江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）()27f x x =+x ()f x A. 1 B. 1.1C. 2D. 2.12. 若，则（ ）()()2lim 2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()f t '=A. 1B. 2C.D.1-2-3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角P ()313f x x x =+()y f x =P 的最小值为（ ） A.B. C.D. 0π4π3π64. 函数的大致图象是（ ）()e xfx x=A. B.C. D.5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ） {}n a n 21n S n a =5a 1a k a k =A. 39B. 40C. 41D. 426. 若函数在区间上单调递减，则m 的取值范围是（ ） 1()ln f x m x x =+1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.B.C.D.(],1-∞-(],0-∞[)2,+∞(],3-∞7. 已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x ≥立，则的解集为（ ） ()sin f x x ≥AB.C.D.[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个55⨯()125,N n n n ≤≤∈宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425A. 1B. 2C. 24D. 25二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A. 在上单调递增()f x ()4,1--B. 曲线在处的切线的斜率为0 ()y f x =3x =C. 有1个极大值点 ()f x D. 有2个极小值点 ()f x 10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭()3y f x x ==A.B. 64150x y +-=360x y +-=C.D.360x y +-=46150x y +-=11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） {}n a (0)q q >n n T 324T T T >>A. B. 10a >01q <<C.D.51T >61T >12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为1ln e 0b a b a -+-≥e ba（ ） A.B.C.D.1e -2e -1e --2e --三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数，则________．()()61f x x f =+'()1f =14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进t 的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了2270.45S mt t =-________米．15. 已知数列满足记，{}n a 21122315n n n a a a a a +++===，，，()()9n A n a B n ，，，O 为坐标原点，则面积的最大值为_____________.OAB 16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈12,x x 12x x <a 范围为________，的取值范围为________．()()12f x f x -四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．17. 求下列函数的导数． （1）； πsin 2π3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）．2ln y xx =18. 已知函数．()()32231R f x x ax a =-+∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若在内有且只有一个零点，求的值． ()f x ()0,∞+a 19. 已知数列满足．{}{},n n a b 11211,n n n n a b a b a b ++===（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式； {}n a 239,3,a a {}n b （2）若是公差为2的等差数列，证明：． {}n a 12332n b b b b ++++< 20. 已知函数的最小值为． ()e x af x x -=21e -（1）求的值；a （2）设函数，求的最值．()()ln g x f x x x =--()g x 21. 如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶的形状为正四棱锥，，下部主体的形状为正四棱柱．已知上部P ABCD -AC BD O = 1111ABCD A B C D -屋顶的造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体的造价与高度成正比，比(0)k k >例系数为．欲建造一个上、下总高度为，的仓库．现存两个求总造价的4k 126AB =W 方案：（1）设，将总造价表示为的函数；PO x =W x （2）设屋顶侧面与底面所成的二面角为，将总造价表示为的函数． θW θ请从上述两个方案中任选一个，求出总造价的最小值． W 22. 已知函数有两个不同的零点． ()ln f x x x a =--12,x x （1）求的取值范围； a （2）若恒成立，求的取值范围．112e x x λ-<λ江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）()27f x x =+x ()f x A. 1 B. 1.1C. 2D. 2.1【答案】D 【解析】【分析】根据平均变化率的意义直接计算可得答案.【详解】由题意得，故，()27f x x =+22(1,1)(1) 1.110.21y f f ∆=-=-=故， ()()1.11 2.11.11f f y x -==- 即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1， x ()f x 故选：D 2. 若，则（ ）()()2lim 2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()f t '=A. 1 B. 2C.D.1-2-【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义将已知等式变形整理为，即可得()()022lim 22x f t x f t t x t∆→+∆-=-+∆-答案.