全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块

2023高考数学22题
2023年高考数学22题为一道解析几何题，考查了学生对于平行四边形性质的
掌握和几何图形的性质分析能力。

题目内容如下：
已知平行四边形ABCD中，M为BC的中点，N为CD的中点。

过点M作AM
的垂线交AD于点E，过点N作DN的垂线交AD于点F，求证：AE=DF。

解题思路如下：
首先，我们可以利用平行四边形的性质来证明AE=DF。

根据题目中给出的条件，平行四边形ABCD中，M为BC的中点，N为CD的
中点，因此，由平行四边形的性质可知，AM平行于BC，DN平行于BC，所以
AM平行于DN。

接下来，我们分别考虑△AME和△DFN。

根据题目中的条件，AM垂直于AE，DN垂直于DF，所以∠AME=90°，∠DFN=90°。

又因为AM平行于DN，所以∠AME=∠DFN，所以△AME与△DFN中的
∠AME=∠DFN，∠A相等，因此，△AME与△DFN为等腰三角形，所以AE=DF。

综上所述，我们可以得出结论：在平行四边形ABCD中，过点M作AM的垂
线交AD于点E，过点N作DN的垂线交AD于点F，得证：AE=DF。

通过以上的分析，我们成功完成了2023年高考数学22题的解答。

这道题目考
查了学生对于平行四边形性质和几何图形性质的理解，需要运用角的性质和等腰三角形的性质，通过逻辑推理和证明，得出正确的结论。

希望同学们在高考中能够灵活运用所学的数学知识，熟练解题，取得优异的成绩。

祝愿同学们在未来的学习和考试中取得好成绩，实现自己的目标和梦想！。

第二十二单元 选考模块考点一 极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t,y =1-t (t 为参数).(1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1,解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=|3cosθ+4sinθ-a -4|√17.当a ≥-4时,d 的最大值为√17. 由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为-a+117. 由题设得-a+1√17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)设点P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积S=12|OA|·ρB ·sin ∠AOB=4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3)-√32|≤2+√3.当α=-π12时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m,y =m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程为y=k (x-2); 消去参数m 得l 2的普通方程为y=1k(x+2).设P (x ,y ),由题设得{y =k(x -2),y =1k(x +2),消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0),所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立{ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-√2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110.代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为√5.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l 的参数方程{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数),消去参数得y=x ·tan α. 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为kx-y=0.由圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣=√10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6k|1+k =√25-(√102)2,即36k 21+k2=904,整理得k 2=53,解得k=±√153,即l 的斜率为±√153.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2 =√144cos 2α-44.由|AB|=√10得cos 2α=38,可得tan α=±√153.所以l 的斜率为±√153.考点二 不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,解得-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,解得1<x ≤-1+√172. 所以f (x )≥g (x )的解集为x -1≤x ≤-1+√172.(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2,所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1]等价于当x ∈[-1,1]时,f (x )≥2. 又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一, 所以f (-1)≥2且f (1)≥2,解得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷) 已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b )(a 5+b 5)≥4;(2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b )3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab (a+b )≤2+3(a+b)24(a+b )=2+3(a+b)34, 所以(a+b )3≤8,所以a+b ≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.【解析】(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1,得2x-1≥1, 解得1≤x ≤2;当x>2时,由f (x )≥1,解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f (x )≥x 2-x+m ,得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x|-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54,故m 的取值范围为(-∞,54].9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集.【解析】(1)由题意得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,故y=f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的函数表达式及图象可知, 当f (x )=1时,可得x=1或x=3; 当f (x )=-1时,可得x=13或x=5. 故f (x )>1的解集为{x|1<x<3},f (x )<-1的解集为{x |x <13或x >5}.所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}.10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=x-12+x+12,M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f (x )={ -2x,x ≤-12,1,-12<x <12,2x,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x<2,解得-1<x ≤-12;当-12<x<12时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x<2,解得12≤x<1. 综上,f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t 的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化. 2.直线的参数方程中t 的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧. 3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义. 4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1 坐标系与参数方程一 极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O ,叫作 ,由O 点引一条射线Ox ,叫作 ,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为 .(2)极坐标:对于平面内任意一点M ,用ρ表示线段OM 的长,θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ叫作点M 的 ,θ叫作点M 的 ,有序实数对(ρ,θ)叫作点M 的极坐标,记作M (ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(x ,y )极坐标(ρ,θ)互化公式 {x =y =ρ2= tan θ=y x(x ≠0)在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限取最小正角.二 参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即{x=f(t),y=g(t),并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.2.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.(3)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为.3.直线的参数方程的标准形式的应用(1)已知直线的参数方程为{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则M1M2=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离MM0=|t|=|t1+t22|.(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.☞左学右考写出下列曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2r cos θ(-π2≤θ<π2)圆心为(r,π2),半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线(1)θ=α(ρ∈R )或θ=π+α(ρ∈R )(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ>0)过点(a ,0)(a>0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a (-π2<θ<π2)过点(a,π2)(a>0),与极轴平行的直线过点(a ,0)(a>0),倾斜角为α的直线直角坐标方程x 2+y 2-8y=0的极坐标方程为 .极坐标方程ρ=6cos (θ-π3)的直角坐标方程为 .在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=π4与曲线{x =t +1,y =(t -1)2(t为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为 .在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =t,y =t +1(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为{x =cosθ+1,y =sinθ(参数θ∈[0,2π)),则圆心C 到直线l 的距离是 .知识清单一、1.(1)极点 极轴 极坐标系 (2)极径 极角 2.(2)ρcos θ ρsin θx 2+y 2二、1.参数方程 参数 2.(1){x =x 0+tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数)(2){x =a +rcosθ,y =b +rsinθ(θ为参数)(3){x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)3.(2)t1+t22(3)0基础训练1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.【答案】ρ=8sin θ3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos π3+6sin θsin π3,方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3√3ρsin θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3√3y=0.【答案】x2+y2-3x-3√3y=04.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=π4转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为(52,5 2 ).【答案】(52,5 2 )5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为√1+(-1)=√2.【答案】√2题型一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C 的标准方程;(2)设直线l :2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C 上的点(x ,y ), 依题意得{x =x 1,y =2y 1,由x 12+y 12=1得x 2+(y 2)2=1,故曲线C 的标准方程为x 2+y 24=1.(2)由{x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得{x =1,y =0 或{x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为(12,1),则所求直线的斜率为k=12,于是所求直线的方程为y-1=12(x -12),化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 故所求直线的极坐标方程为ρ=34sinθ-2cosθ.【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y.(1)求点A (13, -2)经过φ变换所得点A'的坐标; (2)求直线l :y=6x 经过φ变换后所得直线l'的方程. 【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y,得{x'=3x,y'=y 2,∴x'=13×3=1,y'=-22=-1.∴点A'的坐标为(1,-1).(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点. 由伸缩变换φ:{x'=3x,2y'=y, 得{x =x'3,y =2y'. 代入y=6x ,得2y'=6·x'3=2x',即y'=x'.∴直线l'的方程为y=x.题型二 直角坐标方程和极坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ2=1449+7sin 2θ,以极点O 为直角坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设曲线C 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,P 是曲线C 上一点,求△ABP 面积的最大值. 【解析】(1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2=1449+7sin 2θ,所以9ρ2+7ρ2sin 2θ=144.由ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,可得曲线C 的直角坐标方程为9x 2+9y 2+7y 2=144,即曲线C 的直角坐标方程为x 216+y 29=1.(2)因为曲线C 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,所以A (4,0),B (0,3). 所以直线AB 的方程为3x+4y-12=0. 设P (4cos θ,3sin θ),则P 到直线AB 的距离d=|12cosθ+12sinθ-12|5=|12√2sin (θ+π4)-12|5.当θ=5π4时,d max =12√2+125. 故△ABP 面积的最大值为12×|AB|×12√2+125=6(√2+1).(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-3)2+y 2=9,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C 2的圆心的极坐标为(√2,π4),半径为1.①求圆C 1的极坐标方程;②设圆C 1与圆C 2交于A ,B 两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l : ρsin (θ-π4)=√22,以极点为直角坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.①求圆O 和直线l 的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.【解析】(1)①圆C 1:(x-3)2+y 2=9,展开可得x 2+y 2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.②圆C 2的圆心的极坐标为(√2,π4),化为直角坐标为(1,1),可得圆C 2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C 1与圆C 2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0. 圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=|4-2+1|√4+(-2)=3√20,故弦长|AB|=2√1-(√20)2=√555.(2)①圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,则圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2=x+y ,即x 2+y 2-x-y=0.直线l :ρsin (θ-π4)=√22,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l 的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.②由{x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,得{x =0,y =1, 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,π2).题型三 参数方程与普通方程的互化【例3】 已知椭圆C :x 24+y 23=1,直线l :{x =-3+√3t,y =2√3+t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程;(2)设A (1,0),若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等,求点P 的坐标. 【解析】(1)椭圆C 的参数方程为{x =2cosθ,y =√3sinθ(θ为参数),直线l 的普通方程为x-√3y+9=0.(2)设P (2cos θ,√3sin θ),则|AP|=√(2cosθ-1)2+(√3sinθ)2=2-cos θ,点P 到直线l 的距离d=|2cosθ-3sinθ+9|2=2cosθ-3sinθ+92. 由|AP|=d 得3sin θ-4cos θ=5,又sin 2θ+cos 2θ=1,解得sin θ=35,cos θ=-45,故点P 的坐标为(-85,3√35).(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角【变式训练3】已知曲线C 的参数方程为{x =cosα,y =m +sinα(α为参数),直线l 的参数方程为{x =1+√55t,y =4+2√55t(t 为参数).(1)求曲线C 与直线l 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于P ,Q 两点,且|PQ|=4√55,求实数m 的值.【解析】(1)由{x =cosα,y =m +sinα,得{x =cosα, ①y -m =sinα, ②①的平方加②的平方,得曲线C 的普通方程为 x 2+(y-m )2=1.由x=1+√55t,得√55t=x-1,代入y=4+2√55t得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为y=2x+2.(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=|-m+2|√5,所以由勾股定理,得(√5)2+(2√55)2=1,解得m=3或m=1.题型四极坐标与参数方程的综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2),圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=-3+2sinθ(θ为参数).