2005年高考辽宁省数学试题

【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.
【正确解答】以 为原点， 为x轴， 为y轴建立直角坐标系， ，设 且 ，则 直线方程为 .
点P到AC、BC的距离乘积
所以最大值为3.
【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法.随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等.
P（ξ）
故有 .
【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是
所以 ，即 所在的象限是第二或第四象限.选D
解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D
解法(3)用特值法令 和 ,也可以得到答案D
【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 (1)先写出 范围(2)再求出除以 的范围(3)再分成 类情况讨论可完成.
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.
【正确解答】 ， ， .
选C
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.

2005年辽宁省高三年级五校联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C k n p k (1－p )n -k球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径球的体积公式V =34πR 3，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1、全集I 等于实数集R ，集合{}21|+≤=x x M ，{}4,3,2,1=P ，则P M C I )( 等于A.{}4,3,2B.{}4,3,2,1 C.{}4 D.{}4,3 2、复数9)11(ii +-的虚部是 A.1 B.1- C.i D.i -3、已知集合},1,0,1{},3,2,1{-==B A 满足条件)2()1()3(f f f +=的映射B A f →:的个数是A.2个B.4个C.7个D.6个4、给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、如图所示的电路，有c b a ,,三个开关，每个开关开或关 的概率都是21，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 A. 81 B.41 C.21 D.1616、今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，要用它称物体重量，将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果和的一半与物体真实重量的关系是A.一样重B. 物体真实重量重C. 两次称量结果和的一半重D.无法比较 7、已知函数)(1x f y -=的图象过（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（0，2）D ．（2，0）8、已知q p ,,3||,22||==夹角为4π，则以3,25-=+=为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为A.15B.15C.14D.169、 用数学归纳法证明“))(12(5312)()2)(1(+∈-⋅⋅⋅=+++N n n n n n n n”时，从k n =到1+=k n ，给等式的左边需要增乘的代数式是A.12+kB.112++k kC.1)22)(12(+++k k kD.132++k k10、等比数列}{n a 中，5121=a ，公比21-=q ，用n ∏表示它的前n 项之积：n n a a a ⋅⋅⋅⋅=∏21，则 ,,21∏∏中最大的是A.11∏B. 10∏C. 9∏D. 8∏11、已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且)(x f 在（)31,3--上是增函数，则a 的范围是 A.20≤≤a B.429-≤≤-a C.04<<-a D.0<a 12、已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率e 的取值范围是A.),1(+∞B.]3,0(C.]3,1(D.]2,1(第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13、某厂包装车间对包装质量进行检查时，采用这样的方法：在自动包装传送带上，每隔ABCD A 1B 1C 1D 1 EF30分钟抽一包产品，进行质量检查，这样的抽样方法是 抽样。

2005年沈阳市中等学校招生统一考试数 学 试 卷*考试时间120分钟，试卷满分150分一、选择题（下面各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确的答案的序号填在题后的括号内。

每小题3分，共24分）1．函数y =中自变量x 的取值范围是 （ ） A ．2x >-B ．2x ≥-C ．20x x >-≠且D ．0x >2．在半径为1的⊙O 中，120º的圆心角所对的弧长是 （ ）A ．3πB ．23π C ．πD ．32π 3．已知直线y x b =+，当0b <时，直线不经过 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限4．用换元法解分式方程222331x x x x+=++，若设2x x y +=，则原方程可化为关于y 的整式方程为 （ ） A ．2320y y --=B ．2320y y ++=C ．2320y y +-=D ．231y y=+ 5．抛物线23(8)2y x =-+的顶点坐标为 （ ）A ．（2 ，8）B ．（8- ，2）C ．（8 ，2）D ．（8- ，2-）6．如图1，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i =1:3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（ ） A． B．C．D ．6米7．已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距是4，则这两个圆的位置关系是 （ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ． 内切8．沈阳市的春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了4月6日的连续12个小时的风力变化情况，并画出了风力随时间变化的图象（如图2），则下列说法正确的是（ ） A ． 在8时至14时，风力不断增大 B ． 在8时至12时，风力最大为7级AB CC ． 8时风力最小D ．20时风力最小二、填空题（每小题3分，共24分）9．点P （3-，4）关于原点对称的点的坐标是 ．10．一元二次方程2210x x --=的根是 ． 11．一组数据1-，0，1，2，3的方差是 ．12．在△ABC 中，2AB =，AC =，B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 ．13．如图3，PB 是⊙O 的切线，A 是切点，D 是AC 上一点，若∠BAC ＝70º，则∠ADC 的度数是 ．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的测面积是 ．15．已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是 ．16．如图4，⊙M 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是 ．三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）17．计算：18．解方程：631(1)(1)1x x x -=+--图3图419．