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安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e e x xx f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782-B ．9π784-C ．78π-D ．9π452-7．若6(1)2x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e ex x x f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782- B ．9π784- C ．78π-D ．9π452- 7．若6(1)2x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ） A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ）A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。
数学(理科)本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数2y x 2x 3=-++定义域和值域分别为M 、N ，则M ∩N ＝ A.[－1，3] B.[－1，4] C.[0，3] D.[0，2]2.复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)满足(1－2i)z ＝1＋2i ，则a －b ＝ A.－15 B.15 C.－75 D.753.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量。
现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数－累计死亡数－累计治愈数。
则下列对新冠肺炎叙述错误．．的是 A.自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B.自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制 C.自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加 D.自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少4.已知-0.20.20.3a 0.3b log 0.3c log 2===，，，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a5.疫情期间部分中小学习，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中M 中学与N 小学同时被选中的概率为 A.15 B.18 C.115 D.3206.函数f(x)＝()x x sinx e e x-⋅-的部分图象大致为7.祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后第七位。
2021届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合A 、B ，得出集合P ，确定集合P 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合P 的子集个数. 【详解】当0x >时，12y x x =+≥=；当0x <时，()()112y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦. 所以，集合{}22A y y y =≤-≥或.集合{}{}24022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P AB ∴==-，集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B. 【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.2．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B【解析】设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值. 【详解】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 ∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立， 若222a b c +>，则()222+->a b ab c ，即()2222+>+>a b c ab c ，>a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题. 4．已知向量a 、b 均为非零向量，()2a b a -⊥，a b =，则a 、b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】设a 、b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥，得出()20a a b ⋅-=，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值. 【详解】设a 、b 的夹角为θ，()2a b a -⊥且a b =，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 、b 的夹角为3π，故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数xy e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x =在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选：C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+D ．()23323ππ-+【答案】A【解析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积， 即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.7．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．． 【答案】C【解析】利用直线与平面平行的判定定理可判断出A 选项中命题的正误；利用反证法判断出B 选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出D 选项命题的正误. 【详解】对于A 选项，//AD BC ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin dFCθ=，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%【答案】A【解析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-， 标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-9．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称C ．在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 【答案】C【解析】根据图象变换求出函数()y f x =的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断. 【详解】将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，得到函数cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()sin 2f x x =的图象. 对于A 选项，函数()sin 2f x x =的最大值为1，由于33sin 142f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭，该函数的图象不关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 选项错误； 对于B 选项，函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==，且sin 02f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则该函数的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误；对于C 选项，当68x ππ-<<时，234x ππ-<<，则函数()sin 2f x x =在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数为奇函数，C 选项正确； 对于D 选项，当04x π<<时，022x π<<，则函数()sin 2f x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.10．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ） A ．122x x += B ．121=x xC ．122x x = D ．12xx e =【答案】B【解析】先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1ln 1x x x +=-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111111ln 11x x x +=-，由此得出211x x =，由此可得出正确选项.【详解】构造函数()1xf x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则()()min 0f x f =.且()xf x e a '=-.①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，ln 0a ∴=，得1a =.由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1ln 1x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=-的其中一个实根为1x ，则1111ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--， 即111111ln 11x x x +=-，又方程1ln 1x x x +=-的另一个实根为2x ，211x x ∴=，因此，121=x x ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）ABC ．2D【答案】B【解析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用AM BM k k e ⋅=，可得出21e e -=，解出即可. 