分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果. 四、本讲讲了分类讨论思想情形情形1：不确定集合A 是否是空集要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论；情形2：等式（方程）两边同时除以一个数a 时不确定a 是否为零要分00a a =≠和讨论； 情形3：不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程要分00a a =≠和讨论； 情形4：不确定等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要分00a a =≠和讨论； 情形5：不确定函数2()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要分00a a =≠和讨论. 情形6:2(0)y ax bx c a =++≠的抛物线开口方向不确定要分0a <和a>0讨论；情形7：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式∆正负不确定要分00∆>∆≤和讨论； 情形8：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论； 情形9：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2bx a=-与区间[,]m n 的位置关系不确定一般要分2b m a -<、2b m n a ≤-≤、2b n a->三种情况讨论.；情形10：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与区间的位置关系不确定要分类讨论. 情形11：不等式20ax bx c ++>中a 的正负不确定要分0a >和0a <讨论； 情形12：不等式20ax bx c ++>中两根大小不确定要分类讨论；情形13：不等式20ax bx c ++>中判别式∆正负不确定要分000∆=∆>∆<、和讨论； 情形14：分段函数求值不确定x 在哪一段要分类讨论；情形15：一次函数y kx b =+的斜率正负不确定要分00k k ><和讨论. 情形16：指数函数xy a =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论； 情形17：对数函数log a y x =的底数a 大小不确定要分01a <<和1a >讨论.； 情形18：去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论； 情形19：由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论； 情形20：复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.情形21：把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论； 情形22：空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论；情形23：利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论； 情形24：利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论； 情形25：圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论. 情形26：三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论；情形27：在三角形中解方程sin (01)A m m =<<时要把A 分锐角和钝角两种情况讨论；情形28：使用项和公式1112nn n a n a s s n 求通项n a 时，一定要对n 分类讨论；情形29：利用等比数列前n 项和公式111(1)11n nna q S a q qq求n S 时要对q 分两种情况讨论；情形30：数列{||}n a 求和时一般要就n 分类讨论. 情形31：放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论； 情形32：对双曲线两条渐近线所成的角要分类讨论； 情形33：圆锥曲线焦点位置不确定时要分类讨论；情形34：求过点P 的曲线的切线方程时要就P 是否是切点分类讨论； 情形35：函数()y f x =在区间上单调时一般要分单调递增和单调递减讨论；情形36：解指数方程和不等式时，不确定参变量是否在对数函数的定义域内要分类讨论. 【方法讲评】分类讨论情形一 不确定集合A 是否是空集，所以要对集合A 分空集和非空集两种情况讨论.【例1】已知集合.（1）若，求，.（2）若，求的取值范围.【解析】（1）∵若，则，，∴或， ∴，【点评】（1）第2 问中，，不能直接有12112214m m m m -+≤-⎧⎪-+≥-⎨⎪-≤⎩，这样就漏掉了集合B 是空集的情况.不确定集合B 是否是空集，所以要对集合B 分空集和非空集两种情况讨论.（2）对于集合的关系问题(子集真子集关系)和集合的运算（交集、并集和补集）问题，都要注意不要遗漏了空集的情况.【反馈检测1】设集合，，若，求的值．分类讨论情形二等式（方程）两边同时除以一个数a 时，如果不确定a 是否为零，就要分两种情况00a a =≠和讨论.【例2】 已知集合2{|560},{|10},A x x x B x mx =-+==+=且,A B A =求实数m 的值组成的集合. 【解析】{2,3}A B A B A A =∴⊆=由题得. 因为mx+1=01mx ∴=-00m A m φφ=⊆∴=当时，B= 满足题意.1110{}232m B m m m ≠=-∴-=∴=-1当时，或或-31{}.2m ∴-1实数的取值集合为0，,-3【点评】（1）在解方程1mx =-时，有同学很容易在方程两边除以m ，结果导致漏解0m =,得到实数m 的取值集合为1{}.2-1,-3（2）大家在任何地方不要随便乘以或除以一个实数，在乘以或除以一个实数时，必须考虑它是否等于零，如果不确定就一定要讨论或者寻找其它方法.