辽宁省葫芦岛市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理(1)

辽宁省葫芦岛市2020年普通高中高三第二次模拟考试数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,P y y x x R ==-∈，{}1,Q x x x R =≤∈，则P Q ⋂=（ ）A ．()()(){}1,0,0,1,1,0-B ．{}11x x -≤≤C ．{}1,0,1-D ．(],1-∞ 2.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是（ ）A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y > 4.已知双曲线()22220,01x y a b a b -=>>，若过一、三象限的渐近线的倾斜角,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．[]2,4C ．(]1,3D ．⎣ 5.“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数.我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201,201a rand b rand =⋅-=⋅-.在这n 个样本点中，满足220a b rand += 的样本点的个数为m ，当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为（ ） A ．4m n B ．4m n C ．4n m D ．4nm6.已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.函数()f x 的周期为πB.函数()y f x π=-为偶函数C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称7.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4100⨯米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A.甲B.乙C.丙D. 丁8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B A b +=，且a b >，则B =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9.条形码()barcode 是将宽度不等的多个黑条和空白，按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符。

常见的条形码是“13EAN -”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用1213,,,a a a L 表示）组成，其中13a 是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[]m 表示不超过m 的最大整数(例如[]2.122=).现有一条形码如图（1)所示()6694183400136a ,其中第6个数被污损， 那么这个被污损数字6a 是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A 510B ．112πC ．10009π D 500010 11.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为x 的正方形，侧棱13AA P =，为矩形11CDD C 内部（含边界）一点，M 为BC 中点，,APD CPM Q ∠=∠为空间任一点且11QA =，三棱锥Q PCD -的体积的最大值记为()V x ，则关于函数()V x ，下列结论确的是（ ） A. ()V x 为奇函数B. ()V x 在()0,+∞上不单调；C.()33V =D.()621V =12.已知函数()2cos f x x x λ=++，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为边长的三角形，则λ的取值范围是（ ）A ．,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,-+∞C ．5326ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．53,6π⎫+∞⎪⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若2a xdx =⎰，则在7a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是 ．(用数字作答）14.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数0, 0()z ax by a b >>=+在该约束条件下取到最小值4,11a b+的最小值为 ． 15.下列说法：①线性回归方程$$y bx a =+$必过(),x y ； ②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<” ③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系； 其中正确．．的说法是 ．(把你认为正确的结论都写在横线上） 本题可参考独立性检验临界值表：16.如图，已知2,AC B =为AC 中点，以,AB AC 为直径在AC 同侧作半圆，,M N 分别为两半圆上的动点，（不含端点,,A B C )，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅u u u u r u u u r的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534,,2S S S 成等差数列，521322a a a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，在多面体EF ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//,2AB CD AD DC CB ===,60ABC ∠=︒，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=︒.（1）求证：BF AE ⊥；（2）求二面角B EF D --的平面角的正切值.19.海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:kg )，其频率分布直方图如图：定义箱产量在(]35.45(单位:kg )的网箱为“稳产网箱”， 箱产量在区间(]35.45之外的网箱为“非稳产网箱”.（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取3个网箱.将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为X ，求X 的分布列与期望()E X ；（2）从样本中随机抽取3个网箱，设其中稳产网箱的个数为Y ，试比较Y 的期望()E Y 与()E X 的大小.20.已知椭圆2222:1()0x C b b y a a +>>=的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，12,A A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB ∆面积的最大值为2. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点,P Q ，求PQ 的取直范围.21.已知函数()()ln 1x f x x ax e -=++，其中常数a R ∈. （1）当0a ≥时，讨论()f x 的单调性； （2）当32a e=-时，是否存在整数．．m 使得关于x 的不等式()32x m f x xe +≥在区间()0,e 内有解？若存在，求出整数．．m 的最小值；若不存在，请说明理由. 参考数据:ln 20.69, 2.72e ≈≈，227.39,0.14e e -≈≈.