∞)上恒有 g′(x)<0， 此时 g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
要使 g(x)<0 在此区间上恒成立，只需满足 g(1)＝－a－12≤0 ⇒a≥－12，
由此求得 a 的取值范围是－12，12. 综上①②可知，a 的取值范围是－12，12.
[点石成金] 导数在不等式问题中的三大解题策略 (1)利用导数证明不等式 若证明 f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)， 如果 F′(x)＜0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)≤0， 由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有 F(x)＜0，即证明了 f(x) ＜g(x)．
(2)利用导数解决不等式的恒成立问题 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导 数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式， 从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问 题转化为函数的最值问题．
(3)双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法． “存在性”问题转化方法是：如果存在 x1，x2∈[a，b]使得 g(x1)－g(x2)≥M 成立，则可转化为 M≤[g(x1)－g(x2)]max，即求解 使不等式 M≤g(x)max－g(x)min 成立时的 M 的最大取值； “恒成 立”问题转化方法是：如果对于任意的 x1，x2∈[a，b]，都有 f(x1)≥g(x2)成立，则可转化为在区间[a，b]上，f(x)min≥g(x)max， 求解得到参数的取值范围．
(2)由(1)知，f(x)在区间[－2,2]上单调递减， 故 f(x)min＝f(2)＝2－e2， 所以当 m<2－e2 时，不等式 f(x)>m 恒成立， 故 m 的取值范围为(－∞，2－e2)．