【详解】设直线1l 的方程为by x a=，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1212AMb x x a k x x +=-，()12121212MB b b b x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==， 即21e e -=，即210e e --=，1e >，解得12e =，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式222221c b e a a==+可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.12．在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ） A ．53π B ．43π C ．πD ．2π【答案】A【解析】设()201AB x x =<<，可知当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB，计算出CE DE ==求出四面体ABCD 的体积31133V x x =-，利用导数求出V 的最大值以及对应的x 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果. 【详解】如下图，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，设()201AB x x =<<，则21CE DE x ==-，当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ， 四面体ABCD 的体积为22311112113233V x x x x x =⨯⨯⨯-⨯-=-，213V x '=-. 令0V '=，得33x =，当303x <<时，0V '>；当313x <<时，0V '<.所以，函数31133V x x =-在33x =处取得极大值，亦即最大值.此时，2613CE x =-=，6sin 3CE BAC AC ∠==，设ABC ∆和ABD ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得62sin BC r BAC ==∠，6r ∴=. 设ABC ∆、ABD ∆的外接圆圆心分别为M 、N ，外接球的球心为点O ，如下图所示：在Rt BCE ∆中，6BM r ==， 四边形OMEN 是正方形，且边长为6ME BE BM =-=， 所以，四面体ABCD 的外接球半径2222665+=41212R BM OM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，该四面体的外接球表面积为25544123OBπππ⋅=⨯=，故选：A.【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题13．已知实数x、y满足21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为____________.【答案】32【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+经过可行域时在x轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案.【详解】作出不等式组21020xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立210xx y-=⎧⎨-=⎩，得12x y==，可得点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭，平移直线2z x y=+，当直线2z x y=+经过可行域的顶点11,22A⎛⎫⎪⎝⎭时，该直线在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即min1132222z=⨯+=，故答案为：32.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是______. 【答案】30-【解析】先将1x =代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出1a =-，然后将二项式变形为()()()()5551212121x x x x x +-=-+-，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出2x 项的系数. 【详解】由题意可知，()()512x x a ++的展开式中各项系数和为()()()551121222a a +⨯+=+=， 解得1a =-，()()()()()()5555121212121x x a x x x x x ++=+-=-+-， 二项展开式的通项为()()()()()5556555212121kkr r k k rk k k xC x C x C x ----⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅-⋅+()55521r rr r C x --⋅⋅-⋅，令6252k r -=⎧⎨-=⎩，得43k r =⎧⎨=⎩，因此，展开式中含2x 项的系数为()()434132552121104030C C ⋅⋅-+⋅⋅-=-=-，故答案为：30-. 【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题. 15．关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】)1⎡-⎣【解析】将问题转化为方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解，可得出实数a -的取值范围即为函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域，利用辅助角公式求出函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，即可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可得sin 2cos a x x -=+，则关于x 的方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解. 构造函数()sin 2cos f x x x =+，其中0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，ϕ为锐角，且cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 由于02x π<<，则2x πϕϕϕ<+<+，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,22ππϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()max f x =()02f =，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(，1a ∴<-≤解得1a ≤<-，因此，实数a 的取值范围是)1⎡-⎣，故答案为：)1⎡-⎣.【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题.16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设直线AB 的方程为1y kx =+，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程，列出韦达定理，结合2AF FB λ=得出点A 的横坐标，然后利用导数求出抛物线C 在点A 处的切线方程，并求出点M 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出MF 的长度. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()6121n S n n n =++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.【解析】（1）令1n =，由11a S =求出11a =，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a 的表达式，再对11a =是否满足n a 的表达式进行验证，由此得出数列{}n a 的通项公式； （2）将数列{}n b 的通项公式裂项为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，并利用裂项法求出n T ，即可证明出12nT <成立. 【详解】（1）当1n =时，11661236a S ==⨯⨯=，可得11a =；当2n ≥时，由()()6121n S n n n =++可得()()16121n S n n n -=--，上述两式相减得()()()()261211216n a n n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦，2n a n =.11a =适合2n a n =，因此，对任意的n *∈N ，2n a n =；（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，111111111111123235221212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 【点睛】本题考查由前n 项和公式求数列通项，同时也考查了利用裂项法求和，在由前n 项和公式求数列通项时，利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行计算，考查计算能力，属于中等题.18．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=，sin 3A =，且0BA AC ⋅>. （1）求sin sin BC； （2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】（1）由0BA AC ⋅>可得出cos 0A <，利用同角三角函数的平方关系可求出cos A 的值，利用正弦定理边角互化思想得出2223a b c -=，再利用余弦定理可得出b c的值，从而可得出sin sin BC的值；（2）由（1）得出3b c =，利用余弦定理可求出b 、c 的值，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】 （1）()cos cos 0BA AC BA AC A cb A π⋅=⋅-=->，cos 0A ∴<.由同角三角函数的平方关系得22221cos 1sin 133A A ⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 222sin sin 3sin A B C -=，由正弦定理可得2223a b c -=.由余弦定理得2222231cos 223b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，由正弦定理边角互化思想得sin 3sin B bC c==； （2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，2211123c a ∴==，则3c =，3b =， 由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为113222sin 322ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式的应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（242. 