(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2 ),所以M,N的直角坐标分别为(2,0),(0,2√33).又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为(1,√33),所以直线OP的直角坐标方程为y=√33x.(2)因为圆C的参数方程为{x=2+2cosθ,y=-3+2sinθ(θ为参数),所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),(0,2√33),可知直线l的直角坐标方程为x+√3y-2=0.所以圆心C 到直线l 的距离为|2-3√3-2|√1+(√3)=3√32>2. 所以直线l 与圆C 相离.求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ-π4)=3.(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程; (2)求圆C 上的点P 到直线l 距离的最小值和最大值. 【解析】(1)∵直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ-π4)=3,∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l 的直角坐标方程为x+y-3=0. ∵圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),消去参数得(x-1)2+y 2=1,即圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1.(2)由圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1,可知圆心C (1,0),半径r=1.则圆心C 到直线l 的距离d=√2=√2=√2>1,故直线l 与圆C 相离,故圆C 上的点P 到直线l 距离的最小值是√2-1,最大值是√2+1.方法一 直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x =x 0+tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数). ①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”. 参数t 的几何意义:|t|是直线上任一点M (x ,y )到点M 0(x 0,y 0)的距离,即|M 0M|=|t|.若t>0,则M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向上;若t<0,则M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向下;若t=0,则点M 与点M 0重合.即当点M 在M 0上方时,有t=|M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;当点M 在M 0下方时,有t=-|M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ,B 两点,所求问题与定点到A ,B 两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB 上,利用参数t 的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C :ρsin 2θ=2a cos θ(a>0),过点P (-2,-4)的直线l 的参数方程为{x =-2+√22t,y =-4+√22t(t 为参数).直线l 与曲线C 分别交于M ,N 两点.(1)求实数a 的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a 的值.【解析】(1)由题意,可得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax (a>0),将直线l 的参数方程{x =-2+√22t,y =-4+√22t(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程,得12t 2-(4√2+√2a )t+16+4a=0,因为直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,所以Δ>0,解得a>0或a<-4.又a>0,所以实数a 的取值范围为(0,+∞). (2)设交点M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2. 则由(1)知,t 1+t 2=2(4√2+√2a ),t 1t 2=2(16+4a ), 若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a 的值为1.方法二 ρ的几何意义的应用在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.【突破训练2】在直角坐标系xOy 中,半圆C 的参数方程为{x =1+cosφ,y =sinφ(φ为参数,0≤φ≤π).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ+√3cos θ)=5√3,射线OM :θ=π3与半圆C 的交点为O ,P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.【解析】(1)半圆C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C 的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (2)设(ρ1,θ1)为点P 的极坐标, 则有{ρ1=2cosθ1,θ1=π3,解得{ρ1=1,θ1=π3. 设(ρ2,θ2)为点Q 的极坐标,则有{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=5√3,θ2=π3,解得{ρ2=5,θ2=π3. 因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4, 所以线段PQ 的长为4.方法三 圆锥曲线参数方程的应用椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【突破训练3】在平面直角坐标系xOy 中,动圆x 2+y 2-4√2x cos θ-4y sin θ+7cos 2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C ,点P 在曲线C 上运动.以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l 的极坐标方程为2ρcos (α+π3)=3√5,求点P 到直线l 的最大距离.【解析】将动圆的方程配方,得(x-2√2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin 2θ,设圆心(x ,y ),则{x =2√2cosθ,y =2sinθ(θ为参数),即曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθ,y =2sinθ(θ为参数),直线l 的直角坐标方程为x-√3y-3√5=0.设点P (x 1,y 1),则{x 1=2√2cosθ1,y 1=2sinθ1,点P 到直线l 的距离d=√2cosθ1√3sinθ1√5|√1+(√3)=|2√5sin(θ1+φ)-3√5|2,其中tan φ=-√63.∴当sin (θ1+φ)=-1时,点P 到直线l 的距离d 取得最大值5√52. 【答案】5√521.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα (α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角;(2)设点P (0,2),l 和C 交于A ,B 两点,求|PA|+|PB|的值.【解析】(1)由{x =3cosα,y =sinα(α为参数),消去参数α,得x 29+y 2=1,即C 的普通方程为x 29+y 2=1.由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2, (*)将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入(*),化简得y=x+2, 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P (0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsin π4(t 为参数),即{x =√22t,y =2+√22t(t 为参数), 代入x 29+y 2=1并化简,得5t 2+18√2t+27=0,Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-18√25<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=18√25.2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C :{x =√2cosα+1,y =√2sinα+1(α为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m.(1)若m=0,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为√22,求实数m 的取值范围.【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为√2的圆;直线l 的直角坐标方程为x+y=0,圆心C 到直线l 的距离d=√1+1=√2=r ,所以直线l 与圆C 相切.(2)直线l 的直角坐标方程为x+y-m=0, 由已知可得,圆心C 到直线l 的距离d=√1+1≤3√22,解得-1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[-1,5].3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :(x-1)2+y 2=1.直线l 经过点P (m ,0),且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m 的值.【解析】(1)由曲线C :(x-1)2+y 2=1,得参数方程为{x =1+cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =m +√32t,y =12t (t 为参数).(2)设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=2x 中,得t 2+(√3m-√3)t+m 2-2m=0,所以t 1t 2=m 2-2m ,由题意得Δ>0,|m 2-2m|=1,得m=1,m=1+√2或m=1-√2.4.(2017唐山质检)已知曲线C 1:x+√3y=√3和C 2:{x =√6cosφ,y =√2sinφ (φ为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程;(2)设C 1与x 轴,y 轴交于M ,N 两点,且线段MN 的中点为P.若射线OP 与C 2交于点Q ,求P ,Q 两点间的距离.【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+√3ρsin θ=√3.即ρsin(θ+π6)=√32.曲线C2化为x26+y22=1,(*)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,得ρ26cos2θ+ρ22sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=61+2sin2θ.(2)∵M(√3,0),N(0,1),∴P(√32,1 2 ),∴OP的极坐标方程为θ=π6,把θ=π6代入ρsin(θ+π6)=√32,得ρ1=1,P(1,π6).把θ=π6代入ρ2=61+2sin2θ,得ρ2=2,Q(2,π6).∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=21-sinθ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)∵ρ=√x2+y2,ρsin θ=y,ρ=21-sinθ化为ρ-ρsin θ=2,∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意21-sinθ0=3×21-sin(θ0+π),解得θ0=π6或θ0=5π6,∴直线l的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)或θ=5π6(ρ∈R).6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C 的参数方程为{x =cosθ,y =√3sinθ(θ为参数),直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π6)=2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【解析】(1)由ρsin (θ-π6)=2得ρ(√3sin θ-cos θ)=4, 所以直线l 的直角坐标方程为x-√3y+4=0,由{x =cosθ,y =√3sinθ,得曲线C 的普通方程为x 2+y23=1.(2)在C 上任取一点P (cos θ,√3sin θ),则点P 到直线l 的距离d=|cosθ-3sinθ+4|2=|√10cos(θ+φ)+4|2, 其中cos φ=1√10,φ=3√10,所以当cos (θ+φ)=1时,d max =2+√102.7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox 中,曲线C 1的极坐标方程为ρsin θ=2,M 是C 1上任意一点,点P 在射线OM 上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程;(2)求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ+π4)=√2距离的最大值.【解析】(1)设P (ρ1,θ),M (ρ2,θ), 由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4, (*)因为M 是C 1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x 2+y 2-2y=0,化为标准方程为x 2+(y-1)2=1,则圆C 2的圆心坐标为(0,1),半径为1, 由直线ρcos (θ+π4)=√2,得ρcos θcos π4-ρsin θsin π4=√2,即x-y=2, 圆心(0,1)到直线x-y=2的距离d=√2=3√22, 所以曲线C 2上的点到直线ρcos (θ+π4)=√2距离的最大值为1+3√22.8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为ρsin (π3-θ)=√32,椭圆C 的参数方程为{x =2cost,y =√3sint (t 为参数).(1)求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程; (2)若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长.【解析】(1)由ρsin (π3-θ)=√32得ρ(√32cosθ-12sinθ)=√32,所以直线l 的直角坐标方程为√32x-12y=√32,化简得y=√3x-√3,即直线l 的直角坐标方程为y=√3x-√3. 由(x 2)2+(√3)2=cos 2t+sin 2t=1得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1.(2)联立直线方程与椭圆方程得{y =√3x -√3,x 24+y 23=1,消去y 并整理得5x 2-8x=0,解得x 1=0,x 2=85,所以A (0,-√3),B (85,3√35)或A (85,3√35),B (0,-√3). 所以AB=√(0-85)2+(-√3-3√35)2=165.9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l 过点A (1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3,求: (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得ρsin 2π3=1sin (π3-θ). 即ρsin (π3-θ)=sin 2π3=√32,∴所求直线的极坐标方程为ρsin (π3-θ)=√32.(2)作OH ⊥l ,垂足为H ,在△OHA 中,OA=1,∠OHA=π2,∠OAH=π3,则OH=OA sin π3=√32,即极点到该直线的距离等于√32.10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =-35t +2,y =45t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=a sin θ. (1)若a=2,求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设直线l 截圆C 所得弦的长等于圆C 的半径长的√3倍,求a 的值.【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ, 化为直角坐标方程为x 2+(y-1)2=1,直线{x =-35t +2,y =45t(t 为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0. (2)圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2+(y -a 2)2=a 24,因为直线l 截圆C 所得弦的长等于圆C 的半径长的√3倍,所以圆心C 到直线l 的距离d=|3a2-8|5=12·|a|2,即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=3211.11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)已知A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.【解析】(1)圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).所以圆C 的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)因为x ,y 满足{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|, 所以△ABM 面积的最大值为9+2√2.12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x =t,y =at (t 为参数),曲线C 1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A (6,0),点P 是曲线C 1上的动点,Q 为AP 的中点. (1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 2交于M ,N 两点,且|MN|≥2√3,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x 2+y 2=ρ2,曲线C 1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12, 可得曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=12.设点P (x',y'),Q (x ,y ),由中点坐标公式,得{x'=2x -6,y'=2y,将其代入x 2+y 2-4y=12,得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l 的普通方程为y=ax ,设圆心C 2到直线l 的距离为d ,由弦长公式可得,|MN|=2√22-d 2≥2√3,即d ≤1. 可得圆心(3,1)到直线l 的距离d=√2≤1,即4a 2-3a ≤0,解得0≤a ≤34,故实数a 的取值范围为[0,34].§22.2 不等式选讲一绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.2.定理2如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.二绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a=0a<0|x|<a⌀⌀|x|>a(-∞,0)∪(0,+∞)R2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:(1)数形结合法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.三不等式证明的方法1.比较法.(1)作差比较法;(2)作商比较法.2.综合法和分析法.3.反证法和放缩法.四几个常用的不等式1.柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).2.平均值不等式定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.我们称a+b+c3为正数a,b,c的算术平均值,√abc3为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.☞左学右考设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().A.|a+b|>|a-b|B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(1);(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.。

