3.4.2简单线性规划 教案(高中数学必修五北师大版)
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4．2 简单线性规划
●三维目标
1．知识与技能
使学生了解二元一次不等式(组)表示平面区域、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念，了解线性规划问题的图解法，并能应用解决实际问题．
2．过程与方法
经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，提高数学建模能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高解决实际问题的能力．
●重点难点
重点：求解简单的线性规划问题．
难点：准确求得线性规划问题的最优解．
●教学建议
教材通过求z＝2x＋y的最值来讲解了线性规划问题．在处理z＝2x＋y的最值时可以通过以下两种途径：
(1)把直线2x＋y＝0向上或向下平移，观察对应z的量值随之增大或减小来确定最大、最小值．
(2)把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z即化成直线的斜截式形式．这样变形的目的是赋予目标函数z以几何直观及几何含义，来观察截距z的最大值、最小值即可．
●教学流程
创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，了解目标函数、可行域等线性规划的概念⇒通过例1及互动探究，让学生掌握求线性目标函数的最值⇒通过例2及变式训练，使学生掌握求非线性目标函数的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握含参数的线性规划问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
(对应学生用书第65页)
课标解读 1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)．
2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法(重点、难点).
线性规划的基本概念
【问题导思】
图3－4－5
已知不等式组x－y＋5≥0，x＋y＋1≥0，x≤3表示的平面区域如图3－4－5所示．
1．在平面区域中，点A、B、C的坐标分别是什么？
【提示】 由x－y＋5＝0x＋y＋1＝0
得B(－3，2)；由x－y＋5＝0x＝3得A(3，8)；
由x＝3x＋y＋1＝0得C(3，－4)．
2．对于函数z＝2x－y，当直线2x－y－z＝0经过A、B、C三点时，z的值分别为多少？
【提示】 直线经过A(3，8)时，z的值为2×3－8＝－2；直线经过B(－3，2)时，z的值为2×(－3)－2＝－8；直线经过C(3，－4)时，z的值为2×3－(－4)＝10.
3．当直线2x－y－z＝0经过平面区域时，z的取值范围是什么？
【提示】
z∈[－8，10].
名称 定义
约束条件 变量x，y满足的一次不等式组.
目标函数 欲求最大或最小值所涉及的变量x，y的函数.
可行解 满足约束条件的解(x，y)称为可行解.
可行域 所有可行解组成的集合称为可行域.
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
二元线性规划
问题 在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值问题.
目标函数z＝ax＋by＋c(b>0)的
变化规律
把直线l0：ax＋by＝0向上平移时，所对应的z随之增大；把直线l0：ax＋by＝0向下平移时，所对应的z随之减小．
(对应学生用书第65页)
求线性目标函数的最值
设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z的最大值和最小值．
【思路探究】 画出可行域―→作出直线2x＋y＝0
―→平行移动直线―→求最值
【自主解答】 画出可行域如图所示．
令z＝0，作直线l0：2x＋y＝0，把直线l0向上平移时，所对应的z＝2x＋y的函数值随之增大；把直线l0向下平移时，所对应的z＝2x＋y的函数值随之减小．
解方程组x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0得A点坐标为(5，2)，
解方程组x＝1，x－4y＋3＝0得B点坐标为(1，1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
1．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
在本例的线性约束条件下，求z＝2x－3y的最大值和最小值．
【解】 作出可行域，如图
由图可知，当直线经过可行域上点A时，z最大；当直线经过可行域上点C时，z最小．
解方程组x＝1，3x＋5y－25＝0，得C点坐标为(1，225)．
所以zmax＝2×5－3×2＝4，
zmin＝2×1－3×225＝－565.
求非线性目标函数的最值
