第四章向量组的线性相关性
1.设v
1=(1,1,0)T,v
2=(0,1,1)T,v
3=(3,4,0)T,求v
1−v
2及
3v
1+2v
2−v
3.
解v1−v
2=(1,1,0)T−(0,1,1)T
=(1−0,1−1,0−1)T
=(1,0,−1)T.
3v
1+2v
2−v
3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T−(3,4,0)T
=(3×1+2×0−3,3×1+2×1−4,3×0+2×1−0)T
=(0,1,2)T.
2.设3(a
1−a)+2(a
2+a)=5(a
3+a),求a,其中a
1=(2,5,1,3)T,
a
2=(10,1,5,10)T,a
3=(4,1,−1,1)T.
解由3(a1−a)+2(a
2+a)=5(a
3+a)整理得
)523(
61
321aaaa−+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[
61
TTT−−+=
=(1,2,3,4)T.
3.已知向量组
A:a
1=(0,1,2,3)T,a
2=(3,0,1,2)T,a
3=(2,3,0,1)T;
B:b
1=(2,1,1,2)T,b
2=(0,−2,1,1)T,b
3=(4,4,1,3)T,
证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.
证明由⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
=
312123111012421301402230
) ,(BA
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−−
971820751610402230421301
~r
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−
531400251552000751610421301
~r
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−
000000531400751610421301
~r
知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.
由
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
=
000000110201
110110220201
312111421402
~~rrB
知R(B)=2.因为R(B)≠R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.
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12
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14
15 第二章
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