辽宁省沈阳市高三数学第三次模拟考试试题理
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辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三数学第三次模拟考试试题 理
答题时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.实轴上 D.虚轴上
3. 角的终边与单位圆交于点,则（ ）
A． B． C. D．
4．在中，若，则＝（ ）
A . B． C． D．
5.已知为等差数列，，则的前9项和（ ）
A．9 B．17 C．72 D．81
6.若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A.2 B．7 C.9 D．13
7．命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8. 函数
的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9.已知圆的方程为，直线与圆交于两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）
A.1 B.6 C.1或7 D. 2或6
10. 己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D.
11. 已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有．．．． （ ） A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个
12. 设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，
则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设等比数列的前项和为，若，，则
14. 抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为
15. 已知平面向量满足：，，，，则与的夹角正弦值为
16.已知是定义在上的偶函数，令，若实数满足是，则
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
（Ⅰ）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记数列的前项和为，求.
18.
（本小题满分12分）
已知三个内角 的对边分别为，的面积满足． （Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）求的取值范围．
19. （本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，和
均为等边三角形，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20. （本小题满分12分）
随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 5 10 15 10 5 5
手机支付 4 6 10 6 2 0
(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望；
(Ⅱ)把年龄在 [15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
手机支付 未使用手机支付 总计
中青年
中老年
总计
可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
A
B C D
O
21. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知分别为椭圆的左右顶点，,，且,直线与分别与椭圆交于两点，
（i）用表示点的纵坐标；
（ii）若面积是面积的5倍，求的值．
22. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求在上的最小值；
（Ⅱ）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值． x y
E F
A O M
B
2017-2018学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合， ，则（ A ）
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ D）
A.第一象限 B.第二象限 C.实轴上 D.虚轴上
3. 角的终边与单位圆交于点,则（ D ）
A． B． C. D．
4．在中，若，则＝ C
A . B． C． D．
5.已知为等差数列，，则的前9项和（D ）
A．9 B．17 C．72 D．81
6.若变量，满足约束条件，则的最大值是（ B ）
A.2 B．7 C.9 D．13
7．命题“”是命题“直线与直线平行”的（C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
8. 函数
的部分图象如图所示，则的值是（C ） A. B. C. D.
9.已知的方程为，直线与交于两点，则当面积最大时，直线的斜率 C
A.1 B.6 C.1或7 D. 2或6
10. 己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 A
A. B. C. D.
11. 已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有．．．． D A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个
12. 设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，
则取得最小值时，双曲线的离心率为（ C ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设等比数列的前项和为，若，，则 63
14.
抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 13
15.已知平面向量满足：，，，，则与的夹角正弦值为
16.已知是定义在上的偶函数，令，若实数满足是，则 ．2018
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. - 7 - / 13 17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.
（Ⅰ）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记数列的前项和为，求.
解：（1）由得：当时，，
两式相减得：，
因为数列是等比数列，所以，
又因为，所以解得：
得：
（2）
18. （本小题满分12分）已知三个内角 的对边分别为，的面积满足．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）求的取值范围．
（1）
，又，.
（2）
19. （本小题满分10分）如图，四面体中，是的中点，和均A
D
O 为等边三角形，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
解（1）证明：连结．
∵为等边三角形，为的中点，
∴．
∵和为等边三角形，为的中点，，
∴．
在中，∵,∴，即．
∵，∴平面． ………………………………6分
（Ⅱ）解：以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，
设平面ACD法向量为
由，可得，令，可得
又
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为
20. （本小题满分10分） 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付在的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 5 10 15 10 5 5 手机支付 4 6 10 6 2 0
(Ⅰ)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为，求的分布列以及；
(Ⅱ)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成
2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
手机支付 未使用手机支付 总计
中青年
中老年
总计
可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
解：（1）年龄在 [55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0,1,2
；；
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
（2）2×2列联表如图所示…（9分）
手机支付 未使用手机支付 总计
中青年 20 10 30
