高中数学 模块综合检测 新人教A版必修1

1 模块综合检测

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|0

A．(0,1) B．(0,2]

C．(1,2) D．(1,2]

答案：D

解析：A＝{x|0

所以A∩B＝{x|1

2．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，33)，则f(8)的值等于( )

A.22 B.24

C.34 D.32

答案：B

解析：由3α＝33得α＝－12，故f(8)＝812＝24.

3．函数y＝x＋x－1的定义域是( )

A．(－1，＋∞)

B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．[－1,1)∪(1，＋∞)

答案：C

解析：要使函数有意义，需 x＋1>0x－1≠1，解得x>－1且x≠1.

∴函数定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．

4．设f(x)＝ 2ex－1，x＜2，log3x2－，x≥2，)则f[f(2)]的值为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：C

解析：f[f(2)]＝f(1)＝2，故选C.

5．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )

A．[0,12] B．[－14，12]

C．[－12，12] D．[34，12]

答案：B

解析：画出函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的图象，由图象得值域是[－14，12]，故选B.

6．函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0，lgx－1，x＞0的所有零点之和为( ) 2 A．7 B．5

C．4 D．3

答案：A

解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令lgx－1＝0解得x＝10，所以已知函数所有零点之和为－3＋10＝7.

7．三个数20.3,0.32，log0.32的大小顺序是( )

A．log0.32＜20.3＜0.32

B．20.3＜0.32＜log0.32

C．log0.32＞20.3＞0.32

D．20.3＞0.32＞log0.32

答案：D

解析：∵20.3＞20＝1,0＜0.32＜1，log0.32＜log0.32＜log0.31＝0，∴20.3＞0.32＞log0.32.

8．函数f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则实数a等于( )

A．－3 B．－1

C．1 D．－1或1

答案：B

解析：(法一)f(－x)＝lg(21＋x＋a)＝－f(x)，

∴f(－x)＋f(x)＝0，即lg[(21＋x＋a)(21－x＋a)]＝0，

∴a＝－1.

(法二)由f(0)＝0得a＝－1.

9．某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到( )

A．300只 B．400只

C．500只 D．600只

答案：A

解析：由题意得100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，∴第7年时，y＝100log2(7＋1)＝300.

10．函数f(x)＝x(x2－1)的大致图象是( )

答案：A

解析：∵f(－x)＝(－x)[(－x)2－1]＝－x(x2－1)＝－f(x)

∴y＝x(x2－1)为奇函数，排除C、D.又0

11．已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，则f(3)等于( )

A．2 B．－2

C．1 D．－1

答案：A

解析：由条件知f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)．又因为f(－1)＝f(1)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，所以f(1)＝2.所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2. 3 12．函数f(x)＝ ax x＜，a－x＋4a x满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2＜0成立，则a的取值范围是( )

A．(0，34) B．(0，34]

C．(0,1) D．[3，＋∞)

答案：B

解析：由题意知f(x)在R上是减函数，∴0＜a＜1，又a－3＋4a≤a,4a≤3，a≤34，∴0＜a≤34.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)等于________．

答案：－2

解析：由题意得f(0)＝f(0)＋f(0)

∴f(0)＝0.

又f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0

∴f(x)为奇函数．

f(2)＝f(1)＋f(1)＝4

∴f(1)＝2，则f(－1)＝－2.

14．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是________．

答案：2

解析：∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，又函数f(x)值域[0,1]，∴a>1，∴f(1)＝loga(1＋1)＝1，∴a＝2.

15．对于任意实数a、b，定义min{a，b}＝ a，a≤bb，a＞b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

答案：1

解析：依题意，h(x)＝ log2x＜x－x＋x＞，结合图象，易知h(x)的最大值为1.

16．已知y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝lg32＋log416＋6lg12＋lg15，若g(x)＝f(x)＋1，则g(－2)＝________.

