微积分A(下)第一次练习

微积分基础练习参考答案一、 函数的概念和性质练习1.1 函数的定义域1、(2,3)(3,8]y D =2、 [5,1)(1,5]---3、 (1,0)(0,3]-4、(1,)+∞5、 (1,2]-6、 (1,2)练习1.2 函数的对应规则1、 A2、 D3、 34、 B 。

5、 D6、 D练习1.3 判断两函数的异同1、 C2、 B3、 A练习1.4 函数的奇偶性1、 A2、 A3、 A4、 D练习1.5 复合函数的定义和分解1、x x g f sin )]([=2、x x f g sin )]([=3、 ln ,sin 1y u u v x ==+。

4、函数由u y e =，cos u v =，1x v e =+复合而成的。

二、极限与连续练习2.1 根据基本初等函数图形求极限1、02、∞+3、∞+4、05、∞+6、∞-练习2.2 分式的极限1、∞2、13、04、-85、41练习2.3 两个重要极限1、1-e 2、 2e 3、2-e 4、e5、 16、3-e 7、e 8、 19、4110、1 11、3 12、1 练习2.4 无穷小量与无穷大量1、 A2、 B3、 D4、 A5、 D练习2.5 函数的连续性与间断点1、 (,2)(2,6)(6,)-∞--+∞2、 23、 C4、 D三、一元函数微分学练习3.1 导数的定义1、 A2、 B练习3.2 导数的几何意义1、 D2、 B3、13164y x =-+ 4、 33y x =-5、 2y x =+6、 12-，11(1)2y x -=--练习3.3 导数的四则运算法则1、12、 11+--='n n xn nx y 3、 1ln +='x y4、2ln 1x x y -=' 5、2sin cos cos sin xxx x x x x y -++=' 6、2121x xy -=' 7、()313+-='x y 8、B 练习3.4 复合函数求导法则1、22)1(6+='x x y2、xy 3123--=' 3、32)1(+-='x x y4、x y 4sin 2='5、11-='x y 6、x x2cos 2sin -7、 dy=sin cos x xe dx 8、 xxe 2sin 24sin 2 9、)cos(2cos 22sin 2sin x xe xey ='10、x e x ey x x3cos 33sin 222+=' 11、322cos 3cos sin 3x x x x y +='12、xy -='121练习3.5 隐函数求导法则1、 222sin x y y x y y -'∴=- 2、522322++---='y x y x y 3、(0)1y '∴=-练习3.6 对数求导法则1、(2)(ln 21)x y x x '∴=+2、)sin ln (cos sin xxx x xy x+=' 3、))12ln(sin 12cos 2()12(cos +-++='x x x x x y x4、222)65()12(6++--x x x x ＋练习3.7 高阶导数的计算1、 (0)4y ''=2、 xe x e x e y xx x +-=''2322练习3.8 求参数方程的导数1、t y tan -='2、2122-='t y四、导数的应用练习4.1 判别函数的单调性1、 C2、 (,0)-∞3、 ()+∞∞-,4、 (0,)+∞练习4.2 函数的极值和最值1、 2121=-=x x 2、 有极小值41121=⎪⎭⎫ ⎝⎛y3、 极大值8)1(=-y ，极小值25)3(-=y4、最大值0)3(=y ，最小值4)1(-=y5、最大值1)0(=y ，最小值4)2(-=e y练习4.3 用洛必达法则求不定型极限1、41 2、221－ 3、 322 4、315、06、0练习4.4 经济函数的最值问题1、 产量为200吨时可使平均成本达到最小，此时的总成本为1200万元。

2 2
(2) 函数 z = x y 在点 (2, −1) 处，当 ∆x = 0.02, ∆y = −0.01 时有全增量 ∆z = 全微分 dz = −0.2 .
(3) 设 z = f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的全增量为 ∆z , 全微分为 dz , 则 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的 全增量与全微分的关系式是 ∆z = dz + o(ρ) (ρ → 0); y (4) u = arctan 在点 (1, 1) 处的 du = − 1 dx + 1 dy ; 2 2 x (5) u = (sin y )cos y ，则 du = (sin y )cos x (− sin x ln sin y dx + cos x cot y dy ) ; 1 1 (6) u = √ , 则 du = − 2 (xdx + y dy + z dz ) . 2 (x + y + z 2 )3/2 x2 + y 2 + √ z2 2. 证明： f (x, y ) = |xy | 在点 (0, 0) 处连续，fx (0, 0), fy (0, 0) 都存在，但在 (0, 0) 处不可微. 解. 因为
微
进一步, 我们有
积
分
∂u du ∂r x−a = =− 3 , ∂x dr ∂x r
练
习
册
(2) 考察偏导函数在 (0, 3) 处是否连续. 解. (1) 当 x ̸= 0 时, 由对数求导法可得 1 fx (x, y ) = x (x + y ) sin x
2 2 2
(
2 2x 1 1 + 2 − cot 2 x x +y x x

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。

填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。

求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。

证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。

1 ( x + y +1) x + y −1
= e2 ；
( x , y ) → (0,0)
lim ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) = 0.
x 2 + y 2 ln( x 2 + y 2 ) 。
提示：考虑不等式 0 ≤ ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) ≤ 2
y →0 x →0 x →0 y →0
x →0 y →0
例.3 f ( x, y ) =
x2 y 2 ，证明： lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 0 ，而二重极限 y →0 x →0 x →0 y →0 x 2 y 2 + ( x − y)2
lim f ( x, y ) 不存在。
证明: 存在 a > 0, b > 0, 使 a x ≤ f (x) ≤ bx . 证 明 : 由 (2) 知 f ( 0 ) = 0 满 足 不 等 式 ； 当 x ≠ 0 时 ， 因 f 连 续 ，
x 属于有界闭集 x
{y |
x 有 界 且 可 取 到 最 大 值 和 最 小 值 。 从 而 存 在 a > 0, b > 0, 使 得 y = 1} ， 故 f x
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
1 1 x sin + y sin , x ⋅ y ≠ 0 y x 例.1 f ( x, y ) = 0, x⋅ y = 0
两个二次极限都不存在，但二重极限 lim f ( x, y ) = 0
x →0 y →0