隐马尔科夫模型一、引入二、定义三、隐马尔科夫模型的计算（1）估值问题（2）解码问题（3）训练问题四、隐马尔科夫各种结构H M M的由来☐1870年，俄国有机化学家V l a d i m i r V.M a r k o v n i k o v第一次提出马尔科夫模型☐马尔可夫模型和马尔可夫链☐ 隐式马尔可夫模型(H M M )马尔可夫性☐ 如果一个过程的“将来”仅依赖“现在”而不依赖“过去”，则此过程具有马尔可夫性,或称此过程为马尔可夫过程 ☐ X (t+1) = f(X(t))马尔可夫链☐ 时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。
设在时刻t 的随机变量用t S 表示，其观察值用t s 表示，则如果当11s S ，22s S =,……，t t s S =的前提下，11++=t t s S 的概率是如下式所示，则称为n 阶Markov过程。
)|()|(11111111tn t tn t t t t t t t sSs S P s S s S P +-+-++++===== (1)这里tS 1表示1S ，2S ，……，t S ，t s 1表示1s ，2s ，……，t s ，tt s S 11=表示11s S =，22s S =，……，t t s S =。
特别的当如下式成立时，则称其为1阶Markov 过程，又叫单纯马尔可夫过程。
)|()|(111111t t t t t t t t s S s S P s S s S P =====++++ (2)即：系统在任一时刻所处的状态只与此时刻的前一时刻所处的状态有关。
而且，为了处理问题方便，考虑式（2）右边的概率与时间无关的情况，即：)|[)1,(1i t j t ij s S s S P t t P ===++ （3）同时满足：0)1,(≥+ij t t P （4）∑==+Nj ij t t P 11)1,( （5） 这里ij t t P )1,(+是当时刻t 从状态i 到时刻t ＋1时的状态j 的转移概率，当这个转移概率是与时间无关的常数时，又叫S ，2S ，……是具有常数转移概率的Markov 过程。
隐式马尔可夫模型(H M M )HMM 类似于一阶Markov 过程。
不同点是HMM 是一个双内嵌式随机过程，即HMM 是由两个随机过程组成，一个是状态转移序列，它对应着一个单纯Markov 过程；另一个是每次转移时输出的符号组成的符号序列。
这两个随机过程，其中状态转移随机过程是不可观测的，只能通过另一个随机过程的输出观察序列观测。
设状态转移序列为S=T s s s 21,，输出的符号序列为O=1o ，T o o 2。
由于模型本身是看不见的，即模型的状态不为外界所见，只能根据观察序列推导出来，所以称为隐马尔可夫模型。
离散HMM 中的元素对于语音识别使用的HMM 可以用下面六个模型参数来定义，即：观察值序列 o 1, o 2, ..., o T图1 HMM 的组成示意图},,,,,{F B A O S M π=S ：模型中状态的有限集合，即模型由哪几个状态组成。
设有N 个状态，S ＝{i s|i=1,2,……，N}。
记t 时刻模型所处状态为t s ，),,(1N ts s s ∈。
O ：输出的观察值符号的集合，即每个状态对应的可能的观察值数目。
记M 个观察值为1o ，……，M o ，记t 时刻观察到的观察值为t o 其中1(,,)t M o o o ∈ 。
A ：状态转移概率的集合。
所有转移概率可以构成一个转移概率矩阵，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=NN N N a a a a A 1111其中ij a 是从状态i s 到状态j s 的转移概率，i ≤1，N j ≤且有10≤≤ij a ，∑==Nj ij a 11。
B ：输出观测值概率的集合。
{()}j B b k =。
其中()[v |],1j t k t b k p o s j k M ===≤≤，其中V k k 表示第个观察符号根据B 可将HMM 分为连续型和离散型HMM 等。
()1j kb k =∑ （离散型HMM ）()1jb k dk ∞-∞=⎰ （连续型HMM ）π：系统初始状态概率的集合，}{i ππ=，i π表示初始状态是i s 的概率，即：1[],(1) 1i i P s i i N ππ==≤≤=∑ （6）F ：系统终了状态的集合。
Markov 模型没有终了状态的概念，只是在语音识别里用的Markov 模型要设定终了状态。
π,F}，为了便于表示，常用下面的形式表示一个HMM，这样，可以记一个HMM为M={S,O,A,B,π}。
HMM可以分为两部分，一个是Markov链，由π，A描述，产生的输出为状即简写为M={A,B,态序列。
另一个随机过程，由B描述，产生的输出为观察符号序列。
HMM：示例图2 两个状态的HMMHMM 的三个基本问题HMM 核心理论是解决三个基本问题： 1.已知观测序列O ={1o ,2o ……T o }和模型},,{πλB A =,如何有效计算在给定模型的条件下产生观测序列O 的条件概率)/(λO P 最大。
2.已知观测序列O ={1o ,2o ……T o }和模型},,{πλB A =,如何选择相应的在某种意义上最佳的(能最好解释观测序列的)状态序列S 。