【解析】（1）先证明出ABD CBD ∆≅∆，可得出AD CD =，可得出90ADC ∠=，然后取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，并设OA OD a ==，利用勾股定理证明出OD OB ⊥，由等腰三角形三线合一得出OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出OD ⊥平面ABC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面ACD ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，计算出平面ADE 和ACE 的法向量，利用空间向量法求出二面角D AE C --的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案. 【详解】 （1）ABC ∆是等边三角形，AB BC ∴=，又ABD CBD ∠=∠，BD BD =，ABD CBD ∴∆≅∆，AD CD ∴=，ACD ∆为直角三角形，所以90ADC ∠=，取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，则OD AC ⊥，OA OD =.设OA OD a ==，则tan 603OB OA a =⋅=，又2BD AB AC a ===，222BD OB OD ∴=+，OB OD ∴⊥，又OB AC O =，OD ∴⊥平面ABC ，OD ⊂平面ACD ，因此，平面ACD ⊥平面ABC ；（2）由题设及（1）可知OA 、OB 、OD 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A 、()B、()1,0,0C -、()0,0,1D ，E为BD 的中点，则12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()1,0,1AD ∴=-，()2,0,0AC=-，11,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 得3z xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令x1y =，z =所以，平面ADE的一个法向量为(31,n =,.同理可得，平面ACE 的一个法向量为(0,m =-，cos ,2m n m n m n⋅∴===⨯⋅所以，二面角D AE C --的正弦值为2742177⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图，已知()1,0A -、()10B ,，Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，//QG AB .（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103y x xy +=≠；（2）不存在. 【解析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程；（2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在. 【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--，()22,1PN x y =-，2MP PN =，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数()21cos 14f x x x =+-. （1）证明：()0f x ≤，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析.【解析】（1）由函数()y f x =是偶函数，只需利用导数证明函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 0f x ≤即可；（2）由（1）得出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间[)3,+∞上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间,2π⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上也只有一个零点，从而得出函数()y f x =有三个零点. 【详解】 （1）()21cos 14f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则该函数为偶函数， 只需证()max 0f x ≤，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2f x x x '=-+，()1cos 2f x x ''∴=-. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()0f x ''=，得3x π=. 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≤，此时，函数()y f x '=单调递减； 当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≥，此时，函数()y f x '=单调递增. ()00f '=，1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，此时，函数()y f x =单调递减，则()()00f x f ≤=， 因此，对任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x ≤； （2）三个零点，证明如下：由（1）可知，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =有一个零点0x =.当[)3,x ∈+∞时，()9cos 104f x x ≥-+>，此时，函数()y f x =无零点； 当,32x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1sin 2f x x x '=-，()1cos 02f x x ''=->.此时，函数()y f x '=单调递增，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()33sin 302f '=->. 由零点存在定理可知，存在0,32x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=.当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当()0,3x x ∈时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增.210216f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()002f x f π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()53cos304f =+>.由零点存在定理知，函数()y f x =在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，在区间()0,3x 上有且只有一个零点，即函数()y f x =在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点. 由于函数()y f x =为偶函数，所以，函数()y f x =在(],3-∞-上无零点，在3,2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.综上所述，函数()y f x =有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 22．棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤；（3）求99P 、100P 的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立； （3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤；（3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。
江淮十校2021届高三第一次联考数学（文科）2020．8命审单位：滁州中学 命审人：孙韩玉 李伟建注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合2{12},1⎧⎫=+<=<⎨⎬⎩⎭A x xB xx ，则()⋂=R A B （ ） A ．[0,1) B ．(3,1)- C ．[1,2] D ．(0,2] 2．已知复数512=+-z i i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3i B ．3-i C ．3 D ．3-3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，则“01<<q ”是“10+-<n n a a ”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A ，B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθ B ．2sin2=d l θθ C ．cos2=d lθθ D ．2cos2=d lθθ5．已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点与椭圆22154+=+-x y m m 的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）A ．1=-xB ．1=xC ．3=-xD ．3=x6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．20 7．函数2ln ||=-y x x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的,a b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．要得到函数2cos 26⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x π的图象，只需将函数2cos 2=-y x x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120︒∠=∠=∠=APB APC BPC 时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是（ ）A．2 B．2 C1 D111．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，,tan ≠=a c B ABC的面积为2||-b a c 的最小值为（ ）A． B． C． D．12．