【例3】在ABC ∆中，2c =，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，若sin sin()C B A +-2sin 2A =，求ABC ∆面积.【点评】(1)等式sin cos 2sinAcosA B A =的两边不能同时除以cos A ,因为当090A = 时，cos 0A =,所以如果同时除以cos A 时，导致解题不够严谨,在有的地方会导致漏解.(2)解数学题，始终要牢记，不能随便乘除，如果要乘除，必须认真考虑这个数是什么数，如果不能确定，可以讨论，也可以寻找其它方法解答.（3）分类讨论时，最好把好讨论的放在前面讨论，这样可以得分,本题中cos 0A =，容易讨论，所以放在前面讨论.【反馈检测2】在ABC ∆中，cos sin sin cos()0C A B A B ++=,判断ABC ∆的形状. 分类讨论情形三不确定方程20ax bx c ++=是不是一元二次方程，要分00a a =≠和讨论，不能直接当作一元二次方程解答.【例4】设全集U R =，{}2|20A x x x =-=，{}2|10B x mx mx =--=，其中x R ∈，如果()U A B =∅，求m 的取值范围．检验，此时{}21|44102B x x x ⎧⎫=-+-==⎨⎬⎩⎭，符合题意；当B 中有两个元素时，由题意10,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，将0，12代入方程可知此时无解．综上所述，m 的取值范围为40m -≤≤．【点评】210mx mx --=不一定是一元二次方程，所以一定要对2x 的系数m 分类讨论，分0m =0m ≠或两种情况讨论，把0m =放在前面讨论. 否则容易漏解.【例5】已知直线与双曲线.（1）若，求与相交所得的弦长；（2）若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围.【解析】（1）2122212012,322034123x y x x x x x y x x ⎧⎪∆>⎪+=⎧⎪∴+-=∴+=-⎨⎨-=⎩⎪⎪=-⎪⎩，弦长为2143； （2）222222221,(1)220x y a x a x a x a y a+=⎧∴-+-=⎨-=⎩，【点评】对于方程2222(1)220a x a x a -+-=，有很多同学容易直接考虑0∆>，这样就会导致出现错解.只有一元二次方程才有判别式，所以这里一定要分类讨论，这个逻辑一定要理解清楚，不是死记.【反馈检测3】已知集合2{|210}A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ； （3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【反馈检测4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线的方程；（2）设，在直线的斜率存在前提下，若，求直线的斜率.分类讨论情形四不确定不等式20ax bx c ++>是不是一元二次不等式要讨论，不能直接当作一元二次不等式解答，要分00a a =≠和两种情况讨论.【例6】已知2()lg(x )f x ax b =++的定义域为A ，2()43g x kx x k =+++的定义域为B . （1）若B R =，求k 的取值范围； （2）若()(){},|23R R C A B B C A B x x ==-≤≤，求实数,a b 的值及实数k 的取值范围.所以()()02034302223h k h k ∆≥⎧⎪-≤⎪⎪⇒-≤≤-⎨≤⎪⎪-≤-≤⎪⎩. 【点评】2430kx x k +++≥不一定是一元二次不等式，所以要对2x 的系数k 分类讨论，分00k k =≠和两种情况讨论.【反馈检测5】已知函数22()lg (32)(1)1f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦的定义域为R ，求实数m 的取值范围．分类讨论情形五不确定函数2()f x ax bx c =++是不是一元二次函数要讨论，要分00a a =≠和两种情况讨论，不能直接当作一元二次函数解答.【例7】函数2()2(3)1f x ax a x =+-+在区间[2,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）2()2(3)1f x ax a x =+-+不是一元二次函数，因为题目并没有说0a ≠.所以对于函数2y ax bx c =++一定要关注2x 系数a ，如果已知没有说0a ≠，一定要分类讨论.否则漏解.（2）解答数学问题必须严谨，讲究思维的逻辑.【反馈检测6】已知2()2,[0,1],f x ax x x =-∈，求()f x 的最小值.分类讨论思想情形之1-5参考答案 【反馈检测1答案】或【反馈检测1详细解析】∵，∴， 由，∴，或，或，或．当时，方程无实数根，则综上所述：或．【反馈检测2答案】ABC ∆是直角三角形或等腰三角形.【反馈检测2详细解析】由题得cos sin sin cos 0C A B C -= 所以cos (sin sin )0C A B -= 所以cos 0C =或sin sin A B = 所以090C =或a b =， 所以ABC ∆是直角三角形或等腰三角形. 【反馈检测3答案】（1）1{,1}3A =-；（2） {0,1}B =；（3）{|1a a ≥或0}a =. 【反馈检测3详细解析】（1）∵1是A 的元素，∴1是方程2210ax x ++=的一个根， ∴210a ++=，即3a =，此时2{|3210}A x x x =++=. ∴11x =，213x =-，∴此时集合1{,1}3A =-； （2）若0a =，方程化为10x +=，此时方程有且仅有一个根12x =-， 若0a ≠，则当且仅当方程的判别式440a ∆=-=，即1a =时，方程有两个相等的实根121x x ==-，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合{0,1}B =； （3）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况：①A 中有且只有一个元素，由（2）知此时0a =，或1a =；②A 中一个元素也没有，即A =∅，此时0a ≠，且440a ∆=-<，∴1a >. 综合①、②知所求a 的取值范围是{|1a a ≥或0}a =.