第二十二单元选考模块考点一极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.-由-解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为-.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为-(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立-得-cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数得y=x·tan α.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.由圆C的方程为(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣=,由垂径定理及点到直线的距离公式得-=-,即=,整理得k2=,解得k=±,即l的斜率为±.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.由|AB|=得cos2α=,可得tan α=±.所以l的斜率为±.考点二不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,解得1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=----当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=--+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=,故m的取值范围为-.9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)由题意得f(x)=-----故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},f(x)<-1的解集为或.所以|f(x)|>1的解集为或或.10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=x-+x+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f(x)=---当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.综上,f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化.2.直线的参数方程中t的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧.3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义.4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1坐标系与参数方程一极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O,叫作,由O点引一条射线Ox,叫作,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为.(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的,θ叫作点M的,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.二参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.2.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为.3.直线的参数方程的标准形式的应用(1)已知直线的参数方程为(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则M1M2=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离MM0=|t|=.(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.☞左学右考写出下列曲线的极坐标方程半径直角坐标方程x2+y2-8y=0的极坐标方程为.极坐标方程ρ=6cos-的直角坐标方程为.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=与曲线-(t 为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离是.知识清单一、1.(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角2.(2)ρcos θρsin θx2+y2二、1.参数方程参数2.(1)(t为参数)(2)(θ为参数)(3)(θ为参数)3.(2)(3)0基础训练1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.【答案】ρ=8sin θ3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos +6sin θsin ,方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3ρsin θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.【答案】x2+y2-3x-3y=04.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为.【答案】5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为=.-【答案】题型一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意得由+=1得x2+=1,故曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或-不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,则所求直线的斜率为k=,于是所求直线的方程为y-1=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.-【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:(1)求点A-经过φ变换所得点A'的坐标;(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l'的方程.【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:得∴x'=×3=1,y'=-=-1.∴点A'的坐标为(1,-1).(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点.由伸缩变换φ:得代入y=6x,得2y'=6·=2x',即y'=x'.∴直线l'的方程为y=x.题型二直角坐标方程和极坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,所以9ρ2+7ρ2sin2θ=144.由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144,即曲线C的直角坐标方程为+=1.(2)因为曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.设P(4cos θ,3sin θ),则P到直线AB的距离d=-=-.当θ=时,d max=.故△ABP面积的最大值为×|AB|×=6(+1).(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin-=,以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.【解析】(1)①圆C1:(x-3)2+y2=9,展开可得x2+y2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.②圆C2的圆心的极坐标为,化为直角坐标为(1,1),可得圆C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=--=,故弦长|AB|=2-=.(2)①圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,则圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin-=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.②由---得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.题型三参数方程与普通方程的互化【例3】已知椭圆C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.【解析】(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x-y+9=0.(2)设P(2cos θ,sin θ),则|AP|=-=2-cos θ,点P到直线l的距离d=-=-.由|AP|=d得3sin θ-4cos θ=5,又sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,cos θ=-,故点P的坐标为-.(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角【变式训练3】已知曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C与直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=,求实数m的值.【解析】(1)由得-①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为x2+(y-m)2=1.由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为y=2x+2.(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=,所以由勾股定理,得-+=1,解得m=3或m=1.题型四极坐标与参数方程的综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为(θ为参数).-(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),,所以M,N的直角坐标分别为(2,0),.又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为,所以直线OP的直角坐标方程为y=x.(θ为参数),(2)因为圆C的参数方程为-所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.所以圆心C到直线l的距离为--=>2.所以直线l与圆C相离.求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为ρcos-=3.(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;(2)求圆C上的点P到直线l距离的最小值和最大值.【解析】(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos-=3,∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.∵圆C的参数方程为(α为参数),消去参数得(x-1)2+y2=1,即圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1.(2)由圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心C(1,0),半径r=1.则圆心C到直线l的距离d===>1,故直线l与圆C相离,故圆C上的点P到直线l距离的最小值是-1,最大值是+1.方法一直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).①通常称①为直线l的参数方程的“标准式”.参数t的几何意义:|t|是直线上任一点M(x,y)到点M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点M在M0上方时,有t=||;当点M 在M0下方时,有t=-||.该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:ρsin2θ=2a cos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为--(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)求实数a的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.【解析】(1)由题意,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0),将直线l的参数方程--(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得t2-(4+a)t+16+4a=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点,所以Δ>0,解得a>0或a<-4.又a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则由(1)知,t1+t2=2(4+a),t1t2=2(16+4a),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|.解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.方法二ρ的几何意义的应用在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.【突破训练2】在直角坐标系xOy中,半圆C的参数方程为(φ为参数,0≤φ≤π).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.【解析】(1)半圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈.(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有解得设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有解得因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段PQ的长为4.方法三圆锥曲线参数方程的应用椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-4x cos θ-4y sin θ+7cos2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为2ρcos=3,求点P到直线l的最大距离.【解析】将动圆的方程配方,得(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ,设圆心(x,y),则(θ为参数),即曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的直角坐标方程为x-y-3=0.设点P(x1,y1),则点P到直线l的距离d=--=-,其中tan φ=-.∴当sin(θ1+φ)=-1时,点P到直线l的距离d取得最大值.【答案】1.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin-=.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.【解析】(1)由(α为参数),消去参数α,得+y2=1,即C的普通方程为+y2=1.由ρsin-=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.【解析】(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为的圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,圆心C到直线l的距离d===r,所以直线l与圆C相切.(2)直线l的直角坐标方程为x+y-m=0,由已知可得,圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[-1,5].3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.(1)求圆C和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.【解析】(1)由曲线C:(x-1)2+y2=1,得参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,得t2+(m-)t+m2-2m=0,所以t1t2=m2-2m,由题意得Δ>0,|m2-2m|=1,得m=1,m=1+或m=1-.4.(2017唐山质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x轴,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C2交于点Q,求P,Q两点间的距离.【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.即ρsin=.曲线C2化为+=1,(*)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,∴OP的极坐标方程为θ=,把θ=代入ρsin=,得ρ1=1,P.把θ=代入ρ2=,得ρ2=2,Q.∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=-.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)∵ρ=,ρsin θ=y,ρ=-化为ρ-ρsin θ=2,∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意-=3×-,解得θ0=或θ0=,∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρsin-=2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.【解析】(1)由ρsin-=2得ρ(sin θ-cos θ)=4,所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,由得曲线C的普通方程为x2+=1.(2)在C上任取一点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=-=,其中cos φ=,φ=,所以当cos(θ+φ)=1时,d max=2+.7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox中,曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值.【解析】(1)设P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,(*)因为M是C1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,化为标准方程为x2+(y-1)2=1,则圆C2的圆心坐标为(0,1),半径为1,由直线ρcos=,得ρcos θcos-ρsin θsin =,即x-y=2,圆心(0,1)到直线x-y=2的距离d==,所以曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值为1+.8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin-=,椭圆C的参数方程为(t为参数).(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.【解析】(1)由ρsin-=得ρ-=,所以直线l的直角坐标方程为x-y=,化简得y=x-,即直线l的直角坐标方程为y=x-.由+=cos2t+sin2t=1得椭圆C的普通方程为+=1.-(2)联立直线方程与椭圆方程得消去y并整理得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以A(0,-),B或A,B(0,-).所以AB==.9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为,求:(1)直线的极坐标方程;(2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得.=-即ρsin-=sin =,∴所求直线的极坐标方程为ρsin-=.(2)作OH⊥l,垂足为H,在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,则OH=OA sin =,即极点到该直线的距离等于.10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=a sin θ.(1)若a=2,求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,求a的值.【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ,化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,直线-(t为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0.(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+-=,因为直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,所以圆心C到直线l的距离d=-=·,即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=.11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为-(θ为参数).(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.【解析】(1)圆C的参数方程为-(θ为参数).所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简可得圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(θ为参数),点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,(2)因为x,y满足-△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=-,所以△ABM面积的最大值为9+2.12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C2交于M,N两点,且|MN|≥2,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12.设点P(x',y'),Q(x,y),由中点坐标公式,得-将其代入x2+y2-4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l的普通方程为y=ax,设圆心C2到直线l的距离为d,由弦长公式可得,|MN|=2-≥2,即d≤1.可得圆心(3,1)到直线l的距离d=-≤1,即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,故实数a的取值范围为.§22.2不等式选讲一绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.2.定理2如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.二绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:(1)数形结合法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.三不等式证明的方法1.比较法.(1)作差比较法;(2)作商比较法.2.综合法和分析法.3.反证法和放缩法.四几个常用的不等式1.柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).2.平均值不等式定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.我们称为正数a,b,c的算术平均值,为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.☞左学右考设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().A.|a+b|>|a-b|B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(1);(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.知识清单一、1.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|ab≥02.|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)≥0二、1.(-a,a)(-∞,-a)∪(a,+∞)四、1.(+)(+)≥(a1b1+a2b2)22.≥≥基础训练1.【解析】由ab<0得a,b异号,易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,∴A、B、D均不成立.故选C.【答案】C2.【解析】f(x)=|x-1|-|x-5|=--当x≤1时,f(x)=-4<2,满足题意,当1<x<5时,由f(x)=2x-6<2,解得1<x<4,当x≥5时,f(x)=4>2,无解.所以所求不等式的解集为{x|x<4}.【答案】{x|x<4}3.【答案】(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c(2)ax+b≥c4.【解析】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.题型一绝对值不等式的解法【例1】已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|=--当2<x<5时,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+18≤0,解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-10x+22≤0,解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+12≤0,解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.。