在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为1的等边三角形，2===PA PB PC ，则三棱锥-P ABC 外接到的表面积为（ ） A ．4π B ．5π C．6D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()13log ,3()3,3≥⎧⎪=⎨⎪<⎩xx x f x f x 则(1)=f _____．14．已知2=x 是函数()2()2=-+x f x xe a x x 的一个极值点，则实数=a _____．15．设数列{}n a 满足()()111,111+=+-=n n a a a ，则数列{}1+n n a a 的前2020项和为______．16．已知点P 是双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b上任意一个点，若点P 到双曲线两条渐近线的距离乘积等于23b ，则双曲线的离心率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 满足112,2+==+n n a a a n ，设1=++n n b a n ． （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．附：22()()()()()-=++++n ad bc K a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．19．（12分）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知222()=+-S b c a ，其中S 为ABC的面积． （1）求cos A ；（2）若cos cos 2+=b C c B ，求ABC 周长的最大值．20．（12分）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，2=AB ，侧棱1AA 上有且仅有一点E 使得1⊥BE EC ．（1）求1AA 的长；（2）若平面1BED 与1CC 交于点F ，求几何体1ABED F 的体积． 21．（12分）已知函数cos 2()⎛⎫- ⎪⎝⎭=x f x xπ． （1）证明：()f x 在区间(0,)π上单调递减；（2）试比较1311,sin ,sin 232π的大小关系，并按从大到小的顺序进行排列． 22．（12分）已知动点(,)P x y 到(0,1)F 的距离比它到x 轴的距离大1，记P 得轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）直线l 与曲线(0)Γy相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，过A 、B 分别作曲线(0)Γy 的切线相交于点N ，直线NA 、NB 分别与x 轴相交于C 、D ．是否存在实数λ，使得对于任意的直线l ，都有+=MC MD MN λ成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．江淮十校2021届高三第一次联考文数试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案：A解析：{31}=-<<P x x ，{0=<B x x 或2}>x ，故答案选A ． 2．答案：D解析：13=+z i ，则13=-z i ，故答案选D ． 3．答案：D解析：由等比数列的通项公式11-=n n a a q ，可知{}n a 的单调性由首项和公比决定，故选D ． 4．答案：B解析：设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2cos2sin22-==r r d πθθ，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ，故答案选B ．5．答案：C 解析：(5)(4)9+--=m m ，∴椭圆右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的准线方程为3=-x6．答案：C解析：由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x ，则抽到的编号之和为(4)(8)(12)(16)50++++++++=x x x x x ，解得2=x ，故最大编号为18．7．答案：A解析：令2()ln ||=-f x x x ，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞且2()ln ||()-=-=f x x x f x ，故函数2ln ||=-y x x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ：当0>x 时，2ln =-y x x ，则12'=-y x x ，当0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，2120,ln '=->=-y x y x x x 单调递增，排除C 选A ．8．答案：D解析：输入的,a b 分别为8，2，1=n ， 第一次执行循环体后12,4==a b ，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后2,18,8===n ab ，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后3,27,16===n a b ，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后814,,322===n a b ，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后2435,,644===n a b ，满足退出循环的条件，故输出的5=n ． 9．答案：B解析：2cos22sin 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭y x x x π，故只需向左平移4π个单位就可得到2sin 22cos 236⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ，故答案选B ．10．答案：D解析：设(,),(1,0),(0,1)===a x y b c ， 则2||||||(1)-+++-=-a b a b a c x即为点(,)P x y 到(1,0),(1,0)-A B 和(0,1)C 三个点的距离之和，则ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质不难得到，当点P的坐标为0,3⎛⎝⎭时，距离之和最小为11⎛++-=+⎝⎭D．11．答案：C解析：tan =B1cos3∴=B，sin3=B，又1sin2==S ac B，6∴=ac，由余弦定理可得2222222cos4()8=+-=+-=-+b ac ac B a c a c，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a ca ca c a c a c8||||-=-a ca c等号成立．12．答案：B解析：由勾股定理可得PBA和PCA是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边PA，所以PA的中点即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径22==PAR，故三棱锥-P ABC外接球的表面积为245⨯=⎝⎭ππ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案：1-14．答案：22e解析：()()(1)(22)(1)2'=+-+=+-x xf x x e a x x e a，(2)0'∴=f，则22=ea，经检验当22=ea时，2=x是函数()2()2=-+xf x xe a x x的一个极值点．15．答案：20202021解析：()()1111111++++-=-+-=n n n n n na a a a a a，11++∴-=n n n na a a a1111+∴-=n na a，111(1)1∴=+-⨯=nn na a，1111(1)1+∴==-++n na an n n n{}1+∴n na a的前2020项和为1111112020112232020202120212021-+-++-=-=16解析：设()00,P x y，则2200221-=x ya b即22222200-=bx a y a b双曲线两条渐近线的方程为0±=bx ay，则点P到两条渐近线的距离乘积为2222222002223-===+b xa y ab ba b c，故==cea三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解析：（1）由条件得，()1221+++=++n na n a n，即12+=n nb b3分又因为11114=++=b a，所以数列{}nb是以4为首项，2为公比的等比数列．5分（2）由（1）可知142-=⨯nnb，所以1421-=⨯--nna n，7分故()22412(1)3241222+⨯-+⨯+=--=---nnnn n n nS n10分18．解析：（1）22200(65455535)252.0833.8411001001208012⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯K3分故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．5分（2）由题意，N95、R95、P95口罩分别抽取的个数分别为3个、2个、1个，记3个N95口罩为123,,a a a，2个R95口罩为12,b b，1个P95口罩为1c，抽取的全部结果为：()12,a a，()13,a a，()11,a b，()12,a b，()11,a c，()23,a a，()21,a b，()22,a b，()21,a c，()31,a b()32,a b，()31,a c，()12,b b，()11,b c，()21,b c共15种8分至少一个是N95口罩的有()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()31,a b ，()32,a b ，()31,a c ，共12种 10分所以至少一个是N95口罩的概率为124155==p 12分 19．解析：（1）222()=+-S b c a22212sin 22cos 22∴⨯=+-+=+bc A b c a bc bc A bcsin 2cos 2∴=+A A ① 3分又22sin cos 1+=A A ②由①②解得3cos 5=-A 或cos 1=-A （舍） 6分 （2）设∆ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理得cos cos 2sin cos 2sin cos +=+b C c B R B C R C B2sin()2sin 2=+===R B C R A a 9分由余弦定理得2222cos =+-ab c bc A 即22645=++b c bc2244()44552+⎛⎫∴+=+≤+ ⎪⎝⎭b c b c bc ，当且仅当=b c 时等号成立∴+≤b c ∴ABC2 12分20．