阅读下列解题过程：题目：已知方程210x mx ++=的两个实数根是p 、q ，是否存在m 的值，使得p 、q 满足111p q+=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在满足题意的m 值 .由一元二次方程的根与系数的关系得 p +q =m ，pq =1. ∴111p q m m p q pq ++===. ∵111p q+=，∴m ＝1. 阅读后回答下列问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，写出正确的解题过程.20．如图5，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. ⑴分别求出直线AB 及双曲线的解析式； ⑵求出点D 的坐标；⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y . 四、（每小题10分，共20分）21．某工厂中由若干个形状完全相同的直角三角形铁板（如右图）已知∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC=4.现准备对两块铁板余料进行裁剪，方案如下：方案一：如图6，裁出一个扇形，圆心为点C ，并且与AB 相切于点D ；方案二：如图7，裁出一个半圆，圆心O 在BC 上，并且与AB 、AC 分别相切于点D 、C ； ⑴分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积，并把计算结果直接填图5C 图7O C在横线上 .按照方案一裁出的图形面积是 . 按照方案二裁出的图形面积是 . ⑵写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程.22．如图8所示，A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直.现在要从E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E D A B →→→； 方案二：E C B A →→→.经测量得AB =10BC =千米，6CE =千米，∠BDC ＝45°，∠ABD ＝15°.已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.⑴求出河宽AD （结果保留根号）；⑵求出公路CD 的长；⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.五、（12分）23．2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部回收.根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成表格一；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表格二，并作出部分频率分布直方图（如图9）表格一（被调查的消费者年收入情况）祝贺你已经答完多半的题目，一定要安排好剩余的答题时间村庄图8ECD B图 9住房面积（平方米）图11请你根据以上信息，回答下列问题：⑴根据表一可得，被调查的消费者平均年收入为 万元；被调查的消费者年收入的中位数是万元；在平均数、中位数这两个数中， 更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平.⑵根据表二可得，打算购买100.5～120.5平方米房子的人数是 人；打算购买住房面积不超过100平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是 . ⑶在图9中补全这个频率分布直方图. 六、（12分）24．如图10,△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交直线BC 于点E ，交⊙O 于点D .⑴过点D 作MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 切线；⑵求证：AB AC AD AE =⑶如图11，AE 平分∠BAC 的外角∠FAC ，交BC 的延长线于点E ，EA 的延长线交⊙O 于点D.结论AB AC AD AE =是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由.七、（12分）25．为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗． 某树苗公司提供如下信息：信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等.信息二：如下表：M 图10设购买杨树、柳树分别为株、株.⑴写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；⑵当每株柳树的批发价p 等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？ ⑶当每株柳树批发价p （元）与购买数量y （株）之间存在关系30.005p y =-时，求购买树苗的总费用w （元）与购买杨树数量x （株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）八、（14分）26．如图12，直线334y x =-+与 x 轴相交于点A ，与 y 轴相交于点B ，点C (m ，n )是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与 x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F . ⑴当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；⑵如图13，若⊙C 与 y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； ⑶求m 与n 之间的函数关系式；⑷在⊙C 的移动过程中，能否使△OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能” ）？认真读题， 弄懂题意图12图13请再仔细检查一遍，看看有没有错的、漏的， 别留下什么遗憾哦！。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（１）数111-++-=iiz ．在复平面内，z 所对应的点在 （ ）（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限【答案】B【解答】∵i i i i ii z +-=-++=-++-=111)1(111 ∴z 所对应的点在第二象限．故选B ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．（２）极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的 （ ）（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要的条件 【答案】B【解答】∵极限)(lim 0x f x x →存在且)()(lim 00x f x f x x =→，则函数)(x f 在点0x x =处连续的，∴极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的必要而不充分的条件，故选B ．【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（Ａ）10100610480C C C ⋅（Ｂ）10100410680C C C ⋅（Ｃ）10100620480C C C ⋅（Ｄ）10100420680C C C ⋅【答案】D【解答】从袋中任取10个球有10100C 种，其中恰有6个红球有420680C C ⋅种，故选D ．【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．