微积分第一章

高等数学教案

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第一章 函数、极限与与连续

本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：

1． 理解极限的概念(理解极限的描述性定义，对极限的N、定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出求N或不作过高要求).

2． 掌握极限四则运算法则。

3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限.

4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。

5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上)连续函数的概念.

6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7。 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理).

第一章共12学时，课时安排如下

绪论 §1。1、函数 §1。2初等函数 2课时

§1。4数列极限及其运算法则 2课时

§1.4函数极限及其运算法则 2课时

§1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时

§1。4函数的连续性 2课时

第一章 习题课 2课时

绪论

数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：

恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速,化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果.数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二)

初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。 本学期教学内容：第一章 函数、极限与连续

第二章 导数与微分

第三章 导数学的应用

第四章 不定积分

参考书:高等数学（同济大学应用数学系 主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编

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学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习）,积极参与课堂讨论、研究,课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习;应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系.

第一节 函数、第二节 初等函数

1.掌握区间、邻域的概念。

2。了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式.

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5。掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域 (,)(,)Uaaa,以a为中心的邻域

(,)(,)(,)Uaaaaa，以a为中心的去心邻域

二．函数：

定义1 设x和y是两个变量，D是一个数集。如果对于D中的每一个x，按照某个对应法则f，y都有确定的值和它对应，那么称y为定义在数集D上的x的函数，记作()yfx。x叫做自变量,y叫做因变量，,数集D叫做函数的定义域。

y为因变量的函数也可表示为)(xy，()yFx,)(xyy，……

函数的两个要素:对应法则、定义域。

三．分段函数

1．3,0,()45,0.xxyfxxx 0x称为“分界点”.

2．符号函数

0,10,00,1sgnxxxxy

3．取整函数：不超过x的最大整数，记做：][xy，如：[3.1]3，[3.1]4。 四．反函数的定义：设有函数),(xfy其定义域D,值域为W,如果对于W中的每一个y值，都可以从关系式),(xfy确定唯一的x值(Dx）与之对应,这样所确定的以y为自变量的函数)()(1yfxyx或叫做函数)(xfy的反函数,它对定义域为W，值域为D。

习惯上，函数的自变量都用x表示，所以反函数通常表示为).(1xfy

五．函数的几种特性

1．有界性：设)(xfy，定义域为D,xD,0M，恒有Mxf)(。则称函数在D上有界。否则称函数在D上无界。

例如:函数xxf1)(，在[1,)内有界;在(0,1)内无界。

2．单调性：设)(xfy，定义域为D,21,xxD，当21xx时)()(21xfxf,单调递增;当21xx时)()(21xfxf，单调递减.单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3． 奇偶性：偶函数 )()(xfxf ，

奇函数 )()(xfxf。

4．周期性：周期函数 xD，TxD，)()(xfTxf

例1．狄里克莱函数为无理数为有理数xxxDy,0,1)(。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。

2．符号函数0,10,00,1sgnxxxxy

六．复合函数

定义 如果y是u的函数)(ufy,而u是x的函数)(xu，且()x的值全部或部分地落在()yfu的定义域内，那么y通过u的联系也是x发函数。称这个函数是由()yfu及()ux复合而成的，称为复合函数，记作)]([xfy，其中u叫做中间变量. 注:设()yfu、()ux，如果()ux的值部分地落在()yfu的定义域内，则复合函数)]([xfy的定义域是()ux的定义域的子集;如果()ux的值全部落在()yfu的定义域内，则复合函数)]([xfy的定义域与()ux的定义域相同.如果()ux的值全部落在()yfu的定义域外,则不能构成复合函数.

例3．将下列函数“分解"成“简单”的函数:

2sinxy，xy2sin，xeyarctan

七．基本初等函数与初等函数：

1、 常数函数 )(为常数CCy

2、 幂函数 )(为实常数xy

3、 指数函数 ),1,0(为常数aaaayx

4、 对数函数 ),1,0(log为常数aaaxya

5、 三角函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin

6、 反三角函数:xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin

初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。

八．双曲函数与反双曲函数

sh2xxeeyx，ch2xxeeyx，xxxxeeythxee.

作业P20～21 习题 2（3）、(4)、（6）；5；7。

第四节 数列的极限

数列极限的定义

数列的定义:数列实质上是整标函数)(nfxn，n正整数集N

（i）nxn1：1，21，31,…,n1，…0

(ii）nxnn1)1(1：2,21，34，…，1+nn1)1(，…1

确定nxn11:要使1nx<0.01，只要n>100；

要使1nx<0.0001,只要n>10000；

要使1nx〈，只要n>[1].

（iii）1)1(nnx：1，—1,1，…, 1)1(n,…不存在

数列极限描述性定义(P27）：如果当n无限增大时，数列nx无限接近于一个确定的常数a,那么a就叫做数列nx的极限，或称数列nx收敛于a，记作

axnnlim 或 当.,axnn时

数列极限的定义:如果存在常数a，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，只要nN,绝对值不等式axn〈恒成立，则称数列{nx}以常数a为极限，

记为nnxlim=a（或axn，n)。

数列极限的分析（N)定义：设Ra,0,0N，当Nn时，axn恒成立，则将数列｛nx}以常数a为极限，记为nnxlim=a（或axn，n）.

例1． 证明数列2,21,34,43,…，nnn1)1(，…的极限是1。

证:[分析]令nx=nnn1)1(，记a=1，要使axn=1)1(1nnn=n1=n1<，只要n1〉,取N=1。

［证明]0,1N,当n〉N时，恒有1)1(1nnn,故nnnn1)1(lim=1.

例2． 若21)(nnin

sxn，证明：0limnnx.

证：［分析］axn=0)1(sin2nn=2)1(sinnn2)1(1n〈11n〈n1，要使axn<，只要1n,取N=1,再放大

[证明]],1[,0N当n〉N时,01)(nn sin2恒成立，故01)(nn sinlim2n。

例3． 设1q，证明数列：1，q,2q,…，1nq,…的极限是0。

证：［分析］令1nnqx，记a=0，由于01nq=1nq=1nq，要使axn，只要1nq,只要lnln)1(qn,只要qlnln1-n，只要1lnlnqn，取