居余马线性代数第三章课后习题
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第三章课后习题及解答
将1, 2题中的向量a表示成多,%，%,%的线性组合：
1. 2=（121,1厂吗=（1,1,1,=（1,1,-1,-1厂,% =（1，-口，-1）:% =（1，T，T』）\
2. a =（0,0,01）,4 = （1,1,04）,4 =（2,1,31）,4 = （U，0,。）。4 =（。J，-if
解：设存在占次2,攵3,好使得a =+k2a2 +攵3。3 +攵4。4，整理得
%+七+七+攵』=1 1 - j r
尤+八一3一3=2
占一攵2 +%3 一3=1
占一攵2 一攵3 +的=1
解得 ％]=-，欠2 =，攵3 = -- ，左4 =一
4 . 4 4
设存在 占次2,攵3,好使得。+攵2。2 +勺% +3%，整理得 k[ + 2k2 + 女3 =。，k}+k2+k3+k4 =0 9
342 —k4 = 0 ,公+攵2 —攵4 = 1・
解得kx = l,k? = 0/3 = —1/4 =。・所以& = 4 — %・ 所以2=3囚+■% 4 4 - 判断3, 4题中的向量组的线性相关性: 3.q=（1』,1）;% =（025）,% =（1，3,61
4,自=（LT2,4）T，4=（0,3,1,2）T,网=（3,0,7,1”.
解：
3 .设存在 %,攵2，々3使得占4 +%2 a2 +"3a3 = 0 9即
1 0 1
由1 2 3 =0,解得占次2，砥不全为零,
1 5 6
故&],々2，々3线性相关.
4设存在攵1,七,43使得占4+攵2旦+勺23=°，即
卜 + 3k 3 = 0
，一” 八 可解得公，公,号不全为零，故4,A，凤线性相关.
2勺 +& +73 =。 . .
4占+23+143=0
5.论述单个向量2=（卬，。2，一・，。〃）线性相关和线性无关的条件.
解：设存在女使得左。= 0,若2工0,要使左。= 0,当且仅当Z=0,故，单个向量线性 无关的充要条件是。工0:相反，单个向量a 线性相关的充要条件是
67 = 0.
6 .证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.
证：设向量组力,%…%线性无关，利用反证法, k} +3 =。
4 L + 2k）+3k[ = 0
1 1 »
K +5k2 +6心=0 假设存在该向量组的某一部分组区 h，.…< 〃）线性相关,
则向量组区，巴…线性相关，与向量组%,%，…，《i，a〃线性无关矛盾， 所以该命题成立.
7 .证明：若%,出线性无关，则«也线性无关.
证：方法一,设存在无卜、使得匕（q+%） +22（% -%）=°，
整理得，(kx +k2)a} +(ki -k2)a2 =0,
g +k)= 0
1 - ,可解得力=鼠=0,
%_左2 = 0
故4+ a2ya{ -a2线性无关.
方法二，国为（q— &2）= （2”2,；:
故名+ a2,a1 -a2线性无关.
8 .设有两个向量组外,%,...,&和/?卜尸2,…，氏，其中
…,瓦是分别在%,见…・,4的k个分量后任意添加〃?个分量处也,…・，% 因为%，22线性无关，所以,
又因为 1 1
1 -1 =一2工0,且外，见线性无关，所以向量组/+々2，%—。2的秩为2, (7=1,2,…,s)所组成的4+ m维向量，证明：
(1)若]，见，…，火线性无关，则力I，用,…，氏线性无关：
⑵若4，A，・・・，其线性相关，则％，%,・・・，4线性相关.
证：证法1,⑴设力= (%,%，…，a) B =1P\,瓦,…,/3),因为a1，%,...,%线性无
关，所以齐次线性方程AX=O只有零解，即，，(A) = s,且r(8) = s,4，A，.…&线性无 关.
证法2,因为线性无关，所以齐次线性方程AX = O只有零解，再增加方程的
个数，得3X=0,该方程也只有零解，所以4,A，…,凡线性无关.
(2)利用反证法可证得，即假设外,%，…，4线性无关，再由(1)得才，夕2,…，氏线性无 关，与回，打，…，氏线性相关矛盾.
9 .证明：4 +22，a2 +。3，a3+4线性无关的充分必要条件是4，&2，&3线性无关.
U 0 1、
证：方法 1,(% +&2，。2 +23，&3+囚)=(2],々2，。3) 1 1 0
、0 1 1；
1 0 1
因为4,%,%线性无关，且1 1 0=2。。，可得4 +22，。2 +23，23 +%的秩为3
0 1 1
所以4 +a2.a2 +a3.a3+a1线性无关.线性无关：反之也成立.
方法2,充分性，设%,%，出线性无关，证明/+々2，。2+。3，々3 + %线性无关・ 设存在占，42，%3使得占（4 +%）+ 勺（4 +%）+ %3（% + ?）=。,整理得, （勺 +&）4 +6 +3）% +（氏 2 +勺）%
=。
因为囚，22，&3线性无关，所以 k +3 = 0
+K=o,可解得匕=葭=七=0,所以a+%，出+4，4+«线性无关.
您+3=0 * ，
必要性，（方法1）设4 +。2，&2 +々3,23 +3线性无关，证明%,%,%线性无关，
假设外,a2，%线性相关，则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨 设%可由%，出线性表示，则向量组1+%,22 +23，。3 +%可由%,。3线性表示，且 3>2,所以4 +%,%+%，%+%线性相关，与4 +。2，。2 +23，。3 +%线性无关矛 盾，故。],。2,23线性无关.