（４）已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题： ①若α⊥m ，β⊥m ，则βα//；②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α⊂m ，β⊂n ，n m //，则βα//；④若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，则βα//，其中真命题是（Ａ）①和② （Ｂ）①和③ （Ｃ）③和④ （Ｄ）①和④【答案】D【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当α与β相交时，若m 、n 平行于两平面的交线，则n m //，所以③错误；因为若m 、n 是异面直线，α⊂m ，β//m ，β⊂n ，α//n ，当且仅当βα//，所以④正确．【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决． （５）函数)1ln(2++=x x y 的反函数是（Ａ）2x x e e y -+= （Ｂ）2x x e e y -+-= （Ｃ）2x x e e y --= （Ｄ）2xx e e y ---=【答案】C【解答】由)1ln(2++=x x y ，得12++=x x e y ，即12+=-x x e y ，两边平方，化简得122=-yy xe e ，故y y e e x 12-=，即2yy e e x --=，∴)1ln(2++=x x y 的反函数是2x x ee y --=．【点拨】求反函数设法解出x ．（６）若011log 22<++a a a ，则a 的取值范围是（Ａ）),21(∞+ （Ｂ）),1(∞+ （Ｃ）)1,21(（Ｄ）)21,0(【答案】C【解答】法一：代特殊值验证法二：①当⎪⎩⎪⎨⎧<++<<011log 12022a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<1112102aa a 时，无解； ②当⎪⎩⎪⎨⎧<++>011log 1222a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<>1110212a a a 时，121<<a ，故选C ． 【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．（７）在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a （Ｄ）2123<<-a 【答案】C【解答】∵)1)(()()(a x a x a x a x ---=+⊗-，∴不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则1)1)((<---a x a x 对任意实数x 成立，即使0122>++--a a x x 对任意实数x 成立，所以0)1(412<++--=∆a a ，解得2321<<-a ，故选C ． 【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m ，则m 的范围是 （Ａ）)2,1( （Ｂ）),2(∞+ （Ｃ）),3[∞+ （Ｄ）),3(∞+ 【答案】B【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，∴其中一个角为60º，如图，直角三角形时，2=m ， 所以钝角三角形时，有2>m ，故选B ．【点拨】利用数形结合解题较快捷．（９）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（Ａ）８或－２ （Ｂ）６或－４ （Ｃ）４或－６ （Ｄ）２或－８ 【答案】A【解答】由⎩⎨⎧-='+='11y y x x ，得⎩⎨⎧+'=-'=11y y x x ，所以02=+-c y x 平移后，得032=+-'-'c y x ，其与圆522=+y x 相切，即圆心到直线的距离为5，即55|3|=+-c ，解得8=c 或2-=c ，故选A ． 【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理． （10）已知)(x f y =是定义在Ｒ上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ，λλβ++=112x x ．若，则（Ａ）0<λ （Ｂ）0=λ（Ｃ）10<<λ （Ｄ）1≥λ【答案】A【解答】数形结合法：当0>λ，如图Ａ所示， 有|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，当0<λ如图Ｂ所示，有()(||)()(|21βαf f x f x f -<-故选A ．【点拨】数形结合解决定比分点问题．（11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （Ａ）632+ （Ｂ）21 （Ｃ）21218+ （Ｄ）21【答案】B 【解答】由3=e ，得3=ac，由一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，得准线为1-=x ，所以12=c a ，故3=a ，3=c ，6=b ，所以双曲线方程为16322=-y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧==-xy y x 4163222，得交点为)12,3(±，所以交点到原点的距离是21，故选Ｂ． 【点拨】由已知条件发拨出a 、b 、c 的取值，得到双曲线的方程．︒60（12）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ，则该函数的图象是（Ａ） （Ｂ）（Ｄ） 【答案】A【解答】由)(1n n a f a =+，n n a a >+1，得n n a a f >)(，即x x f >)(，故选A ． 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）62121)2(--x x 的展开式中常数项是______________．【答案】－160【解答】通项公式为r r rr rr x C x x C ---⋅-⋅=-⋅⋅36216216)2()2()(，由03=-r ，得3=r ，所以常数项是160)2(336-=-⋅C ， 【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．（14Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD 的距离是【答案】32【解答】如图建立空间直角坐标系xyz A -，)0,0,0(=A ，)0,1,1(=B ，)1,21,0(=D ，)0,1,0(=M ，则)0,1,1(=，)1,21,0(=，)0,0,1(=设),,1(y x =为平面A B CD 法向量，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n AD ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0201y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x ，即)21,1,1(-=n ，所以点Ｍ到截面ABCD 的距离322311=⋅==d ． 【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） 【答案】576【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333=⋅A 种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224=A 种，故有5761248=⨯种．【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法（16）ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值范围是___________． 【答案】]2,(ππ【解答】∵)(x f 是奇函数，且R ∈x ，∴0)0(=f ，∴ωπωπθ2+=k ，∈k Z∵ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个， ∴12≥ωπ，∴πω2≤，∵且有a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素， ∴1<ωπ，∴πω>，∴πωπ2≤<， 【点拨】通过数轴得出ωS ∩)1,(+a a 元素个数与两点间距离的关系再求解．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题共12分）。