【详解】由可得，()()2lim2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()()022lim22x f t x f t t x t∆→+∆-=-+∆-即， ()()22,1f t f t ''=-∴=-故选：C3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角P ()313f x x x =+()y f x =P 的最小值为（ ） A.B. C.D. 0π4π3π6【答案】A 【解析】【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的()f x '关系即可求解.【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，()211f x x '=+≥()y f x =P 1k ≥所以倾斜角，即倾斜角的最小值为. ππ[,)42α∈π4故选：A.4. 函数的大致图象是（）()exf x x=A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用时，，可判断B ，D ；利用函数的导数判断时图像变化0x <()0f x <0x >情况，可判断A ，C.【详解】当时，，故B ，D 错误；0x <()e 0xf x x=<又，当时，，当时，， ()()21e x x f x x-'=01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>故时的图象是先下降后上升，故A 错误，C 正确， 0x >故选：C5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ） {}n a n 21n S n a =5a 1a k a k =A. 39 B. 40 C. 41 D. 42【答案】C 【解析】【分析】根据数列的递推式可得时，，由此结合是利的等比2n ≥()121n a n a =-5a 1a k a 中项，可列出，即可求得k 的值，即得答案. 251k a a a =【详解】由题意等差数列的前项和， {}n a n 21n S n a =故时，， 2n ≥()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-故，519a a =又是利的等比中项，即，且，5a 1a k a 251k a a a =2k ≥则，由于，故，()()2111921a a k a =⋅-10a ≠2181,41k k -=∴=故选：C6. 若函数在区间上单调递减，则m 的取值范围是（ ） 1()ln f x m x x =+1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.B.C.D.(],1-∞-(],0-∞[)2,+∞(],3-∞【答案】B 【解析】【分析】求导数，根据在上单调递减，可得到在()f x '()f x 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10mx -≤上恒成立，所以需，函数在上是减函数，所以1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0m <1y mx =-1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，这样就可以求出结果. 1103m -≤【详解】，2211()m mx f x x x x -=-='在上单调递减，()f x 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭在上恒成立，()0f x '∴≤1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在上恒成立，10mx -≤1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，恒成立，满足题意； 0m =10-≤当时，显然，需，0m ≠0m <所以函数在上是减函数，1y mx =-1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，则m <0； 1103m ∴-≤3m ≤综上所述，的取值范围为. m (],0∞-故选：B7. 已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成()f x ()f x ()'fx ()'cos f x x ≥立，则的解集为（ ） ()sin f x x ≥A.B.C.D.[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则 ，()()sin g x f x x =-()()''cos g x fx x =-因为 所以. 是增函数， ()'cos fx x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，， ()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为； ()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个55⨯()125,N n n n ≤≤∈宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425A. 1B. 2C. 24D. 25【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得初始数阵中所有数字的和为，在求得加粗部分数阵的和为325，结合题意求得新数阵的数字之和为，即可求解.1623251621621--=【详解】如数表所示，将图中数据加粗的部分对应的数变为其相反数， 其中初始数阵中所有数字的和为，25(125)3252⋅+=数据加粗部分的数阵中数字的和为， 121314171819222324162++++++++=将加粗部分数字变为相反数后的新数阵的数字之和为， 3251621621--=因为是奇数，所以无论怎样变化，新数阵的和都不可能为， 3250所以新数阵中所有数字的和能取到的最小非负整数为. 1故选：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A. 在上单调递增()f x ()4,1--B. 曲线在处的切线的斜率为0 ()y f x =3x =C 有1个极大值点()f xD. 有2个极小值点 ()f x 【答案】BC 【解析】【分析】结合的图象，根据的正负，判断函数的单调情况，一一判断()f x '()f x '()f x 各选项，即可得答案.