【反馈检测4答案】（1）;（2）. 【反馈检测4详细解析】（1）设，由题意，，，，因为是等边三角形，所以，即，解得，故双曲线的渐近线方程为.∴，解得，所以直线的斜率为.【反馈检测5答案】1m ≤或73m >． 【反馈检测5详细解析】∵函数()f x 的定义域为R ， ∴对于任意x R ∈，恒有22(32)(1)10m m x m x -++-+>①若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为10>，符合题意，当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．【反馈检测6详细解析】（1）当0a =时，()2f x x =-在[0,1]上递减，min ()(1)2f x f ∴==-. （2）当0a >时，2()2f x ax x =-图像的开口向上，且对称轴为1x a=， ①当101a<≤，即1a ≥时 ，()f x 图像的对称轴在[0,1]内， 所以()f x 在1[0,]a 上递减，在1[,1]a 上递增，所以min 11()()f x f a a==-，②当11a>，即01a <<时 ，()f x 图像的对称轴在[0,1]右侧，所以()f x 在[0,1]上递减， min ()(1)2f x f a ==-.③当0a <时，2()2f x ax x =-图像的开口向下，且对称轴为10x a=<，在y 轴的左侧， 所以()f x 在[0,1]上递减，所以min ()(1)2f x f a ==-.综上所述，min2,1()1,1a a f x a a-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.【方法讲评】分类讨论情形6一元二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的抛物线的开口方向不确定要分类讨论，分0a <和a>0两种情况讨论.【例1】已知函数()()2ln 1f x x ax =++，其中a R ∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）若0x ∀>， ()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()121f x ax x =++'，由()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直， 可知()11212f a '=+=，所以14a =；（Ⅱ）由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()121f x ax x =++' 22211ax ax x ++=+，()2221g x ax ax =++的对称轴方程为12x =-，所以112x <-， 212x >-，由()()1010g g -==>，可得1112x -<<- 20x <<.所以当()11,x x ∈时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()0f x '>，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增.因此函数()f x 有两个极值点. （iii ）当0a <时， 0∆>，由()()1010g g -==>，可得11x <-， 20x > 当()21,x x ∈-时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x <， ()0f x '<,函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当2a >时，函数()f x 有两个极值点. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当02a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，因为()00f =，所以()0,x ∈+∞时， ()0f x >，符合题意；综上所述， a 的取值范围是[)0,+∞.【点评】（1）由于函数()2221g x ax ax =++是不是二次函数不确定要分类讨论，分00a a =≠和讨论，是二次函数时，开口方向不确定要分类讨论，要分0a >和a<0讨论. 开口方向确定后，判别式∆正负不确定要分类讨论，所以本题有三级分类讨论.对学生的逻辑思维能力要求比较高.(2)分类讨论是比较考逻辑思维的，该分类的时候，你没有分类讨论，不该分类讨论时，你分类讨论，都是错误的.对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系. 我们要学会思考，学会总结.【反馈检测1】已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证: ()321222e e a e ++-<<-.分类讨论情形7一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的判别式∆正负不确定要分类讨论，一般分00∆>∆≤和讨论.【例2】已知函数()()21ln 1f x x a x =-+-， a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，且12x x <，证明：()()1221f x f x x x >．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(),1-∞，由题意()222'2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--，综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以()'0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<， 12121,{,2x x a x x +==且满足110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()()()2111111211112221ln 1112ln 112ln 1f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得()()()2222112ln 1f x x x x x =-++-．