方法2,令4=%+%，A =a2+%,43 =%+ %，设存在勺《2,勺使得
k}a} +k2a2 +k3a3 = 0,由 /?1=a1+3？，A =&2 +%,& =% 十% 得
%=；（4 一月2 +23），&2 =；（+ 用一 ZV,4 =-1（力一尸2 一凤），代入 乙 乙 乙
klal + k2a2 + k3a3 = 0 得，
k\小民 一 02 + + + 夕2 -尸3）+> 3（-川 +A2+尸3）= °，即
乙 乙 乙
（k[ +k] -kJ。、+（—攵i +0 +左3）22 +（k「k? + 砥）夕3 =0 k+k2 - kb =0
因为巴，与，夕3线性无关，所以+&+自=0 kx-k2+k3 =0
可解得占=&2 =&3 =°，所以q.巴，。3线性无关・
10,下列说法是否正确？如正确，证明之：如不正确，举反例:
(1)•…(相＞2)线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;
解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,
兄，a”4两两线性无关，而线性相关・
(2) %,。2,…，a.(加＞2)线性相关的充分必要条件是有加一1个向量线性相关;
解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设生 =
名线性相关，而俩%,%,%两两线性无关・ ■ 〉
(3)若《，外线性相关，回，用线性相关，则有不全为零的数占，心，使得
占% + k2a2 = 0且kM +&用=°，从而使得心% +公+七(% +12)= 0，
故4+A，%+夕2线性相关・
解:不正确，因为4, %线性相关和A线性相关，不一定存在同一组不全为零的数
k1,k?,使得/q+k2a2=0和占四十七自=0成立：或者说存在两组不全为零的数
攵”22和，1/2使得占e +k2a2 =0和乙4 +，2 A =0成立， (4).若4,%,出线性无关，则-a2.a2 -。3，23 一/线性无关.
解：不正确，因为取1, 1, 1这组常数，使得(?一。2)+(£2 —。3)+(&3 -2])= 0, 虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设%= 所以q -a2.a2 -a3,a3 - % 线性相关.
(5)若 名,22，。3，々4 线性无关，则 4 +22，22+。3，。3+24，。4+4 线性无关：
解：不正确，因为4 +%,%+%，%+%，%+%线性相关，
由9题，〃为奇数个时，线性无关，〃为偶数时，线性相关.
(6).若%, %，％，…，氏线性相关，则4 +&2，々2 +C3，・・・，C〃-l +an^aH+a\线性相关；
解：正确，因为外，%,%，…，氏线性相关，所以4,中至少有一向量可由剩 余的77-1个向量线性表示，则％ +。2，々2 +6?，•一，a〃-1 +a〃，£” 十%也可由那剩余的 77-1个向量线性表示，再因为II >
7? - 1 ,
所以4 +。2，。2 +。3，・・・，々〃-1 +2〃，C〃 +(X\线性相关.
11 .如果。1,。2，。3，。4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为 零的数攵卜々2，％3，%4，使得占％ +k2a2 +k3a3 +k4a4 = 0.
证：因为外,%，%，%线性相关，所以存在不全为零的常数攵1，攵2/3，"4，使得
k.a] + k1a1 + k,a, + k,a. = 0,假设％ = 0 ,则 k、a, + k,a, + k,a. = 0 ,
得见，%，%线性相关与题设矛盾.故占HO ：同样方法可证得攵2，勺，*4都不为零・
所以该命题成立.
12 .若%,巴，.・.，4线性无关，证明：/7,/,%,.・.，巴线性无关的充分必要条件是?不能
由4,22，・・・，。7线性表示.
证：必要性，假设夕能由4,%，…，％，则2，4,22….，见线性相关与 一6,4, .…小线性无关矛盾,故夕不能由小 ,%…・,4线性表示.
充分性，设存在攵0次1次2,…使得攵0月+占。1 +Z2a2 +%3a3 +・••+£% =0 ,
若攵0。0,则仅能由4,%，%，・・・，明线性表出，矛盾，所以攵0=0,
因此,k{a} +k2a2 +k3a3+ - + krar =0,又因为名，见,・..,火线性无关,
所以尤=口= •• = £ =。，故，…,凡线性无关. B ， r ' I 」 厂
13 .求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表 示：
⑴ %=(6,4,1,9,2), a2 = (1,0,2,3,-4), = (1,4,-9,-6,22), a4 = (7,1,0-1,3)；
(2) a1 = (1,- 1,2,4),% = (0,3],2), a3 = (3,0,7,14),% = (2,1,5,6),4 = (1,-1,2,0)；
(3) % =(1,1,1), % =(1,L。)，% =(1。。)， % =(12-3).
r6 1 1 7、
’10 1 0、
4 0 4 1
0 1-50
解：(1) 12-90 -> ---- > 0 0 0 1
93-6-1 0 0 0 0
、2 -4 22 3
.0 0 0 0；
所以，向量组的秩为3,4，22，。4为一个极大线性无关组，。3=%一5。2・
(2)类似(1),可求得向量组的秩为3,
为一个极大线性无关组，且々3 =34 +a2 ,=々4 -2] 一々2・
(3)类似(1),可求得向量组的秩为3, 4,。2，%为一个极大线性无关组，
% = 5a2 _ 3% 一 % >
14.设向量组：
。=(1-1,2,4),^ = (0,3,1,2),4=(3,0,7,14),^ = (2,1,5,6)© = (1-1,2,0),(J5 = (2,1,5,6).