2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）A.图解法B.公式法C.猜测法D.实证法2.全国一卷22题主要考察的是哪方面的数学知识？A.几何B.代数C.微积分D.概率论3.在解这类题目时，最重要的是什么？A.熟练掌握公式B.快速计算能力C.逻辑思维能力D.耐心和细心A.阅读题目B.确定解题方法C.检查计算结果A.独立思考B.参考多个解法C.盲目模仿他人解法D.与同学讨论二、判断题（每题1分，共5分）6.2023年高考数学试卷全国一卷22题的解法只有一种。

（）7.在解题过程中，可以完全依赖计算器。

（）8.探究解题方法时，理解题目背后的数学原理是必要的。

（）9.解题时，一旦确定了一种方法，就不需要考虑其他可能的方法。

（）10.全国一卷22题的难度高于其他题目。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11.2023年高考数学试卷全国一卷22题主要考察的是______方面的知识。

12.在解题过程中，逻辑思维能力和______同样重要。

13.探究解题方法时，可以参考______、______和______等多种资源。

14.解题时，应该______，然后______，______。

15.全国一卷22题的解法探究有助于提高学生的______和______能力。

四、简答题（每题2分，共10分）16.请简述探究2023年高考数学试卷全国一卷22题解法的重要性。

17.在解题过程中，如何平衡逻辑思维能力和计算能力？18.为什么在探究解题方法时不应该盲目模仿他人解法？19.请列举三种有效的解题方法。

20.探究解题方法对于学生的数学学习有何影响？五、应用题（每题2分，共10分）21.假设你遇到了一个类似全国一卷22题的数学问题，请描述你的解题步骤。

22.请举例说明如何将逻辑思维能力应用于解题过程中。

23.如果你遇到了一个看似无解的问题，你会如何处理？24.请设计一个解题策略，以解决一个复杂的数学问题。

2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标ⅰ卷、新课标ⅱ卷。

高考数学全国卷贯彻落实党的_精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。

一是重点考查逻辑推理素养。

如新课标ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。

又如新课标ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。

再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。

二是深入考查直观想象素养。

如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。

又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。

再如新课标ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。

三是扎实考查数学运算素养。

试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

如新课标ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。

高二数学选修22模块综合测试题高二数学选修 2-2 模块综合测试题1 / 18高二数学理科选修2-2 试卷 (2)命题人：仉晓莹一．选择题〔本大题有10 小题，每题 5 分, 共50 分〕1．设f ( x)是可导函数，且lim0 f (x0 2 x) f ( x0 )2, 那么 f( x0 )x x〔〕A．1 B．－ 1 C．0 2D．－ 22．z1m23m m2i，z2 4 (5m 6)i，其中 m 为实数，i为虚数单位，假设 z1 z2 0 ，那么m的值为〔〕(A) 4(B)1(C) 6(D)03．x 1, y 1, 以下各式成立的是〔〕〔A〕x y x y 2 〔B〕x2 y2 1 〔C〕x y 1 〔D〕xy 1 x yf (1) f (1 x) 4．设 f (x)为可导函数，且满足lim2x =－1，x 0 第 2页2 / 183 / 1812那么曲线 y=f (x)在点 (1, f(1))处的切线的斜率是〔〕〔A 〕2〔B 〕－1〔C 〕〔D 〕－ 25．假设 a 、b 、c 是常数，那么“ a ＞0 且 b 2－4ac ＜0〞是“对任意 x ∈R ，有 ax 2+bx+c ＞0〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件 〔D 〕必要条件6．函数 f ( x) x 3ax 2bx a 2 在 x 1处有极值 10, 那么点 (a,b)为〔〕〔A 〕(3, 3)〔B 〕(4,11)〔C 〕 (3, 3)或 ( 4,11)〔D 〕不存在7 ．x y5 ， 那么2x 2 3 y 2的 最 小 值 为11〔 〕(A)1(B) 3(C)6(D)5411 8第 3页4 / 188．曲线y e x，y e x和直线x 1围成的图形面积是〔〕(A) e e 1 (B) e e 1 (C) e e 1 2 (D) e e 1 29．点P是曲线y x 2 ln x 上任意一点,那么点P到直第 4页5 / 18(A) １(B) 2 (C) ２(D) 2 210．设f ( x) x2 ax b 〔 a, b R 〕，当x 1,1 时， f ( x) 的最大值为 m ，那么 m 的最小值为〔〕(A) 1 (B) １2(C) 3 (D) ２2二．填空题〔本大题有 5 小题，每题 5 分，共25 分〕a b 1 111．定义运算c d ad bc ,假设复数z满足z zi2,其中 i 为虚数单位,那么复数．z12．如图 , 数表满足 : ⑴第n行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角 ,记第 n(n 1) 行第2个数为 f ( n) .根据表中上下两行1 数据关系 ,2 2 可以求得当 n ⋯2 时,f ( n) ．3 43第 5页6 / 1813．设函数f(x)=n2x2(1－x)n(n 为正整数 )，那么f(x)在［ 0,1］上的最大值为．14．设a i R，x i R ， i 1, 2,L n ，且 a12 a22 L a n2 1 ，x12 x22 L x n2 1，那么a1 ,a2 ,L ,an的值中，现给出以下x1 x2 x n结论，其中你认为正确的选项是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1 15.关于 x 的不等式mx2nx p 0 (m、 n、 p R) 的解集为( 1，2) ，那么复数m pi 所对应的点位于复平面内的第________象限．三解答题〔本大题共 6 小题，共 75 分〕16.( 本小题总分值12 分 ) 一物体沿直线以速度v(t ) 2t 3 〔t的单位为:秒, v 的单位为:米/秒〕的速度作变速直线运动，求该物体从时刻 t=0 秒7 / 18第 6页8 / 18至时刻 t=5 秒间运动的路程 ?17.〔 1〕求定积分12 x2 2 dx 的值；(2)假设复数 z1 a 2i( a R) ， z2 3 4i ，且z1为纯虚数，求z1z29 / 18第 7页10 / 1818〔本小题总分值 12 分〕函数 f ( x) ln( x 1)xx 1（1〕求f ( x)的单调区间；（2〕求曲线y f ( x)在点〔1，f (1)〕处的切线方程；〔3〕求证：对任意的正数a与b，恒有ln a ln b 1b．a19〔本小题总分值12 分〕〔Ⅰ〕复数z=1﹣i〔i是虚数单位〕，假设 z2+a +b=3﹣3i ，求实数 a，b 的值．〔Ⅱ〕求二项式〔+〕10展开式中的常数项．20〔本小题总分值 13 分〕由以下不等式 :1> ,1+ + >1,1+ + +⋯+ > ,1+ + +⋯+ >2, ⋯, 你能得到一个怎的一般不等式?并加以明 .21.( 本小题总分值 14 分) 函数f (x) ln x(x 0) , 函1g ( x)af ( x)( x 0)数 f ( x)⑴当 x 0 时, 求函数y g ( x)的表达式 ;⑵假设 a0 ,函数 y g (x) 在 (0, ) 上的最小值是2 ,求 a的值 ;27⑶在⑵的条件下,求直线y 3 x 6 与函数 y g (x) 的图象所围成图形的面积 .高二数学理科选修2-2 试卷 (2) 参考答案一．选择题1 B2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二．填空题11、 1-i12、n2 n 2213、4( n ) n 2n 214 、③⑤15 、二三解答题1 、 60 ≤ t ≤3时, v(t ) 2t 3≤ 0 ;3 ≤ t ≤ 5 解 : ∵当 2 当2时, v(t ) 2t 3≥ 0 .∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程3 5 9 9 292S (3 2t )dx 3 (2 t3)dx0 = 4 (10 )2 4 2 ( 米)17 、(1) 1 8 23〔2〕10318、〔1〕增区(0, ) ，减区 ( 1, 0)〔2〕切方程x 4y 4 ln 2 3 0〔3〕所不等式等价ln ab 1 01 b a 11，由〔1〕而 f ( x) ln( 1 x) 1， t x 1, F( t) ln tx 1 t可得， F (t )在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增，由此 F (t )min F (1) 0 ，所以 F (t ) F (1) 0 即 F (t ) ln t 1 1 0， t a代入得。