解析：（1）11⊥B C 平面11A B BA ，11∴⊥B C BE ，又1⊥BE EC ，且1111⋂=B C EC C ，∴⊥BE 平面11EB C ，1∴⊥BE EB 3分∴在平面11A B BA 内，E 的轨迹是以1B B 为直径的圆，又在棱1AA 存在唯一的点E ，∴以1B B 为直径的圆与棱1AA 相切 5分122∴==B BAB ，114∴==B B AA 6分（2）由（1）可知E 为1AA 的中点，过B 作1ED 的平行线交1CC 于点F ，则平面1BED F 即为平面1BED ，故F 即为平面1BED 与1CC 的交点，且由对称性可知F 为1CC 的中点 8分平行四边形1BED F 的面积是三角形1BED 的面积的2倍，11122---∴==A BED F A BED D ABE V V V 10分111118222223323∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABE S D A 12分21．解析：（1）sin ()=x f x x ，2cos sin ()'-∴=x x xf x x， 2分 令()cos sin =-g x x x x ，则()sin '=-g x x x ，当(0,)∈x π时，()0'<g x ，故()g x 在(0,)π上单调递减， 4分 所以()(0)0<=g x g ，即()0'<f x 在(0,)π上恒成立，故()f x 在区间(0,)π上单调递减． 6分（2）由（1）可知()f x 在区间(0,)π上单调递减，则1132⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f 即11sinsin 321132>，所以311sin sin 232>8分又因为122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f π即1sinsin22122>ππ，所以11sin 2>π， 11分综上：这三个数的大小关系为：3111sin sin 232>>π12分 22．解析：（1||1=+y ，两边平方得22|2|=+x y y故曲线Γ的方程为24,00,0≥⎧=⎨<⎩y y x y 5分（2）当0≥y 时，曲线Γ为24=x y ．设直线l 的方程为=+y kx b ，211,4⎛⎫ ⎪⎝⎭x A x ，222,4⎛⎫ ⎪⎝⎭x B x ，由24=+⎧⎨=⎩y kx b x y得2440--=x kx b ，则12124,4+==-x x k x x b 6分 又由24=x y 得2'=xy ，故 直线NA 的方程为()211142-=-x x y x x ① 直线NB 的方程为()222242-=-x x y x x ② 由①②解得1222+==x x x k ，124==-x xy b ，所以(2,)-N k b 9分 ①中令0=y得12=x x ，所以1,02⎛⎫⎪⎝⎭x C ，同理可得2,02⎛⎫⎪⎝⎭x D 又因为(0,)M b ，所以12,2(2,2)2+⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭x x MC MD b k b ， 10分又因为(2,2)=-MN k b ，所以+=MC MD MN ，故1=λ因此存在实数1=λ，使得对任意的直线l ，都有+=MC MD MN λ成立． 12分。
安徽省江淮十校2021届高三上学期第一次联考试题（8月）数学（理）1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠+==0,1|x x x y y A ，集合{}04|2≤-=x x B ,若P B A = 则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 2．复数z 满足2|43|=++i z ，则z z ⋅的最大值是( ) A ．7B ．49C ．9D ．813.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量,a b 均为非零向量，()2,a b a a b -⊥=，则,a b 的夹角为（） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5.已知1331ln ,,log x y e z ππ-===,则( )A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为( ) A ．2π332(π3)--B ．32(π3)-CD7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变．小．8..某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在()s x s x +-,内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%9..将余弦函数的图像向右平移2π个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半,得到函数)(x f 的图像，下列关于)(x f 的叙述正确的是（ ）A.最大值为1，且关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43π对称； B.周期为π，关于直线2π=x 对称；C.在⎪⎭⎫ ⎝⎛-8,6ππ上单调递增，且为奇函数；D.在⎪⎭⎫⎝⎛40π，上单调递减，且为偶函数.10..对任意实数x ，恒有01≥--ax e x成立，关于x 的方程01ln )(=---x x a x 有两根为)(,2121x x x x <，则下列结论正确的为（ ）A ．221=+x xB ．121=⋅x xC ． 221=x x D ．12x e x =11.已知双曲线C:12222=-by a x 的两条渐近线分别为,21l l 与A 与B 为1l 上关于坐标原点对称的两点，M 为2l 上一点且e k k BM AM =⋅，则双曲线离心率e 的值为（ ） A. 5 B. 215+ C. 2 D. 212.在四面体ABCD 中，若AD DB AC CB 1====，则当四面体ABCD 体积的最大时其外接球表面积为（） A ．π35 B ．π34C ．πD ．π2 二．填空题(每题5分，共20分)13已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为________14．已 知 5(1)(2)x x a ++的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中 含2x 项 的 系 数 是 _______15.关于x 的方程0cos 2sin =++a x x 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，内有解，则实数a 的取值范围是__________16. 已知抛物线C :y x 42=的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线与B A ,两点且2λ=()为非零常数λ，以A 为切点作抛物线C 的切线交直线：1-=y 与M 点，则MF 的长度为__（结果用含λ式子表示）17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1216++=n n n S n （1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：21<n T 18ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若C B A 222sin 3sin sin =-,322sin =A ，且0>⋅AC BA ， （1）求CBsin sin ； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积。
江淮十校2025届高三第一次联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,,0,1,2,32xS x x T x=≥∈=−R ，则S T 等于（ ）A ．{}0,1B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位．则“1a >”是“z >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a b c ==，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．已知b a = ，若a 与b的夹角为60°，则2a b − 在b 上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b −C ．32b −D ．32b5．定义在R 上的函数()f x 满足()()2220f x f x ++=，且()2y f x =−为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的图象关于1x =对称C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像关于3x =对称6．已知三棱锥P ABC −的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC AB BC =====，AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3B ．20πC ．27π4D ．21π27．已知函数()2ln f x x mx x =−+，若不等式()0f x >的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2ln23ln3,89++B ．3ln32ln2,94++C ．3ln32ln2,94++ D ．2ln23ln3,89++8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为P ．过点P 作直线与抛物线交于A B 、两点，其中点A 在点B 的右边．若120,AFP FAB ∠=°△p 等于（ ）A ．B ．1C ．2D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据12310x x x x 、、、、，满足：()12210i i x x i −−=≤≤，若去掉110x x 、后组成一组新数据，则新数据的方差为21B ．随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=，若()0.34P x a <=，则0.5a = C ．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i i x y i =的线性回归方程为 23y x =+，若6130i i x ==∑，则6163i i y ==∑D ．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中ππ22ϕ−<<，图象向右平移()*s s ∈N 个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =在ππ,33−上单调递减，则下列说正确的是（ ）A ．1ω=±B ．π6x =−为()f x 图象的一条对称轴 C ．s 可以等于5D ．s 的最小值为211．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A B 、两点，其中点A 在第一象限．12AF F △的内心为11,I AI 与x 轴的交点为P ，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F △的内切圆2I 的半径为2r ，则下列说法正确的有（ ）A ．