09 第九讲 有趣的数阵图(一)

有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。

2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。

教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。

它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。

二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。

再分别填入。

2、教学例2：把1～6形式尝试，练习。

解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。

3、教学例3：把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。

解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。

方法有多种。

4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。

解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。

每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。

答案多种。

三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。

余数的妙用（二）教学要求：1、使学生掌握正确计算有余数的除法。

2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。

教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。

今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。

二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。

A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。

有趣的数阵图有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。

不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。

有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。

其实这话不对。

填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。

例1：将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。

根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。

①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。

②中间填2，则余下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可以填？③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。

⑤中间填5，则剩下1,2,3,4，1+4=2+3共有8种填法。

例1将1,2,3,5,6,7这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

因为表中有2行、3行，这样六个数可分成（7,3,2）和（6,5,1）每列两个数的和为24÷3=8，同样这六个数也可分为（7,1）、（6,2）和（5,3）三组。

根据题意，我们同时考虑使每行中的数和每列中数的和分别相等。

你能想出其他11种填法吗？例2请你把1-6这六个数字填在下面三角形的O内，使每条边上的数字之和相等。

你能做到吗？这是一种封闭型的数阵图，填写时的关键是确定三个顶点上的数。

1+2+3+4+5+6=21，用k表示每边上三个数的和，因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，用a,b,c表示三个顶点的数，使有21+a+b+c=3k因为a+b+c的最小值为6，最大值为15，所以3个k的最小值为27，最大为36，那么k的最小值是9，最大值是12。

第9讲 数阵图和幻方（一）爱因斯坦是举世文明的大科学家，以发明物理学上的相对论著称。

他在成名后，仍继续为德国的《法兰克福报》写稿，给读者提出一些数学问题。

下面是爱因斯坦做过的一道题目：如下图所示的几个圆的圆心是4个小的等腰三角形和3个大的等腰三角形的顶点，把数字1～9填入圆圈内，使这7个三角形中每个三角形顶点的数字之和都相等。

在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。

通常选择使用次数多的数作为关键数。

2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。

3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。

基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。

2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。

3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。

4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。

5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。

拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。

7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。

8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。

自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。

10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。

你能行吗？。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。