模拟训练二一、选择题1． [2018 ·衡水中学 ] 已知会合 A x 1x 3 ，会合 B y y x 2, x A ，则会合A B （）A． x 1 x 3B． x 1 x 3C． x 1 x 1D．2． [2018 ·衡水中学 ] 若复数 z 知足 z 34i 1 （ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（）A．2B． 4C．4i D．43． [2018 ·衡水中学 ] 已知向量a2,3， b1,2，若 m a b 与 a 2b 垂直，则实数m的值为（）A．6B．6C．9D．95510104． [2018 ·衡水中学 ] 已知数列 a n为等比数列，若a2 a5 a88 ，则 a1a9a1a5 a5 a9=（）A．有最小值 12B．有最大值 12C．有最小值 4D．有最大值 45．[2018 ·衡水中学 ] 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N是双曲线的两极点．若M ，O ， N 将椭圆长轴四平分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A． 3B． 2C．3D．26． [2018 ·衡水中学 ] 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军90 周年，中国人民银行为此刊行了以此为主题的金银纪念币．以下图是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额 100 元．为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内扔掷100 次，此中恰有 30 次落在军旗内，据此可预计军旗的面积大概是（）A．726πB．363πC．363πD．363πmm210mm2mm2mm2 55207． [2018 ·衡水中学 ] 函数y 1 x sin x的部分图象大概为（）x2A ．B ．C ．D ．8． [2018 ·衡水中学 ] 已知曲线 C : y sinx ， C 2 : y cos 1 x5π，曲线 C 经过如何的变换能够获得 C ，1 2612以下说法正确的选项是（）A ．把曲线 C 1 上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移π个单位长度3B ．把曲线C 1 上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移2π个单位长度3C ．把曲线 C 1 向右平移π个单位长度，再把全部点的横坐标缩短到本来的1，纵坐标不变32D ．把曲线 C 向右平移π个单位长度，再把全部点的横坐标缩短到本来的1，纵坐标不变1629． [2018 ·衡水中学 ] 更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容以下：“可半者 半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”以下图是该算法的程序框图，假如输入 a 102 ， b238 ，则输出的 a 值是（ ）A ． 68B ． 17C ． 34D ． 3610． [2018 ·衡水中学 ] 已知某空间几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积是（ ）A ． 12 2 2 2 6B ． 12 2 2 6C ． 12 2 2 6D ． 12 2 611． [2018 ·衡水中学 ] 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、 乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次以下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600 min ，广告的总播放时长许多于 30 min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍，分别用 x ， y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（）A ． 6， 3B ． 5，2C ． 4， 5D ． 2，712． [2018 ·衡水中学 ] 若函数 f x e x 12x log 2 axa 0 在区间 0,2内有两个不一样的零点，则实数a 的取值范围为（）ee23e 4 A ． 2, 2 2B ． 0,2C ． 2,2 2D ． 2 2,24二、填空题13．[2018 ·衡水中学 ] 已知 100 名学生某月饮料花费支出状况的频次散布直方图以以下图所示．则这 100 名学生中，该月饮料花费支出超出150 元的人数是 ________．花费支出 / 元222214． [2018 ·衡水中学 ] 已知双曲线 C 1 :yx 1 m 0 与双曲线 C 2 :xy 1有同样的渐近线，则以两 m3 m416双曲线的四个焦点为极点的四边形的面积为__________ ．1 n5,n415． [2018·衡水中学 ] 已知数列 a n是递加数列，且a n n45, n ， n N*，则的取值范围为34__________ ．16． [2018·衡水中学 ] 如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC 和平面A1B1C1，BACA1 B1C190 ，AC AB AA B C2 ，则多面体ABC A1B1C1的外接球的表面积为__________ ．111答 案 与 解 析一、选择题1．【答案】 D【分析】 B 1,1 ，因此 A B．应选 D ．2．【答案】 B【分析】 z 2 4i ，虚部为 4，应选 B ．3．【答案】 B【分析】 m a b 2m 1,3m 2 ， a 2b 4, 1 ，因为两个向量垂直，因此 2m 1,3m24, 18m 43m 2 5m 60 ，解得 m6，应选 B ．54．【答案】 A【分析】a 2 a 5a 8a 53 8 ， a 52 ，因此 a 1 a 9 a 1a 5 a 5a 9 a 52 a 5 a 1a 9a 52a 5 2 a 1a 9 a 52 2a 52 4 8 12 ，应选 A ．5．【答案】 B【分析】M ， N 是双曲线的两极点，M ， O ， N 将椭圆长轴四平分，椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2 倍，双曲线与椭圆有公共焦点， 双曲线与椭圆的离心率的比值是2，故答案选 B ．6．【答案】 B【分析】 由已知圆形金质纪念币的直径为22 mm ，得半径 r 11 mm ，则圆形金质纪念币的面积为 πr 2π 112121π，∴预计军旗的面积大概是121π30363πmm 2 ，应选 B ．100107．【答案】 D【分析】 当 x时， sin x0 ， 1 x， y1x sinx，故清除选项 B ，x 2x 2当 0 x 1π时， y1 x sin x0 ，故清除 A 、 C 选项，因此选 D ．2x 2 8．【答案】 B【分析】 关于 C 2 ， cos 1 x 5π cos 1 x π πsin 1 xπ，因此 y sin x 先全部点的横坐标伸长到原26 2 3 22 3来的 2倍，纵坐标不变，获得sin1x ，再向右平移2 π个单位长度获得sin1xπ．应选 B．23239．【答案】 C【分析】依照题设中供给的算法流程图可知：当 a 102 ， b 238 时， a b ， b b a136，此时 a102 ， b136 ，则 a b ， b b a34 ；这时 a102 ， b 34， a b ， a a b68 ，此时 a68 ， b34 ， a b ， a a b34 ，这时 a b34 ，输出 a34 ，运算程序结束，应选答案C．10．【答案】 A【分析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，PA平面 ABCD ，PA 2 ， AB 2 ， AD 4 ，BC 2 ，经计算，PD 2 5 ， PC 2 3 ， DC 2 2 ，∴ PC CD ，∴S△PAB 12 2 ，22S△1， S△12 2 2 2 2 ， S△12 6 ， S1，PAD2 4 4PBC PCD2 2 23 24 2 6222ABCD2∴ S表12 2 2 2 6 ，应选 A．11．【答案】 A70 x 60 y6005 x5y 30【分析】依题意得x 2 y，目标函数为 z60x 25 y ，画出可行域以以下图所示，x0y0由图可知，目标函数在点6,3 处获得最大值，应选A．12．【答案】 D【分析】当 a 2 时，f x e x 12x 2x e x 10 在定义域上没有零点，故清除A， B 两个选项．6当 a 22时，f x e x 12x 4x e x 12x ，令 f x e x 120 ，解得x ln2 1 2 ，故函数在 0,ln2 1上递减，在 ln21,2 上递加，而 f00 ， f 10 ， f2e 4 0 ，因此在区间0,2 上至多有一个零点，不切合题意，清除C选项．应选 D．二、填空题13．【答案】 30【分析】由直方图可知，超出150 元的频次为500.3 ，故人数为0.3 10030 人．14．【答案】 20【分析】曲线 C2的焦点为25,0，渐近线为 y 2 x ，即m322，解得 m 1 ，故曲线C1的焦点为 0, 5 ，m故四边形面积为1452520．215．【答案】 1,75107【分析】因为数列为递加数列，因此31，解得1,．41535516．【答案】 6π【分析】该几何体能够补形为正方体，正方体的外接球即该几何体的外接球，正方体的外接球直径为其体对角2222662线，长度为22 4 π6π．22RR，故外接球的表面积为 S 4πR222。