3.如何调整模型参数},,{πλB A =以使条件概率(|)P O λ最大。
第一个问题是评估问题，实际就是一个识别的问题，即已知模型λ和一个观测序列O ，如何计算由该模型产生出该观测序列的概率(|)P O λ,问题1的求解能选择出与给定观测序列最匹配的模型。
第二个问题目的是找出模型中隐藏的部分，即找出正确的状态序列（),,k j i s s s ，这是一个典型的估计问题。
第三个问题是模型的参数最优化，通过训练自适应调整模型参数使之适应于训练序列并最优化，从而得到实际应用中最好的模型，这是一个参数训练问题。
三个问题对应算法分别为：前后向算法，Viterbi 算法和Baum-Welch 算法。
隐马尔可夫模型的计算以孤立词识别为例，设有W 个单词要识别，我们可预先得到这W 个词的标准样本，第一步就是为每一个词建立一个N 个状态的HMM 模型。
这就要用到问题3（给定观察下求模型参数）。
为了理解模型状态的物理意义，可利用问题二将每一个单词的状态序列分割为一些状态，再研究导致与每一状态响应的观察结果的那些特征。
最后，识别单词就要利用问题1，即对给定观察结果找出一个最合适的模型，使得(|)P O λ最大。
第一个问题的求解给定观察序列O ={1o ,2o ……T o }和模型},,{πλB A =，求解(|)P O λ，最直接的方法就是通过穷举所有的长度为T 状态序列。
共有TN 个状态序列，考虑其中一个：12S (...)T s s s =，1s 是初始状态。
给定S ，观察序列O 出现的概率为1(O|s,)(|,)Tt t t p p o s λλ==∏ (7)因为各观察量假设是统计独立的，因此得到：1212(O|s,)()()...()t s s s t p b o b o b o λ=⋅ (8)上面的状态序列的概率为：112231(s |)...T T s s s s s s s p a a a λπ-= (9)O 和S 的联合概率为：(O ,s |)(O |s ,)p pp λλλ= (10)将联合概率中的所有s 序列累加就得到O 的概率（给定模型参数）。
即：s(O|)(O|s,)(s |)all p p p λλλ=∑111221T 1212T ,,...,()()...()T TTs s s s s ss s s s s b o a b o a b o π-=∑(11)根据上式，要计算(O|)p λ，需要2TTN⋅规模的计算量。
如果对于N=5（状态数），T=100(观察量)，需要2*100*51007210≈次计算。
前向－后向算法定义前向概率为:)(i t α=)|,(21λθi t t s o o o P =即状态模型为λ，部分观测序列为1o 2o ……t o ，且对应t 时刻HMM 的状态为i t s θ=时的概率，利用)(i t α计算输出条件概率)|(λO P 1.初始化11()(), 1i N i i i b o απ=≤≤ （12） 2.选代计算111()()() 1t T-1,1j N N t t ij j t i j i a b o αα++=⎡⎤=≤≤≤≤⎢⎥⎣⎦∑ （13）3.终止计算∑==Ni T i O P 1)()|(αλ （14）其中步骤2的迭代过程为前向算法的核心：时刻t+1的状态j 可由时刻t 的i 状态到达。
其中1i N ≤≤。
终止条件中：12()(...,|)T T T i p o o o s i αλ==。
（15）前向算法只需要2N T 次计算。
对于N=5，T=100，只需要3000次计算。
后向算法定义后向概率为12()(|,)t t t T t i i P o o o s βθλ++== ，计算过程同前向算法类似。
第二个问题的求解（Viterbi 算法）第二个问题是给定观察序列O 以及模型参数，选择相应的在某种意义上最佳的(能最好解释观测序列的)状态序列S 。
Viterbi 算法在最佳意义上确定一个状态序列S ，这个最佳的定义，是指使)|,(λO S P 最大时确定的序列。
定义)(i t δ为时刻t 沿一条路经1s 2s ……t s 且i t s θ=，产生出观测序列1o 2o ……t o 的最大概率，即有：12112112()max (,,|)t t t t i t s s s i P s s s s o o o δθλ--== （16）所以：1t+1()[max ()](o )t t ij j ij i a b δδ+=⋅ （17） 那么，求最佳状态序列S 的算法过程： 1.初始化N i 1 ),()(11≤≤=o b i i i πδ （18）1()0, 1i N i ψ=≤≤ （19）2.选代计算11()max[()](), 2t T,1j N t t ij j t i Nj i a b o δδ-≤≤=≤≤≤≤ （20） 11()arg max[()], 2t T,1j N t t ij i Nj i a ψδ-≤≤=≤≤≤≤ （21）3.终止计算)]([max 1*i P T Ni δ≤≤= （22）)]([max arg 1*i s T Ni T δ≤≤= （23）4．状态序列求取**11(), 1,2,,1t t t s st T T ψ++==-- （24）其中：()t i δ为t 时刻处于i 状态时的累积输出概率，()t i ψ为t 时刻处于i 状态时的前序状态号，*t s 为最优状态序列中t 时刻所处的状态，*P 为最终的输出概率。