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()15f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x t x x -≥-的解集非空，求t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBDAA 6-10: CCABC 11、12：DD 二、填空题15. ①④ 16.14三、解答题17. (1)解：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由S 3,S 52,S 4成等差数列，可知S 3+S 4=S 5,a 5=3a 2+2 a 1-2得： 2a 1-d=0,4a 1-d-2=0 解得:a 1=1,d=2 因此:a n =2n-1(n ∈N *)(2)令c n =a n b n =(2n-1)(12)n-1.则T n =c 1+c 2+…+c n∴211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ①2311111135(21)22222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①—②,得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2nn ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +-所以12362n n n T -+=-18．(Ⅰ)依题意，在等腰梯形中，AC=234AB =，222C=2,BC AC B AC BC AB ∴+=⊥Q ，即∵ACEF ABCD ⊥平面平面，BC ACEF ∴⊥平面，AE ACEF ⊆⊥而平面，AE BC ∴⊥ 连接，∵四边形ACEF 是菱形，AE FC ∴⊥，AE BFC BF BCF BF AE ∴⊥⊆∴⊥Q 面，面，(Ⅱ)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且CAF ∠︒＝６０.所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵ACEF ABCD ⊥平面平面，∴. MC ABCD ⊥平面 故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：C 000A 2300B 020D 3-10E -303F 303（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n a b c n a b cC 000A 2300B 020D 3-10E -303F 303（，，），（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）∵(3,2,3),(23,0,0)BF EF -111111100,3(0,3,2)230a BF n b n b c EF n ⎧=⎧⋅=⎪⇒=⇒=⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩u u u v u u uv 令同理，2(0,3,1)n =-1212cos 130n n n n θ⋅∴==⋅故二面角的平面角的正切值为19.解： (1)设事件A=“从该养殖场中随机取出1个稳产网箱”则P(A)=(0.056+0.064)·5=0.6=35易知X ～B(3,35),则P(X=k)=C k 3(35)k ·(25)3−k=C k3·3k ·23−k125(k=0,1,2,3)故X 的分布列为 X 0 123P8125 36125 54125 27125X 的期望E(X)=335=95(2)稳产网箱的频数为100·35=60依题意Y ～H(100,60,3) 故E(Y)=603100=95=E(X)20． 解：(1) 设B 点到x 轴距离为h,则11A AB A OB 11S =2S 22AO h a h ∆∆=⋅⋅⋅=⋅，易知当线段AB 在y 轴时，max h BO c ==，1A AB S 2a c ∆∴=⋅= 12 2.1,32c e a c a c b a ==∴=∴===Q 所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y += （2）设直线L 方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，211m d k ∴==+，221m k ∴=+直线与椭圆联立，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=判别式248(32)0k ∆=+>，由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以弦长22212243132143k k PQ k x x k ⋅+⋅+=+-=+，令2433t k =+≥，所以21246333,3PQ t t ⎡⎤⎛⎫=⋅-++∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦21． 解：(1)f ′(x)=(1x−ax −lnx+a −1)e −x(x>0,a ≥0)设g(x)=1x −ax −lnx+a −1(x>0,a ≥0),明显g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2)当a=−32e 时,设F(x)=f(x)xe x+3=e 3(xlnx −32e x 2+x)(x>0)F ′(x)=e 3(lnx −3ex+2)(x>0)F ′′(x)=e 2(e −3x)x (x>0)F ′(x)在(0,e 3)↑,(e3,+∞)↓,且F ′(e)=0法1注意F ′(1e 2)=−3<0,F ′(12e )=e 3(1−ln2−32e −2)≈0.1e 3>0故在(0,e 3)内,唯一x 0∈(1e 2,12e ),使得lnx 0=3e x 0−2并且F(x)在(0,x 0)↓,(x 0,e)↑,(e,+∞)↓当x ∈(0,e)时,F(x)min =F(x 0)=e 3(x 0lnx 0−32e x 20+x 0)=e 3(32e x 2−x 0)因∈(0,e),使2m ≥F(x)成立,故需2m ≥F(x)min =e 3(32e x 2−x 0)当x 0∈(1e 2,12e )时,F(x)min =e 3(32e x 20−x 0)∈(38−e 22,32e 2−e)≈(−3.32,−2.51)因2m 为偶数,故需2m ≥−2m ≥−1,即m 的最小整数值为−1 法2注意F ′(1e 2)=−3<0,F ′(1e)=e(e 2−3)>0故在(0,e 3)内,唯一x 0∈(1e 2,1e ),使得lnx 0=3e x 0−2并且F(x)在(0,x 0)↓,(x 0,e)↑,(e,+∞)↓当x ∈(0,e)时,F(x)min =F(x 0)=e 3(x 0lnx 0−32e x 20+x 0)=e 3(32e x 2−x 0)因∈(0,e),使2m ≥F(x)成立,故需2m ≥F(x)min =e 3(32e x 20−x 0) 当x 0∈(1e 2,1e )时,F(x)min =e 3(32e x 20−x 0)<32e2−e ≈−2.51 又注意F(1e)=−1.5<0 因2m 为偶数,故需2m ≥−2m ≥−1,即m 的最小整数值为−122．解（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=， 即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--= 因为0>V ，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩所以 又因为（2，1）为直线所过定点， ()1212212124324sin 232427PA PB t t t t t t t t α∴+=+=-=+-⋅=-≥-=所以27的最小值为PA PB ∴+23．解：（1）当1x ≤-时，()()()1561f x x x =-++-=-≤，无解当15x -<<时，()1(5)2424152f x x x x x x =++-=--≥≥∴552x ≤< 当5x ≥时，()1(5)6615f x x x x =+--=>∴≥Q综上所述()1f x ≥的解集为 5[,)2+∞.（2）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x t -+≥成立，即 2max [()]f x x x t -+≥设2()()g x f x x x =-+由（1）知 2226,1()34,156,5x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()6g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为x=12>-1,所以g(x)≤g(-1)=-8, 当-1<x<5,开口向下，对称轴x=32,所以g(x)≤g(32)=-74当x ≥5时，开口向下，对称轴x=12<5，所以g(x)≤g(5)=-14，综上所述，t 的取值范围为（-∞，-74].。