选修2-2模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是() A. 完全归纳推理 B. 归纳推理C. 类比推理D. 演绎推理解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.答案：B2．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于()A. 10B. 10ln10＋lgeC.10ln10＋ln10 D. 11ln10解析：∵f′(x)＝10x ln10＋1x ln10，∴f′(1)＝10ln10＋lg e，故选B.答案：B3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC. CD. D解析：设z＝－a＋b i(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－b i，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.答案：B4．[2014·江西高考]z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z ＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z＋z＝2，即(a＋b i)＋(a－b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i ＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D5．a ＋b >2c 成立的一个充分条件是( ) A ．a >c 或b >c B ．a >c 且b >c C ．a >c 且b <cD ．a >c 或b <c解析：⎩⎨⎧ a >c b >c ⇒a ＋b >2c ，a ＋b >2cD ⇒/⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b >c . 答案：B6．[2014·杭州高二检测]函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A. ln2－1B. ln2＋1C. ln2D. 2ln2解析：因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln2)，所以ln2＝1＋a ，即a ＝ln2－1.答案：A7．∫2π0|sin x |d x ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∫2π0|sin x |d x ＝∫π0sin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝－cos x ⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪ 2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.答案：D8．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与O 2相切．其中假命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3解析：①中，∵a ≥b >－1，∴a ＋1≥b ＋1>0. ∴要证原式成立，只要证 a (1＋b )≥b (1＋a )，这显然成立． ∴①正确； ②中m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n2也成立； ③中⊙O 1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝3. ⊙O 2的圆心为Q (a ，b )，半径r 2＝1， ∴|OQ |＝a 2＋b 2.∵|OP |＋|PQ |＝r 1＋r 2＝4或|OP |－|PQ |＝r 1－r 2＝2与|OQ |的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B.答案：B9．在区间(0，＋∞)内，函数f (x )＝e x －x 是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：f ′(x )＝e x －1，因为x >0，所以e x >1，所以e x －1>0，即y ′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A10．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：因为(x －1)f ′(x )≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，f ′(x )≥0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，f ′(x )≤0.(1)函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减， f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)， 所以f (0)＋f (2)>2f (1)． (2)函数y ＝f (x )为常数函数时， f (0)＋f (2)＝2f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)，故选C. 答案：C11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A. f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B. f (n (n ＋1)2)C. n (n ＋1)D.n (n ＋1)2f (1) 解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，∴f (2)＝2f (1)．令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)． ⋮f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n (n ＋1)2f (1)． ∴A 、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n ) ＝f (n (n ＋1)2)．∴B 也正确．故选C. 答案：C12．已知y ＝f (x )是R 上的可导函数，对于任意的正实数t ，都有函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，则函数y ＝f (x )的图象可能为下图中的( )解析：因为函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，所以g ′(x )＝f ′(x ＋t )－f ′(x )<0恒成立，即f ′(x )为减函数(切线斜率减小)．答案：A 二、填空题13．[2013·重庆高考]已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：∵z ＝5i1＋2i ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10＋5i 5＝2＋i ，∴|z |＝22＋12＝ 5.答案： 514．函数y ＝11－cos x 的导数是__________．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )215．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－316．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)．点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a 、b 、c 、p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F ，某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0.请你完成直线OF 的方程： (________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋ya ＝1.直线CP ：x c ＋yp＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a )y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．答案：1c －1b三、解答题17．(10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝1＋5i ，z 2＝1－(a －2)i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求实数a 的取值范围．解：由题意，得z 1＝1＋5i1＋i ＝3＋2i ，于是|z 1－z 2|＝|2－(a －4)i|＝(4－a )2＋4，|z 1|＝13.因为|z 1－z 2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，即a 2－8a ＋7<0，解得a 的取值范围为(1,7)． 18．(12分)已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， 所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾． 所以a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．19．(12分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32，求a 的值． 解：f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )． ∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2.当a >0时，f (x )在x ＝23时，取极大值，由f (23)＝32，得a ＝27；当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值， 由f (2)＝32，得a 不存在， ∴a ＝27.20．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式； (2)f (x )的单调递增区间．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)，得a ＋b ＋1＝－3. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－4，3a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－6.∴f (x )＝2x 3－6x ＋1.(2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．21．(12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n (2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2 ＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．22．(12分)[2014·辽宁高考]已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln(3－2xπ)．证明：(1)存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.证明：(1)当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，函数f (x )在(0，π2)上为减函数，又f (0)＝π－83>0，f (π2)＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈(0，π2), 使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3(x －π)cos x 1＋sin x －4ln(3－2x π)，x ∈[π2，π]．令t ＝π－x ，则x ∈[π2，π]时，t ∈[0，π2]．设u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t－4ln(1＋2tπ)，则u ′(t )＝3f (t )(π＋2t )(1＋sin t ).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈(x 0，π2)时，u ′(t )<0.在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0， 所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，π2)上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u (π2)＝－4ln2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，π2)，使u (t 1)＝0.所以存在唯一的t 1∈(0，π2)，使u (t 1)＝0.因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈(π2，π)，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因为当x ∈(π2，π)时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0.因x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.。