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2B ．若12AF AF ⊥，且112BF AF a −=C ．若1,a b==，则12r r −的取值范围是(D ．若直线l 112AI I P =，则双曲线的离心率为54三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知2πcos2cos 4x x=−，则tan x =______． 13．现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第()1,2,3,4k k =个袋中有k 个红球，4k −个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______．14．以min M 表示数集M 中最小的数．函数(){}()cos sin min cos ,2sin f x x x x x x =⋅+∈R 的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2A aC b c=−．（1）求A 的值；（2）若24,c b M ==为边BC 上一点，且23BM MC =，求AM 的长． 16．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，12,2PDPC CB BA AD AD CB =====∥，90CPD ABC ∠=∠=°，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值． 17．（15分）椭圆22:14x E y +=的上顶点为P ，图222:(1)(0)C x y r r −+=>在椭圆E 内． （1）求r 的取值范围；（2）过点P 作圆C 的两条切线，切点为A B 、，切线PA 与椭圆E 的另一个交点为N ，切线PB 与椭圆E 的另一个交点为M ．是否存在圆C ，使得直线MN 与之相切，若存在求出圆C 的方程，若不存在，说明理由． 18．（17分）南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站．第1站为双港站，第24站是瑶湖西站．如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车．假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车．在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游．他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同．若某天是张爸爸管理手机，则下一天有12的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有34的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机． （1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X ，求X 的分布列及期望．（2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系．张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点．大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方．只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找．大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为12．求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率． 19．（17分）在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法．若()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 中具有1n +阶导数，设()()n fx 表示()f x 的n 阶导数．则对(),x a b ∀∈有()()()()()()()()()()200000001!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+−+−++−′+′′ ．其中()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=−+，ξ是位于0x 与x 之间的某个值，它称为n 阶泰勒余项．()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x P x f x x x x x x x n ′′′=+−+−++− 叫做()f x 在0x x =处的n 阶泰勒多项式．（1）求()ln 1x +在0x =处的1阶泰勒多项式()1P x 和2阶泰勒多项式()2P x ，并证明：当0x ≥时，()()()21ln 1P x x P x ≤+≤；（2）整数2024n ≥．定义数列220011111,,,122k k k k n n a b a a b b k n−−===+=+≥−．设e 为自然对数的底数．（ⅰ）求证：e n a <；（ⅱ）求证：e n b >．江淮十校2025届高三第一次联考数学参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案 B A D B C A C D ABD BD ABD 解析1．【答案】B 【解析】由12xx≥−得2202x x −≤−，得12x ≤<，则[){}1,2,1S S T = ． 2．【答案】A 【解析】因为23i 3i iaz a −==−，所以z =．令z >，解得1a >或1a <−，故“1a >”是“z >的充分不必要条件． 3．【答案】D【解析】ln4ln1022e c a =>=，而222(ln2ln5)4ln2ln544a b +⋅=>=，且0,0a b >>．故b a c <<．4．【答案】B【解析】由题意可知，()2222cos6042a b b a b a a −⋅=°−=− ．则2a b − 在b上的投影向量为：()212a b b b b b b−⋅×=−． 5．【答案】C【解析】由题意可知，()()()42f x f x f x +=−+=，则函数()f x 的周期为4．又()()()22f x f x f x −=+=−，即函数的图象关于2x =对称，也关于()1,0对称，若()f x 的图象关于1x =对称，或关于3x =对称，则它的周期为2，由A 可知，B 、D 错误． 对于C ，由()()22f x f x −=+，可知()()()4f x f x f x −=+=，故C 正确．6．【答案】A【解析】设ABC △的外接圆的半径为r，又sin ACB ∠2sin AB r ACB=∠r =． 记ABC △的外心为1O ，由PA PB PC ==可知，1PO ⊥面ABC，故1PO =由题意可得外接球的球心在1PO 上，设外接球的半径为R，故222R R −+=，2R = 故球O 的表面积为40π3S =． 7．【答案】C【解析】函数()2ln f x x mx x =−+，不等式()0f x >化为：ln 1xmx x−<．分别令()1h x mx =−，()ln x g x x=． ()21ln xg x x−′=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减． 而不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1，2．故()()()()2233h g h g < ≥ ，即ln2212ln3313m m−< −≥．故3ln32ln294m ++≤<8．【答案】D【解析】易知PFB AFx ∠=∠，故60,120AFx BFx ∠=°∠=°．故21cos60pAF p ==−°，21cos1203p pBF==−° 而60AFB ∠=°．故2FAB S AF BF p =⋅==△p =9．【答案】ABD ．【解析】对于A 选项，去掉110,x x 后的平均数为23911872988x x x x x ++++==+ ，方差为()()()222213191999218x x x x x x −−+−−++−−= 故A 选项正确；对于B 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P X σ>=， 则()( 1.5)0.34P X a P X <=>=，则0.5a =故B 选项正确；对于C 选项，因为6130ii x==∑，所以5x =，又因为回归方程为 23y x =+，所以25313y =×+=，所以6113678ii y==×=∑，故C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故2χ越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D 选项正确． 10．【答案】BD【解析】由图象可知，35π2π3π4632T =+=，故1ω=±．又图象过点5πππ,1,622ϕ −<< ，故π1,3ωϕ==−．所以()πsin 3f x x=−，故A 错误，B 正确． ()πsin 3g x x s =−− ，因为n 在ππ,33 − 上单调递减，故πππ2π332,ππ3π2π332s k k s k −−−≥+ ∈ −−≤+ Z ．解得3π7π2π2π,26k s k k −−≤≤−−∈Z ． 当2k =−时，5π17π26s ≤≤，而5π52>，故s 不可能等于5，故C 错误． 当1k =−时，π5π26s ≤≤，又*s ∈N ，故min 2s =，故D 正确． 11．【答案】ABD 【解析】对于A，b a =，故2e =．或者be a = 对于B ，设1AF x =，则221,2,2BF x AF x a BF x a ==−=+．故222(22)(2)x x a x a +−=+，解得3x a =．又222(2)4x x a c +−=，故e =对于C ，渐近线的斜率为设直线AB 的倾斜角为2θ，因为A B 、均在右支上，故602120θ°<<°． 如图所求，()1211tan tan tan tan r r c a θθθθ −=−−=−∈．对于D ，1211212122AI AF AF AF AF I P F P F P c+====，故124AF AF c +=，而122AF AF a −=．故122,2AF a c AF c a =+=−，由余弦定理可知()222(2)(2)422c a c a c c c a +=−++⋅−，故54e =． 12．【答案】1−或13． 【解析】()()2222π1cos2cos cos sin (cos sin )cos sin cos sin 42x x x x x x x x x x=−⇒−=+=+⋅−，当cos sin 0tan 1x x x +=⇒=−；当1cos sin 0tan 3x x x +≠⇒=．13．【答案】38． 【解析】设i A =“取出第i 个袋子”，1,2,3,4i B =⋅=“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球” 则124ΩA A A =⋅⋅⋅ ，且1234A A A A 、、、两两互斥． ()()14,44i i iP A P B A −==，所以()()()416i i i i P A B P A P B A −==， 所以，()()()()()12343213168P B P A B P A B P A B P A B ++=+++==．