【详解】由导函数的大致图象可知，在上先负后正， ()f x '()4,1--()f x '故在上不单调，A 错误；()f x ()4,1--由图象可知，故曲线在处的切线的斜率为0，B 正确； ()30f '=()y f x =3x =由图象可知从左至右，先正后负再非负，其中最后部分仅在时，， ()f x '3x =()0f x '=故函数是先递增后递减再递增，即有一个极大值点和一个极小值点，C 正确，D 错()f x 误， 故选：BC 10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭()3y f x x ==A.B. 64150x y +-=360x y +-=C D.360x y +-=46150x y +-=【答案】BC 【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为003(,x x 020033()y x x x x -=--，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程. 200430x x -+=0x 【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为003(,x x 3y x =23y x'=-， 020033()y x x x x -=--又因为切线过点，所以，整理得，解得33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭02003333()22x x x -=--200430x x -+=或，03x =01x =当时，切线方程为，即， 03x =33(3)39y x -=--360x y +-=当，切线方程为，即.01x =33(1)11y x -=--360x y +-=故选：BC.11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） {}n a (0)q q >n n T 324T T T >>A. B. 10a >01q <<C. D.51T >61T >【答案】ABC 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可. 【详解】因为等比数列的公比为，，{}n a 0q >324T T T >>，222110T a a a q ==>则，，即， 3321T T a =>43421Ta a T =<3341a a a >>所以，， 2311a a q =>4311a a <<所以，，故A 正确，B 正确； 10a >4301a q a <=<所以， 553451321T a a a a a a =⋅=⋅⋅⋅>，故C 正确，D 错误．()36345631241T a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<故选：ABC ．12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为1ln e 0b a b a -+-≥e ba（ ） A. B.C.D.1e -2e -1e --2e --【答案】ABD【解析】【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构ln 1ln e a b a b +-+≥1ln b a =-造函数求出其最小值即可求解. ()1ln xg x x-=【详解】因为，所以，则．1ln e 0b a b a -+-≥ln 1ln e e 0a b a b -+-≥ln 1ln e a b a b +-+≥令，则．当时，，单调递减；()e 1x f x x =--()e 1xf x '=-(),0x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增．故，即， ()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()()00f x f ≥=e 1x x ≥+从而，当且仅当时，等号成立． ln 1e ln a b a b +-≥+ln 10a b +-=又，所以，则，所以． ln 1ln e a b a b +-+≥ln 1a b +=1ln b a =-1ln b aa a-=令，则． ()1ln x g x x -=()()2211ln ln 2x x g x x x----=='当时，，单调递减；2(0,e )x ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增．故，()2e ,x ∈+∞()0g x '>()g x ()22min ()eeg x g -==-且当时，. 0x →()g x ∞→+故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数，则________．()()61f x x f =+'()1f =【答案】7 【解析】【分析】求出函数的导数，可求得，即可求得答案.()1f '【详解】由函数可得函数，()()61f x x f =+'()()56,16f x x f =∴'='故，故，()66f x x =+()17f =故答案为：714. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进t 的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了2270.45S mt t =-________米． 【答案】405 【解析】【分析】求的导数，即得速度v 的表达式，令即可求得m 的2270.45S mt t =-(30)0v =值，即可求得答案.【详解】由题意得，即， ()270.9S t m t '=-()270.9v t m t =-故令， (30)270.9300,1v m m =-⨯=∴=故（米）， 2(30)27300530.4540S ==⨯-⨯故答案为：40515. 已知数列满足记，{}n a 21122315n n n a a a a a +++===，，，()()9n A n a B n ，，，O 为坐标原点，则面积的最大值为_____________. OAB 【答案】4 【解析】【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出{}1n n a a +-{}n a 的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可. OAB 【详解】因为，所以， 2123n n n a a a +++=21122n n n n a a a a +++=--即， ()21112n n n n a a a a +++-=-因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，214a a -={}1n n a a +-12所以，由累加法得：11142n n n a a -+⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭所以()()2121111144422n n n n a a a a a a --⎛⎫=+-++-=++⨯++⨯ ⎪⎝⎭141124921112n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯=--=+因为，所以，420n ->4929nn a -=-<()4311||992222n n QAB S AB n n n --=⋅=-+⋅=⋅ 令函数，则.