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数21(12iz i i-=-+为复数单位),则z =（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】C【解析】复数()()()()2i 12i 2i5i 1111i,12i 12i 12i 5z ----=-=-=-=+++-则z 故选：C. 2．已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆，所以0a < ，故答案选A3．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．-7B ．7C ．1D ．-1【答案】B【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，故选B.4．“1x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵ln （x +1）＜0⇔0＜x +1＜1⇔﹣1＜x ＜0，∴﹣1＜x ＜0 1x ⇒<，但1x <时，不一定有﹣1＜x ＜0，如x=-3， 故“1x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件，故选B.5．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．59B ．49C ．716D ．916【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 2343C A ==36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819m n ===．故选：B ． 6．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】B【解析】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根，故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==，故选：B ． 7．已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（ ） A ．-15 B ．-7 C ．3 D ．15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ）A ．9B ．9+C ．7112D ．8312【答案】B【解析】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+， 故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合，集合，则（ ）{}02A x x =≤≤{}2B x x x =<A B = A ． B ．C ．D ．(]1,2()0,1[)0,1()1,2【答案】B【解析】因为，，所以，故选：B{}02A x x =≤≤{}2(0,1)B x x x =<=A B = ()0,12．已知复数（为虚部单位），则的最大值为（ ） cos sin z i θθ=+i 1z -A ．B ．C ．D ．1224【答案】C【解析】由题意知：，221|cos 1sin |(cos 1)sin 22cos z i θθθθθ-=-+=-+=-∴当时，的最大值为.故选：Ccos 1θ=-1z -23．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x 2-1-1 23y 0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）,a b ,x y A ． B ． C ． D ．y a bx =+by a x=+log b y a x =+x y a b =+4．在空间中，下列命题是真命题的是（A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等12．已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ）,,x y z 1x y z ++=2221x y z ++=A ． B ．的最大值为0xy yz xz ++=z 12C ．的最小值为D ．的最小值为 z 13-xyz 427-【答案】ACD【解析】因为，故，1x y z ++=()21x y z ++=所以，因为，故， 2222221x y z xy yz xz +++++=2221x y z ++=0xy yz xz ++=故A 正确.又可化为即，2221x y z ++=()2221x y xy z +-+=()22121z xy z --+=所以，2xy z z =-而，故，整理得到，故， 22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2212z z z -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭23210z z --≤113z -≤≤当且仅当时；当且仅当时；23x y ==13z =-0x y ==1z =故的最小值为，的最大值为1，故B 错误，C 正确.z 13-z 又，其中.()232xyz z z z z z =-=-113z -≤≤令，，()32f z z z =-113z -≤≤故，()()23232f z z z z z '=-=-当时，，当时，，103z -<<()0f z '>203z <<()0f z '<当时，， 213z <<()0f z '>故在为增函数，在为减函数，为增函数， ()f z 1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦故，故D 正确.故选：ACD. ()min 124min ,3327f z f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则=________.AB a = BC b = AC c = a b c ++16．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，OAB其中扇形的半径为OP当最长时，该奖杯比较美观，此时四、解答题：本大题共6小题，共17．将个正数排成行()2*n n ∈N n n 111213141212223242313233343414243444n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a1，2由于，可得， sin 0C ≠31sin cos cos sin 622A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭化简可得，即， 13sin cos 22A A =tan 3A =因为，所以，()0,A π∈3A π=由余弦定理可得，解得，()22223a b c bc b c bc =+-=+-12bc =，解得，因此；4312b c bc ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩23b c ==1sin 332ABC S bc A == 选择条件②：因为，即，3sin3sin 3cos 2222B C A A π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3cos sin 2A A =由正弦二倍角公式可得：， 3cos2sin cos 222A A A=，则，所以，，所以，()0,A π∈ 0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 02A≠3sin 22A =所以即，23A π=23A π=由余弦定理可得， ()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-由已知可得，()2236bc b c a =+-=由基本不等式可得，所以不存在满足条件的；2122b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ABC 选择条件③：由余弦二倍角公式可得：，解得或（舍去）， 22cos 3cos 20A A +-=1cos 2A =2-因为，所以，()0,A π∈3A π=由余弦定理得：，解得，()22223a b c bc b c bc =+-=+-12bc =，解得，因此；4312b c bc ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩23b c ==1sin 332ABC S bc A == 19．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，P ABCD -PAD ABCD //AD BC ，，是棱上的动点（除端点外），，分别为，的中点．AB AD ⊥ 24AB BC ==E PD F M AB CE（1）求证：平面；//FM PAD （2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． EF PAD 30 CEF PAD 【解析】（1）证明：取的中点，连结，， CD N FN MN 因为，分别为，的中点， F N AB CD 所以，//FN AD 又因为平面，平面， FN ⊄PAD AD ⊂PAD 所以平面， //FN PAD 同理，平面， //MN PAD 又因为， FN MN N ⋂=所以平面平面， //MFN PAD 又因为平面， FM ⊂MFN 所以平面．//FM PAD（2）因为平面平面，， PAD ⊥ABCD AB AD ⊥所以平面，AB ⊥PAD所以即为直线与平面所成的角， AEF ∠EF PAD 且， 2tan AF AEF AE AE∠==当最小，即为中点时，，AE E PD AE PD ⊥此时最大为， AEF ∠30 又因为，2AF =所以，所以．23AE =4=AD 取的中点，连结，， AD O PO OC 易知平面， PO ⊥ABCD 因为且， //AO BC AO BC =所以四边形为平行四边形， ABCO 所以，AO OC ⊥以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．O OCx O xyz -则，，，，，，，(0,0,0)O (4,0,0)C (0,2,0)D (0,0,23)P (0,1,3)E (2,2,0)F -(4,1,3)CE =-，(2,2,0)FC =设为平面的法向量，1(,,)n x y z =CEF 则， 1100C FC n E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即 220,430,x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取．1(3,3,5)n =-设平面的法向量为，PAD ()21,0,0n =所以，121212393cos ,3131n n n n n n ⋅===⋅所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． CEF PAD 933120．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，其()(),1,2,,20,2565i i i x y i x =<< ，202148280ii x==∑202021115480,27220,ii i i i yx y ====∑∑（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y x 归方程（的计算结果保留两位小数） y a bx =+ ,a b （2）科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限（整年）统计表：使用年限台数款式年 5估计分别为：． ()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑【解析】（1），，222304,729x y ==201201300i ii x y xy =-=∑，，20221202200ii xx =-=∑22120900ni i y y =-=∑，2012022221120 0.922020i ii niii i x y x yr xx yy ===-=≈--∑∑∑因为与的相关系数接近，y x 1所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；y x 由题可得，， ()()()20201120202221120 130.5912220iii ii i iii i x x y y x y x ybx x xx ====---===≈--∑∑∑∑ ， ˆˆ270.59148 1.37ay bx =-=-⨯≈-所以， ˆ0.59 1.37yx =-（2）以频率估计概率，设甲款健身器使用年限为（单位：年）XX 5 678p 0.1 0.40.30.2，()50.160.470.380.2 6.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=设乙款健身器使用年限为（单位：年）YY 5 678p 0.3 0.4 0.20.1，()50.360.470.280.1 6.1E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=因为，()()E X E Y >所以该机构购买甲款健身器材更划算．21．已知函数．()()22sin x af x a x-=-∈R （1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数； ()y f x =,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a （2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．0a >()f x (0,)x π∈【解析】（1）， ()222sin cos (),sin 2x x x a xf x f xππ--⎛⎫'== ⎪⎝⎭所以在点处的切线方程为， ()f x ,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x π=所以，即； 222f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭2222,2424a a πππ--==--（2）因为， ()0,x π∈所以，sin 0x >所以可转化为，220sin x ax--=22sin 0x a x --=设，2()2sin g x x a x =--则()22cos g x x x '=-当时，， ,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0g x '>所以在区间上单调递增．()g x ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，设， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22cos h x g x x x '==-此时， ()22sin 0h x x '=+>所以在时单调递增， ()'g x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，， (0)20g '=-<02g ππ⎛⎫'=>⎪⎝⎭所以存在使得且时单调递减， 00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '=()00,x x ∈()g x 时单调递增．0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()g x 综上，对于连续函数，在时，单调递减，()g x ()00,x x ∈()g x 在时，单调递增．()0,x x π∈()g x 又因为，(0)0g a =-<所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，20()g a ππ=->2a π<()g x 0(,)x π当，即时，函数在区间上无零点， 20()g a ππ=-≤2a π≥()g x (0,)π综上可知，当时，函数在上有个零点；20a π<<()f x (0,)π1当时，函数在上没有零点．2a π≥()f x (0,)π22．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，直线相交于点且它们的12,A A ()()2,0,2,0-12,A M A M M 斜率之积是，记动点的轨迹为曲线． 34-M E （1）求曲线的方程；E （2）过点作直线交曲线于两点，且点位于轴上方，记直线的斜率分别为()1,0F l E ,P Q P x 12,AQ A P ．12,k k ①证明：为定值；12k k ②设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． Q x 1Q 1PFQ △【解析】（1）设点坐标为， M (),x y 则直线的斜率分别为， 12,A M A M ,,222y y x x x ≠±+-依题意知， 3224y y x x ⋅=-+-化简得；221(2)43x y x +=≠±（2）①设直线的方程为，l ()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><则，()()()()()212121212111222122121121121121223332y x y my y my y y y y k my y y x y k x y my y my y y my y y x ---++-+=====++++-又，消得，221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=得 122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，，因此，112221211229631343434993333434m m my y k m m m m m k y y m m -++-++++===-+-+++故为定值； 12k k 13②坐标为，则直线方程为，1Q ()22,x y -1PQ ()121112y y y y x x x x +-=--令解得0y =()()()21121122112121121212121121x x y my y my y x y x y my y x xy y y y y y y y -++++=+===+++++， 22923414634m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-+即直线恒过点， 1PQ ()4,0D 故11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△ 12113322y y =⨯-⨯123||||||2y y =- 1232y y =+ 236||234m m =⨯+ 943||||m m =+， 9334212=当，即时，等号成立， 243m =233m =±此时面积最大值为． 1PFQ △334。