14．． 【解析】()()222cos sin cos cos 1sin cos sin cos sin 2222x x x x f x x x x x x ≤⋅+=⋅+=−⋅+．令cos sin ,cos sin 2222x x x xm n =−=+，则222m n +=．而()2223cos sin cos sin 2222xx x x f x m n ≤−⋅+=⋅．令()()32g t t t =−⋅，其中[]20,2t n =∈，则由()23640g t t t =−>′，可知302t <<即()g t 在30,2上为增函数，在3,22上为减函数．故()327216g t g ≤=，即()f x ≤当且仅当2231sin 211sin 22sin cos n x m x x x =+==−=≥，即1sin ,cos 2x x ==时等号成立．故()f x15．【解析】（1）由题意知，cos sin cos 2sin sin A AC B C=−， 故()2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A C A C A C B ⋅⋅+⋅+． 又sin 0B ≠，故1cos 2A =，而()0,πA ∈，则π3A =．（2）在ABC △中，222222cos a b c bc A b c bc =+−⋅=+−，故222cos 22b c a bcAC cb A AB +−⋅=⋅== ． 2355AB AC AM =+ ，故222224912496437||.252525c b AB AC c b bc AM ++⋅++×===故AM =16．【解析】（1）由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=°∴=，同理CD = 又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD =，即PC PD ⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,,,C A D P，()(,,CD CP PA ∴ ，设(01)PQ PA λλ=<<，有)))11CQ CP PA λλλ=+−− ，取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =故CQ = ．令(),,n x y z = 是平面CDQ 的一个法向量，则00n CD n CQ ⋅=⋅=，即00x z =++= 令1y =，有()0,1,2n=−，则cos ,n m n m n m⋅〈〉==14分故平面PCD 与平面CDQ17．【解析】（1）设()00,T x y 为椭圆E 上任意一点，022x −≤≤，则()222200003||1224TC x y x x =−+=−+． 则22200min 3348222244333r x x<−+=×−+=．故0r <<． （2）由题意可知()0,1P ，设()()1122,,M x y N x y 、．因为1r <，故切线PM PN 、的斜率都存在． 又直线PM 的方程为1111y yx x −+，即为()11110y x x y x −−+=．直线PN 的方程为()22210y x x y x −−+=．r =，故()()()2222221111112111x x y y r x r y +−+−=+−．而()221141x y =−，故()()()()()22222111114112111r y x yy r y −−+−+−=−，又因为11y ≠． 故()()2211233510x r y r +−+−=，同理()()2222233510x r y r +−+−=． 故直线MN 的方程为()()22231510x r y r +−+−=．若直线MN 与圆Cr =，令220,3t r=∈ ．故329434390t t t −+−=，即()()2193490t x x −−+=．故1t =，或t =．故存在满足条件的圆C ，其方程为22(1)x y −+． 【备注】本题还有其它方法，可以酌情给分 我们可以得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−．然后设直线MN的方程为y kx m =+，得到53m =−，再通过相切解出r ．我们在得到221,1PM PN PM PN k k k k r ⋅=+=−后，也可以用PM PN k k 、表示出M N 、的坐标，再得到直线MN 的方程，得到它过定点50,3−，再设直线MN 为53y kx =−，通过相切解出r ． 18．【解析】（1）由题意可知，X 的取值为123、、．()3114P X == 1分当2X =时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况． 若张爸爸在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为1131134242416p =××××=； 若张爸爸在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为2113134244216p =××××=． ； 若张爸爸在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为3111332244464p =××××=； 故()27264P X ==． 当3X =时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天．此时，不同的手机管理方法有4种． 故()1313934242416P X ==××××=． 故X 的分布列为则X 的期望为()16364E X =． （2）由题意可知，大张和小张有12的概率乘车的方向相同．当大张和小张都乘车寻找对方时，我们可以视为大张在第13站不乘车，在某个站点，小张以12的概率不乘车，以14的概率正向乘车两站，以14的概率反向乘车两站．现求小张在五步内，第一次回到起点的概率．若小张经过一步，第一次回到起点，相当于小第在第一步选择了停留，其概率为12p =． 若小张经过两步，第一次回到起点，其概率为2121148p C ==． 若小张经过三步，第一次回到起点，则小张只能在第2步时停留，其概率为2121112416p C=×=． 若小张经过四步，第一次回到起点，则小张有2种选择，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率为4221111152242412832128p=×+××=+=若小张经过五步，第一次回到起点，则小张有2种选择，停留1次，且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率为4321111317322242425664256p=×××+××=+=故满足条件的概率为111571932816128256256p =++++=． 19．【解析】（1）由题意可知，()()212,2x P x x P x x ==−． 令()()1ln 1,0f x x x x =+−≥则()11101f x x′=−≤+，故()1f x 在()0,+∞上递减，则()()1100f x f ≤=． 即()()1ln 1x P x +≤．令()()22ln 1,02x f x x x x =+−+≥．则()'211112011f x x x x x =−+=++−≥++，故()2f x 在()0,+∞上递增，则()()2200f x f ≥=，即()()2ln 1x P x +≥．（2）令11,22n n rs n=−． 由题意可知，111a r =+>，故2211a a r +>，一直下去有1,k a k ≥∈N ．故当2k ≥时，()21111110k k k k k k a a a a ra a r r −−−−−−=−+=−+≥>，即{}k a 为增数列，且当*k ∈N 时，1k a >．同理{}k b 为增数列，且当*k ∈N 时，1k b >．（ⅰ）由题意可知，()212ln ln 2ln ln 1k k k k r a a r a a +=+=++， 故1112121ln ln 1ln ln ln 12222222k k k k k k k k k k k k k a a r a r a ra a +++++ =+⋅+≤+<+ ⋅ ． 即11111001ln ln ln 1212222212n n n k k n k k k n k k r a a a r r −−+++== =−<<== −∑∑，则有ln 1n a <，即n a e <． （ⅱ）同（ⅰ），我们有1112121ln ln 11ln 122222k k k k k k k k k b b s s sb b +++++ −=⋅+<⋅< ，则对任意的11100ln ln 1,12222m m m k m k k m k k b b s m s ∗−−+=∈=−<=−⋅ ∑∑N ， 故()()21ln 21,1ms mm m b s b e−⋅<−⋅<<，即()2221111m smb e⋅−⋅≤<，对任意的m ∈N 成立． 而()222211112124121ln ln 111ln 1222222222k s k k k k k k k k k k k k b b s s s s s s s e b b b b −−⋅++++++−=⋅+>−≥−≥⋅− ⋅ ()11112313122112222222k k k k k k ss s s s s s s s +++++ ≥⋅−−⋅−=⋅−⋅+⋅=⋅−+故111112100ln ln ln 13133122222222n n n k k n k k k k n n k k b b b s s s s s s n s −−+++++==−>⋅−+=⋅−−⋅+− ∑∑ 故()()()()222331ln 21221222122nn nnn n n n b s n s s n s s n s −>−⋅−⋅⋅+−⋅=−⋅+⋅⋅+−+()()()()2231312211212211222n n n n s n n n s n n n=+⋅⋅+−+−−=+⋅⋅+−−−>．即n b e >．。