()32nf n n -=⋅()()()()232112212nn n f n f n n n n ---+-=+⋅-⋅=-⋅当时，，而，所以在上单调递减.1n ≥(1)()0f n f n +≤-()()12f f =()f n [)2,+∞，故面积的最大值为4.()(1)(2)4max f n f f ===OAB 故答案为：4.16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈12,x x 12x x <a 范围为________，的取值范围为________． ()()12f x f x -【答案】 ① ②.()0,1()0,2【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意与在上有两个不同的交点，即y a =sin y x =[]0,π可求出的取值范围，在由正弦函数的对称性得到，即，即a 12πx x +=12sin sin x x a ==可得到，再令()()121111sin 2si 2cos πn f x f x x x x x --=+，，利用导数说明函数的单调性，即可求出()sin 2cos πsin 2g x x x x x +-=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数的值域，从而得解.【详解】因为，所以， ()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈()sin f x a x '=-因为存在两个极值点，且，()f x 12,x x 12x x <所以在上有两个不相等的实根， ()sin 0f x a x '=-=[]0,π所以与在上有两个不同的交点， y a =sin y x =[]0,π所以，即，01a <<()0,1a ∈当时，函数图象关于直线对称， 0πx ≤≤sin y x =π2x =所以，即，12πx x +=12sin sin x x a ==则，()()12112211112cos cos sin 2cos πsin f x f x ax x x x x x x a x +--+-==-令，， ()sin 2cos πsin 2g x x x x x +-=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，所以在上单调递减，()()02πcos g x x x '-<=()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，所以， ()()π0022g g x g ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭()()1202f x f x <-<即. ()()()120,2f x f x -∈故答案为：；()0,1()0,2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．17. 求下列函数的导数． （1）； πsin 2π3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）．2ln y xx =【答案】（1） π2πcos 2π3y x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭（2）()2ln 2ln x x y xx -'=【解析】【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得； （2）根据导数的运算法则计算可得. 【小问1详解】因为，所以.πsin 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2πcos 2π3y x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】因为，所以. 2ln y xx=()()()()()22222212ln l ln ln 2ln l n n ln x x x x x x x x x x x y x x x '''-⋅-=-==18. 已知函数．()()32231R f x x ax a =-+∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若在内有且只有一个零点，求的值． ()f x ()0,∞+a 【答案】（1）见解析 （2）1a =【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性； （2）根据（1）的单调性的结果，并结合，从而列式求的值. ()01f =a 【小问1详解】，()()2666f x x ax x x a '=-=-当时，，得或，，得， 0a >()0f x ¢>x a >0x <()0f x '<0x a <<函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； (),0∞-(),a +∞()0,a 当时，，得或，，得， a<0()0f x ¢>0x >x a <()0f x '<0a x <<函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； (),a -∞()0,∞+(),0a 当时，恒成立，函数在单调递增.0a =()260fx x '=≥(),-∞+∞综上可知，当时，函数的单调递增区间是和， 0a >(),0∞-(),a +∞单调递减区间是；()0,a 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； a<0(),a -∞()0,∞+(),0a 当时，函数的单调递增区间是，无减区间. 0a =(),-∞+∞【小问2详解】由条件可知，，()01f =由（1）可知，当时，若函数在有且只有一个零点， 0a >()0,∞+则，解得：，()332310f a a a =-+=1a =当时，函数在单调递增，所以无零点， 0a ≤()0,∞+所以.1a =19. 已知数列满足．{}{},n n a b 11211,n n n n a b a b a b ++===（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式； {}n a 239,3,a a {}n b （2）若是公差为2的等差数列，证明：． {}n a 12332n b b b b ++++<【答案】（1）191n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设的公比为q ，由题意列式求得q ，再结合已知可得，即可求{}n a 119n n b b +=得答案；（2）由已知求得的通项公式，可得。