【关键字】前提模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设z＝，则z的共轭单数为( )A．－1＋3i B．－1－3iC．1＋3i D．1－3i解析：选D ∵z＝＝＝1＋3i，∴＝1－3i.2．若函数f(x)＝excos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) A．0 B．锐角C. D．钝角解析：选D f′(x)＝ex·cosx＋ex·(－sin x)＝ex(cos x－sin x)．当x＝1时，cos x－sin x＜0，故f′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．用反证法证明命题“若函数f(x)＝x2＋px＋q，那么|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，反设正确的是( )A．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都不小于B．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于C．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有两个小于D．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有一个小于解析：选 B “|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反设为“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．4．设a＝xdx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a解析：选A 由题意可得a＝x－dx＝＝x＝；b＝1－xdx＝1－＝1－＝；c＝x3dx＝＝.综上，a＞b＞c.5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A．②①③ B．③①②C．①②③ D．②③①解析：选B 该“三段论”应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．6．如下图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r 为宽，以AB的中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝(其中0<r<d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A．2πr2d B．2π2r2dC．2πrd2 D．2π2rd2解析：选B 平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd ＝2π2r2d.7．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( )A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 015)＝f(502× 4＋7)＝f(7)，∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．下面给出了关于单数的四种类比推理：①单数的加、减法运算，可以类比多项式的加、减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到单数z的性质|z|2＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b2－>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的单数根的条件是b2－>0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到单数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( )A．①③ B．②④C．②③ D．①④解析：选D ②中|z|2∈R，但z2不一定是实数．③中单数集不能比较大小，不能用b2－来确定根的个数．9．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为( )A．A＞B B．A≥BC．A＜B D．A≤B解析：选C ＋＞＋＝.10．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图象可能是( )解析：选C 由函数f(x)在x ＝－2处取得极小值可知x<－2，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0；x>－2，f ′(x)>0，则－2<x<0时，xf ′(x)<0，x>0时，xf ′(x)>0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i i ，则|z |＝________.解析：∵z ＝3＋ii －i ＝3＋i －i－i2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ，k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DO DD ′＝________. 解析：根据面积公式，在△ABC 中，AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOCS △ABC，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′ ＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2. 根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中，AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DO DD ′＝4－V O ­ABD ＋V O ­ACD ＋V O ­ABC ＋V O ­BCDV A ­BCD＝4－V A ­BCDV A ­BCD＝3. 答案：2 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x⎰－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间；(2)求函数F (x )在[1,5]上的最值． 解：F(x )＝1x ⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 21x - ＝13x 3－2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4； 由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)， 单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253， F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.那么在四面体A­BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD·DC，AB 2＝BD·BC，AC 2＝BC·DC， ∴1AD 2＝1BD·DC＝BC 2BD·BC·DC·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2， ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 类比题中结论猜想：在四面体A­BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AE⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB⊥AF.在Rt △ABF 中，AE⊥BF， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－3x(a ∈R)． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3，∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0，∴a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．(2)由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， 即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4，∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋43＋b >0，－3＋b ≠0，∴b >－7，且b ≠－3，∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n .(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a 3－2a ， a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a4－3a . (2)推测a n ＝n －1－n －2an －n －1a.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝1－1－1－2a1－1－1a＝a ，结论成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时等式成立， 有a k ＝k －1－k －2ak －k －1a，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k －1－k －2ak －k －1a＝k －k －1a2[k －k －1a ]－[k －1－k －2a ]＝k －k －1ak ＋1－ka，故当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝n －1－n －2an －n －1a.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

模块综合检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i2＋i (i 为虚数单位)的虚部是( )A.15B.15iC.25i D.25解析：选D 因为i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝15＋25i ，所以复数i 2＋i的虚部为25，故选D.2．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(4，＋∞) C ．(－1,4)D ．(－4，－1)解析：选C 复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1,4)．故选C.3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.4．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.5．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上．∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.6．已知i 是虚数单位，复数z 满足z2＋z＝i ，则复数z 在复平面内对应的点是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B ．(－1,1) C.⎝⎛⎭⎫12，－12 D ．(1，－1)解析：选B 法一：因为z 2＋z ＝i ，所以z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1,1)，故选B.法二：因为z 2＋z ＝i ，所以z ＝2i1－i ＝－(1－i )21－i ＝－1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1,1)，故选B.7.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D. 8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，1]D ．(－∞，3]解析：选B ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.9．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).10．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．11.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( ) A.23 B.43 C.83D.163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |x ≠±1} B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选B 构造函数g (x )＝x 2f (x )－x 2，x ∈R ，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]．由题意得2f (x )＋xf ′(x )－2<0恒成立，故当x <0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x >0时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．因为x 2f (x )－f (1)<x 2－1，所以x 2f (x )－x 2<f (1)－1，即g (x )<g (1)，当x >0时，解得x >1; 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以g (x )是偶函数，同理解得x <－1.故实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 解析：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i ＋2i 2＝3i －1， ∴|z |＝32＋(－1)2＝10.答案：1014．已知f (x )＝xx 2＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：f (x )＝xx 2＋1的导数为f ′(x )＝1－x 2(1＋x 2)2，在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，切点为⎝⎛⎭⎫1，12，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.答案：y ＝1215．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元． 解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________． 解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ， 令x ＝1，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ， ∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)(1)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＋5i 3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ＋2i z ＝3＋i ，求复数z .解：(1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋5i (3－4i )32＋42＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i.(2)(x ＋y i)＋2i(x －y i)＝3＋i ，即(x ＋2y )＋(2x ＋y )i ＝3＋i ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝53.∴z ＝－13＋53i.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，且曲线上一点P ⎝⎛⎭⎫22，y 0处的切线斜率为13.(1)求曲线在P 点处的切线方程； (2)求函数f (x )的极大值和极小值．解：(1)因为函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，所以b ＝1.又y ′＝x 2－a ，所以⎝⎛⎭⎫222－a ＝13，所以a ＝16，所以f (x )＝13x 3－16x ＋1，所以y 0＝f⎝⎛⎭⎫22＝1，故点P ⎝⎛⎭⎫22，1，所以切线方程为 y －1＝13⎝⎛⎭⎫x －22，即2x －6y ＋6－2＝0.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－16，令f ′(x )＝0，得x ＝±66.当x 变化时，f (x )，f ′(x )变化情况如下表：极小值为f⎝⎛⎭⎫66＝1－654.19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a ∈R 且a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，①当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，由f ′(x )＝ax －1ax2>0，得x >1a ；由f ′(x )＝ax －1ax 2<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 20．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增． 又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．21．(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x .因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以f (x )存在唯一的极值点． (2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2， 又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝⎛⎭⎫1α＝⎝⎛⎭⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0， 故1α是f (x )＝0在(0，x 0)内的唯一根．所以f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．(本小题12分)两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. (1)将y 表示成x 的函数f (x )；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB ＝90°，|AC |＝x km ，|BC |＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k 400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k 400－x 2(0<x <20)． 又垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，故有4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065，解得k ＝9，故y ＝f (x )＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)f ′(x )＝－8x 3＋18x (400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 3＋800)(10x 2－1 600)x 3(400－x 2)2.令f ′(x )＝0，解得x ＝410或x ＝－410(舍去)． 所以当x ∈(0,410)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(410，20)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．故在x ＝410处，函数f (x )取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A 的距离为410 m 时，对城A 和城B 的总影响最小．。

2023年高考数学试题第22题
高考数学第22题
某班级学生中，60%的学生喜欢数学，70%的学生喜欢英语，80%的学生喜欢音乐。

已知喜欢数学和英语的学生占学生总数的10%，喜欢数学和音乐的学生占学生总数的15%，喜欢英语和音乐的学生占学生总数的20%。

如果有30名学生同时喜欢这三门课程，那么班级一共有多少名学生？
A) 100
B) 120
C) 150
D) 180
解析：
设班级学生总数为x，则：
1.喜欢数学的学生数量为0.6x；
2.喜欢英语的学生数量为0.7x；
3.喜欢音乐的学生数量为0.8x。

根据题意，喜欢数学和英语的学生占总数的10%，喜欢数学和音乐的学生占总数的15%，喜欢英语和音乐的学生占总数的20%。

喜欢数学和英语的学生数为0.1x，喜欢数学和音乐的学生数为0.15x，喜欢英语和音乐的学生数为0.2x。

由于有30名学生同时喜欢这三门课程，所以：
0.1x+0.15x+0.2x=30
解得x=150。

因此，班级一共有150名学生，选C。

2023高考数学全国新一卷第22题22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【参考答案】（1）214y x =+（2）见解析【解题思路】（1）设(,)P x y ，根据题意列出方程22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化简即可；（2）法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且a b c <<，分别令0AB k a b m =+=<，0BC k b c n =+=>，且1mn =-，利用放缩法得112C n n ⎛≥+ ⎝设函数()221()1f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用导数求出其最小值，则得C 的最小值，再排除边界值即可.法二：设直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得AB AD +≥界值即可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【详细解析】（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛== ⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =时,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a ≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时k =不一致，故AB AD +>. 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-, 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>，故矩形周长大于 .。