安徽省江淮十校2021届高三8月联考数学理试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份．总分值150分，时刻120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，那么A B =（ ）A.（1，2）B.[1，2]C.[ 1，2）D.（1，2 ]2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，那么“1a =”是“2()2a i i +=”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分没必要要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也没必要要条件3. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，那么实数=a （ ） A. 2B.26C.25D. 1 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,那么a 的值为 A ．0B ．2-C ．2-或0D ．0或26. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．那么实数a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．12a >C ．14a >D ．012a a ><-或7. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，那么 （ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． c b a >>第4题图8. 已知直线:0l Ax By C ++=（220A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，假设1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，那么直线l ( )A ．与直线12P P 不相交B ．与线段21P P 的延长线相交C ．与线段12P P 的延长线相交D ．与线段12P P 相交 9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100 cm 3C ．92cmD ．84cm 310. 在面积为6的Rt△ABC 中，90C ︒∠=,AB 在AC 上的投影为3，P 为线段AB 上的动点，且知足 ,||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11. 假设将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，那么ϕ的最小正值是 12.概念在R 上的奇函数()f x 知足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，那么_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，那么此等比数列的公 比为 .14. 已知变量x ，y 知足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，假设目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，那么a 的取值范围为_____．15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 别离为棱1DD ，AB 上的点．以下说法正确的选项是__________.（填上所有正确命题的序号） ①1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；第15题图第9题图xyABC O③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，那么23AP =． 三、解答题：本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置.16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB .（Ⅰ）假设点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点B 的横坐标； （Ⅱ）求BC 的取值范围.17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平常成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组第四组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，方图的一[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率散布直部份，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（Ⅰ）请在图中补全频率散布直方图；（Ⅱ）假设B 大学决定在成绩高的第4，5组顶用 分层抽样的方式抽取6名学生，而且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同窗被分在同一个小组的概率. 18.（本小题12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A 、B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积.19.（本小题12分）已知数列{}n a 知足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率别离为m 、n ， （Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示） （Ⅱ）求证：2m n -为定值.21. （本小题14分）设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=；（Ⅱ）判定()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.安徽省江淮十校教育研究会2021年高二联考 数学（理科）答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.1. D2.A3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. C. 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分 11.4π 12. 516 13. 2 14. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15. ②③④⑤三、解答题:本大题共6小题，计75分.解许诺写出必要的文字说明，证明进程或演算步骤 16. （I ）由三角函数概念知， 34cos ,sin .55αα== ………………………（2分） ,3COB πα∠=+343cos()cos cos sin sin .33310πππααα-∴+=-=………（5分） 因此点B 的横坐标34310-. ………………………（6分） （II ）222cos()3BCπα=-+， ………………………（9分)02πα<<，5336πππα∴<+<， 31cos()(,)322πα∴+∈-，2(1,23)BC ∴∈+， 621,2BC ⎛⎫+∴∈ ⎪⎝⎭. …………………（12分）17.（本小题12分）（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,因此第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人. 那么绘制的频率散布直方图如右图所示.………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，因此两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情形，情形一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情形二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，两种情形总共10种可能结果，因此两人被分在一组的概率为42105=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为1433632225C P C C A ==.（此法亦可相应给分）18.（本小题12分） (Ⅰ)证明：矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD且CB ⊥AB∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分又在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠= 即AE ⊥BE ②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ)AB//CD, ∴ AB//面DCE.又面DCE面ABE=EF,∴AB//EF在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=，………………….…9分∴13sin12024S EF AF =⨯⨯⨯=，11133E ADFD AEF AEF AD VV S --∆==⨯⨯==. …………………12分 19.（本小题12分）解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥， 则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以12为公比的等比数列 .... ……… .........4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得214()2n n a -=-.........................8分则123n n a m a m +-<-即为：2114()22134()2n n m m ----<--，显然4m ≥时无解，那么易求得123,,11 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分 注：假设由123nn a m a m +-<-取得()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，从而得出结果*4312,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分. 20. （本小题13分）解：（I ） 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 22:1O x y +=联立得22212(,)11m mM m m -++………………………………………………………………….3分 由22212(0,1),(,),(,0)11m m C M N x m m -++三点共线，得出1(,0)1mN m+-……………......…6分 （Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠±联立得12(,)11m m P m m-++…………………………………………………………………...8分 故有22202(1)1111(1)(1)211PN mm m m m n k m m m m m m---+====-+--+-+-………………………….11分 即：21m n -=………………………………………………………………………….13分 21. （本小题14分）解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ，∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用概念证明亦可）…（8分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ+<<+∴由（Ⅱ）可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ+<<+，∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（12分）由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-， ∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++．……………………………………（14分）。
