有趣的数阵图课件

第9讲有趣的数阵 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵可分为辐射型和封闭型两种.填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数.问题9.1 把1～9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等. 分析从图9-1中可以看出，中间圆圈所填的数是四条直线上公用的，它是一个用了4次的数.因此，我们在思考时，应先把中间圆圈内的数填出来.怎样确定这个数呢？ 设中间圆圈内的数为x，在计算四条直线上数的总和时，它多加了3次，又因为四条直线上的数的总和是4的倍数，所以 1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x 应能被4整除，这样x只能是1、5、9. 当中间圆圈填1时，每条直线上三个数的和是12；当中间圆圈填5时，每条直线上三个数的和是15；当中间圆圈填9时，每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了. 解适合题目要求的填法共有以下三种：问题9.2 图9-2是一个六角星，把1～12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数，其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等？ 分析图9-2中共有12个圆圈，每个圆圈都恰好有两条直线通过.因此，在计算六条直线上数的总和时，每个圆圈内的数都计算了两次.而(1+2+3+…+11+12)×2=156，所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.先填出图中A、B、C三个圆圈中的数，其余的三个圆圈内的数就不难填出了. 解见图9-3.问题9.3 在图9-4(1)中，同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于15. 分析根据圆圈已有的数字4、6和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.如果中间数是2.那么4+1+2+7＜15，不符合题意.所以中间数应是3，这样就可以很快填出其它数了. 解填法如图9-5.问题9.4 把1～8这八个数分别填入图9-6中的八个○内，使每个圆圈上五个数的和都等于21. 分析设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有1+5=6、2+4=6两种情况.如果中间两个○内分别填1和5，另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8这六个数中三个数之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15两种.如果中间两个○填2和4，其它的数可分为两组1、6、8和3、5、7.因此，可得出如上所述的四种填法. 解略.问题9.5 用1～9这九个数字填入图9-7的○内.使三角形的每条边上四个数的和部等于17，或19、20、21、23.除上述数外，还可能等于其它数吗？ 分析如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l，但1+2+3+…+9=45、51-45=6，这是因为三个顶点上的数字都计算了两次，所以可以肯定.三个顶点的数的和是6.而和为6的三个数只能是1、2、3.各边上另两个数的填法就不难推算了. 至于和为19、20、21、23的填法与上述和为17的分析方法相类似，请同学自己完成. 另：除17、19、20、21、23以外，要使三角形每条边上四个数的和都相等，不能有其它数. 解略问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数字之和都相等. 分析要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数. 如图9-8(2)，A格中只能填8或3，若A格填8，则B格只能填3或9，尝试B格只能填3，这样C格必须填9，D格只能填1，E、F两格应分别填8、1.至此，剩下的空格便可顺利填出了. 如果A格中填3，仿上采用尝试推导法，也可得到另一填法(略). 解符合条件的一种填法如图9-9.练习 9 1.把1～6六个数字分别填入图9-10中的六个○内，使每条边上三个○内数字和相等. 2.将1～8八个数分别填入图9-11中的八个空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算. 3.把2～10这九个数分别填入图9-12中的圆圈内，使每条线段上三个数的和都是15. 4.把1～12这十二个数分别填入图9-13中，使每一行、每一列四个数的和都是26，四个正方形、四个△和四个○内的数字之和也都等于26. 5.将1～8这八个数填入图9-14中的八个顶点处的○内，使每个面上的四个○内的数字之和都等于18. 6.试将1～9这九个数字分别填入图9-5中的九个小三角形内.使每条边上的五个小三角形内所填的数之和都相等，问这个和的最小值是多少？最大值是多少？。

有趣的数阵图传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。

令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。

如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，那么图①就转变成了数字图（图②）。

研究这幅数字图你会发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。

像上面的图②这样，把一些数按照定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。

数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。

2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。

但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。

【例1】将1、2、3、4、5这五个数分别填入右图中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖列三个数的和相等。

分析图中最中间的那个数最特殊，因为横行三个数相加和竖行三个数相加都算了它，即它被算了2次。

因此不妨把它当作解决问题的突破口。

假设它填1，剩下的四个数刚好可以分成2 + 5 = 3 + 4，因而得到本题的一个解；假设它填2，由于剩下的四个数不能分组成两组，使两组的和相等。

所以2不能填在中间；同样的方法，尝试中间填3、4、5。

〖即学即练1〗将10、13、16、19、22分别填入图中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。

【例2】将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入图中，使得每条直线上的数字和为11。

右下角“NT”处填的数字是几?分析除“NT”处的数外，其他六个数刚好分在两条直线上，即其他六个数的和为11 × 2 = 22。

〖即学即练2〗（1）把1～7这七个数填入图中的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和等于10，那么中间数应该填几?（备用）（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上的和都等63。

第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。

通常选择使用次数多的数作为关键数。

2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。

3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。

基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。

2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。

3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。

4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。

5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。

拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。

7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。

8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。

自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。

10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。

你能行吗？。

有趣的数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

例1：辐射型数阵图（1） 把1～5这五个数填入图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

（2） 把1～5这五个数分别填在图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数一．当堂小启发二．经典例题之和都等于9。

（1）将1～9这九个数分别填入图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

还有其他填法吗？例2：封闭型数阵将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

知识总结：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。

具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。

（1）把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

（1）将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11 。

知识总结：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。

为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。

小试牛刀三．举一反三四．大显身手A．强化自我（1）将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。

（2）如图，在每个小圆圈里填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。