()()()()()()1221112222222212ln 12ln 12121ln 2ln 1f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，【点评】（1）2228a y x x a =-+-∆-中=4正负不确定，抛物线与x 轴的交点个数不确定，所以要分00∆≤∆>和两种情况讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律. 【反馈检测2】已知函数()21ln 2f x x x a x =-+， a R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当209a <<时，函数()f x 的两个极值点为1x ， 2x ，且12x x <.证明： ()1251ln3123f x x >--.分类讨论情形8一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根大小不确定要分类讨论.【例3】已知函数()212f x mx =+， ()()()2ln 211g x x m x m R =-+-∈，且()()()h x f x g x =+.（1）若函数()h x 在()()1,1f 和()()3,3f 处的切线互相平行，求实数m 的值； （2）求()h x 的单调区间. 【解析】（1）()()()()21212ln 2h x f x g x mx m x x =+=-++， ()()2'21(0)h x mx m x x∴=-++>.()()'12121h m m m ∴=-++=-， ()()21'332133h m m m ∴=-++=-. ()'0f x <.③当12m =时， ()()22'2x f x x-=，在区间()0,+∞上， ()'0f x >. ④当12m >时， 102m <<，在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上， ()'0f x >；在区间1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x <.综上：①当0m ≤时， ()f x 的单增区间为()0,2，单减区间为()2,+∞； ②当102m <<时， ()f x 的单增区间是()0,2和1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单减区间是12,m ⎛⎫⎪⎝⎭； ③当12m =时， ()f x 的单增区间是()0,+∞； ④当12m >时， ()f x 的单增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单减区间是1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点评】（1）函数()()12y mx x =--不确定是不是二次函数，首先必须就m 分类讨论，分0m =0m ≠和两种情况讨论.（2）当0m >时，()()12y mx x =--是二次函数，但是函数的两个零点11x m=22x =大小关系不确定，所以要分三种情况讨论. （3）当0m <时，()()12y mx x =--是二次函数，函数的两个零点121020x x m=<=>大小关系确定12x x <，所以不需要分类讨论. （4）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑两根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般规律.【反馈检测3】设()ln f x x ax =+， ()()21212g x ax a x =-+. （1）若1a =，证明： []1,2x ∈时， ()13f x x-<成立；（2）讨论函数()()y f x g x =+的单调性；分类讨论情形9二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴2bx a =-与区间[,]m n 的位置关系不确定要分类讨论，一般分三种情况讨论, 2b m a -<、2b m n a ≤-≤、2bn a->.【例4】已知函数（，）满足，且对任意实数都有.（1）求，的值； （2）是否存在实数，使函数在区间上有最小值-5？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1），所以，因为在上恒成立，即恒成立.显然时，上式不能恒成立，所以，函数是二次函数，由于对一切，都有，所以由二次函数的图象和性质可得 ，即，即 ，解得：，．（2）因为，所以，所以．即,此方程无解．③当，即时，函数在区间上先减后增 所以，解得或．其中，应舍去．综上可得，存在实数，使函数在区间上有最小值-5.【点评】2()(2)1g x x m x =-++对称轴为22m x +=与区间[,2]m m +的相对位置关系不确定，所以要分三种情况讨论，2222 2.222m m m m m m +++<≤≤+>+、m 、每一种情况通过数形结合分析函数的最小值.【反馈检测4】已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2.（1）若函数)(x f 在），（∞+∞-上至少有一个零点，求a 的取值范围； （2）若函数)(x f 在[]1,+a a 上的最大值为3，求a 的值.分类讨论情形10一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与区间的位置关系不确定要分类讨论【例5】已知函数()ln f x x a x =-， ()1ag x x+=-，其中a R ∈ （1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围.（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()00f x g x <成立，即存在[]01,x e ∈，使得()()()0000h x f x g x =-<，即函数()1ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. 