答案：6

解析：f(2)＝lg32＋log416＋6lg12＋lg15＝5lg2＋2－6lg2－lg5＝2－(lg2＋lg5)＝2－1＝1，

因为y＝f(x)＋x是偶函数，所以f(－x)－x＝f(x)＋x，所以f(－x)＝f(x)＋2x，

所以g(－2)＝f(－2)＋1＝f(2)＋2×2＋1＝6.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4 17．(10分)求下列各式的值：

(1)1.513×－760＋80.25×42＋(32× 3)6－；

(2)2log32－log3329＋log38－552log3.

解：(1)原式＝2313×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[2323]12

＝2313＋(23×2) 14＋22×33－2313

＝2＋4×27＝110.

(2)原式＝2log32－(log325－log332)＋log323－5log59

＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9

＝2－9＝－7.

18．(12分)已知集合A＝{x|x2＋ax－6＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－2,3}，A∩B＝{－2}，求a，b，c的值．

解：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，

将－2代入方程：x2＋ax－6＝0中，得a＝－1，从而A＝{－2,3}．

将－2代入方程x2＋bx＋c＝0，得2b－c＝4.

∵A∪B＝{－2,3}，∴A∪B＝A，∴B⊆A.

∵A≠B，∴B＝{－2}．

∴方程 x2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4c＝0，

∴ 2b－c＝4， ①b2－4c＝0， ②

由①得c＝2b－4，代入②整理得：(b－4)2＝0，

∴b＝4，c＝4.

19．(12分)函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值．

解：要使函数y＝lg(3－4x＋x2)有意义，需3－4x＋x2＞0，解得x＜1或x＞3.设t＝2x，则0＜t＜2或t＞8，f(x)＝g(t)＝4t－3t2(0＜t＜2或t＞8)．而g(t)＝4t－3t2＝－3(t－23)2＋43，所以当0＜t＜2，t＝23时，g(t)取最大值43.当t＞8时，g(t)是减函数，所以g(t)＜g(8)＝－160.总之，t＝23时，g(t)最大为43，即f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值为43.

20．(12分)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个．商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？

解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元．

当18≤x<30时，有y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500.

即在商品提价时，当x＝20时，每日利润y最大，最大利润是500元．

当10

即在商品降价时，当x＝17时，每日利润y最大，最大利润是490元．

因为500>490，所以此商品的售价应定为每个20元．

21．(12分)已知函数f(x)＝alog2x－blog13x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若a＞0，b＞0，证明函数f(x)在定义域内为增函数；

(2)若a＝ln(m2＋2m＋3)，b＝ln10，解不等式f(3x－1)≤f(x＋3)． 5 解：f(x)＝alog2x－blog13x＝alog2x＋blog3x，其定义域为(0，＋∞)．

(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝alog2x1＋blog3x1－(alog2x2＋blog3x2)＝a(log2x1－log2x2)＋b(log3x1－log3x2)．

∵0＜x1＜x2且y＝log2x和y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，

∴log2x1＜log2x2，log3x1＜log3x2，

当a＞0，b＞0时，a(log2x1－log2x2)＜0，b(log3x1－log3x2)＜0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

(2)∵a＝ln(m2＋2m＋3)＝ln[(m＋1)2＋2]≥ln2＞ln1＝0，b＝ln10＞ln1＝0，

∴由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴f(3x－1)≤f(x＋3)⇔ 3x－1＞0，x＋3＞0，3x－1≤x＋3，∴13＜x≤2，

∴原不等式的解集为{x|13＜x≤2}．

22．(12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：

①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；

②f(1)＝1；

③当x1，x2∈[0,1]，且x1＋x2∈[0,1]时，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

称这样的函数为“友谊函数”．

请解答下列各题：

(1)已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；

(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；

(3)已知f(x)为“友谊函数”，假定存在x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证： f(x0)＝x0.

解：(1)令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0,1]．

由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0.