由（1）可知：①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()0h x '<， ()h x 的[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-.综上可得所求a 的范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭. 【点评】（1）函数(1)[(1)]y x x a =+-+的一个零点是1x =-不在函数定义域(0,)+∞内要舍去，另一个零点是1x a =+不确定是否在定义域(0,)+∞内，直接影响了导函数的图像和性质，影响了原函数的图像和性质，所以要分类讨论.（2）对于二次函数来说，一般先考虑开口方向，再考虑判别式∆，再考虑根的大小，再考虑根与区间的位置关系.这是一般的规律.【反馈检测5】已知函数()ln f x x a x =-， (]0,x e ∈， ()ln xg x x=，其中e 是自然常数， a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明()()12f xg x >+恒成立； （2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.分类讨论思想情形之6-10参考答案【反馈检测1答案】(1)见解析；(2) 见解析.【反馈检测1详细解析】由题得()()()2'21,'00x f x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-. (1) ()()()2'2121x xf x ax a x e x ax a e ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a <--或0x >时， ()'0f x >；当120x a --<<时， ()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a<--或0x >时， ()'0f x <；当120x a --<<时， ()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当0a >时， ()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时， ()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭. 当12a =-时， ()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时， ()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭,()0,+∞； (2) ()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x xy y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上， ()'0u x >，所以()0,+∞上， ()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()1?01e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故()321222e e a e ++-<<-.【反馈检测2答案】（1）14a ≥（2）详见解析. 【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为14a ≥. （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以()'0f x =在0x >上有两个不等的实根， 即20x x a -+=有两个不等的实根1x ， 2x ，可得14a <，且12121,{x x x x a +=⋅=，因为20,9a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112019x x <-<，可得110,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ()2211111121122211ln ln 22x x a x x x x x x f x x x x -+-+== 21111112ln 1x x x x x -=+-，110,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 令()212ln 1x x g x x x x -=+-， ()2121x xh x x-=-， ()ln m x x x =， ∵()()211'0221h x x =--<-，【反馈检测3答案】（1）见解析;（2）0a ≤， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.01a <<， ()f x 在()0,1， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.1a =， ()f x 在()0,+∞上单调递增；1a >， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【反馈检测3详细解析】（1）当1a =时， ()ln f x x x =+，要证[]1,2x ∈时()13f x x-<成立，由于0x >，∴只需证2ln 310x x x x +--<在[]1,2x ∈时恒成立，令()2ln 31g x x x x x =+--，则()'ln 22g x x x =+-，()'10Qg =设()ln 22h x x x =+-， ()1'20h x x=+>， []1,2x ∈， ()h x ∴在[]1,2上单调递增， ()()()'1''2g g x g ∴≤≤，即()0'ln22g x ≤≤+， ()g x ∴在[]1,2上单调递增， ()()22ln230g x g ∴≤=-<，∴当[]1,2x ∈时， 2ln 310x x x x +--<恒成立，即原命题得证.（2）()f x 的定义域为()0,+∞， ()()1'1f x ax a x=+-+= ()211ax a x x -++，①当01a <<时， ()'0f x >解得01x <<或1x a >； ()'0f x <解得11x a<<，④当0a =时， ()1'xf x x-=， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. ⑤当0a <， ()()()11'ax x f x x--=， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.综上， 0a ≤， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.01a <<， ()f x 在()0,1， 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.1a =， ()f x 在()0,+∞上单调递增；1a >， ()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【反馈检测4答案】（1）1a ≤；（2）0a =或1132a =． 【反馈检测4详细解析】（1）由164(3)01a a ∆=-+≥⇒≤ （2）化简得2()(2)1f x x a =-+-，抛物线的对称轴为2x =.当12a +<，即1a <时2max ()()433,0f x f a a a a ==-+=∴=；当21a a ≤≤+，即12a ≤≤时222max 113()43330,(1),(1)()330,()3f a a a a f a a a f a f a a f x a a a ±=-+->+=-∴+-=->∴=-=⇒=【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3.【反馈检测5详细解析】（1）证明：∵()ln f x x x =-， ()111x f x x x'-=-=， ∴当01x <<时， ()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x e <<时， ()0f x '>，此时()f x 单调递增.∴0a ≤时，不存在a 使()f x 的最小值为3. ②当10e a <<时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 2a e =，满足条件. ③当1e a ≥时， ()f x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13f x f e ae ==-=， 4a e=（舍去）， ∴1e a≥时，不存在a 使()f x 的最小值为3. 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3. （舍）;当12a +<，即2a >时2max 113()(1)3,f x f a a a a +=+=-=∴=,综上0a =或113a += 【方法讲评】 分类讨论情形11不等式20ax bx c ++>中a 的正负不确定要分0a >和0a <讨论.【例1】已知关于x 的不等式022>--ax x 的解集为1|{-<x x 或}b x >)1(->b . （1）求b a ,的值； （2）当21->m 时，解关于x 的不等式0))((>-+b x a mx . 【解析】（1）由题意知，1,b -是方程022=--ax x 的两个实根，∴⎩⎨⎧-=⋅-=+-2)1(1b a b ，解得⎩⎨⎧==21b a ，∴1=a ，2=b .当021<<-m 时，不等式的解集为1{|2}x x m<<-. 【点评】（1）()()0mx a x b +->中2x 的系数m 的正负情况不清楚，所以要分0=m 、0>m 、021<<-m 三种情况讨论.（2）解二次型的不等式20ax bx c ++>一般首先要研究二次项2x 的系数，再研究对称轴和判别式∆，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 【反馈检测1】解关于x 的不等式22(4)410a x x -+->．分类讨论情形12不等式20ax bx c ++>中两根大小不确定要分类讨论.【例2】已知关于x 的不等式()()011>+-x ax ．（1）若此不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x ，求实数a 的值；（2）若R a ∈，解关于x 的不等式()()011>+-x ax 【解析】（1）由题意可知0<a ，1-和21-为方程()()011=+-x ax 的两根， 于是2-=a ， （2）①当0=a 时，由0)1(>+-x ，得1-<x ；②当0>a 时，不等式可化为()011>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，解得1-<x 或a x 1>； ③当0<a 时，不等式可化为()011<+⎪⎭⎫⎝⎛-x a x ，【点评】（1） 0<a 时，不等式可化为()011<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，此时两根为1211x x a==-大小不确定，所以要分1111=11a a a <-->-、和三种情况讨论. （2）0>a 时，不等式可化为()011>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x ，两个根分别为121010x x a=>=-<，两个根的大小确定，所以不需要分类讨论，所以并不是看到字母就要讨论，是某些数学元素“不确定”才要讨论.（3）解二次型的不等式20ax bx c ++>一般首先要研究二次项2x 的系数，再研究对称轴和判别式∆，再研究两根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 这是一般规律. 【反馈检测2】解关于x 的不等式：(2)(2)0x ax -->.分类讨论情形13不等式20ax bx c ++>中判别式∆正负不确定要分0=00∆<∆∆>、和讨论.【例3】解关于x 的不等式a x ax (0122>-+为常数）．原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--<<++-a a x a a x 1111．【点评】（1）当0≠a 时，一元二次方程0122=-+x ax 的判别式a 44+=∆正负不能确定，所以要分0=00∆<∆∆>、和三种情况讨论. （2）当0∆>时，方程的两根aax a a x +--=++-=11,1121大小不确定，所以要分类讨论，所以本题有两级分类.第一级就判别式∆分类讨论，第二级就两根大小分类讨论. (3)对二次函数2y ax bx c =++，一般先讨论a 的正负，再讨论对称轴和判别式∆，再讨论根的大小，再讨论根和区间的位置关系.【反馈检测3】解关于x 的不等式:222ax x ax -≥-，a R ∈．分类讨论情形14分段函数求值不确定x 在哪一段要分类讨论.【例4】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【点评】(1)在计算()2f a -时，由于不知道2a -在分段函数的哪一段，所以不能直接代入函数，所以要分类讨论.（2）在0a >时计算出12a =-，此时要注意和0a >求交集，否则会多解. 注意数学逻辑“小分类求交，大综合求并”. 【反馈检测4】设函数，则不等式的解集为__________．分类讨论情形15一次函数y kx b =+的斜率正负不确定要分00k k ><和讨论.【例5】已知函数()ln f x x a x =-， (]0,x e ∈， ()g x x =，其中e 是自然常数， a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明()()12f xg x >+恒成立；（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：∵()ln f x x x =-， ()111x f x x x'-=-=， ∴当01x <<时， ()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x e <<时， ()0f x '>，此时()f x 单调递增. ∴()f x 的极小值为()11f =，即()f x 在(]0,e 上的最小值为1，令()()1ln 122x h x g x x =+=+， ()21ln xh x x-'=， 当0x e <<时， ()0h x '>， ()h x 在(]0,e 上单调递增， ∴()()()max min 11111222h x h e f x e ==+<+==. ∴()()12f xg x >+恒成立. （2）假设存在实数a ，使()ln f x ax x =-（(]0,x e ∈）有最小值3，()11ax f x a x x ='-=-.①当0a ≤时， ()f x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13f x f e ae ==-=， 4a e=（舍去），∴0a ≤时，不存在a 使()f x 的最小值为3.综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时， ()f x 有最小值3. 【点评】（1）()11ax f x a x x='-=-中，分母1y ax =-是不是一次函数要分类讨论，0a =时不是一次函数，0a ≠时是一次函数.（2）0a ≠时是一次函数，但是斜率a 的正负不确定要分类讨论.(3)0a >时，函数的零点10x a=>与定义域(]0,e 右端点e 大小无法确定，所以要分类讨论.所以本题要三级分类讨论.第一级分类：1y ax =-是不是一次函数，第二级分类：一次函数1y ax =-的斜率a 的正负，第三级分类：函数的零点10x a=>与定义域(]0,e 右端点e 大小无法确定. 【反馈检测5】函数()ln f x x mx =-（Ⅰ）若曲线()y f x =过点P （1，﹣1），求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1，e]上的最大值；（Ⅲ）若x ∈[1，e]，求证：ln 2xx <．分类讨论思想情形之11-15参考答案 【反馈检测1答案】当2a =±时，14x >；当2a >时，12x a >+或12x a <-；当2a <-时，12x a <+或12x a >-；当22a -<<时，1122x a a<<+-．【反馈检测2答案】当0a <时，原不等式的集为2{|2}x x a<<，当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <，当01a <<时，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠. 【反馈检测2详细解析】原不等式整理得22(1)40ax a x -++>.当0a =时，原不等式为20x -<，∴2x <；当0a ≠时，原不等式为(2)(2)0x ax -->，∴当0a <时，原不等式可化为2{|2}x x a <<，当0a >时，原不等式可化为2(2)()0x x a -->， 当01a <<时，原不等式为22a >，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，若1a >，则22a <，原不等式的集为{|2x x >或2}x a<，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠.综上，当0a <时，原不等式的集为2{|2}x x a <<，当0a =时，原不等式的集为{|2}x x <，当01a <<时，原不等式的集为2{|x x a>或2}x <，当1a =时，原不等式的集为{|2}x R x ∈≠.【反馈检测3答案】2a <-时，原不等式的解为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，20a -≤<时，原不等式的解为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，0a =时，原不等式的解为{}1x x ≤-，0a >时，原不等式的解为21x x x a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或.【反馈检测3详细解析】原不等式可化为：()2220ax a x +--≥当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤- .。
